6.4 Svängningsrörelse Ledningar 6.166 b) Krafterna i de båda fjädrarna är lia stora och lia med raften på roppen (inses genom att man frilägger roppen och de två fjädrarna var för sig). Kroppens förflyttning är summan av fjädrarnas förlängningar. d) En fjäder med en viss fjäderonstant an ses som sammansatt av två serieopplade hälften så långa fjädrar med fjäderonstanten 2 vardera (Detta an inses om man täner på att en viss dragraft bara ger hälften så stor förlängning för vardera fjäderhalvan som för hela. Detta svarar mot dubbelt så stor styvhet.) Vi har då samma problem som i c). 6.168 Observera liheten med ex 6.166b. Balen och fjädern fungerar som två serieopplade fjädrar. 6.169 Försö härleda en svängningsevation på samma form som ev (6.4.3), alternativt (6.4.5). Inför oordinater som besriver lägena för de svängande ropparna, och ställ upp Newton 2. Det an vara lot att ocså frilägga trissan. Mot en viss försjutning av roppen svarar en viss förändring av fjäderns längd, vilen i sin tur hänger ihop med fjäderraften. I fall b) svarar exempelvis en försjutning x nedåt av roppen mot en fjäderförlängning 2x.
6.170 För samtliga fall: Försö härleda en svängningsevation på samma form som ev (6.4.3), alternativt (6.4.5). Inför oordinater som besriver lägena för de svängande ropparna, och ställ upp Newton 2. a) Det an vara lot att ocså frilägga trissan (som är lätt). En försjutning x åt vänster av roppen mot att den vänstra fjädern trycs ihop sträcan x, medan den högra förlängs 2x. Detta bestämmer fjäderrafterna. b) Här finns två roppar som svänger med var sin rörelseevation. Mellan deras oordinater råder ett inematist samband (se apitel 6.2(a)). Linraften dyer upp i båda rörelseevationerna och måste elimineras. c) Här an systemet förenlas genom att man använder resultaten från ex 6.166. d) Det an vara bra att ocså införa en oordinat som besriver läget av den högra trissan och därmed ocså förändringen av den övre högra fjäderns längd. Krafterna i de två fjädrar som är förbundna med en lina måste vara lia stora (lia med linraften). Eftersom de har samma fjäderonstant måste de förlängas eller trycas ihop lia mycet vid varje tidpunt. Visa att om den hängande roppen (och med den den vänstra trissan) försjuts sträcan x nedåt och den högra trissan sträcan y nedåt, så förlängs var och en av dessa fjädrar sträcan x y. Då an alla fjäderrafter uttrycas med hjälp av x och y. 6.171 Besriv vagnens läge med en oordinat x åt höger. Vid tiden t har loet flyttat sig sträcan y = 1 2 at2. Då är linförlängningen z = y x och z = a ẍ. Ställ upp Newton 2 för vagnen och gå över till z som obeant. Begynnelsevillor: z = 0 och ż = 0 för t = 0. Lösning: z = ma ( ) 1 cos m t. 6.172 b) När rörelsen startar är fjäderns förlängning 4mg/. Detta är nedre vändläget i A:s svängningsrörelse. Svängningscentrum ligger i A:s (nya) jämvitsläge. Detta bestämmer amplituden. c) Använd energionservering.
6.174 Värsta fallet: Största fjäderraften är lia med maximal fritionsraft (µmg). Största fjäderraften fås i B:s vändlägen. Sambandet med den söta hastigheten fås med hjälp av energionservering. 6.176 Betrata rörelsen fram till att hastigheterna blir noll första gången. Frilägg ropparna var för sig, ställ upp Newton 2 och eliminera linraften mellan de två evationerna. Resultatet blir en svängningsevation. Den söta tiden är en varts period. 6.177 Frilägg dels hela systemet, dels den undre roppen i ett godtycligt läge. Ställ upp Newton 2 för de båda frilagda systemen. Limraften F ingår som yttre raft i den ena evationen. Sätt F = 1, 5mg, och lös ut fjäderförlängningen. 6.178 b) Nivå 4: övre vändläget Nivå 3: fjädern ospänd Nivå 2: svängningscentrum (jämvitsläget) Nivå 1: startläget Så länge roppen är i ontat med fjädern (nivå 1-3) utför den harmonis svängningsrörelse. Börja med att beräna den tid (t 1 ) denna del av resan tar. Resultat: t 1 = 36, 35 ms. Beräna ocså hastigheten på nivå 3. Mellan nivå 3 och 4: Kaströrelse (sträcan bestämd i a)) Beräna tiden (t 2 ) för denna. Resultat: t 2 = 79, 46 ms. 6.180 Härled för vart och ett av fallen en differentialevation av typen Mẍ + Cẋ + Kx = onstant. Här är x en oordinat som besriver läget för roppen (i c) en av ropparna). I fallet b) fås exempelvis 5 mẍ + 2cẋ + 2x = onstant. 2 Enligt utredningen i avsnitt 6.4(b) är dämpningen ritis för ζ = C 2 KM = 1.
6.182 a) b) c 1 v v 1 v F c 2 c 1 c 2 F F = c 1 v + c 2 v. F = c 1 v 1 = c 2 (v v 1 ). För båda fallen: Sriv F på formen cv och läs av c. 6.186 Rörelsen vid svagt dämpad svängningsrörelse besrivs av ev (6.4.16). Här är perioden τ d = 2π/ω d = 2, 23 s och e ζω 10τ d = 278/130. Produten ζω an beränas ur detta. Kombinera med ω d = ω 1 ζ 2, samt definitionerna av ω och ζ för att lösa ut och c. 6.188 Observera att problemet räver numeris evationslösning. 6.189 Observera att problemet räver numeris evationslösning. 6.191 Utgå från ev (6.4.18) och bestäm onstanterna A och B för de tre fallen. Med ω = /m gäller då: a) x(t) = a 0 ( ωt + 1)e ωt. b) x(t) = v 0 te ωt. c) x(t) = [(a 0 ω v 0 )t + a 0 ]e ωt.
6.192 Börja med att ta en titt på illustrationsexempel 6.4.6 c). 6.193 Kroppens absoluta acceleration är a + ẍ. Dämpningsraften beror på den relativa hastigheten ẋ. Kroppens rörelseevation blir då x cẋ = m(a + ẍ). 6.194 Frilägg systemet för de båda fallen, och ställ upp motsvarande rörelseevationer. I första fallet an villoret att resonans uppstår användas för att bestämma det fjädrande underlagets styvhet (fjäderonstant). Amplituden för de påtvingade svängningarna i det andra fallet an sedan bestämmas med den metod som besrivs i avsnitt 6.4(c), Specialfallet odämpad svängare. 6.197 Visa först att den påtvingade svängningen är x p = C sin Ωt, där C = 1, 616 mm. Accelerationen är ẍ p. 6.199 Rörelseevationen för roppen blir F + mg = mẍ, där F är fjäderraften, och x är en oordinat som besriver roppens absoluta läge. Tecna fjäderraften, som beror på x och på den exciterande rörelsen, och bestäm partiulärlösningen till rörelseevationen. Resultat: x p = d sin 2ωt (+onstant), 3 där ω 2 = /m. Insättning i rörelseevationen ger F max.
6.202 Frilägg systemet, ställ upp en rörelseevation och bestäm en partiulärlösning enligt metoden i avsnitt 6.4(c), Specialfallet odämpad svängare. Amplituden i den påtvingade svängningen sall då bli C = F 0 mω 2. Visa sedan att största fjäderraften är ( C + mg ) = 3600 N. Eftersom vi inte vet i förväg om är > mω 2 eller < mω 2 får vi två olia fall för C. Detta leder till två olia möjliga -värden. 6.203 Använd metoden i avsnitt 6.4(c), Specialfallet odämpad svängare, för att visa att maximala raften är C, där C = λf 0 mω 2. Här är ω 2 = /m, och λ är förstoringsfatorn. 6.204 a) I illustrationsexempel 6.4.9 löses ett mycet liartat problem. b) Visa att funtionen 2 sin ωt sin 2ωt har maximum när cos ωt = 0, 5. 6.205 Så länge raften verar är problemet identist med illustrationsexempel 6.4.9. Därefter övergår rörelsen i en fri odämpad svängning. Begynnelsevärdena för denna fås genom att sätta in t = π/ω i de uttryc för x och ẋ som fås ur illustrationsexemplet. Amplituden i den fria rörelsen bestäms enlast med hjälp av energionservering. 6.206 Använd den metod som besrivs i avsnitt 6.4(c), Harmonis excitering. Amplituden och fasförsjutningen ges av ev (6.4.24). 6.207 Lådans rörelse: z = ξ 0 sin Ωt. Om x anger roppen K:s läge relativt lådan, så är K:s absoluta acceleration z+ẍ. Utnyttja detta för att härleda en differentialevation för x(t). Lös denna med hjälp av den metod som besrivs i avsnitt 6.4(c), Harmonis excitering. Amplituden och fasförsjutningen ges av ev (6.4.24).
6.209 Släpvagnen utför påtvingade vertiala svängningar. Vinelfrevensen är Ω = 2πv/λ, där v är vagnens hastighet. Evivalent modellsystem (besriver rörelsen i en referensram som rör sig horisontellt med onstant hastighet v): m c o sin t Visa att släpvagnens absoluta rörelse x(t) satisfierar evationen c(ẋ ξ) (x ξ) = mẍ, där ξ = ξ 0 sin Ωt enligt figuren. Detta an omformas till mẍ + cẋ + x = ξ 0 2 + c 2 Ω 2 sin (Ωt + β), (1) där tan β = cω/. Jämför ev (1) med ev (6.4.22), och utnyttja uttrycet för amplituden C i ev (6.4.24). Man får då 1 + u C = = ξ 0 u + (1 u) 2, där u = mω 2 /. Visa att C har maximum för u = 3 1, och bestäm motsvarande värde på v. 6.210 Använd den metod som besrivs i avsnitt 6.4(c), Harmonis excitering. Amplituden C ges av ev (6.4.24). För att bestämma det värde på m som ger maximum måste vi sätta in ζ och ω uttrycta i m, och c. Utnyttja att C har maximum, när uttrycet under rotmäret har minimum.