FREKVENSSPEKTRUM (FORTS) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 ICKE-PERIODISKA FUNKTIONER Icke- periodiska funktioner kan betraktas som periodiska, med oändlig periodtid P. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 2 CT FOURIERTRANSFORM x A(ω)= = magnituddel = fasdel TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 3 Tillämpad Fysik Och Elektronik 1
EXEMPEL En symmetrisk fyrkantpuls med höjd 1 och bredd 1 sek x(t) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 4.. = 1!. =. (. ". sin 0.5 /0.5=sinc(0.5ω) X(jω) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 5 SPEKTRUM FÖR NÅGRA TYPSIGNALER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 6 Tillämpad Fysik Och Elektronik 2
DT-FOURIER TRANSFORM )* är noll för 1)* 2 )* 45 TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 7 DTFT - FÖR EN FYRKANTPULS För en fyrkantpuls (T=1) 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 kan man enkelt visa att x[n] X d (ω) -2π -π 0 π 2π TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 8 FREKVENSOMRÅDE FÖR DT-SPEKTRUM Nyquist medför: " 5, 5,"0.5 7,0.5 7 ) i radianer/s "0.58 7,0.58 7 ) i Herz TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 9 Tillämpad Fysik Och Elektronik 3
FOURIERTRANSFORMPAR x(t) och X(ω) är lika goda beskrivningar av signalen x(t) är en beskrivning i tidsplanet och X(ω) är beskrivningen i frekvensplanet. En omvandling åt vänster i uttrycket ovan kallas invers fouriertransformering 10 Om insignalen är reell så är fouriertransformens belopp en jämn funktion fouriertransformens fas en udda funktion TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 11 En reell signal x(t) är given i tidsplanet. Om signalen dessutom är jämn så kommer även X(j ω) att bli reell. Om signalen är udda så kommer X(j ω) att bli rent imaginär. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 12 Tillämpad Fysik Och Elektronik 4
LINJÄRITET Om signalen i tidsplanet kan delas upp i två termer så kan dessa fouriertransformeras var för sig TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 13 EX 1. LINJÄRITET. Om en signal kan delas upp delsignaler... så kan fouriertransformen beräknas för varje delsignalför sig och resultaten kan adderas. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 14 i figuren visas X(ω) för delfunktionerna (rött och blått) samt summan (grönt och överst) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 15 Tillämpad Fysik Och Elektronik 5
DUALITET F(t) Det råder symmetri mellan tidsfunktion och frekvensfunktion F(ω) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 16 TIDSFÖRSKJUTNING Om signalen förskjuts i tiden så påverkas endast fasdelen hos transformen! TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 17 FÖRDRÖJD SIGNAL f(t) Beloppet av F(w) Fasvinkel F(w) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 18 Tillämpad Fysik Och Elektronik 6
IMPULSFUNKTIONEN En impulsfunktion innehåller alla frekvenser En fördröjd impuls har en förändrad faskaraktär TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 19 FÖRFLYTTNING I FREKVENSPLANDET En förflyttning i frekvens ger påverkan på fasen i tidsplanet TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 20 MODULATION Modulation innebär i detta sammanhang multiplikation med en bärvåg TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 21 Tillämpad Fysik Och Elektronik 7
MODULATION ETT EXEMPEL En puls moduleras med en sinuston tidsplanet: frekvensplanet: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 22 FÖRÄNDRING AV SKALA Om skalan på signalen i tidsplanet ändras så ändras också skalan i frekvens-planet x(t) Belopp X(jw) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 23 DIFFERENTIERING TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 24 Tillämpad Fysik Och Elektronik 8
INTEGRERING TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 25 STEGFUNKTIONENS FREKVENSINNEHÅLL Om man integrerat en impulsfunktion så får man ett steg. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 26 PARSEVALS FORMEL TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 27 Tillämpad Fysik Och Elektronik 9
SPEKTRAL ENERGITÄTHET Om man känner till en signals fouriertransform (X(ω)) så kan totala energin (E) och spektrala energitätheten (G(jω)) beräknas TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 28 Tillämpad Fysik Och Elektronik 10