SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

Relevanta dokument
x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen: Lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Tentamen: Lösningsförslag

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 26 maj, 2014

Lösning till kontrollskrivning 1A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. xy dxdy,

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Kontrollskrivning 1A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Figur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.

Tentan , lösningar

= 0 genom att införa de nya

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Övningstenta: Lösningsförslag

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

Integranden blir. Flödet ges alltså av = 3

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

Tentamen: Lösningsförslag

Lösningar till Matematisk analys 4,

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

A = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

MMA127 Differential och integralkalkyl II

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

23 Konservativa fält i R 3 och rotation

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lektionsblad 9, tis 16/2 2010

Transkript:

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På de tre första uppgifterna, som utgör del A, är det endast möjligt att få 0, 3 eller 4 poäng. essa tre uppgifter kan ersättas med resultat från den löpande eaminationen. e två kontrollskrivningarna svarar mot uppgift 1 och 2 och seminarierna mot uppgift 3. Godkänd kontrollskrivning eller godkänd seminarieserie ger 3 poäng på motsvarande uppgift och väl godkänd kontrollskrivning eller seminarieserie ger 4 poäng. För att höja från den löpande eaminationen från 3 poäng till 4 krävs att hela uppgiften löses. Resultat från den löpande eaminationen kan endast tillgodoräknas vid ordinarie tentamen och ordinarie omtentamen för den aktuella kursomgången. e tre följande uppgifterna utgör del B och de tre sista uppgifterna del C, som är främst till för de högre betygen, A, B och C. Betygsgränserna vid tentamen kommer att ges av Betyg A B C E F Total poäng 27 24 21 18 16 15 varav från del C 6 3 - - - - För full poäng på en uppgift krävs att lösningarna är väl presenterade och lätta att följa. et innebär speciellt att införda beteckningar ska definieras, att den logiska strukturen tydligt beskrivs i ord eller symboler och att resonemangen är väl motiverade och tydligt förklarade. Lösningar som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms med högst två poäng.

2 el A 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin f + y f y = 2f. är en lösning till differentialekvationen 2) Beräkna volymen av det område som ligger mellan ytorna z = 3 2 + 3y 2 + 10 och z = 18 + 2 + y 2. 3) Vektorfältet F ges av F, y) = 2y + y 3, 2 + 3y 2 ). a) Visa att fältet F är konservativt och bestäm en potentialfunktion till F. b) Beräkna kurvintegralen γ F dr då γ löper längs parabeln y = 2 från punkten 1, 1) till punkten 2, 4). el B 4) Funktionen T, y, z) = 2 + 3y)e z beskriver temperaturen i en viss del av rummet. a) I vilken riktning utgående från punkten 1, 1, 0) är temperaturökningen per längdenhet som störst? 2 p) b) Beräkna med hjälp av linjär approimation ett närmevärde till hur mycket temperaturen ökar om man rör sig en tiondels längdenhet ifrån punkten 1, 1, 0) i riktning mot punkten 3, 3, 1). 2 p) 5) Beräkna trippelintegralen K ddydz då K är det område i rymden som begränsas av de tre koordinatplanen = 0, y = 0 och z = 0 samt planet y z + 1 = 0. 6) Beräkna flödet av fältet F, y, z) = y,, 4) genom den del av ytan z = 1 2 y 2 där 0, y 0 och z 0. Ytstycket är orienterat så att normalvektorfältet har positiv z-komponent.

el C 7) En rektangulär låda utan lock skall tillverkas som rymmer 1 kubikmeter. Bottenytan och framsidan tillverkas av ett material som kostar 5 kronor per kvadratmeter, de övriga tre sidorna tillverkas av ett material som som kostar 1 krona per kvadratmeter. Hur skall lådan dimensioneras för att den totala kostnaden för materialet ska bli så liten som möjligt? 8) Bestäm den slutna enkla kurva γ som gör att värdet av kurvintegralen 6 2 y + y 3 20y) d + 16 3 6y 2 ) dy γ blir så stort som möjligt när γ genomlöps ett varv moturs. 9) Visa med hjälp av implicita funktionssatsen att lokalt kring punkten, y, z) = 1,, 1) så kan lösningsmängden till ekvationen 2 y + e y+z + z 2 = 1 beskrivas med hjälp av en funktionsyta y = g, z). Beräkna därefter g 1, 1), g z1, 1) och g z1, 1). 3

SF1626 Flervariabelanalys Svar och lösningsförslag till Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin är en lösning till differentialekvationen f + y f y = 2f. Lösning: Vi beräknar de partiella derivatorna f y ) y = 2y4 + 2 sin + 2 cos ) 3 ) y. 2 och f y ) 1 y = 4y3 + 2 2 cos. Insatt i den givna ekvationen får vi V.L. = 2 y4 y ) y + 2 sin + 2 cos ) 3 ) y ) ) + y 4 y3 y 1 2 + 2 2 cos ) = 2 y4 y ) + 2 22 sin = 2f, y)h.l. Funktionen f, y) uppfyller alltså given differentialekvation. 2) Beräkna volymen av det område som ligger mellan ytorna z = 3 2 + 3y 2 + 10 och z = 18 + 2 + y 2. Lösning: Skärningskurvans projektion på y-planet ges av 3 2 + 3y 2 + 10 = 18 + 2 + y 2 2 2 + 2y 2 = 8 2 + y 2 = 4. Alltså ligger området ovanför cirkelskivan = {, y) : 2 + y 2 4.} Anmärkning: Ytorna är rotationsparaboloider.) Vi betecknar f 1, y) = 3 2 + 3y 2 + 10 och f 2, y) = 18 + 2 + y 2. Substitutionen, y) = 0, 0) i båda funktioner visar att f 2, y) f 1, y) för, y). ärför V = f 2, y) f 1, y))ddy = 8 2 2 2y 2 )ddy Med hjälp av polära koordinater = r cos ϕ, y = r sin ϕ, ddy = rdrdφ får vi V = Svar: 16π. 8 2r 2 )rdrdϕ = 2π 0 dϕ 2 0 8r 2r 3 )dr = 2π 8 = 16π

2 3) Vektorfältet F ges av F, y) = 2y + y 3, 2 + 3y 2 ). a) Visa att fältet F är konservativt och bestäm en potentialfunktion till F. b) Beräkna kurvintegralen γ F dr då γ löper längs parabeln y = 2 från punkten 1, 1) till punkten 2, 4). Lösning: a) Sätt P, y) = 2y + y 3 och Q, y) = 2 + 3y 2, så att F = P, Q). Eftersom Q = 2 + 3y2 = P i hela planet har F en potential U, y) i hela y planet sådan att P = U U och Q =.Vi bestämmer U: y U U = d = P d = 2y + y 3 d = 2 y + y 3 + hy) där hy) är någon tillsvidare obekant funktion. Genom att nu derivera detta utryck för U med avseende på y och kräva att detta är lika med Q får vi 2 +3y 2 +h y) = 2 +3y 2 = h y) = 0 = hy) = C, där C är en godtycklig konstant. Vi väljer C = 0 och får potenialen U, y) = 2 y + y 3. b) Eftersom fältet F är konservativt ges den sökta integralen av skillnaden i potential, dvs γ F dr = U2, 4) U1, 1) = 16 + 128 2 = 142 Integralen kan också lätt beräknas genom parametrisering av kurvan.) Svar: a) T e U, y) = 2 y + y 3 b) 142

4) Funktionen T, y, z) = 2 + 3y)e z beskriver temperaturen i en viss del av rummet. a) I vilken riktning utgående från punkten 1, 1, 0) är temperaturökningen per längdenhet som störst? 2 p) b) Beräkna med hjälp av linjär approimation ett närmevärde till hur mycket temperaturen ökar om man rör sig en tiondels längdenhet ifrån punkten 1, 1, 0) i riktning mot punkten 3, 3, 1). 2 p) Lösning: a) Ökningen är som snabbast i gradientens riktning. Vi beräknar gradienten grad T, y, z) = 2e z, 3e z, 2 + 3y)e z ), och i punkten 1, 1, 0) får vi grad T 1, 1, 0) = 2, 3, 5). b) Vektorn v = 3, 3, 1) 1, 1, 0) = 2, 2, 1) pekar i den angivna riktningen. Vi söker nu en vektor h = h, k, l) som pekar i v:s riktning och som har längden 1/10. Eftersom v = 2 2 + 2 2 + 1 2 = 3 är h = h, k, l) = 1/30v = 2/30, 2/30, 1/30). en linjära approimationen till temperaturökningen T ges av T = grad T 1, 1, 0) h, k, l) = 2, 3, 5) 2/30, 2/30, 1/30) = 1/6. 3 Svar: a) I gradientens riktning, grad T 1, 1, 0) = 2, 3, 5). b) Temperaturen ökar med approimativt 1/6. 5) Beräkna trippelintegralen K ddydz då K är det område i rymden som begränsas av de tre koordinatplanen = 0, y = 0 och z = 0 samt planet y z + 1 = 0. Lösning: Planet y z + 1 = 0 går genom de tre punkterna, 0, 0), 0, 1, 0) och 0, 0, 1). Området K beskrivs av olikheterna rita figur!) 0, 0 y 1 + och 0 z 1 + y. Vi får 0 1+ 1+ y 0 1+ ddydz = dz dy d = [z] 1+ y 0 dy d K Svar: -1/24 = = 0 0 0 0 1+ 0 1 + y dy d = 0 3 /2 + 2 + /2 d = /24. 0 [y + y y 2 /2] 1+ 0 d

4 6) Beräkna flödet av fältet F, y, z) = y,, 4) genom den del av ytan z = 1 2 y 2 där 0, y 0 och z 0. Ytstycket är orienterat så att normalvektorfältet har positiv z-komponent. Lösning: Ytan är en funktionsyta z = f, y). Ytan skär y-planet längs cirkeln 2 + y 2 = 1, och z 0 är ekivalent med att 2 + y 2 1. Låt beteckna mängden = {, y) R 2 : 2 + y 2 1, 0, y 0}. Med normalvektorfältet till ytan med positiv z-komponent) n = f, f y, 1) = 2, 2y, 1) ges flödet av F n ddy = y,, 4) 2, 2y, 1) ddy = 4 ddy = 4Area) = 4 π 4 = π. Svar: π. 7) En rektangulär låda utan lock skall tillverkas som rymmer 1 kubikmeter. Bottenytan och framsidan tillverkas av ett material som kostar 5 kronor per kvadratmeter, de övriga tre sidorna tillverkas av ett material som som kostar 1 krona per kvadratmeter. Hur skall lådan dimensioneras för att den totala kostnaden för materialet ska bli så liten som möjligt? Lösning: Låt > 0 beteckna framsidans och baksidans längd längs bottenytan, y > 0 sidoytornas längd längs botteytan och z > 0 lådans höjd, i meter. Kostnaden i kronor ges då av f, y, z) = 5y + z) + 1z + 2yz) = 5y + 2yz + 6z. enna funktion skall minimeras under bivillkoret att volymen V = yz [m 3 ] uppfyller V = 1. etta är ekvialent med att z = 1 och vi får det ekvivalenta problemet y att minimera ) 1 g, y) = f, y, = 5y + 2 y + 6, > 0, y > 0. y { g, y) = 0 g y, y) = 0 Vi söker först kritiska punkter i g i första kvadranten. { { 5y 2 = 0 5y 2 = 0 2 5 6 2 = 0 y 2 y = 2y2 6 2 { = l y = 3l där l = Tredje ekvationssystemet fås ur det andra genom att först flytta bråkuttrycken till H.L i andra systemet och sedan dividera ledvis. z ges av z = 1 y = 1 3l = l 2 3l = l 15 3 3 2 = 5 2 l. Vi måste också visa att denna kritsika punkt ger minsta värde för funktionen g definerade på mängden Q = {, y) R 2 ; > 0, y > 0}. Låt Q M = {, y) R 2 1 ; M, y M 2 }. et är en kompakt mängd så g antar säkert största och minsta värde på Q M för varje M > 1, och då g är deriverbar måste detta ske i en inre kritisk punkt eller på randen. För stora värden på M ligger ) 1/3 2. 15

den ovan funna kritiska punkten i Q M och vidare ser man g, y) M på randen till Q M. För alla stora värden på M måste alltså minmimivärdet antas i den inre kritiska punkten och eftersom värdet på randen M när M, följer g, y) > M för alla, y) i första kvadranten men utanför Q M. Svar: Fram- och baksidans kant mot bottenytan skall ges längden = l, meter, sidoytornas kant mot botteytan skall ha längd y = 3l meter och höjden skall vara z = 5 2 l meter, där l = 2 15) 1/3. 5 8) Bestäm den slutna enkla kurva γ som gör att värdet av kurvintegralen 6 2 y + y 3 20y) d + 16 3 6y 2 ) dy γ blir så stort som möjligt när γ genomlöps ett varv moturs. Lösning: Vi använder först Greens formel. Låt Ω = Ωγ) beteckna det område som innesluts av en enkel sluten kurva γ. Greens formel ger 6 2 y + y 3 20y) d + 16 3 6y 2 ) dy γ = Ω 16 3 6y 2 ) y 62 y + y 3 20y) ddy = 16 3 2 6y 2 6 2 3y 2 + 20 ddy = 36 9 2 9y 2 ddy Ω Ω =9 4 2 y 2 ddy. Ω enna integral antar sitt största värde när Ω tas som det största område där integranden 4 2 y 2 0, dvs när γ väljs som cirkeln med ekvation 2 + y 2 = 4 Svar: Cirkeln γ = {, y); 2 + y 2 = 4} maimerar den givna kurvintegralen. 9) Visa med hjälp av implicita funktionssatsen att lokalt kring punkten, y, z) = 1,, 1) så kan lösningsmängden till ekvationen 2 y + e y+z + z 2 = 1 beskrivas med hjälp av en funktionsyta y = g, z). Beräkna därefter g 1, 1), g z1, 1) och g z1, 1). Lösning: Låt F, y, z) = 2 y+e y+z +z 2. Vi verifierar först att F 1,, 1) = 1. Vi beräknar sedan F/y1,, 1). F y, y, z) = 2 + e y+z så F 1,, 1) = 2 0. y

6 Enligt Implicita funktionssatsen eisterar då en en funktion g, z) defineradei en omgivning till punkten 1, 1) sådan att g1, 1) = och F, g, y), z) = 1, det vill säga att den givna nivåytan 2 y + e y+z + z 2 = 1 beskrivs av funktionsytan y = g, z) i en omgivning till punkten 1,, 1). Vi beräknar nu de partiella derviatorna av g. erivering m a p på ger 2 g, z) + e g,z)+z + z 2) = 1) 2g, z) + 2 g + eg,z)+z g + z2 = 0. I punkten, z) = 1, 1) där g1, 1) = får vi 2 + 2 g erivering m a p z ger 1, 1) + 1 = 0 = g 1, 1) = 1 2. 2 g, z) + e g,z)+z + z 2) = 1) 2 g + eg,z)+z g + 1) + 2z = 0 och i punkten, z) = 1, 1) får vi g g g 1, 1) + 1, 1) + 1 + 2 = 0 = 1, 1) = 3 2. Slutligen beräknar vi den blandade andraderivatan till g. Vi utnyttjar beräkningen av g ovan. 2 g, z) + e g,z)+z + z 2) = ) 2g, z) + 2 g g + eg,z)+z + z2 = 0 1) 2 g + 2 g 2 + eg,z)+z g g + 1) + 2 g eg,z)+z + 2z = 0 I punkten, z) = 1, 1), och med utnyttjande av g1, 1) =, g 1, 1) = 1 2 och g 1, 1) = 3 får vi 2 2 3 ) + 2 g 1, 1) + 1 ) 1 2 2 2 + 2 g 1, 1) + 2 = 0. vilket ger att g z1, 1) = 5 8. Svar: g 1, 1) = 1 2, g z1, 1) = 3 2 och g z1, 1) = 5 8.