Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att bli godkänd på modulen krävs rätt svar på minst två av dessa frågor Den som har godkänd modul från lappskrivning behöver inte göra motsvarande moduluppgift nedan Den som har två godkända moduler, från lappskrivning eller tentamen, har möjlighet att komplettera Del II är avsedd för högre betyg Varje uppgift i del II ger maximalt 4 poäng För betyg A (respektive B, C, D krävs 3 godkända moduler samt 15 (respektive 11, 7, 3 poäng på del II Hjälpmedel: Det enda hjälpmedlet vid tentamen är formelsamlingen BETA: Mathematics Handbook av Råde och Westergren OBS: För full poäng krävs fullständiga, tydligt presenterade och väl motiverade lösningar som är lätta att följa Markera dina svar tydligt Samtliga svar ska vara på reell form Del I Modul 1 I denna uppgift är a, b och c oberoende av varandra a Bestäm de kritiska punkterna till ekvationen dy/dx = y 2 y samt klassificera dem med avseende på stabilitet/instabilitet b Lös begynnelesevärdesproblemet dy dx = x, y( = 1 y c Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen y + 2y = 1 Lösning:a Vi har att göra med en autonom exkvation De kritiska punkterna ges av = y 2 y = y(y 1, dvs y = och y = 1 Teckenanalys ger att y(y 1 < för < y < 1, och y(y 1 > för y < och för y > 1 Således får vi följande faslinje: > ( < (1 > Vi drar slutsatsen att y = är en stabil kritisk punkt, och y = 1 är instabil b Ekvationen är separabel och kan skrivas på formen ydy = xdx Integrering ger y 2 /2 = x 2 /2 + C, som kan skrivas y 2 = x 2 + a, där a = 2C är en konstant Begynnelsevillkoret (y( = 1 ger 1 = a, dvs a = 1 Således har vi y 2 = 1 x 2 Eftersom y( = 1 > väljer vi den positiva roten, och får y = 1 x 2, 1 < x < 1 c Detta är en linjär ekvation Ekvationen är redan på standardform, och den integrerande faktorn är e 2dx = e 2x Multiplicerar vi ekvationen med denna faktor fås y e 2x + ye 2x = e 2x, som kan skrivas på formen d ye 2x = e 2x dx Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x Här är C en godtycklig konstant 1
2 Modul 2 Betrakta differentialekvationen x 2 y 2x(1 + xy + 2(1 + xy =, x > a Det är lätt att se att y = x är en lösning till ekvationen ovan (behöver ej verifieras Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen b Bestäm två linjärt oberoende lösningar y 1, y 2 till ekvationen (på intervallet x >, samt verifiera att de verkligen är linjärt oberoende c Det är lätt att se att y p (x = 1 är en lösning till den inhomogena ekvationen x 2 y 2x(1 + xy + 2(1 + xy = 2x + 2, x > Bestäm den lösning till denna inhomogena ekvation som uppfyller begynnelsevillkoren y(1 =, y (1 = 1 Lösning: a Vi ser att y 1 = x är en lösning Vi använder reduktion av ordning, dvs vi söker en lösning y på formen y = uy 1 = ux där u = u(x ska bestämmas Derivering ger y = u + u x och y = 2u + u x Insättning i ekvationen ger (efter lite förenkling x 3 u 2x 3 u = Eftersom x > kan vi dividera med x 3 och får då u 2u = Låt v = u Då kan denna ekvation skrivas v 2v = Lösningen till denna ekvation är v = Ce 2x, vilket ger oss u = c 1 e 2x + c 2 där c 1, c 2 är konstanter Således är y = ux = c 1 xe 2x + c 2 x en lösning till ekvationen för varje val av konstanterna c 1, c 2 Från teorin vet vi att detta måste vara den allmänna lösningen (Eftersom y = x och y = xe 2x är linjärt oberoende på intervallet x >, se b nedan, så vet vi att den allmänna lösningen måste vara y = c 1 xe 2x + c 2 x b Vi såg ovan att y 1 = x och y 2 = xe 2x är två lösningar till ekvationen Vi visar nu att de är linjärt oberoende på intervallet x > genom att verifiera att Wronskideterminanten är skild från noll där Vi har W = y 1 y 2 y 1 y = x xe 2x 1 2xe 2x + e 2x = 2x2 e 2x, x > 2 c Eftersom y h = c 1 xe 2x + c 2 x är den allmänna lösning till den motsvarande homogena ekvationen, och y p (x = 1 är en partikulärlösning, vet vi att den allmänna lösningen till den inhomogena ekvationen är Begynnelesevillkoren ger y = y h + y p = c 1 xe 2x + c 2 x + 1 = y(1 =c 1 e 2 + c 2 + 1 1 = y (1 =c 1 (2e 2 + e 2 + c 2 som ger oss c 1 = e 2 och c 2 = 2 Således är y = xe 2x 2 2x + 1 den sökta lösningen till begynnelsevärdesproblemet
Modul 3 Låt f(x = {, π < x < π, x < π a Beräkna f:s Fourierkoefficienter b Använd resultatet från a för att bestämma f:s Fourierserie c Skissa Fourierseriens summa på intervallet [ 3π, 3π] Motivera svaret genom att referera till lämplig sats Lösning:a Eftersom funktionen är definierad på intervallet ( π, π så ges Fourierkoefficienterna av följande: π a = 1 f(xdx = 1 πdx = π π π π a n = 1 π π [ ] π sin(nx f(x cos(nxdx = cos(nxdx = = sin(nπ = för alla n = 1, 2, 3, π π n b n = 1 π π [ ] π cos(nx f(x sin(nxdx = sin(nxdx = = 1 ( 1n π π n n b Fourierserien ges av a π 2 + (a n cos(nx + b n sin(nx = π 2 + 1 ( 1 n sin(nx n n=1 n=1 Eftersom 1 ( 1 n = för alla jämna n kan serien skrivas π 2 + 2 sin((2k + 1x 2k + 1 k= c Eftersom f och f är styckvis kontinuerliga så vet vi från sats 1121 att Fourierserien konvergerar mot (f(x+ + f(x /2 i varje punkt π < x < π Vidare vet vi att Fourierserien är 2π-periodisk Eftersom f är kontinuerlig i intervallet (, π och ( π,, så följer att Fourierseriens summa är f(x = π för < x < π, och f(x = för π < x < Vidare, 2π-perodiciteten ger att summan är π för 2π < x < π och 2π < x < 3π, och för 3π < x < 2π och π < x < 2π Slutligen, i punkterna 2π, π,, π, 2π så är seriens summa (π + /2 = π/2 Rita figur Del II 3 4 Lös integralekvationen y(t + t (t τy(τdτ = sin 2t Lösning: Vi använder Laplacetransform Notera att vi har att göra med en faltning i vänsterledet, nämligen faltningen av y(t och g(t = t Transformering ger Y (s + 1 s 2 Y (s = 2 s 2 + 4
4 Detta ger 2s 2 Y (s = (s 2 + 1(s 2 + 4 Partialbråksuppdelning ger att Inverstransform ger nu 5 Betrakta systemet 2s 2 (s 2 + 1(s 2 + 4 = 8 3(s 2 + 4 2 3(s 2 + 1 y(t = 4 3 sin 2t 2 sin t 3 x 1 =x 1 5x 2 x 2 =x 1 x 2 a Bestäm en fundamentalmatris till systemet (2p b Lös systemet under begynnelsevillkoret x 1 ( = 1, x 2 ( = (1p c Är den kritiska punkten (, stabil eller instabil? (1p Lösning:a Om vi låter X(t = x1 (t och A = x 2 (t 1 5 1 1 så kan systemet skrivas X = AX Matrisen A har egenvärdena λ = ±2i Vidare, v = ( 5 1 2i är en (komplex egenvektor svarande mot egenvärdet λ = 2i Alltså vet vet vi att 5 X = ve 2it = e 2it 1 2i är en komplex lösning Vidare vet vi att real- och imaginärdelen av denna lösning är två reella och linjärt oberoende lösningar Vi har ( ( 5 5 e 2it 5 cos 2t 5 sin 2t = (cos 2t+i sin 2t = +i 1 2i 1 2i cos 2t + 2 sin 2t sin 2t 2 cos 2t Således, ( ( 5 cos 2t 5 sin 2t X 1 =, X 2 = cos 2t + 2 sin 2t sin 2t 2 cos 2t är två linjärt oberoende (reella lösningar Detta betyder att Φ(t = ( X 1 (t X 2 (t ( 5 cos 2t 5 sin 2t = cos 2t + 2 sin 2t sin 2t 2 cos 2t är en fundamentalmatris till systemet b Eftersom X 1 och X 2 är linjärt oberoende så kan den allmänna lösningen till systemet kan skrivas X = c 1 X 1 + c 2 X 2 = c 1 ( ( 5 cos 2t + c 2 cos 2t + 2 sin 2t 5 sin 2t sin 2t 2 cos 2t
5 Begynnelsevillkoret ger 1 5 = X( = c 1 + c 2 1 2 Detta ger att c 1 = 1/5 och c 2 = 1/1 Således är X = 1 ( 5 cos 2t + 1 ( 5 sin 2t = 5 cos 2t + 2 sin 2t 1 sin 2t 2 cos 2t den sökta lösningen ( cos 2t + sin 2t 2 sin 2t 2 c Eftersom systemet är linjärt, och matrisen A har rent imaginära egenvärden, så vet vi från teorin (Sats 121 att origo är ett centrum, dvs (, är stabil (men inte asymptotiskt stabil Detta ser vi också från formen på den allmänna lösningen i b ovan; samtliga lösningar är periodiska, och ju mindre c 1, c 2, desto närmare origo rör sig (x 1 (t, x 2 (t 6 I denna uppgift är a och b oberoende av varandra a Betrakta det autonoma systemet (2p x = 1 y y = x 2 y 2 Bestäm samtliga kritiska punkter, samt avgör om de är stabila eller instabila b Genom att skiva om ekvationen x + 2x 3 = som ett första ordningens autonomt system, använd lämplig metod för att avgöra om den kritiska punkten (, är stabil eller instabil (2p Lösning: a De kritiska punkterna ges av 1 y = x 2 y 2 = Första ekvationen ger y = 1 Insatt i den andra ekvationen fås x 2 1 = vilket ger x = ±1 Alltså, (±1, 1 är de två kritiska punkterna Vi undersöker stabiliteten hos dessa punkter med hjälp av linjarisering Systemet ger oss Jacobianen 1 J(x, y = 2x 2y I den kritiska punkten (1, 1 har vi 1 J(1, 1 = 2 2 som har egenvärdena λ = 1 ± i Eftersom realdelen är negativ så följer att den kritiska punkten (1, 1 är stabil I den kritiska punkten ( 1, 1 har vi 1 J( 1, 1 = 2 2 som har egenvärdena λ = 1 ± 3 Eftersom 3 1 > följer det att den kritiska punkten ( 1, 1 är instabil
6 b Om vi låter y = x kan ekvationen skrivas y + 2x 3 =, dvs y = 2x 3 Vi får alltså systemet x =y y = 2x 3 Linjarsering ger ingen information om stabiliteten i detta fall Vi använder fasplanmetoden Vi får dy dx = 2x3 y vilket kan skrivas ydy = 2x 3 dx Integrering ger y 2 /2 = x 4 /2 + C, dvs x 4 + y 2 = 2C där C är en konstant För varje val av C > är detta slutna kurvor centrerade kring origo (och ju mindre C >, desto närmare origo är kurvan Vi vet att lösningarna till systemet kommer att ligga på dessa kurvor Således är (, ett centrum, dvs (, är en stabil kritisk punkt 7 Använd separation av variabler för att lösa Laplace ekvation 2 u x 2 + 2 u y 2 = på området D = {(x, y : x 1, y 1} med randvillkoren { u(, y = u(1, y = sin πy, y 1 u(x, = u(x, 1 =, x 1 Lösning: Vi söker först lösningar till ekvationen på formen u(x, y = X(xY (y Insättning i ekvationen ger X Y + XY = vilket kan skrivas (vi dividerar med XY X X = Y Y Eftersom högerledet är oberoende av x, och vänsterledet är oberoende av y, så måste dessa två uttryck vara konstanta, dvs X X = Y Y = λ där λ är en konstant Detta ger oss två ekvationer X λx =, Y + λy = Om X och Y uppfyller dessa ekvationer så är alltså u(x, y = X(xY (y en lösning till Laplace ekvation Vi fokuserar nu på det andra randvillkoret, dvs u(x, = u(x, 1 =, < x < 1 För att detta ska kunna vara uppfyllt för lösningar på formen u(x, y = X(xY (y som inte är identiskt noll, måste vi ha Y ( = Y (1 = Vi söker därför icke-triviala lösningar till randvärdesproblemet Y + λy =, Y ( = Y (1 = För λ har detta problem endast den triviala lösningen Y (y = Antag att λ > och låt ω > vara sådant att ω 2 = λ Differentialekvationen ovan har då den allmänna lösningen Y (y = c 1 cos ωy + c 2 sin ωy
Villkoret Y ( = ger att c 1 = Villkoret Y (1 = ger att = c 2 sin ω Vi ser alltså att vi har icke-triviala lösningar, Y (y = c 2 sin ωy, precis då sin ω = Detta är uppfyllt då ω = nπ, n = 1, 2, 3,, dvs då λ = n 2 π 2 För dessa värden på λ har ekvationen X λx = den allmänna lösningen X(x = d 1 e nπx + d 2 e nπx Alltså, för varje n = 1, 2, 3 är således u n (x, y = X(xY (y = (a 1 e nπx + a 2 e nπx sin(nπy en lösning till Laplace ekvation som uppfyller u(x, = u(x, 1 Vi fokuserar du på det första randvillkoret, dvs u(, y = u(1, y = sin πy Vi undersöker om det finns en lösning på formen ovan som också uppfyller detta villkor Från randvillkoret ser vi att det verkar rimligt att sätta n = 1, dvs vi undersöker om vi kan välja konstanterna a 1 och a 2 så att u(x, y = X(xY (y = (a 1 e πx + a 2 e πx sin(πy uppfyller u(, y = u(1, y = sin πy I så fall är detta den sökta lösningen Vi får villkoren sin πy =u(, y = (a 1 + a 2 sin πy sin πy =u(1, y = (a 1 e π + a 2 e π sin πy dvs a 1 + a 2 = 1 och a 1 e π + a 2 e π = 1 Detta ger a 1 = (1 e π /(e π e π och a 2 = (e π 1/(e π e π Således är 1 e π u(x, y = e π e π eπx + eπ 1 e π e πx sin(πy e π den sökta lösningen till det givna problemet 8 Låt y 1, y 2 vara två linjärt oberoende lösningar till ekvationen (1 y + P (xy + Q(xy =, x I a Visa att P (x = y 1y 2 y 2 y 1 W (y 1, y 2 Q(x = y 1y 2 y 2y 1 W (y 1, y 2 (3p där W (y 1, y 2 är Wronskideterminanten av y 1 och y 2 b Bestäm en ekvation på formen (1 som har y 1 = x och y 2 = x 3 som lösningar då x > (1p Lösning: a Att y 1 och y 2 är lösningar betyder att vi har y 1 + P (xy 1 + Q(xy 1 = y 2 + P (xy 2 + Q(xy 2 = Vi betraktar detta (för fixerat x som ett linjärt ekvationssystem, där P (x och Q(x är de obekanta Eftersom det är givet att y 1 och y 2 är linjärt oberoende så vet vi att Wronskideterminanten W (y 1, y 2 = y 1 y 2 y 2 y 1 på I Om 7
8 vi nu multiplicerar första ekvationen med y 2 och den andra med y 1, och adderar ekvationerna fås vilket ger = y 1y 2 + P (xy 1y 2 y 2y 1 P (xy 2y 1 P (x = y 1y 2 y 2 y 1 y 1y 2 y 2y 1 Vi noterar att nämnaren är W (y 1, y 2, så vi kan allstå skriva P (x = y 1y 2 y 2 y 1 W (y 1, y 2 På samma sätt, genom att multiplicera första ekvationen med y 2 och den andra med y 1, och addera ekvationerna får vi vilket ger = y 1y 2 + Q(xy 1 y 2 y 2y 1 Q(xy 2 y 1 Q(x = y 1y 2 y 2y 1 y 1 y 2 y 2 y 1 = y 1y 2 y 2y 1 W (y 1, y 2 b Vi bestämmer P och Q genom att använda formlerna från a, med y 1 = x och y 2 = x 3 Vi har W (y 1, y 2 = x(3x 2 x 3 (1 = 2x 3 för x >, så P (x = x 6x = 3 2x 3 x Q(x = 1 6x = 3 2x 3 x 2 Alltså, vi får ekvationen y 3 x y + 3 x 2 y =