elativitetsteorins grunder, våren 2016 äkneövning 6 Lösningar 1. Gör en Newtonsk beräkning av den kritiska densiteten i vårt universum. Tänk dig en stor sfär som innehåller många galaxer med den sammanlagda massan M. Vi tänker oss att vår egna galax har massan m och ligger på ytan av denna sfär. Enligt den kosmologiska principen kommer universum att vara sfäriskt symetriskt, vilket betyder att den gravitationella kraften på vår galax med massan m kommer att vara endast en konsekvens av massan innanför denna sfär. All kraft som kommer från utsidan av sfären summeras till 0, som vi minns från våra kurser i Newtonsk mekanik. Då är alltså den potentiella energin för vår galax U pot = GmM och den totala energin blir E tot = 1 2 mv2 GmM (1) Härled alltså från detta, värdet på den kritiska densiteten genom att anta att alla galaxer sprider ut sig i universum enligt Hubbles lag v = H 0. Svaret blir ρ c = 3H2 0 8πG = 1.0 10 26 kg/m 3, vilket motsvarar ungefär 6 väteatomer per kubikmeter. Konstanterna: H 0 = 2, 4 10 18 1/s G = 6, 67259 10 11 Nm 2 /kg 2. Lösning: I ett sfäriskt universum (figur 1) har vi en mittpunkt (inte sant på riktigt) och p.g.a. den sfäriska symmetrin påverkas vintergatan endast av den massa som ligger innanför sfärens kanter. Detta ger den potentiella energin för vintergatan som U pot = GmM, (2) där M är all massa innanför sfärens kanter. Den totala energin för vintergatan är E tot = 1 2 mv2 GmM, (3) vilket m.h.a. Hubbles lag v = H 0 blir E tot = 1 2 m(h 0) 2 GmM. (4)
m vintergatan är en galax Figur 1: Vi ser ett säfrisk universum där endast massan innanför sfärens kanter påverkar vintergatan gravitationellt. Den kritiska densiteten (ρ c ) definieras av att det finns just tillräckligt med massa i universum för att expansionen skall stanna av och systemet befinna sig i jämvikt efter en mycket lång tid. Villkoret för detta är givetvis E tot = 0, vilket ger oss 0 = 1 2 m(h 0) 2 GM cm 1 2 H2 0 3 = GM c. (5) Den totala kritiska massan i universum kan uttryckas som M c = 4 3 π3 ρ c 1 2 H2 0 3 = G 4 3 π3 ρ c ρ c = 3H2 0 8πG 1, 0 10 26 kg/m 3. 2. Vi betraktar figur 2 på baksidan av papret. Det kortaste avståndet mellan två punkter på ytan av sfären mätt längs sfärens yta är r = θ. Då ballongen expanderar ökar dess radie men vinkeln θ ändras inte. a.) Förklara varför d / är konstant för alla punkter på sfärens yta, vid vilken tidpunkt som helst.
a.) b.) Figur 2: Figur för uppgift 2. b.) Visa att v = dr är direkt proportionel mot r vid varje ögonblick. c.) Använd svaret i uppgift a.) till att hitta ett uttryck för Hubbles konstant H 0 m.h.a. och d. d.) Uttrycket du fick i uppgift c.) är konstant i rummet. Hur borde bero av t för att H 0 skall vara konstant i tiden? e.) Är ditt svar till uppgift d.) konsistent med den gravitationella attraktionen av massa i universum? Lösning: a.) Eftersom alla punkter på ytan av sfären ligger på samma avstånd, och sfären deformeras inte då den blåses upp så, att d måste också vara densamma för alla punkter på sfärens yta 1 d = k, där k är en konstant på säfrens yta, då den inte beror av vinklarna θ, φ, vilka beskriver alla punkter i vårt 2D expanderande universum. Denna kvantitet 1 d behöver givetvis inte vara konstant i tiden! b.) Eftersom r = θ = r θ k(t) = 1 d = θ d( r θ ) = θ 1 dr r r θ = 1 dr r k(t)r = dr där C(t) är en konstant i rummet men en funktion av tiden. = v, (6)
c.) Vi fick k(t)r = v, vilket vi kan jämföra med Hubbles lag H 0 r = v, d.v.s. k(t) = H 0 är Hubbles konstant (som beror av tiden) och enligt b.) k(t) = 1 d = H 0(t). d.) Om H 0 (t) inte beror av tiden får vi differential ekvationen 1 d = H 0 d = H 0, (7) med lösningen (t) = Ae H 0t, (8) där A är en konstant (oxå i tiden :-). D.v.s. om vi kräver att H 0 är en konstant expanderar balonguniversat enligt (t) = A H 0t, vilket ser ut som (figur 3) < A > t Figur 3: Vi ser hur detta balonguniversum expanderar med tiden. e.) Grafen betyder att balonguniversumet expanderar exponentiellt och expansionen accelererar. Detta är inte konsistent med den gravitationella attraktionen som all massa i universum åstadkommer. Expansionen borde ju avta. Det finns två saker i vår modell som gör att den blir för enkel. För det första, antog vi att Hubbles konstant är konstant i tiden. Detta är inte sant i det reella fallet. För det andra, har vi ingen kraft i denna modell som skulle dra ihop universum. D.v.s. balonguniversum modellen beaktar inte att det finns massa i universum som påverkas gravitationellt och drar ihop det (eller rättare sagt motverkar expansionen). 3. Anta att utgångsläget för universum är detsamma som i uppgift 3.2, med undantaget att v = dr är konstant givet θ, istället för att H 0 skulle vara konstant i tiden. Med dessa antaganden, visa att Hubbles konstant H 0 = 1 t, så att vi idag har värdet H 0 = 1 T, där T är universums ålder. Vad är denna ålder?
Konstanterna: H 0 = 2, 4 10 18 1/s. Lösning: Vi antar nu att v = dr = C, (9) där C är en konstant. Integrering av detta ger oss C t 0 = r 0 dr r = Ct. (10) Om vi sätter in detta värde i uttrycket för Hubbles konstant, vilket härleddes i den föregående uppgiften får vi H 0 = 1 d = θ d( r θ ) = 1 dr r r = 1 Ct C = 1 t, (11) där r = θ. Detta ger oss universum sålder just nu som T = 1 H 0 13, 2 10 9 a, (12) vilket är mycket nära vad man tror universums ålder är idag. Denna modell skall dock inte tas på allvar, men det visar att man kan få fina svar som många kan tro på genom att bygga en felaktig modell. 4. Vid tiden t = 225s började nukleosyntesen. Man har kunnat beräkna att det fanns 7 protoner på en neutron under nukleosyntesens gång. Det finns mera protoner helt enkelt p.g.a. att de inte sönderfaller lika snabbt (om alls) som neutronen. Uppskatta från detta, med antagandet att det bara bildas 4 He och 1 H under nukleosyntesen, viktprocenten Helium i universum. Konstanterna: m He = 4, 00205472u m H = 1, 00727642u u = 1, 6605402 10 27 kg.
Lösning: Vid tiden 225s fanns det ungefär 7 protoner på 1 neutron. För att skapa 4 He behövs det 2 neutroner och 2 protoner. Detta betyder att då vi har 2 neutroner på 14 protoner och använder upp 2 neutroner och 2 protoner för att skapa en 4 He, har vi 1 st 4 He och 12 st 1 H i vårt tidiga unversum. D.v.s. i viktprocent blir detta m He m He + 12m H 0, 2487..., (13) Så att vi kan tänka oss att det finns 24,87% helium i universum. 5. Olbers paradox: Om vi antar det följande i.) universum sträcker sig oändligt långt ut i rymden ii.) universum är oändligt gammalt iii.) universum innehåller stjärnor av lika luminositet och som existerar jämnt fördelade i rymden iv.) det finns ingen materia mellan oss och stjärnorna som skulle förhindra ljuset från stjärnorna att nå oss, beräkna då universums totala ljusintensitet på jordens natthimmel kommande ihåg att itensiteten från en sfärisk källa avtar med avståndet som I = E, där E är källans 4πr 2 energi. Du kommer att få ett resultat som är paradoxalt då vi vet att natthimlen är svart. Denna paradox kallas för Olbers paradox. Ge något förslag på hur denna paradox kan lösas? Lösning: Vi börjar med att rita oss figur 4 av situationen. dr jorden r Figur 4: Vi ser ett sfäriskt skal på avståndet r från jorden med tjockleken dr. Eftersom vi antar att stjärnorna är jämnt fördelade i rymden betyder det att vi har en konstant densitet av dem som vi kallar n. Då kan vi räkna antalet stjärnor inom skalet som är utritat i figuren. Det är dn = 4πr 2 ndr. (14)
E Sedan använder vi smabandet I = som gäller för en sfärisk ljuskälla. Eftersom 4πr 2 vi antar att stjärnorna har lika luminositet kan vi tänka oss att de alla pumpar ifrån sig en konstant energi E och då vet vi att stjärnorna inom skalet dr ger ifrån sig intensiteten di = E 4πr 2 dn = 4πr2 ndr E = nedr. (15) 4πr2 Då vi antagit att universum är oändligt stort och gammalt kan vi direkt integrera fram luminositeten det avger som I = di = 0 nedr. (16) Om detta vore fallet skulle universum vara oändligt ljust. Detta kallas Olbers paradox. Eftersom vi vet att universum inte är oändligt ljust måste denna beräkning kullkastas på något sätt. Om vi ser på de antaganden vi gjort kan vi t.ex. föreslå att universum inte är oändligt gammalt. Vore detta fallet, så har inte allt ljus färdats ända till jorden ännu idag, detta kunde vara en lösning på paradoxen. Det visar sig dock att för att hålla natthimlen svart måste universum vara såpass ungt att jorden skulle inte kunna vara så gammal som den antas vara (ca 4,5 miljarder år). Då kan vi försöka lösa detta problem genom att också anta att det finns obstruerande materia i universum, vilket vi vet att det finns. Tyvärr räcker detta inte heller eftersom en kalkyl beaktande detta och att universum skulle ha en ändlig ålder säger oss att universum måste vara ungefär lika ljust som ytan på en sjärna. Situationen förbättras inte nämnvärt heller då man antar att universum har en ändlig storlek, trots att slopandet av detta antagande också förbättrar lite på situationen. Dessa förslag är alla goda försök att lösa Olbers paradox, men först med antagandet att universum expanderar (á la Hubble) kan denna paradox lösas elegant. Detta antagande förhindrar en stor del av hela universums ljusintensitet från att nå oss.