Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg oktober 009 kl. 4.00-8.00 lokal: Johanneberg Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 808 Lösningar: Anslås torsdag okt. på institutionens anslagstavla, plan 5. Resultat: Rapporteras in i Ladok (anonyma tentor). Granskning: Onsdag 6 nov. kl..00-3.00, rum 335. Plan 3 i ED-huset (Lunnerummet), korridor parallell med Hörsalsvägen. Bedömning: En korrekt och välmotiverad lösning med ett tydligt angivet svar ger full poäng. Hjälpmedel Typgodkänd miniräknare Beta Mathematics Handbook Fyra sidor med egna anteckningar Betygsgränser Poäng 0-0 -5 6-0 -5 Betyg U 3 4 5 Lycka till!
SSY080 009-0-. Ett kontinuerligt system beskrivs av ekvationen y(t) = x(t + ) sin(ωt + ), med ω 0 där x(t) är systemets insignal och y(t) är dess utsignal. a) Är systemet tidsinvariant? Motivering krävs. (p) b) Är systemet linjärt? Motivering krävs. (p) c) Är systemet kausalt? Motivering krävs. (p) d) Är systemet stabilt? Motivering krävs. (p). Det diskreta LTI-systemet H i figur har ett impulssvar enligt figur. De signalvärden h[n] som ej visas i figuren är noll. Systemet beskriver en variant på en kantdetektor där insignalen x e [n] till systemet utgörs av en summa av en känd signal x[n] samt en möjlig störning e[n]. a) Beräkna utsignalen y[n] då insignalen x[n] ser ut som i figur 3. De signalvärden x[n] som ej visas i figuren är noll. Låt störsignalen e[n] = 0, n. (3p) b) Upprepa delproblem a) ovan men låt nu störsignalen e[n] = δ[n + ]. (p) e[n] x[n] x e [n] H y[n] Figur : LTI-system (kantdetektor)
SSY080 009-0-.5 0.5 0 h[n] 0.5.5.5 3 4 3 0 3 4 Figur : Impulssvar h[n] n x[n] 0 4 3 0 3 4 Figur 3: Insignal x[n] n 3
SSY080 009-0- 3. Två kontinuerliga LTI-system kopplas ihop enligt figur 4. System H beskrivs med följande differentialekvation dw(t) dt + 6w(t) = dx(t) dt och system H har impulssvaret h (t) = e 0t u(t). + 5x(t) Hela systemet har insignal x(t) och utsignal y(t). a) Beräkna hela systemets frekvenssvar H(jω) = Y (jω) X(jω). (p) b) Beräkna hela systemets impulssvar h(t). (p) c) Teckna differentialekvationen som beskriver sambandet mellan hela systemets utsignal y(t) och dess insignal x(t). (p) x(t) H w(t) H y(t) Figur 4: Kaskadkopplat system 4. Överföringsfunktionen till ett diskret och kausalt system tecknas som H(z) = az z a a) Beräkna systemets impulssvar. (4p) b) För vilka värden på konstanten a är systemet stabilt? (p) 4
SSY080 009-0- 5. En elektrisk krets består av en induktans och en resistans i serie enligt figur 5. Insignalen v (t) är en spänning i Volt och visas i figur 6. (Spänningen v (t) alstras av en spänningsgenerator.) Spänningen över resistansen v (t) betraktas som systemets utsignal. Eftersom insignalen är kontinuerlig och periodisk kan den beskrivas med en Fourierserie enligt v (t) = c k e jkω0t. Kravet är att amplituden på de fyra första sinusformade signalerna i insignalen får ej minska med mer än 0% då kretsen passeras. Med andra ord, om utsignalens Fourierseriekoefficienter betecknas med c k skall c k 0.8 c k för de fyra första nollskilda Fourierseriekoefficienterna. Beräkna möjliga värden på induktansen L. R = 70 Ω. Insignalens periodtid T = π 0 3 s. Kretsekvationer: v (t) = v L (t) + v (t), v (t) = i(t)r, v L (t) = L di(t) dt + v (t) _ i L + v L (t) - R + v (t) _ Figur 5: LC-krets 0 T 0 T T t Figur 6: Fyrkantssignal, v (t). 5
Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg januari 00 kl. 4.00-8.00 lokal: M Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 808 Lösningar: Anslås onsdag 3 jan. på institutionens anslagstavla, plan 5. Resultat: Rapporteras in i Ladok (anonyma tentor). Granskning: Måndag 5 jan. kl..30-3.30, rum 335. Plan 3 i ED-huset (Lunnerummet), korridor parallell med Hörsalsvägen. Bedömning: En korrekt och välmotiverad lösning med ett tydligt angivet svar ger full poäng. Hjälpmedel Typgodkänd miniräknare Beta Mathematics Handbook Fyra sidor med egna anteckningar Betygsgränser Poäng 0-0 -5 6-0 -5 Betyg U 3 4 5 Lycka till!
SSY080 00-0-. Två diskreta LTI-system är sammankopplade enligt figur. Impulssvaren till de två systemen ges av h [n] = δ[n ], h [n] = a n (u[n] u[n 4]). Beräkna utsignalen y[n] för insignalen x[n] enligt figur. De signalvärden som ej finns med i figuren är noll. (5p) x[n] h [n] h [n] y[n] Figur : Två diskreta LTI-system 0.5 x[n] 0 0.5 3 0 3 4 n Figur : Insignal x[n]. Stegsvaret till ett kontinuerligt LTI-system har följande utseende y s (t) = (7 8.4e t +.4e t )u(t). a) Beräkna systemets impulssvar. (3p) b) Ange poler och nollställen till systemets överföringsfunktion. (p) c) Vilken maximal förstärkning har systemets frekvenssvar? (p)
SSY080 00-0- 3. Ett kausalt och diskret LTI-system kan beskrivas med följande överföringsfunktion H(z) = + 7 6 z + 3 z. Beräkna systemets utsignal y[n] då insignalen är (5p) x[n] = ( ) n u[n]. 4. En hemmabyggd signalgenerator kan leverera olika kontinuerliga signaler. Signalernas frekvensinnehåll är dock alltid < 0π r/s. Dessa signaler samplas för vidare behandling i ett diskret system. a) Ange ett lämpligt värde/intervall för val av samplingsfrekvens. Motivering krävs. (p) b) Antag att den kontinuerliga signalen vid ett tillfälle är x(t) = cos(π(0.4)t) + cos(π(0.45)t). Beräkna hur länge denna signal behöver samplas för att man tydligt skall kunna detektera de två sinusformade komponenterna i signalen x. Frekvensanalys görs med hjälp av en DFT (X[k]) beräkning. Med tydligt menas att X[k ] och X[k ] är två tydliga toppar i beloppet av signalens DFT och skillnaden mellan index k och index k är minst 0. Välj samplingsfrekvens enligt uppgift a). (3p) 3
SSY080 00-0- 5. Ett kontinuerligt system har frekvenssvaret H(jω) = j ωt π (j ωt π ) + j ωt π + Insignalen till systemet utgörs av en periodisk triangelvåg med perioden T enligt figur 3. Systemets utsignal kan skrivas som y(t) = k=,3,5, A k cos(kω 0 t + ϕ k ) a) Beräkna parametern ω 0. (p) b) Bestäm amplituderna A k för k =, 3, 5. (p) c) Bestäm fasvinklarna ϕ k för k =, 3, 5. (p) 0,5 x(t) 0 0,5 T/ 0 T/ t Figur 3: Del av periodisk signal x(t). 4
Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg 5 augusti 00 kl. 08.30-.30 sal: M Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 808 Lösningar: Anslås torsdag 6 augusti på institutionens anslagstavla, plan 5. Resultat: Rapporteras in i Ladok Granskning: Onsdag 8 sept kl..00-3.30, rum 335 (Lunnerummet) på plan 3, korridor parallell med Hörsalsvägen. Bedömning: En korrekt och välmotiverad lösning med ett tydligt angivet svar ger full poäng. Hjälpmedel Typgodkänd miniräknare Beta Mathematics Handbook Fyra sidor med egna anteckningar Betygsgränser Poäng 0-0 -5 6-0 -5 Betyg U 3 4 5 Lycka till!
SSY080 00-08-5. a) Den kontinuerliga signalen x(t) har formen av en sågtandspuls enligt figur. Gör en tydlig skiss över signalen y(t) = x(0.5(t + )) x(t 3). (p) x(t) 0.5 0 0 t Figur : Signalen x(t) b) Beräkna den fundamentala perioden hos den diskreta signalen ( ) ( 9πn 6πn x[n] = cos + 3 sin 5 + π ) 7 (3p). Den kontinuerligta signalen x(t) = sin(ω t) har Fouriertransformen X(jω) = π j [δ(ω ω ) δ(ω + ω )]. Signalen samplas med samplingsvinkelfrekvensen ω s = 8 ω r/s. (Antag ideal sampling; multiplikation 3 med ett impulståg, x p (t) = x(t)p(t) där p(t) = Σ k= δ(t kt ) och T = π ) ω s a) Skissa absolutbeloppet av den samplade signalens Fouriertransform, X p (jω). (p) b) Enligt beskrivningen av ideal rekonstruktion filtreras signalen x p (t) i ett idealt lågpassfilter med förstärkningen T och brytvinkelfrekvensen ω 0 = ω s r/s. Vilken signal erhålls efter filtreringen? Motivera väl! (3p)
SSY080 00-08-5 3. Två kontinuerliga LTI-system är kopplade i serie enligt figur. Beräkna systemets utsignal y(t) då insignalen x(t) = 6e 3t u(t). Följande information beskriver de två delsystemen: System H har en överföringsfunktion lika med H (s) = 4 s +. System H har ett stegsvar som är y = ( e 5t )u(t) (5p) x(t) H H y(t) Figur : Kontinuerliga system 4. Ett diskret LTI-system har impulssvaret h[n] = ( ) n u[n] + 3 ( ) (n ) u[n ] (a) Beräkna systemets överföringsfunktion H(z) (3p) (b) Teckna systemets differensekvation där y[n] är systemets utsignal och x[n] dess insignal. (p) 3
SSY080 00-08-5 5. Diskret Fouriertransform (DFT) X[k] av signalen x[n] beräknas som X[k] = N n=0 x[n]e j π N kn, k = 0,,,, N Utifrån signalens DFT kan signalen återskapas enligt x[n] = N N k=0 X[k]e j π N kn, n = 0,,,, N (a) Beräkna och gör en skiss av den Diskreta Fouriertransformen X a [k] till den komplexa signalen x a [n] = e j6πn/8, n = 0,,,..., 7. (p) (b) Beräkna och gör en skiss av den Diskreta Fouriertransformen X b [k] till den komplexa signalen x b [n] = e j4πn/8, n = 0,,,..., 7. (p) (c) En kontinuerlig signal samplas med sampelintervallet T = 0 ms och N = 56 sampelvärden erhålls. Vilken frekvensupplösning har signalens DFT? Ange svaret i rad/s. (p) 4