Om kontinuerliga funktioner

Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens Grunder Om kontinuerliga funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com

Om kontinuerliga funktioner 1 (12) 1 Introduktion Vi ska nu diskutera kontinuerliga funktioner och deras egenskaper. Begreppet kontinuitet var länge intuitivt och det beskrivs ibland som att man kan rita grafen av en kontinuerlig funktion av en variabel utan att lyfta pennan. Detta är dock en sanning med modifikation. När vi översätter vår intuition om kontinuitet till sträng matematik får vi visserligen en logik att härleda viktiga påståenden ur, påståenden som ofta betraktats som självklara tidigare, men priset är att det visar sig finnas funktioner som är kontinuerliga men mer kryptiska än vi skulle önska. T.ex. finns det kontinuerliga funktioner som inte är deriverbara i någon punkt. Grafen till en sådan funktion kan vi knappast rita! Andra monster-exempel är de kontinuerliga plana kurvor (kontinuerliga funktioner från reella axeln till planet) som fyller ut hela enhetskvadraten. Men för att få analysen på solid bas ville man under andra halvan av 1800-talet göra ordentliga bevis av vissa självklara satser som handlade om kontinuerliga funktioner. För att kunna göra det krävs att de tal vi använder, de reella talen, är vad som kallas fullständiga. Löst uttryckt betyder det att de inte innehåller några hål, och det uttrycks i det som ofta kallas axiomet om övre gräns. I det här kapitlet ska vi titta på sambandet mellan just axiomet om övre gräns och egenskaper hos kontinuerliga funktioner. 2 Vad betyder det att en funktion är kontinuerlig i en punkt? Att en funktion f är kontinuerlig i en punkt a betyder att om x n a (och ligger i f:s definitionsmängd, ett påpekande vi inte gör i fortsättningen) så gäller att f(x n ) f(a), båda sakerna då n. Vi kan skriva det kortare som att lim f(x n) = f( lim x n ) n n och innebär f bevarar gränsövergångar. I definitionen ligger att f ska vara definierad i gränspunkten a. Att det för en talföljd gäller att x n a då n innebär definitionsmässigt 1 att det för varje ɛ > 0 finns ett N = N(ɛ) sådant att x n a < ɛ om n N. Om vi kombinerar denna definition med definitionen av kontinuitet ser vi att 2 f är kontinuerlig i punkten a om den är definierad i där och det gäller att för varje ɛ > 0 ska det finnas ett δ > 0 sådant att x a < δ f(x) f(a) < ɛ. f(a) + ǫ f(a) ǫ Här kan vi låta f vara definierad på ett allmänt R n och även ta värden R p. Det enda vi behöver göra är a δ a + δ att tolka absolutbeloppet som avstånd. Diskussionen i detta och nästa avsnitt är på detta sätt inte begränsad till reellvärda funktioner av en variabel. Dock är det bekvämt att ta p = 1 i vår diskussion om inget annat sägs, eftersom vi då kan multiplicera funktioner.

Om kontinuerliga funktioner 2 (12) Anmärkning Denna definition är från slutet av 1800-talet, efter att man räknat analys under århundraden. Fram till dess hade man en intuitv bild av vad kontinuitet skulle betyda: när x går mot a ska f(x) gå mot f(a). Det som störde matematikerna under slutet av 1800-talet var att förstå vad detta egentligen betyder på ett strängt matematiskt sätt, så att det blir möjligt att de facto bevisa satser om kontinuerliga funktioner. Den definition man kom upp med vänder mycket på begreppen: istället för den dynamiska bilden att om x går mot a medför att f(x) går mot f(a) fokuserar man istället på vad man ska göra för att visa att f är kontinuerlig i a, vilket är att det ska gå att komma så nära f(a) som vi vill med f(x) om vi bara tar x tillräckligt nära a. Det är en statisk definition som möjligen inte stämmer med vad vi egentligen skulle vilja att kontinuitet betyder, men det är den definition som gäller! Vi ska omformulera detta genom att använda begreppet omgivning. Med en omgivning till en punkt a menar vi en mängd B r (a) = {x; x a < r}. En sådan mängd kallar vi ett öppet klot, även om det tekniskt sett är ett klot endast i R 3 ; i R är det ett intervall och i R 2 en cirkelskiva. Om vidare S är en mängd i f:s definitionsområde, så definierar vi f(s) som bilden av denna, alltså som mängden f(s) = {f(x); x S}. U f(v ) Definitionen av kontinuitet kan nu skrivas som att det till varje omgivning B ɛ (f(a)) ska finnas en omgivning B δ (a) sådant att f(b δ (a)) B ɛ (f(a)). V Vi kan här utelämna ɛ och δ och säga att till varje omgivning U till f(a) ska det finnas en omgivning V till a sådant att f(v ) U. Anmärkning En ännu bättre formulering får vi om vi inför begreppet öppen mängd. En öppen mängd är en mängd för vilken det gäller att varje x U har en omgivning (alltså ett öppet klot) som ligger i U. Att en funktion är kontinuerlig innebär då att f 1 (U) är en öppen mängd för varje öppen mängd U. 3 Att sätta ihop kontinuerliga funktioner Vi ska nu visa några viktiga satser om kontinuerliga funktioner. För att förenkla bevisen så mycket som möjligt börjar vi med att göra några allmänna observationer. Dessa bygger på att vi använder triangelolikheten x + y x + y. När x, y är reella tal är detta en enkel övning att konstatera att det alltid är sant. När absolutbeloppet betyder avstånd i fler dimensioner betyder formeln helt enkelt att kortaste avståndet mellan två punkter är en rät linje 3.

Om kontinuerliga funktioner 3 (12) Först måste vi veta vad vi menar med att en mängd S är begränsad. Att S är begränsad betyder att det finns ett tal M sådant att om x S så gäller att x M. Vi säger att M är en begränsning uppåt av S om det gäller att x M då x S. Vi har då följande viktiga observation. Lemma 1 Om f är kontinuerlig i a finns det en omgivning till a sådan att f(x) är begränsad i denna. Mer precist, det finns en omgivning U till a och ett tal M sådant att f(x) M då x U. Bevis. Beviset bygger på observationen f(x) = f(x) f(a) + f(a) f(a) + f(x) f(a). Eftersom f är kontinuerlig i a kan vi hitta en omgivning U till a sådan att (t.ex.) f(u) B 1 (f(a)), vilket betyder att högerledet är M = f(a) + 1. Vi kan välja andra omgivningar för att få andra övre begränsningar, så länge vi tar M > f(a). Exempel 1 Funktionen f(x) = 1/x är begränsad i en omgivning av varje punkt a 0. Vi har nämligen att i omgivningen x a < a /2 gäller att x > a /2 och alltså att f(x) < 2/ a i denna omgivning. Lemma 2 Om f är kontinuerlig i a och f(a) > c > 0, så finns en omgivning U till a sådan att f(x) > c då x U. Bevis. För att se det noterar vi först att vi har att f(a) f(x) + f(x) f(a). Välj nu omgivningen U till a så liten att f(x) f(a) < f(a) c då x U. f(a) c Det ger oss att för x U gäller att a f(a) < f(x) + f(a) c f(x) > c. Från dessa två hjälpsatser får vi en tredje. Lemma 3 Om f(x) = Q(x)g(x), där g är kontinuerlig i a sådana att g(a) = 0 och Q är begränsad i någon omgivning av a, så är f kontinuerlig i a (med f(a) = 0). Bevis. Enligt förutsättningarna finns ett tal M sådant att Q(x) M i en omgivning V till a. Oavsett vilket klot W = B ɛ (f(a)) vi väljer runt f(a), kommer då klotet B δ (g(a)) med δ = ɛ/m att vara sådant att f(b δ (a)) W. Men eftersom g är kontinuerlig i a finns det en omgivning U till a sådan att g(u) B δ (a), och vi har då att f(u) W. Här måste vi välja U så liten att U V för att försäkra oss om att Q M.

Om kontinuerliga funktioner 4 (12) Exempel 2 Funktionen x 1/x är kontinuerlig i en punkt a 0. För att visa det noterar vi först att 1 x 1 a = 1 (x a). xa Vi har sett ovan att funktionen Q(x) = 1/xa är begränsad i en omgivningen av a. Kallar vi vänsterledet f(x) och sätter g(x) = x a, så kan vi nu använda lemmat för att få påståendet. Exemplet kan lätt utvidgas till att visa följande allmänna påstående. Sats 1 Om f är differentierbar i a, så gäller att f är kontinuerlig i a. Bevis. Att f är differentierbar i a innebär att vi kan skriva f(x) f(a) = Q(x)(x a) där Q(x) är kontinuerlig i en omgivning av a. Men det finns då en omgivning i vilken den är begränsad, och resultatet följer från lemmat. Eftersom våra s.k. elementära funktioner alla är differentierbara följer att de alla är kontinuerliga. Följande satser, som också är enkla konsekvenser av lemmorna, visar att när vi konstruerar nya funktioner ur de elementära funktionerna med våra basala räkneoperatorer fortsätter vi att få kontinuerliga funktioner. Sats 2 Om f och g är kontinuerliga i a, så är både f + g och fg också kontinuerliga i a. Bevis. Vi börjar med att bevisa att h = f + g är kontinuerlig i a. Ur olikheten h(x) h(a) = (f(x) f(a)) + (g(x) g(a)) f(x) f(a) + g(x) g(a) ser vi att om vi tar en omgivning U kring a sådan att f(u) B ɛ/2 (f(a)) och en omgivning V kring a sådan att g(v ) B ɛ/2 (g(a)), och om vi låter W vara skärningen av U och V, så gäller att h(w ) B ɛ (h(a)). Detta bevisar påståendet om summan. Låt nu h = fg. Vi skriver då (fg)(x) (fg)(a) = f(x)(g(x) g(a)) + g(a)(f(x) f(a)). Detta är summan av två funktioner och båda har formen i lemma 3. Av detta lemma och vad vi redan visat följer att högerledet en kontinuerlig funktion. Därmed är satsen bevisad. Även sammansättning av kontinuerliga funktioner är kontinuerlig: Sats 3 Om g är kontinuerlig i a och f är kontinuerlig i b = g(a), så gäller att h(x) = f(g(x)) är kontinuerlig i a. Bevis. Tag en godtycklig omgivning U kring h(a). Eftersom f är kontinuerlig finns då en omgivning V till b sådant att f(v ) U. Eftersom g är kontinuerlig finns det vidare en omgivning W till a sådant att g(w ) V. Men då följer att h(w ) V, vilket var det vi skulle visa. Att f g och f/g blir kontinuerliga där de är definierade följer ur dessa satser, exemplet ovan och det faktum att f är kontinuerlig om och endast om f är kontinuerlig.

Om kontinuerliga funktioner 5 (12) 4 Satsen om mellanliggande värde och fullständigheten av de reella talen Så här långt kunde det mesta av diskussionen förts för funktioner definierade i ett godtyckligt R n, eftersom hela resonemanget bygger på triangelolikheten. Nu ska vi fokusera på några frågor rörande reellvärda funktioner av en variabel. Det vi ska börja med är en sats som man länge tog som självklar så självklar att den inte behövde ett bevis. Sats 4 (Satsen om mellanliggande värde) Om f är en kontinuerlig funktion på intervallet [a, b] och y är ett tal mellan f(a) och f(b), så finns ett x ]a, b[ sådant att f(x) = y. Är satsen självklar? Följande exempel ger en ledtråd. Exempel 3 Betrakta funktionen f(x) = x 2 2 definierad på intervallet [1, 2] men endast för rationella tal. Vi har då att f(1) = 1 < 0 och f(2) = 2 > 0, men finns det någon rationell lösning på ekvationen f(x) = 0 i intervallet ]1, 2[? Svaret är nej, vilket var känt redan av Pythagoras. Lösningen, talet 2 är inte ett rationell tal! Vi ser alltså att om satsen om mellanliggande värden ska vara sann, så måste det i någon mening finnas tillräckligt många reella tal. Detta för oss ner på frågan vad reella tal är för något - hur kan vi konstruera dem? Vi ska inte gå in på den frågan här 4, utan utgår ifrån den allmänt accepterade beskrivning av reella tal som oändliga decimalutvecklingar. Bland dessa karakteriseras de rationella talen av att deras decimalutveckling efter en viss punkt är periodisk. Det innebär speciellt att de rationella talen ligger tätt bland de reella talen i den meningen att vi kan approximera ett godtyckligt reellt tal med ett rationellt tal så att felet blir så litet vi vill det är bara en fråga om att ta en tillräckligt lång bit av dess decimalutveckling och slänga resten. Vi får då ett rationellt tal. Den viktiga egenskapen hos de reella talen är att de utgör en fullständig mängd i den meningen att om S är en icke-tom mängd av reella tal som är uppåt begränsad, så finns en minsta övre begränsning. Denna är entydigt bestämd och kallas supremum av S vilket vanligen skrivs sup S. Att det finns en minsta övre gräns till en begränsad mängd kallas axiomet om övre gräns. Om vi godtar det som en sanning kan vi nu bevisa satsen om mellanliggande värden. Bevis (av satsen om mellanliggande värden). Vi definierar S = {x [a, b]; f(x) y}. Detta är en icketom mängd reella tal, eftersom den innehåller a. Den är uppåt begränsad av b och har därför en minsta övre begränsning c = sup S. Vi ska visa att f(c) = y. Antag att f(c) > y. Av kontinuitetsskäl finns då en omgivning U runt c sådant att f(x) > y då x U. Ett z < c i U blir då också en övre begränsning för S eftersom ett x [z, c] är sådant att f(x) > y och ligger alltså inte i S. Men det motsäger antagandet att c är den minsta övre begränsningen. Antag nu istället att f(c) < y. Då vet vi att c < b och det finns omgivning U runt c sådant att f(x) < y i U. Ett x D sådant att c < x < b uppfyller då att f(x) < y. Men x / S eftersom c är en övre begränsning till S, vilket ger en motsägelse.

Om kontinuerliga funktioner 6 (12) En första tillämpning av denna sats ges av Sats 5 En kontinuerlig funktion som är injektiv på ett kompakt intervall [a, b] är strängt monoton. Bevis. För tre punkter x < y < z gäller att f(y) ligger mellan f(x) och f(z). Om det nämligen inte gäller, och vi antar att f(y) ligger närmare f(x) än f(z), så finns ett ξ ]y, z[ sådant att f(ξ) = f(x). Men det motsäger antagandet om injektivitet. Alltså måste f vara monoton. Satsen om mellanliggande värden innebär att en kontinuerlig funktion är en funktion av typen i följande definition. Definition En funktion f definierad på ett interval I sägs vara en Darboux-funktion om den antar mellanliggande värden i den meningen att det för varje a, b I och varje c mellan f(a) och f(b) finns ett ξ [a, b] sådant att f(ξ) = c. Anmärkning Ett annat sätt att uttrycka detta är att säga att f är en Darboux-funktion om och endast om det gäller att f(i) är ett intervall för alla intervall I. Vi har alltså att en kontinuerlig funktion är en Darboux-funktion, men omvändningen behöver inte gälla. Däremot har vi följande påstående. Sats 6 En monoton Darboux-funktion är kontinuerlig. Bevis. Vi ska visa att höger- och vänstergränsvärdena i en punkt (de som finns) alla är lika med f(a). Bevisen är likartade, så vi nöjer oss med att visa att lim x a f(x) = f(a) och vi antar (också utan inskränkning) att f är växande. Vi kan anta att definitionsområdet är ett intervall I (och a kan då inte vara vänster ändpunkt i detta, men väl höger) och antagandet är att f(i) är ett intervall. Låt nu J = I (, a). Då finns c = sup f(j) och eftersom f(i) är ett intervall måste vi ha att f(a) = c (annars skulle (c, f(a)) saknas från f(i).) Per definition finns till varje ɛ > 0 ett x 0 < a i I sådant att f(x 0 ) = f(a) ɛ, och eftersom f är växande gäller då att f(a) ɛ f(x) f(a) då x 0 < x < a. Men det är den precisa innebörden av att vänstergränsvärdet är f(a). Genom ett motsvarande resonemang omfattande infimum av J = I (a, ) får i att också högergränsvärdet är f(a), och alltså att f är kontinuerlig i a 5 Varför antar en kontinuerlig funktion sitt största värde? Vi kommer nu till frågan om varför en kontinuerlig funktion f av en variabel antar sitt största värde på ett kompakt intervall [a, b]. Detta innebär att om M = sup [a,b] f(x), så finns ett c i intervallet sådant att f(c) = M. Vi fokuserar på att visa att f antar sitt största värde. När vi väl vet att det är sant för alla kontinuerliga funktioner kan vi använda det resultatet på funktionen f för att få att alla kontinuerliga funktioner också antar sitt minsta värde. Vi börjar med följande

Om kontinuerliga funktioner 7 (12) Lemma 4 Mängden f([a, b]) är en uppåt begränsad mängd. Bevis. För det låter vi S bestå av de x [a, b] som är sådana att mängden f([a, x]) är uppåt begränsad. Det är en icke-tom mängd eftersom den innehåller a och vi sätter c = sup S. Antag att vi vet att f([a, c]) är begränsad. Vi ska då visa att c = b. Antag därför att c < b och tag ett x sådant att c < x < b. Då är f([c, x]) begränsad, så x S. Men detta är en motsägelse, så vi måste ha att c = b, vilket visar påståendet. För att visa att f([a, c]) är begränsad noterar vi först att eftersom f är kontinuelig kan vi ta en omgivning U till c sådant att f(u) B 1 (f(c)). Tag sedan ett z U sådant att z < c. Detta z är då inte en övre begränsning till S, så det finns ett x S sådant att z < x c. Men både f([a, x]) och f([x, c]) är delmängder av f(u) och alltså begränsade. Det följer att f([a, c]) är begränsad. Vi kan använda detta till att visa följande sats. Sats 7 En kontinuerlig funktion på ett kompakt intervall [a, b] antar sitt största värde. Bevis. Låt f vara en kontinuerlig funktion på [a, b] och sätt M = sup f([a, b]). Låt S bestå av alla x [a, b] sådana att sup f([a, x]) = M. Vi vet att S är en icke-tom mängd eftersom b S. Definiera c = sup S. Vi ska då visa att f(c) = M. Antag därför att f(c) < M. Eftersom f är kontinuerlig finns det en omgivning U till c sådan att f(u) B r (f(c)) där r = (M f(c))/2 och det gäller då att sup f(u) < M. Tag ett z U med z < c. Då är z inte en övre begränsning till S, så det finns något x S sådant att z < x c. Vi har då att sup f([x, b]) = M men sup f([x, c]) < M, så det måste gälla att c < b. Tag då ett y U sådant att c < y < b. Då gäller att sup f([x, y]) < M, och då måste sup f([y, b]) = M, så y S. Detta ger en motsägelse och satsen är bevisad. Ur detta får vi direkt följande viktiga observation Sats 8 (Rolles sats) Om f är kontinuerlig på intervallet [a, b] och deriverbar i dess inre och f(a) = f(b) = 0, så gäller att det finns ett ξ ]a, b[ sådant att f (ξ) = 0. Bevis. Om f inte är identiskt noll måste f ha en lokal extrempunkt i det inre eftersom den är kontinuerlig. Eftersom f är deriverbar där måste derivatan vara noll i en sådan punkt. Ur detta följer sedan direkt den viktiga medelvärdessatsen. Vi formulerar den i en lite mer allmän form. Den vanliga medelvärdessatsen fås genom att vi tar g(x) = x. Sats 9 (Cauchys medelvärdessats) Låt f, g vara kontinuerliga funktioner på [a, b] och deriverbara i det inre. Då finns minst ett ξ ]a, b[ sådant att (f(b) f(a))g (ξ) = f (ξ)(g(b) g(a)). Anmärkning Cauchys medelvärdessats har följande geometriska tolkning.

Om kontinuerliga funktioner 8 (12) Betrakta kurvstycket med parametrisering c(t) = (f(t), g(t)) där t genomlöper intervallet [a, b]. Denna börjar i c(a) = (f(a), g(a)) och slutar i c(b) = (f(b), g(b)). Vektorn som pekar från begynneslepunkt till slutpunkt är då u = (f(b) f(a), g(b) g(a)). Påståendet är nu att det finns ett ξ [a, b] sådant att tangentvektorn c (ξ) är parallell med u. Det rimliga i detta framgår av figuren till höger. Bevis. Betrakta funktionen (f(a), g(a)) (f (ξ), g (ξ)) (f(b), g(b)) h(x) = (f(b) f(a))(g(x) g(a)) (g(b) g(a))(f(x) f(a)). Villkoret på ξ i satsen är då ekvivalent med att h (ξ) = 0. Men att det finns sådana ξ följer av Rolles sats eftersom h(a) = h(b) = 0. Vi tar två exempel som illustrerar medelvärdessatsen. Först en för den vanliga, därefter en som använder Cauchys form. En annan, viktig, tillämpning av Cauchys medelvärdessats är L Hospitals regel för beräkning av gränsvärden med hjälp av derivator 5. Exempel 4 För alla x 0 gäller att e x > 1 + x. (Vi har likhet då x = 0.) Eftersom (e x ) = e x får vi ur medelvärdessatsen (med g(x) = x) att e x 1 = e ξ x där ξ ligger mellan 0 och x. Om x > 0 är e ξ > 1 och olikheten följer. Om x < 0 är e ξ < 1 och alltså e ξ x > x och olikheten följer i det fallet också. Från detta får vi olikheten ln(1 + x) < x x > 0. Varje y > 0 kan skrivas y = e x 1 för något x, nämligen x = ln(1 + y). Stoppar vi in det i olikheten ovan får vi just att y > ln(1 + y). Exempel 5 Vi ska visa att om p q > 0 och x 0 så gäller att x q 1 q p (xp 1). För att visa det låter vi f(x) = x q och g(x) = x p och använder Cauchys medelvärdessats med b = x, a = 1. Vi får då att x q 1 x p 1 = qξq 1 pξ p 1 = q p ξq p. Men ξ ligger mellan x och 1 så är högerledet q/p då x 1 men p/q då x 1. Eftersom x p 1 är positiv då x > 1 men negativ då x < 1 följer påståendet.

Om kontinuerliga funktioner 9 (12) Att en funktion är derivbar garanterar inte att derivatan är t.ex. kontinuerlig. Däremot gäller är en Darboux- Sats 10 Antag att f är deriverbar i ett intervall I. Då gäller att f funktion. Bevis. Vi tar två punkter a, b i intervallet och antar att f (a) < f (b). Tag ett c sådant att f (a) < c < f (b). Definiera nu g(x) = f(x) cx. Då gäller att g (a) = f (a) c < 0 men g (b) = f (b) c > 0, vilket betyder att g inte kan vara konstant i intervallet med ändpunkter i a, b. Det finns därför en punkt ξ mellan a och b sådan att g har sitt maximum i den punkten, och eftersom g är differentierbar i intervallet gäller att g (ξ) = 0. Men det betyder precis att f (ξ) = c. 6 Kontinuitet och lite topologi i R n Vårt mål är nu är att utvidga delar av diskussionen om kontinuerliga funktioner av en variabel och formulera några satser om kontinuerliga funktioner i flera variabler. Som ett första steg ser vi då att vi direkt har en generalisering av Bolzano-Weierstrass sats. Sats 11 (Bolzano-Weierstrass sats) Varje oändlig begränsad delmängd av R n har en hopningspunkt, och ur varje oändlig svit av punkter i delmängden kan vi välja ut en konvergent delsvit. Bevis. Vi hänvisar till motsvarande sats för reella tal 6 och tittar på en komponent i taget. Börja med att ta ut en delsvit som konvergerar i första koordinaten. Tag sedan ut en delsvit av denna som konvergerar i andra koordinaten. Och så vidare. Vi gör nu följande definition. Definition En delmängd K R n sägs vara kompakt om varje oändlig svit av element i K har en konvergent delsvit vars gränsvärde ligger i K. I R n har vi en alternativ karakterisering av kompakta mängder. För det första ser vi att den är begränsad, ty för en obegränsad mängd gäller att det finns en följd x k sådan att x k då k. För det andra ser vi att den måste vara sluten i den meningen att dess komplement är en öppen mängd. Om vi tar en godtycklig mängd F R n, så utgör dess slutna hölje F av F samt alla dess hopningspunkter, så en sluten mängd är en mängd vars slutna hölje är mängden själv. Vi har därför följande karakterisering av kompakta mängder i R n. Sats 12 En delmängd K R n är kompakt om och endast om K är begränsad och sluten. Vi har nu följande observation. Sats 13 Om K är kompakt och f : K R p, så gäller att f(k) är en kompakt delmängd av R p.

Om kontinuerliga funktioner 10 (12) Bevis. Om f(k) inte vore begränsad skulle det finnas en svit x n K sådan att f(x n ) då n. Men då K är kompakt gäller att x n har en konvergent delsvit x n x K. Motsägelse. Låt nu y vara en hopningspunkt till f(k). Då finns en svit f(k) y n = f(x n ) y, och sviten x n K har en konvergent delsvit x n, som konvergerar till x K. Eftersom f är kontinuerlig följer att f(x) = lim f(x n) = lim y n = y, vilket betyder att y f(k). Alltså är f(k) sluten, och eftersom den är begränsad blir den därmed en kompakt mängd. Anmärkning Däremot gäller inte nödvändigtvis att f 1 (K) är kompakt för alla kompakta mängder K. En kontinuerlig funktion för vilken det gäller kallas en proper funktion och innebär att f(x) endast då x. Ur detta får vi sedan Sats 14 En kontinuerlig funktion definierad på en kompakt mängd antar både sitt största och minsta värde. Bevis. Som tidigare räcker det att visa att det största värdet antas. Sätt M = sup{f(x); x K} och låt {x n } vara en oändlig svit sådan att f(x n ) M då n. Eftersom K är kompakt har den då en delsvit {x n} som konvergerar mot en punkt x 0 K. Eftersom f är kontinuerlig gäller då att f(x n) f(x 0 ) då n. Det följer att M = f(x 0 ) <, vilket betyder att f antar sitt största värde. En andra tillämpning är Sats 15 Låt K, K vara två kompakt delmängd av R n och f : K K en kontinuerlig och bijektiv funktion. Då gäller att den inversa funktionen f 1 också är kontinuerlig. Bevis. Vi ska visa att om y n y 0 så gäller att f 1 (y n ) f 1 (y 0 ). Sätt x n = f 1 (y n ). Enligt Bolzano-Weierstrass sats har denna en konvergent delsvit {x n} som konvergerar mot en punkt x 0. Eftersom f är kontinuerlig gäller då att f(x 0 ) = y 0 och alltså x 0 = f 1 (y 0 ). Det följer att varje konvergent delsvit av {f 1 (y n )} konvergerar mot f 1 (y 0 ), så den punkten är enda hopningspunkt till sviten {f 1 (y n )}. Härur följer konvergensen och därmed kontinuiteten. Vi avslutar avsnittet med följande sats, som är ekvivalent med Bolzano-Weierstrass sats. Sats 16 (Heine-Borels lemma) Låt K R n vara en delmängd sådan att det kring varje punkt x K finns en öppen omgivning U(x). Då gäller att K är kompakt om och endast om det finns en ändlig delövertäckning K m 1 U(x i). Bevis. Antag först att K är kompakt, alltså sluten och begränsad. Då gäller att det finns ett kompakt n-dimensionellt intervall I sådant att K I. Om vi då först visar att påståendet är sant för I, så följer att det är sant för K därigenom att vi kompletterar den givna övertäckningen av K med I(x) = K c då x / K. Finns det då en ändlig övertäckning av I så finns det också en av K. Att påståendet är sant för I görs på precis samma sätt som i en variabel med ett motsägelseargument i vilket man delar in det n-dimensionella intervallet I i 2 n delinterval av vilka minst ett inte har en ändlig övertäckning. Välj ut ett och fortsätt processen. Då konvergerar dessa mot en punkt som blir en hopningspunkt.

Om kontinuerliga funktioner 11 (12) Bevis. Heine-Borels lemma utgör en alternativ karakterisering av kompakta mängder. Faktum är att i allmänna topologiska sammanhang används denna formulering som definitionen av vad en kompakt mängd är. 7 Likformig kontinuitet Enligt vår definition är en funktion kontinuerlig i ett område om den är kontinuerlig i varje punkt i området. Kontinuitet är alltså en punktvis egenskap. I detta ligger att det δ som hör till ett givet ɛ kommer att bero inte bara på ɛ utan också vilken punkt vi väljer. Exempel 6 Med f(x) = 1/x och a > 0 har att 1 x 1 a = 1 x a. xa Vi ser att även om vi väljer x a litet, så behöver inte högerledet här vara litet om a är litet. I olika sammanhang behöver man dock kunna ta δ oberoende av a, vilket gör att man inför följande begrepp. Definition En funktion f sägs vara likformigt kontinuerlig på S R om det för varje ɛ > 0 finns ett δ > 0 sådant att f(x) f(y) < ɛ för alla par x, y S sådana att x y < δ. Exempel 7 Funktionen x x är likformigt kontinuerlig på [0, [. Vi har att x + y x + y + 2 xy = ( x + y) 2 vilket betyder att x + y x + y. Det följer att om x y så har vi att och motsvarande då x y. Det följer att så δ = ɛ 2 duger. x y = y + (x y) y x y x y ɛ 2 x y < ɛ, Exempel 8 Betrakta nu x x 2 på intervallet [0, [. Om x y har vi då att x 2 y 2 = x + y x y 2y x y, så även om x y är liten, så kan skillnaden x 2 y 2 vara stor om bara y är tillräckligt stor. Att dessa funktioner inte är likformigt kontinuerliga beror bl.a. på att intervallet vi tittar på dem är oändligt. Vi har nämligen Sats 17 (Heine) En funktion som är kontinuerlig i varje punkt i en kompakt mängd är likformigt kontinuerlig där.

Om kontinuerliga funktioner 12 (12) Bevis. Villkoret är ekvivalent med att Vi inför därför mängden f(x) f(y) ɛ och x, y K x y δ. M ɛ = {(x, y) K K; f(x) f(y) ɛ}. Att denna är kompakt följer av att den är en sluten delmängd av den kompakta mängden K K. För att se att den är sluten, låt (a, b) vara hopningpunkt till en följd {(x k, y k }. Då följer att komponenterna är hopningspunkter för motsvarande följder, och ligger därför i K. Vidare gäller att f(x k ) f(y k ) ɛ för alla k, och eftersom f är kontinuerlig följer att (a, b) M ɛ. Betrakta nu funktionen g(x, y) = x y, som är kontinuerlig på M ɛ, och därför antar sitt minsta värde δ där. Vi måste ha δ > 0, ty x y för alla (x, y) i M ɛ. Detta visar att det för varje ɛ > 0 finns ett δ > 0 sådant att x y δ om (x, y) M ɛ, vilket är precis det första påståendet i beviset. Noteringar 1. Se t.ex. kapitlet Akilles och sköldpaddan en introduktion till gränsvärden 2. Lämnas som övning 3. Tolka x, y som vektorer. När vi går ifrån origo till den punkt som defineras av x + y så ges kortaste avståndet av x + y. Om vi istället går från origo till den punkt som definieras av x och därifrån till den punkt som vi kommer till med vektorn y, så har vi gått sträckan x + y, och den är längre. 4. Detta diskuteras lite mer ingående i kapitlet Om de reella talen 5. Se kapitlet Om gränsvärden och L Hospitals regel 6. Se kapitlet Om de reella talen.