$ KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2 oktober 26 5 Femte veckan Integraler med tillämpningar Veckans begrepp Primitiva funktioner, integraler, area Trapetsmetoden för numerisk integration Partiell integration Variabelbyte i integraler Rotationsvolymer Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina Övning 51 [5B1134:Modelltentamen:4] a) Bestäm arean av det område som ligger mellan graferna för funktionerna och på intervallet!" b) Bestäm ett uttryck för motsvarande area om vi byter ut funktionen mot #%$, där $ är en konstant med ' c) Vilka värden på $ ger den största, respektive minsta arean mellan graferna (2) Övning 52 [5B1134:KS:4:23] a) Bestäm arean av området mellan graferna för funktionerna ( )# och +*-, / på intervallet ' 12 3546 ( b) Kurvan på intervallet 7 roterar kring -axeln och begränsar på så vis en tredimensionell kropp Bestäm med hjälp av en integral volymen av denna rotationskropp
U c) När ett område ovanför -axeln roteras kring -axeln kan volymen för den uppkomna rotationskroppen beskrivas som 8:9 där 9 är arean under grafen som roteras och 8 är avståndet från områdets tyngdpunkt till -axeln Bestäm tyngdpunktens höjd över -axeln för det område som roteras i b) (2) Övning 53 [5B1134:Tentamen:3113:4] <; =4>"% a) Bestäm volymen av den rotationskropp "@ som uppkommer då kurvan roterar kring -axeln på intervallet ' b) Använd partiell integration för att beräkna integralen ACB E*F,GIHJLK c) Beräkna integralen med hjälp av variabelbytet (2) 6R4S ANM ; O4P HJ (Ledning: @T ; är en primitiv funktion till ; ) Övning 54 [5B1134:Tentamen:3113:4] a) Beräkna integralen A B +*-,GW4XI VU b) Använd först variabelbytet 6YF,G och sedan partiell integration för att beräkna integralen A Övning 55 [5B1134:Tentamen:419:4] HLK [YF,G HLK a) Bestäm arean mellan graferna för funktionerna \ ^]`_ och 4a ACB \E*F,=bH ^] _ (5) på intervallet med hjälp av partiell integration c) Använd en trapetsmetoden med fyra delintervall för att få en numerisk approximation av samma integral som i föregående deluppgift (2) 2
] u Övning 56 [5B1134:Tentamen:4821:4] a) Beräkna integralen A H där c d] _ 4e för alla reella A 34f +] _ H med hjälp av partiell integration c) Låt vara en periodisk funktion med period g AWhjì k mlon i n ]`prqs +H 6t och låt $ vara en reell konstant Visa att för någon konstant t och bestäm denna konstant Övning 57 [5B1134:KS4:24] c 4v a) Polynomet u Beräkna integralerna A'B`wsx A n ]`prqm är en approximation av I" som är bra för små värden på IbH och ACBwsx +H yh och jämför resultaten Hur stort blir det fel man får genom att använda approximationen b) Bestäm hur stort felet blir när man använder trapetsmetoden med tre delintervall för att beräkna integralen A B`wsx bhlk (2) c) Beräkna volymen av den rotationskropp som bildas då området under grafen för z b YF,{ L } roterar kring -axeln på intervallet Övning 58 [5B1134:Tentamen:4111:4] 7] _ 6]:~ _ a) Kurvorna och avgränsar tillsammans med linjen 7YF,{ s@ ett område i planet Beräkna arean av detta område A B E*-,G >y med hjälp av variabelbyte 3 HLK
c) Bestäm det värde på konstanten $ som minimerar A B m$w4f+*-, HLK Övning 59 [5B1134:Tentamen:413:4] a) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av parabeln ƒ b) Använd variabelbytet } ˆ:, för att beräkna integralen A HLK R Š 4 och linjen 7+*-,L ' Œ$ 6+*-,{ ' Ž c) Beräkna arean mellan de två kurvorna och på ett intervall som ligger mellan två närstående skärningspunkter Övning 51 [5B1134:Tentamen:5112:4] a) Kurvan z =!+*-,L avgränsar tillsammans med dess tangenter i punkterna och d ett område i planet Beräkna arean av detta område b) Samma område roterar kring -axeln Beräkna volymen av den rotationskropp som bildas c) Beräkna integralen A ; H med hjälp av ett variabelbyte (2) Övning 511 [5B1134:Tentamen:5829:4] a) Använd en integral för att beräkna arean av området mellan kurvan 7' T b) Bestäm en primitiv funktion till \ V E*F, och linjen genom att använda partiell integration ˆ@, c) Bestäm volymen av den rotationskropp som bildas när kurvan roterar kring / -axeln på intervallet 4=/: Övning 512 [5B1134:KS4:25] 4
T a) Beräkna arean av området som begränsas av de två kurvorna intervallet 4a b) Använd trapetsmetoden för att bestämma ett närmevärde till integralen A ; =4f HJLK och Använd fyra delintervall och ange svaret med två decimaler c) Använd variabelbytet } för att beräkna ett exakt värde för integralen A I] ~ _ w HLK I på Övning 513 [5B1134:Tentamen:5117:4] a) Beräkna arean av området mellan kurvorna intervallet ' 7 47 och dv4! på ACBw [+*-, 4f@ T yhjlk (2) c) Beräkna volymen av den rotationskropp som bildas när kurvan roterar kring -axeln på intervallet ' ; \y (Ledning: Använd partiell integration och formeln för cosinus av dubbla vinkeln) Övning 514 [5B1134:Tentamen:6113:4] +*-, ^+*-, a) Beräkna arean av området mellan kurvorna och på intervallet v (Ledning: E*F, r=4š@i E ) ACBw +*-,GbHLK med hjälp av partiell integration c) Använd trapetsmetoden med tre delintervall för att bestämma ett närmevärde till integralen A Bw E*-,GbH 5
B B B _ x š Svar till uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina 51 52 53 54 55 56 57 a) Arean mellan graferna är ši `œž Ÿ" œ b) Uttrycket för arean är Ÿ`š{ " @ " yj R L 3ª «c) Maximum är Ÿ`š och minimum är a) Arean av området mellan graferna är `Ÿ b) Rotationskroppens volym är ši `œ` c) Avståndet från områdets tyngdpunkt till - axeln är @ a) Volymen är Ÿœ`šI `Ÿ c) a) 3ª «± 5²fš M Ÿ ±" '²ŠŸ" Ÿ" `œ W³ 3ª «" µÿ ³ ± C²Šœ" œ Ÿ «ȳ ± 5²ŠŸJ «žÿ" «žÿ" =Ÿ¹f º»»¼@½ a) Arean mellan kurvorna ges av ¾ `Ÿ¾ ¹ `ºrÀÁ R 3ª «± C²Šš c) Trapetsmetoden ger š a)  -ȳ ±" '² ¾ ¾ Ä c ľ ±" C²e p i n c) Konstanten är Å^²Š¾ Œ ¾= Ÿc f `Áb¹ŠŸ@ºr¼Á à `Ÿ 58 59 a) Integralernas värden blir `Ÿ, respektive šl Ÿ Æ `¼À och felet man får genom att använda approximationen är Ÿ "š Çš Ç Á" `¼À'¹ c º3 "œá b) Felet man får genom att använda trapetsmetoden blir šl Ÿ œ È»Ÿ" `Ÿ O¹e c º3 J c) Rotationskroppens volym är É ²)šL Ÿ¾5 L¹e»œ@ºr¼ volymsenheter a) Arean av området är ¼" `Á areaenheter b) 51 511 512 ACB 3ª «Ÿž v " Æ ±" C²f «% œ" c) Värdet på som minimerar integralen är O² œ" š a) Arean av området är œÿ" `œ areaenheter b) Integralens värde är ši # c) Arean av området är ³ 3ª «I µ žê `Ÿ" ³ ² ŸË Ÿ (Ÿ " # Ì SÊ a) Arean är š b) Volymen är š c) SÁ" # š (À" @»Ÿ k M _ ± 5²ŠŸ= SŸ «cÿ a) Arean mellan kurvorna är œÿ" `œ areaenheter b) Ä # b `Ÿ" @ " µÿ 2 -ȳ `Ÿ" @ rª «Ÿ är en pri- 3ª «Ÿ mitiv funktion till `ŸJ ¹ `ºrœÎ" vo- c) Rotationsvolymen är Ÿ`š Íš lymnsenheter a) Arean av det området mellan kurvorna är `Ÿ (areaenheter) 6
513 514 b) Uppskattningen med trapetsmetoden ger º»»À c) µ¾ ~ _ w ± C² S¾ a) Arean mellan kurvorna är Ÿœ" `œ areaenheter B`w rª «cÿ Ï " µœȳ @± '²f : `œ # volym- c) Volymen av rotationskroppen är š senheter ~ a) Arean mellan graferna är Ÿ КI `Ÿ areaenheter B`w 3ª «z ± C²ŠšC SŸ c) En approximation med tre delintevall ger `ºrŸ 7