Föreläsning 7 Hambley avsnitt 5.-4 Tidsharmoniska (sinusformade) signaler är oerhört betydelsefulla inom de flesta typer av kommunikationssystem. adio, T, mobiltelefoner, kabel-t, bredband till datorer mm, utnyttjar sinusformade signaler. nformationen överförs genom att modulera amplitud, frekvens eller fas. Det gäller både digitala och analoga system. äxelström i tidsdomän [5.] För att beskriva den tidsharmoniska signalen = 0 cos(ωt φ) används 0 : φ : ω : T : amplitud fasvinkel (ibland kallad fas) vinkelfrekvens(ω = πf) perioid(t = /f) Exempel: Hushållsel För = 30 cos(00 π t 0.5) är 0 = 30 35, φ = 0.5 rad, ω = 00 π rad/s, f = 50 Hz, T = 0.0 s m 300 00 00-0.0-0.0 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05-00 -00-300 T t äxelström i frekvensdomän [5.] Den metod som används för att analysera tidsharmoniska signaler i elektriska kretsar är jω-metoden. Den utnyttjar komplexa representationer av de tidsharmoniska spänningarna och strömmarna. Fördelen med metoden är att alla tidsderivator och tidsintegraler försvinner. Kretsar som hade lett till komplicerade differentialekvationer för de tidsberoende spänningarna och strömmarna ger algebraiska ekvationer för de komplexa spänningarna och strömmarna. Bakgrund till jω-metoden Eulers formel för komplexa tal säger att om A och α är reella tal så gäller Ae jα = A(cos α j sin α) A cosα = e{ae jα } Det innebär att en tidsharmonisk signal med spänning = 0 cos(ωt φ) och ström i(t) = 0 cos(ωt ψ) kan skrivas = e { 0 e j(ωtφ)} = e { 0 e jφ e jωt)} = e { e jωt} i(t) = e { 0 e j(ωtψ)} = e { 0 e jψ e jωt)} = e { e jωt} (0.)
där = 0 e jφ och = 0 e jψ. För en kondensator gäller i(t) = C d och därmed i(t) = C d = C d e { e jωt} } = Ce { dejωt = e { e jωt} För en induktans gäller = L di(t) och därmed = L di(t) = e { jωle jωt} För en resistans gäller fortfarande Ohms lag, dvs = i(t) = e { e jωt}, De komplexa talen och kallas för den komplexa spänningen och den komplexa strömmen. Sambanden mellan komplexa strömmar och spänningar för resistans, kapacitans och induktans är därmed = = jωl = för resistans för induktans L för kapacitans C (0.) mpedanser Sambandet mellan en komplex spänning och en komplex ström kan alltid skrivas som = Z där det komplexa talet Z kallas för impedans. mpedans ser alltså ut som en komplex resistans. mpedanserna för resistansen, induktansen och kapacitansen är, enligt ekvation (0.) resistor Z = jωl induktans kapacitans Strömmen skall som vanligt gå in vid och ut vid -, som i figuren nedan
3 Tidsdomän d jω Frekvensdomän i(t) - = i(t) - = i(t) L - = L di(t) - jωl = jωl i(t) - C C d = i(t) - = Kommentar: eglerna för seriekoppling och parallellkoppling av resistanser gäller även för impedanser. Två seriekopplade impedanser Z och Z ger impedansen Z Z. Två parallellkopplade impedanser ger impedansen Z = Z Z Z Z. På samma sätt kommer alla andra metoder som gäller för resistiva nät också att gälla för de komplexa spänningarna och strömmarna, t.ex., nodanalys, spänningsdelning, strömgrening och Theveninekvivalenter. jω-metoden [5.4] nför komplexa spänningar och strömmar enligt transformationsregeln i ekvation (0.) = 0 cos(ωt φ) = 0 e jφ Notera att absolutbeloppet = 0 är amplituden för sinussignalen och argumentet arg{ } = φ är fasvinkeln relativt cos ωt. äkna med de komplexa spänningarna och strömmarna på exakt samma sätt som för resistiva nät. stället för Ohms lag v = i används = Z. När man räknat färdigt och fått fram en komplex spänning eller ström kan motsvarande tidsuttryck bestämmas. Det görs genom att först skriva den komplexa spänningen (eller strömmen) på polär form, d.v.s. = e jarg{ }. Tidsuttrycket ges då av = cos(ωt arg{ }) (0.3)
4 Phasors [5.] Hambley, och en del andra böcker, inför begreppet phasor. En phasor motsvarar den komplexa strömmen eller spänningen. stället för att representera den tidsharmoniska signalen = cos(ωtφ) med det komplexa talet = e jφ använder Hambley phasor-representationen = φ. Det markerar på ett tydligt sätt att amplituden är och fasen relativt cosωt är φ. Phasors är inte ett vedertaget begrepp inom andra områden av fysiken där jω-metoden används. Av denna anledning används inte phasors i kursen. mpedans, admittans, resistans och reaktans [5.3] Sambandet mellan den komplexa spänningen och strömmen är som sagt = Z där Z = för resistansen, Z = jωl för induktansen och Z = / för kapacitansen. Sambandet = Z gäller även för flera kretskomponenter. Följande gäller för impedansen för en passiv tvåpol (dvs en tvåpol som saknar källor, eller där alla oberoende källor är nollställda): = Z Z = jx = impedansen = e{z} = resistansen X = m{z} = reaktansen - Z = Y Y = G jb = admittansen G = e{y } = konduktansen B = m{y } = susceptansen Begreppen impedans, resistans och reaktans är mycket vanliga och dessa skall alla kunna. Exempel: C krets med tidsharmonisk källa C-kretsen till höger drivs av spänningskällan med v in (t) = 0 cos(ωt). Bestäm spänningen som funktion av tiden. v in (t) C Lösning i använder jω-metoden för att bestämma strömmarna. Detta sker i tre steg
5 : Transformation till frekvensdomänen Spänningarna v in (t) och motsvaras i frekvensdomänen av in och där v in (t) = e{ in e jωt } = 0 cos(ωt) = e{ 0 e jωt } in = 0 = e{ e jωt } Kretsschemat i frekvensdomänen ges i figuren till höger. Observera att man anger impedansen för kapacitansen. in : Bestämning av den komplexa spänningen. Spänningsdelning i frekvensdomänen ger = 0 = 0 jωc Den komplexa spänningen skrivs på polär form för att kunna transformeras tillbaka till tidsdomänen (se häftet om komplexa tal) = 0 arctan(ωc) ej 3: Transformation tillbaka till tidsdomänen. Tidsdomänstorheterna erhålls enligt definitionen ovan. Detta ger = e{ e jωt } = e{ ej arctan(ωc) e jωt } = = 0 0 e{ej(ωtarctan(ωc)) } 0 cos(ωt arctan(ωc)) i kan snabba upp punkt 3 genom att utnyttja att en komplex spänning = e jφ ger den tidsberoende spänningen = cos(ωt φ). Absolutbeloppet av är = 0 och argumentet är φ = arctan(ωc). (ωc) Observera att det är viktigt att kunna transformera komplexa tal från rektangulär till polär form. Om du känner dig osäker bör du repetera det som står i häftet om komplexa tal.
6 maginärdelskonventionen (kursivt) När man transformerar mellan tids- och frekvensplanet genom att använda regeln i ekvation (0.3) använder man den så kallade realdelskonventionen. Om en given ström eller spänning har tidsberoendet sinωt är det lämpligt att ha sinωt som riktfas. Denna konvention kallas imaginärdelskonventionen och ges av = m{ e jωt } och i(t) = m{e jωt } där och är komplexvärderna till ögonblicksvärdena och i(t). Tidssignalen = 0 sin(ωt φ) transformeras på följande sätt: = m{ e jωt } = 0 sin(ωt φ) = m{ 0 e j(ωtφ) } = m{ 0 e jφ e jωt } = 0 e jφ eal- och imaginärdelskonventionen skiljer sig endast åt vid tranformationen mellan tids- och frekvensplanet. Kommentar: Hambley använder endast realdelskonventionen. Exempel Bestäm strömmen i (t) då i(t) = 0 sin(ωt φ). i(t) C i (t) Lösning i använder jω-metoden för att bestämma strömmen. Detta sker i tre steg : Transformation till frekvensdomänen (jω-domänen eller jω-planet). maginärdelskonventionen ger strömmarna i frekvensdomänen i(t) = m{e jωt } = 0 sin(ωt φ) = m{ 0 e j(ωtφ) } = m{ 0 e jφ e jωt } = 0 e jφ i (t) = m{ e jωt } Den ekvivalenta frekvensdomänkretsen ges i figuren till höger.
7 : Beräkning av strömmen i frekvensdomänen (komplexvärden). Strömgrening ger = = jωc = 0e jφ jωc i skriver komplexvärderna på polär form för att kunna transformera tillbaka till tidsdomänen = 0e jφ jωc = 0 e jφ e jarctan(ωc) = 0 ej(φarctan(ωc)) 3: Transformation tillbaka till tidsdomänen. Tidsdomänstorheterna erhålls m.h.a. m-konventionen enligt definitionen ovan. Detta ger i (t) = m{ e jωt } = m{ 0e j(φarctan(ωc)) e jωt } = 0 m{e j(ωtφarctan(ωc)) } = 0 sin(ωt φ arctan(ωc)) i kan snabba upp punkt och 3 genom att utnytta att en spänning = 0 sin(ωt φ) ger, med imaginärdelskonventionen, den komplexa spänningen = 0 e jφ och att den komplexa strömmen = e jα ger den tidsberoende strömmen i(t) = sin(ωt α).