Formler och Tabeller. Digital signalbehandling

Institutionen för elektro- och informationsteknik Formler och Tabeller Digital signalbehandling Bengt Mandersson Lund 0 Department of Electrical and Information Technology, Lund University, Sweden

Innehåll Grundläggande samband 3. Trigonometriska formler........................ 3. Matristeori................................ 4.3 Kurvformer............................... 5.4 Några ofta förekommande samband.................. 5.5 Korrelation............................... 6.6 Kretsmodeller (en insignal, en utsignal)................ 6.7 Några beräkningsmetoder....................... 7.8 Analog sinussignal genom linjärt, kausalt lter............ 8.9 Tidsdiskret sinussignal genom linjärt, kausalt lter.......... 9 Transformer 0. Laplacetransform............................ 0.. Laplacetransform av kausala signaler............. 0.. Enkelsidig Laplacetransform av icke-kausala signaler...... Fouriertransform för tidskontinuerlig signal...............3 Z-transformen.............................. 4.3. Z-transform av kausala signaler................ 4.3. Enkelsidig Z-transform av icke kausala signaler........ 5.4 Fouriertransform för tidsdiskret signal................. 6.5 Fourierserieutveckling.......................... 8.5. Kontinuerlig tid......................... 8.5. Diskret tid............................ 8.6 Diskreta Fouriertransformen (DFT).................. 9.6. Denition............................ 9.6. Cirkulär faltning........................ 9.6.3 Icke-cirkulär faltning med DFT................ 0.6.4 Relation till Fouriertransformen X(f):............ 0.6.5 Relation till Fourierserier.................... 0.6.6 Parsevals teorem........................ 0.6.7 Några egenskaper hos DFT...................7 Några fönsterfunktioner och deras Fouriertransform......... 3 Sampling av analoga signaler 3 3. Sampling och rekonstruktion...................... 3 3. Distorsionsmått............................. 5 3.. Vikningsdistorsion vid sampling................ 5 3.. Periodiseringsdistorsion vid rekonstruktion.......... 5 3.3 Kvantiseringsdistorsion......................... 6 3.4 Decimering och interpolering...................... 6 4 Analoga lter 7 4. Filterapproximationer av ideala LP-lter............... 7 4.. Butterworthlter........................ 7 4.. Chebyshevlter......................... 8

4..3 Bessellter............................ 3 4. Frekvenstransformationer av analoga lter.............. 33 5 Tidsdiskreta lter 34 5. FIR-lter och IIR-lter......................... 34 5. FIR-lter med fönstermetoden..................... 34 5.3 Ekvirippel FIR-lter.......................... 37 5.4 FIR-lter med minstakvadratmetoden................. 37 5.5 IIR-lter................................. 38 5.5. Impulsinvarians......................... 38 5.5. Bilinjär transformation..................... 38 5.5.3 Koecientkvantisering..................... 39 5.6 Latticelter............................... 39 6 Spektralskattning 4

Grundläggande samband. Trigonometriska formler sin α = cos(α π/) sin(α β) = sin α cos β cos α sin β cos α = sin(α π/) cos(α β) = cos α cos β sin α sin β cos α sin α = sin α sin β = cos(α β) cos(α β) cos α sin α = cos α sin α cos β = sin(α β) sin(α β) sin α cos α = sin α cos α cos β = cos(α β) cos(α β) sin( α) = sin α sin α sin β = sin αβ cos α β cos( α) = cos α cos α cos β = cos αβ cos α β cos α = ( cos α) cos α = (ejα e jα ), sin α = j (ejα e jα ), e jα = cos α j sin α A cos α B sin α = A B cos(α β) där cos β = och β = A A, sin β = B B A B arctan B A om A 0 arctan B A π om A < 0 A cos α B sin α = A B sin(α β) där cos β = och β = B A, sin β = B A A B arctan A B om B 0 arctan A B π om B < 0 Grader Rad sin cos tan cot 0 0 0 0 ± 30 π 3 3 6 3 45 π 4 60 π 3 3 3 3 90 π 0 ± 0 3

. Matristeori Beteckning av matris A och vektor x En matris A av ordningen mxn och en vektor x med dimensionen n denieras av a a... a n a a... a n A =... a m a m... a mn Matrisen A är symmetrisk om a ij = a ji ij. I betecknar enhetsmatrisen. Transponering av matris A Determinant av matris A B = A T där b ij = a ji (AB) T = B T A T x = a a... a n a a... a n n deta = A = = a... ij ( ) ij detm ij i= a m a m... a mn där M ij är den matris som erhålles om rad i och kolumn j i matrisen A strykes. Speciellt gäller för en x matris: Invers av matris A där C denieras av detab = deta detb deta = a a a a A A = AA = I Speciellt gäller för en x matris: A = deta CT c ij = ( ) ij detm ij (AB) = B A A = deta (om deta#0) ( a a 4 a a ) x x. x n

Egenvärden och egenvektorer Egenvärdena (λ i, i =,,..., n) och egenvektorerna (q i, i =,,..., n) är lösningar till ekvationssystemet Aq = λq eller (A λi)q = 0 Egenvärdena kan beräknas som lösningar till karakteristiska ekvationen (sekularekvationen) till A det(λi A) = λ n α n λ n α 0 = 0 det(λi A) kallas karakteristiska polynomet (sekularpolynomet) till A..3 Kurvformer Enhetssteg u(t) = Impulsfunktion δ(t) = { t 0 0 t < 0 { t = 0 0 t # 0 δ(t)dt = Rektangelfunktion p(t) = x(t)δ(t)dt = x(0) t < 0 t > Sinc-funktion Periodisk sinc-funktion sinc x = sin πx πx diric(x, N) = sin ( ) Nx N sin ( ) x Komplex sinus Komplex odämpad sinus e st = e σt e jωt.4 Några ofta förekommande samband Summa av geometrisk serie N a n = n=0 N om a = a N a om a 5 e jωt = cos Ωt j sin Ωt

Summation av sinussignal över jämnt antal perioder N n=0 e jπ kn/n = { N om k = 0, ±N,... 0 f.ö..5 Korrelation Korrelation, korskorrelation, spektrum, korspektrum och koherens mellan in- och utsignal y(t) = h(t) x(t) y(n) = h(n) x(n) Y (F ) = H(F ) X(F ) Y (f) = H(f) X(f) r yy (τ) = r hh (τ) r xx (τ) r yy (n) = r hh (n) r xx (n) R yy (F ) = H(F ) R xx (F ) R yy (f) = H(f) R xx (f) r yx (τ) = h(τ) r xx (τ) r yx (n) = h(n) r xx (n) R yx (F ) = H(F ) R xx (F ) R yx (f) = H(f) R xx (f) r xx (τ) = t x(t)x(t τ)dt r xx(n) = l x(l)x(l n) r yx (τ) = t y(t)x(t τ)dt r yx(n) = l y(l)x(l n) γ xx (τ) = E{x(t)x(t τ)} γ xx (n) = E{x(l)x(l n)} γ yx (τ) = E{y(t)x(t τ)} γ yx (n) = E{y(l)x(l n)} Normalfördelade stok.var. X i N(m i, σ i ) E{X X X 3 X 4 } = E{X X } E{X 3 X 4 } E{X X 3 } E{X X 4 } E{X X 4 } E{X X 3 } m m m 3 m 4.6 Kretsmodeller (en insignal, en utsignal) ) Kanonisk form (direkt form II) x(n) b 0 y(n) -a z - v N (n) b -a z - v N- (n) b -a N- b N- z - -a N v (n) b N 6

) Dierensekvation 3) Tillståndsbeskrivning N M y(n) = a k y(n k) b k x(n k) k= k=0 där F = { v(n ) = Fv(n) q x(n) y(n) = g T v(n) d x(n) 0... 0 0.. 0 0 0 a k a k... a a.. ; q = 0 0. 4) Systemfunktion g T = (b k,..., b, b ) b 0 (a k,..., a, a ) ; d = b 0 H(z) = b 0 b z b M z M a z a N z N.7 Några beräkningsmetoder ) Faltning y(n) = h x = ) Tillståndsekvation a) Direkt lösning b) Impulssvar c) Systemfunktion k= y(n) = g T F n v(0) h(k)x(n k) = n k=0 k= h(n k)x(k) g T F n k qx(k)u(n ) dx(n) h(n) = g T F n qu(n ) dδ(n) H(z) = g T [zi F] q d 7

.8 Analog sinussignal genom linjärt, kausalt lter ) Komplex, icke-kausal insignal x(t) = e jω 0t = (cos(ω 0 t) j sin(ω 0 t)) < t < y(t) = τ=0 h(τ)x(t τ)dτ = ) Komplex, kausal insignal τ=0 h(τ)e jω 0(t τ) dτ = H(s) s=jω0 e jω 0t } {{ } stationär x(t) = e jω 0t u(t) = (cos(ω 0 t) j sin(ω 0 t)) u(t); X(s) = s jω 0 Y (s) = H(s)X(s) = T (s) N(s) 3) Reell, icke-kausal insignal s jω 0 = T (s) N(s) } {{ } transient y(t) = transient H(s) s=jω0 e jω 0t } {{ } stationär H(s) s=jω0 s jω 0 } {{ } stationär x(t) = Re{e jω 0t } = cos(ω 0 t) < t < y(t) = τ=0 4) Reell, kausal insignal h(τ)x(t τ)dτ = τ=0 h(τ) (ejω 0(t τ) e jω 0(t τ) )dτ = = H(s) s=jω0 cos(ω 0 t arg{h(s) s=jω0 }) } {{ } stationär x(t) = Re{e jω 0t } u(t) = cos(ω 0 t) u(t); X(s) = s s Ω 0 Y (s) = H(s)X(s) = T (s) N(s) s s Ω 0 = T (s) C s C 0 N(s) s Ω 0 } {{ } } {{ } transient stationär H(s) s=jω0 = A e jθ ; C = A cos(θ); C 0 = AΩ 0 sin θ y(t) = transient C cos(ω 0 t) C 0 sin(ω 0 t) = Ω } {{ 0 } stationär = transient H(s) s=jω0 cos(ω 0 t arg{h(s) s=jω0 }) } {{ } stationär 8

.9 Tidsdiskret sinussignal genom linjärt, kausalt lter ) Komplex, icke-kausal insignal x(n) = e jω 0n = (cos(ω 0 n) j sin(ω 0 n)) < n < y(n) = h(k)x(n k) = h(k)e jω0(n k) = H(z) z=e jω 0 e jω 0n } {{ } k=0 k=0 ) Komplex, kausal insignal stationär x(n) = e jω 0n u(n) = (cos(ω 0 n) j sin(ω 0 n)) u(n); X(z) = Y (z) = H(z)X(z) = T (z) N(z) 3) Reell, icke-kausal insignal e = T (z) jω 0 z N(z) } {{ } transient y(n) = transient H(z) z=e jω 0 stationär e jω 0n } {{ } e jω 0 z H(z) z=e jω 0 e jω 0 z } {{ } stationär x(n) = Re{e jω 0n } = cos(ω 0 n) < n < y(n) = h(k)x(n k) = h(k) k=0 k=0 (ejω 0(n k) e jω0(n k) ) = 4) Reell, kausal insignal = H(z) z=e jω 0 cos(ω 0 n arg{h(z) z=e jω 0 }) } {{ } stationär x(n) = Re{e jω 0n } u(n) = cos(ω 0 n) u(n); X(z) = Y (z) = H(z)X(z) = T (z) N(z) cos ω 0 z cos ω 0 z z = T (z) N(z) } {{ } transient cos ω 0 z cos ω 0 z z C 0 C z cos ω 0 z z } {{ } stationär H(z) z=e jω 0 = A e jθ ; C 0 = A cos(θ); C = A(sin ω 0 sin θ cos ω 0 cos θ) y(n) = transient C 0 cos(ω 0 n) C C 0 cos(ω 0 ) sin(ω 0 n) = sin(ω 0 ) } {{ } stationär = transient H(z) z=e jω 0 cos(ω 0 n arg{h(z) z=e jω 0 }) } {{ } stationär 9

Transformer. Laplacetransform.. Laplacetransform av kausala signaler I nedanstående tabell är f(t) = 0 för t < 0 (dvs f(t) u(t) = f(t)).. f(t) = F(s) = σj σ j F(s)est ds 0 f(t)e st dt. πj ν a ν f ν (t) ν a ν F ν (s) Linjäritet 3. f(at) a F( s a ) Skalning 4. f( t ) F(as) a > 0 Skalning a a 5. f(t t 0 ); t t 0 F(s) e st 0 Tidsförskjutning 6. f(t) e at F(s a) Frekvensförskjutning 7. 8. d n f s n F(s) Derivering dt n t 0 f(τ)dτ s 9. ( t) n f(t) dn F(s) ds n 0. f(t) t s F(s) Integrering Derivation i frekvensplanet F(z)dz Integration i frekvensplanet. lim t 0 f(t) = lim s s F(s) Begynnelsevärdesteoremet. lim t f(t) = lim s 0 s F(s) Slutvärdesteoremet 3. f (t) f (t) = F (s) F (s) t 0 f (τ)f (t τ)dτ = t 0 f (t τ)f (τ)dτ Faltning i tidsplanet 4. f (t) f (t) F πj (s) F (s) = πj σj σ j F (z) F (s z) dz Faltning i frekvensplanet 5. 0 f (t) f (t)dt = σj πj σ j F (s) F ( s)ds Parsevals relation 0

6. δ(t) 7. δ n (t) s n 8. s 9. n! t n s n 0. e σ 0t s σ 0. (n )! tn e σ 0t (s σ 0 ) n. sin Ω 0 t Ω 0 s Ω 0 3. cos Ω 0 t s s Ω 0 4. t sin Ω 0 t Ω 0 s (s Ω 0) 5. t cos Ω 0 t s Ω 0 (s Ω 0) 6. e σ 0t sin Ω 0 t 7. e σ 0t cos Ω 0 t Ω 0 (s σ 0 ) Ω 0 s σ 0 (s σ 0 ) Ω 0 8. e σ 0t sin(ω 0 t φ) (s σ 0) sin φ Ω 0 cos φ (s σ 0 ) Ω 0.. Enkelsidig Laplacetransform av icke-kausala signaler Beteckning F (s) = 0 f(t)e st dt Enkelsidig Laplacetransform, f(t) ej nödvändigtvis kausal. F(s) = F (s) För kausala signaler Vid derivering av f(t) erhålles d dt f(t) s F (s) f(0 ) Derivering en gång d n dt f(t) sn F (s) s n f(0 ) s n f () (0 )... f (n ) (0 ) Derivering n gånger

. Fouriertransform för tidskontinuerlig signal Ω = πf. w(t) = F {W (F )} = W (F ) = F{w(t)} = W (F )ejπf t df w(t)e jπf t dt. ν a ν w ν (t) ν a ν W ν (F ) 3. w ( t) W (F ) 4. W (t) w( F ) 5. w(at) W ( ) F a a 6. w(t t 0 ) W (F ) e jπf t 0 7. w(t) e jπf 0t W (F F 0 ) 8. w (t) W ( F ) 9. d n w(t) dt n (jπf ) n W (F ) 0. t w(τ)dτ jπf W (F ) om W (F ) = 0 för F = 0. jπt w(t) dw df. w (t) w (t) W (F ) W (F ) 3. w (t) w (t) W (F ) W (F ) 4. w(t) dt = W (F ) df Parsevals relation 5. w (t) w (t)dt = W (F ) W (F )df w (t), w (t) reella 6. δ(t) 7. δ(f ) 8. u(t) jπf δ(f ) 9. e at u(t) ajω

0. e a t a a Ω. e jπf 0t δ(f F 0 ). sinπf 0 t j {δ(f F 0) δ(f F 0 )} 3. sinπf 0 t u(t) Ω 0 Ω 0 Ω j 4 {δ(f F 0) δ(f F 0 )} 4. cosπf 0 t {δ(f F 0) δ(f F 0 )} 5. cosπf 0 t u(t) jω Ω 0 Ω 4 {δ(f F 0) δ(f F 0 )} 6. πσ e t /σ e (Ωσ) / 7. e at sinπf 0 t u(t) 8. e a t sinπf 0 t 9. e at cosπf 0 t u(t) 30. e a t cosπf 0 t Ω 0 (jω a) (Ω 0 ) Ω 0 (Ω 0 a Ω ) (Ω a Ω 0) 4a Ω 0 jω a (jω a) (Ω 0 ) a(ω 0 a Ω ) (Ω a Ω 0) 4a Ω 0 3. rect(at) = { för t < a 0 för f.ö. a sinc( F a ) a > 0 3. sinc(at) = sin(πat) πat a rect( F a ) a > 0 33. rep T (w(t)) = m= w(t mt ) T comb /T (W (F )) 34. T comb T (w(t)) = rep /T (W (F )) T m= w(mt )δ(t mt ) 35. n= c n δ(t nt ) n= T c nδ(f n T ) = c n e jπnt F 3

.3 Z-transformen.3. Z-transform av kausala signaler. X (z) = Z[x(n)] = n= x(n)z n Transform. x(n) = Z [X (z)] = πj Γ X (z)zn dz 3. ν a ν x ν (n) ν a ν X ν (z) Inverstransform Linjäritet 4. x(n n 0 ) z n 0 X (z) Skift (n 0 positivt eller negativt heltal) 5. nx(n) z d dz 6. a n x(n) X ( ) z a 7. x( n) X ( ) z 8. [ nl= x(l) ] z z X (z) X (z) Multiplikation med n Skalning Spegling av tidsföljden Summering 9. x y X (z) Y(z) Faltning 0. x(n) y(n) πj Γ Y(ξ)X ( ) z ξ ξ dξ Produkt. x(0) = lim z X (z) (om gränsvärdet existerar) Begynnelsevärdesteoremet. lim n x(n) = lim z (z )X (z) Slutvärdesteoremet (om ROC inkluderar enhetscirkeln) 3. 4. l= x(l)y(l) = πj Γ x(z)y ( ) z z dz Parsevals teorem för reellvärda tidsföljder l= x (l) = πj Γ X (z)x (z )z dz -- 4

Talföljd Transform x(n) X (z) 5. δ(n) 6. u(n) z 7. nu(n) z ( z ) 8. α n u(n) αz 9. (n )α n u(n) ( αz ) 0. (n )(n )... (n r ) (r )! α n u(n) ( αz ) r. α n cos βn u(n). α n sin βn u(n) z α cos β z α cos β α z z α sin β z α cos β α z 3. F n u(n) (I z F).3. Enkelsidig Z-transform av icke kausala signaler Beteckning X (z) = n=0 x(n)z n Enkelsidig Z-transform, x(n) ej nödvändigtvis kausal X (z) = X (z) För kausala signaler Vid skift av x(n) erhålles: i) skift ett steg ii) skift n 0 steg (n 0 0) x(n ) z X (z) x( ) x(n ) zx (z) x(0) z x(n n 0 ) z n 0 X (z) x( )z n 0 x( )z n 0... x( n 0 ) x(n n 0 ) z n 0 X (z) x(0)z n 0 x()z n 0... x(n 0 )z 5

.4 Fouriertransform för tidsdiskret signal. X(f) = F(x(n)) = Transform = l= x(l)e jπfl ω = πf. x(n) = / π π X(f)ejωn dω 3. = π / X(f)ejπfn df = Inverstransform aν x ν (n) ν a ν X ν (f) Linjäritet 4. x(n n 0 ) X(f) e jπfn 0 Skift 5. x(n)e jπf 0n X(f f 0 ) Frekvenstranslation 6. x(n) cos πf 0 n [X(f f 0) X(f f 0 )] Modulation 7. x(n) sin πf 0 n j [X(f f 0) X(f f 0 )] Modulation 8. x y X(f) Y (f) Faltning 9. x y / / X(λ) Y (f λ)dλ Produkt 0. Parsevals teorem / X(f)Y (f)df för reellvärda tidsföljder l= x(l)y(l) = = /. X(f) = X (e jω ) Om x(n) = 0 för n < n 0 och l= x(l) < (Gäller t.ex.: 8,9,0, och i Z-transformtabellen för α < ). δ(n) 3. δ(n n 0 ) e jωn 0 4. n p= δ(f p) 5. u(n) p= δ(f p) j tan(πf) 6

6. f sinc(f n) = f sin(πf n) πf n ( ) rect f p f = Idealt LP-lter 7. 4f sinc(f n) cos(πf 0 n) ( ) rect f f0 p f f n < f < /, n heltal 0 f.ö. ( ) rect f f0 p f Idealt BP-lter 8. πf n cos πf n sin πf n πn jπ(f n) (jπf) p = 0 f.ö. Deriverande"krets f n < f < /, n heltal 9. cos(πf 0 n) p= [δ(f f 0 p) δ(f f 0 p)] 0. α n α α α cos πf. α n cos(πf 0 n) α. p r (n) = [ ] α α cos π(f f 0 ) α α cos π(f f 0 ) n M 0 f.ö. M udda P r (f) = sin(πfm) sin(πf) Rektangulärt fönster 7

.5 Fourierserieutveckling.5. Kontinuerlig tid En periodisk funktion med perioden T 0, dvs f(t) = f(t T 0 ), kan uttryckas i en serieutveckling enligt där c k = T 0 f(t) = k= c k e jπkf 0t T 0 f(t)e jπkf 0t dt ; F 0 = T 0 Om f(t) reell kan detta också uttryckas där f(t) = c 0 c k cos(πkf 0 t θ k ) = = a 0 k= k= a k cos πkf 0 t b k sin πkf 0 t a 0 = c 0 = T 0 T 0 f(t)dt a k = c k cos θ k = T 0 T 0 f(t) cos(πkf 0 t)dt b k = c k sin θ k = T 0 Eekten ges av (Parsevals relation) För reella signaler gäller också att P = T 0 T 0 f(t) dt = T 0 f(t) sin(πkf 0 t)dt k= c k P = c 0 c k = a 0 (a k b k= k) k=.5. Diskret tid En periodisk funktion med perioden N, dvs f(n) = f(n N), kan uttryckas i en serieutveckling enligt där c k = N N n=0 f(n) = N k=0 jπk n/n c k e f(n) e jπk n/n, k = 0,..., N Serieutvecklingen betecknas ofta med DTFS (discrete-time Fourier series). 8

Om f(n) reell kan detta också uttryckas där Eekten ges av ( L f(n) = c 0 c k cos π kn ) k= N θ k = ( ( L = a 0 a k cos π kn ) ( b k sin π kn )) k= N N a 0 = c 0 a k = c k cos(θ k ) b k = c k sin(θ k ) N L = P = N och energin över en period ges av E N = N n=0 N n=0 om N jämn N om N udda f(n) = f(n) = N N k=0 N k=0 c k c k.6 Diskreta Fouriertransformen (DFT).6. Denition OBS: X k = DF T (x n ) = x n = IDF T (X k ) = N N n=0 N n=0 N k=0 e jπ k k 0 N.6. Cirkulär faltning x n N y n = N l=0 x n e jπnk/n k = 0,,..., N Transform X k e jπnk/n n = 0,,..., N Inversion n = N δ(k k 0, (modulo N)) x l y n l,modulon DFT X k Y k Cirkulär faltning Detta betyder att x n - och y n -sekvenserna skall upprepas periodiskt före summationen, dvs utanför intervallet n = 0,,..., N gäller vid summationen att x n ln = x n och y n ln = y n (l = heltal) dvs index beräknas modulo N. Cirkulär faltning betecknas också x(n) y(n). 9

.6.3 Icke-cirkulär faltning med DFT Om x(n) = 0 för n [0, L ] och y(n) = 0 för n [0, M ] så är x y = 0 för n [0, N ] där N L M. Faltningen kan beräknas ur där x y = x N y = IDFT(X k Y k ) n = 0,,..., N 0 f.ö. X k = DFT(x(n)) Y k = DFT(y(n)).6.4 Relation till Fouriertransformen X(f): X(k/N) = X k = DF T (x(n)) om x(n) = 0 för n [0, N ] X(k/N) = X k = DF T (x p (n)) allmänt x(n) där x p (n) =.6.5 Relation till Fourierserier om där och X c k = N ( ) k = X k = DF T (x(n)) = N c k N x(n) = x p (n), 0 n N x p (n) =.6.6 Parsevals teorem N n=0 N k=0 nk jπ c k e N < n < nk jπ x p (n)e N k = 0,,..., N l= x(n ln) N n=0 x(n)y (n) = N N k=0 X k Y (k) 0

.6.7 Några egenskaper hos DFT Tid Frekvens x(n), y(n) X(k), Y (k) x(n) = x(n N) X(k) = X(k N) x(n ) X(N k) x((n )) N X(k)e jπk/n x(n)e jπn/n X((k )) N x (n) X (N k) x (n) N x (n) X (k)x (k) x(n) N y ( n) X(k)Y (k) x (n)x (n) N (k) N X (k) N n=0 x(n)y (n) N N k=0 X(k)Y (k).7 Några fönsterfunktioner och deras Fouriertransform i) Fönsterfunktionerna centrerade kring origo (M udda) dvs funktionerna är skilda från 0 bara för (M )/ n (M )/ Rektangelfönster: Hanningfönster: Hammingfönster: Blackmanfönster: w rect (n) = W rect (f) = M sin(πfm) Msin(πf) w hanning (n) = 0.5 0.5cos ( πn ) M W hanning (f) = 0.5 W rect (f) 0.5 W rect ( f ) M ) 0.5 W rect ( f M w hamming (n) = 0.54 0.46cos ( πn ) M W hamming (n) = 0.54 W rect (f) 0.3 W rect ( f ) M ) 0.3 W rect ( f M w blackman (n) = 0.4 0.5cos πn 4πn 0.08cos M M

W blackman (f) = 0.4 W rect (f) 0.5 W rect ( f Bartlettfönster (triangelfönster): w triangel (n) = W triangel (f) = M 0.5 W rect ( f 0.04 W rect ( f ) M ) M ) M ) 0.04 W rect ( f M n (M )/ ( sin πfm ) M sin(πf) M W rect ii) Fönsterfunktioner denierade för 0 n M (M udda) Hanning Hamming Blackman w hanning (n) = 0.5 cos π ( n M M ( ( )) n = 0.5 cos π M ( ) f för små f ) = w hamming (n) = 0.54 0.46 cos π ( ) n M M πn = 0.54 0.46 cos M w blackman (n) = 0.4 0.5 cos π ( ) n M M 0.08 cos 4π ( ) n M = M Triangelfönster (Bartlett) = 0.4 0.5 cos w triangel (n) = πn 4πn 0.08 cos M ( ) n M M = M

3 Sampling av analoga signaler 3. Sampling och rekonstruktion Fouriertransformer Tidskontinuerlig signal: X a (F ) = x a(t)e jπf t dt Tidsdiskret signal: x a (t) = X a(f )e jπf t df X(f) = n= x(n)e jπfn Samplingsteoremet x(n) = / / X(f)ejπfn df För bandbegränsad x a (t), dvs X a (F ) = 0 för F /T gäller x a (t) = Samplingsfrekvens F s = /T. Sampling n= x(n) sin π (t nt ) T (t nt ) π T Rekonstruktion (idealt) x(n) = x a (nt ) ; T = F s ( ) F X(f) = X = F s X a (F kf s ) Fs k= ( ) F Γ(f) = Γ = F s Fs x a (t) = X a (F ) = F s X n= ( ) F Fs Γ a (F ) = ( ) F Γ F s Fs Rekonstruktion med sample-and-hold k= Γ a (F kf s ) x(n) sin π (t nt ) T (t nt ) π T F F s F F s X a (F ) = ( ) F X sin(πf T ) e jπf T HLP (F ) F s Fs πf T Γ a (F ) = ( ) F Γ sin(πf T ) H F s Fs πf T LP (F ) 3

Blockschema över D/A omvandling Ideal rekonstruktion x(n) T Lågpass y (t) a -Fs/ Fs/ x(n) Σ δ( t-n T) n x() T y (t) a X(f) n t t F X( ) T Fs Y (F) a f F F -.5.5 -Fs/ Fs/ -Fs/ Fs/ y a (t) = Y a (F ) = F s X Rekonstruktion med sample-and-hold x(n) sin π (t nt ) T (t nt ) n= ( ) F Fs π T F F s x(n) h SH (t) Lågpass y a (t) T -Fs/ Fs/ x(n) Σ δ( t-n T) n y a (t) n t t X(f) F X( ) H (F) Y (F) Fs SH a f F F -.5.5 -Fs/ Fs/ -Fs/ Fs/ Y a (F ) = ( ) F X F s Fs sin(πf T ) πf T 4 e jπf T HLP (F )

3. Distorsionsmått 3.. Vikningsdistorsion vid sampling Spektrum efter antivikningslter: Vikningsdistorstion: Nyttig signaleekt: där 0 F p F s / Signaldistorsionsförhållande: D A = Γ in (F ) F s F p Γ in (F )df Fp D s = Γ in (F )df 0 A: SDR A = D S D A = F p Γ 0 in (F )df Γ in(f )df Fs Fp B: SDR 0 A = min F Fp Γ in (F ) Γ in (F s F ) Vid monotont avtagande spektrum blir SDR 0 A = Γ in(f p ) Γ in (F s F p ) 3.. Periodiseringsdistorsion vid rekonstruktion Periodiseringsdistorsion: Nyttig signaleekt: Signaldistorsionsförhållande: D P = D S = F s/ Fs / A: SDR P = D S D P = B: SDR 0 P = min F <Fs/ 0 Γ ut (F )df Γ ut (F )df F s/ Γ ut (F )df 0 Γ ut(f )df Fs/ Γ ut (F ) Γ ut(f s F ) Ett bra mått ges ofta av SDRP 0 = Γ ut(f p ) Γ ut (F s F p ) där F p svarar mot högsta frekvenskomponenten hos den samplade signalen. 5

3.3 Kvantiseringsdistorsion D Q linjär kvantisering, litet SDR Q = Signaleekt D q Kvantiseringsdistorsion vid sinussignal, maximal utstyrning, r bitar SDR Q =.76 6 r[db] Kvantiseringsdistorsion, utstyrning uttryckt i topp- och RMS-värde, r bitar SDR Q = 6 r.76 0 0 log där [ V, V ] är kvantiserarens utstyrningsområde. 3.4 Decimering och interpolering Nedsampling med en faktor M Uppsampling med en faktor L ( ) ( ) Apeak V A RMS 0 0 log A peak M y(n) = {... u(0), u(m), u(m)...} Y (f) = M M i=0 U ( ) f i M L w(n) = {... x(0), 0, 0,..., x(), 0, 0,..., x()...} } {{ } } {{ } W (f) = X(fL) L- st L- st 6

4 Analoga lter 4. Filterapproximationer av ideala LP-lter Allmän form på approximationens amplitudfunktion H(Ω) = K g N ( ( ΩΩp ) ) Ω = πf där ( ) g N Ω Ω p Ω Ω p < Ω Ω p > och Ω p är ltrets gränsvinkelfrekvens. Ibland kan det vara lämpligt att normera vinkelfrekvensen med Ω p. Detta svarar mot att man sätter Ω p = i detta avsnitt. 4.. Butterworthlter H(Ω) = K ( ) N Ω Ω p H( Ω) Kurvan går alltid genom dessa punkter 3dB K K Ω p Ω K = amplitudfunktionens maximivärde. K = amplitudfunktionens värde för Ω = 0. Systemfunktionens nämnare är Butterworthpolynom om Ω p =. Dessa polynom nns i Tabell.. För allmänt Ω p gäller H(s) = ( s Ω p ) N an ( s Ω p ) N a ( s Ω p ) där a,..., a N erhålles ur Tabell 4.. 7 K

Tabell 4. Koecienter a ν i Butterworthpolynom s N a N s N... a s N a a a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 3 4.63 3.44.63 5 3.36 5.36 5.36 3.36 6 3.864 7.464 9.4 7.464 3.864 7 4.494 0.03 4.606 4.606 0.03 4.494 8 5.6 3.38.848 5.69.848 3.38 5.6 Tabell 4. Faktoriserade Butterworthpolynom för Ω p =. För Ω p låt s s/ω p. N (s ) (s s ) 3 (s s )(s ) 4 (s 0.76536s )(s.84776s ) 5 (s )(s 0.680s )(s.680s ) 6 (s 0.576s )(s s )(s.938s ) 7 (s )(s 0.4450s )(s.465s )(s.80s ) 8 (s 0.3896s )(s.0s )(s.6630s )(s.96s ) 4.. Chebyshevlter H(Ω) = K ( ) ε TN Ω Ωp Ripple H( Ω) N udda K K ε N jämn Ω p Kurvan går alltid genom denna punkt Ω OBS! Ej nödvändigtvis 3dB-gräns 8

Ripple = 0 log( ε ) db. K = amplitudfunktionens maximivärde. K amplitudfunktionens värde för Ω = 0 då N är jämn. T N ( Ω Ω p ) är Chebyshevpolynom. (Betecknas även med C N ( Ω Ω p )). Dessa nns i Tabell 4.3 för Ω p =. För Ω p låt Ω Ω Ω p i Tabell 4.3. Systemfunktionen H(s) = K a 0 { N udda N jämn ε ( s Ω p ) N an ( s Ω p ) N a0 där ε, a 0,..., a N erhålles ur Tabell 4.4. Pollägena till H(s) nns i Tabell 4.5 för Ω p =. För Ω p multipliceras pollägena med Ω p. Tabell 4.3 Chebyshevpolynom. eller cos(n arccosω) Ω T N (Ω) = cosh(n arccoshω) Ω T N (Ω) = Rekursiv beräkning ( Ω Ω ) N ( Ω Ω ) N T N (Ω) = ΩT N (Ω) T N (Ω) Ω = πf Ω N T N (Ω) 0 Ω Ω 3 4Ω 3 3Ω 4 8Ω 4 8Ω 5 6Ω 5 0Ω 3 5Ω 6 3Ω 6 48Ω 4 8Ω 7 64Ω 7 Ω 5 56Ω 3 7Ω 8 8Ω 8 56Ω 6 60Ω 4 3Ω 9 56Ω 9 576Ω 7 43Ω 5 0Ω 3 9Ω 0 5Ω 0 80Ω 8 0Ω 6 400Ω 4 50Ω 9

Tabell 4.4. Koecienterna a ν i Chebyshevlter. 0.5dB ripple (ε = 0.349, ε = 0.). N a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a a a 0.863.46.56 3.53.535 0.76 4.97.77.05 0.379 5.7.937.309 0.75 0.79 6.59.7.589.7 0.43 0.095 7.5.43.869.648 0.756 0.8 0.045 8.46.657.49.84.48 0.573 0.5 0.04 -db ripple (ε = 0.509, ε = 0.59). N a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a a a 0.965.098.0 3 0.989.38 0.49 4 0.953.454 0.743 0.76 5 0.937.689 0.974 0.580 0.3 6 0.98.93.0 0.939 0.307 0.069 7 0.93.76.49.357 0.549 0.4 0.03 8 0.90.43.655.837 0.447 0.448 0.07 0.07 -db ripple (ε = 0.765, ε = 0.585). N a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a a a 0.307 0.804 0.83 3 0.738.0 0.37 4 0.76.56 0.57 0.06 5 0.705.499 0.693 0.459 0.08 6 0.70.745 0.867 0.77 0.0 0.05 7 0.698.994.039.44 0.383 0.66 0.00 8 0.696.4..579 0.598 0.359 0.073 0.03 3-dB ) ripple (ε = 0.998, ε = 0.995). N a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a a a 0.00 0.645 0.708 3 0.597 0.98 0.5 4 0.58.69 0.405 0.77 5 0.575.45 0.549 0.408 0.063 6 0.57.663 0.69 0.699 0.63 0.044 7 0.568.9 0.83.05 0.300 0.46 0.06 8 0.567.6 0.97.467 0.47 0.3 0.056 0.0 *) Tabellen är uträknad för "exakt"3db, ej för 0 log 3.0dB. Därav ε och a 0 för N =. 30

Tabell 4.5. Pollägen för Chebyshevlter. 0.5dB ripple (ε = 0.349, ε = 0.). N = 3 4 5 6 7 8 -.863-0.73-0.66-0.75-0.36-0.078-0.56-0.044 ±j.004 ±j.06 ±j.008 ±j.005-0.33-0.43-0. -0. -0.057-0.4 ±j.0 ±j0.4 ±j.0 ±j0.738 ±j.006 ±j0.85-0.93-0.90 ±0.60-0.86 ±j0.65 ±j0.70 ±j0.807 ±j0.570-0.3-0.0 ±j0.448 ±j0.00 -db ripple (ε = 0.509, ε = 0.59). N = 3 4 5 6 7 8 -.965-0.549-0.494-0.39-0.89-0.06-0.05-0.035 ±j0.895 ±j0.983 ±j0.993 ±j0.996-0.47-0.337-0.089-0.70-0.046-0.00 ±j0.966 ±j0.407 ±j0.990 ±j0.77 ±j0.995 ±j0.845-0.34-0.3-0.8-0.49 ±j0.6 ±j0.66 ±j0.798 ±j0.564-0.85-0.76 ±j0.443 ±j0.98 -db ripple (ε = 0.765, ε = 0.585). N = 3 4 5 6 7 8 -.307-0.40-0.369-0.05-0.8-0.047-0.55-0.06 ±j0.83 ±j0.958 ±j0.98 ±j0.990-0.84-0.53-0.067-0.8-0.034-0.075 ±j0.93 ±0.397 ±j0.973 ±0.79 ±j0.987 ±j0.839-0.77-0.75-0.097-0.3 ±j0.60 ±j0.63 ±j0.79 ±j0.56-0.40-0.33 ±j0.439 ±j0.97 3-dB ) ripple (ε = 0.998, ε = 0.995). N = 3 4 5 6 7 8 -.00-0.3-0.99-0.085-0.77-0.038-0.6-0.0 ±j0.777 ±j0.946 ±j0.976 ±0.987-0.493-0.06-0.055-0.04-0.08-0.06 ±j0.904 ±j0.39 ±j0.966 ±0.75 ±j0.983 ±j0.836-0.44-0.43-0.079-0.09 ±j0.597 ±j0.6 ±j0.789 ±j0.559-0.4-0.08 ±j0.437 ±j0.96 *) Se anmärkning Tabell 4.4. 3

4..3 Bessellter Bessellter ger en maximalt at grupplöptid. Koecienter till Besselpolynom. n a 0 a a a 3 a 4 a 5 3 3 3 5 5 6 4 05 05 45 0 5 945 945 40 05 5 6 0395 0395 475 60 0 Rötter till Besselpolynom. n.0000.5000 ±j0.8660 3.3.8389 ±j.7544 4.896 ±j0.867.038 ±j.6574 5 3.6467 3.350 ±j.747.347 ±j3.570 6 4.484 ±j0.8675 3.7357 ±j.663.559 ±j4.497 Faktoriserade Besselpolynom n s s 3s 3 3 3 (s 3.6778s 6.45944)(s.39) 5 4 (s 5.794s 9.403)(s 4.0758s.4878) 05 5 (s 6.7039s 4.75)(s 4.64934s 8.563)(s 3.64674) 945 6 (s 8.4967s 8.803)(s 7.474s 0.858) (s 5.0386s 6.540) 0395 3

4. Frekvenstransformationer av analoga lter. Utgå från frekvenserna för kravspecikationen i det analoga högpass-, bandpass- eller bandspärrltret. I det färdiga ltret blir Ω Ω = Ω l Ω u.. Transformera till LP-ltrets frekvenser Ω p =, Ω r. 3. Sök LP-ltrets koecienter. 4. Transformera tillbaka till ursprungsltret (HP, BP, BS) genom att byta s i H(s) enligt nedan. För BP, BS transformeras lämpligen polerna direkt om H(s) ska ges faktoriserad i :a-gradspolynom. Beräkna eventuellt nytt värde på Ω eller Ω (om A B). Α(Ω) LP HP BP BS Α(Ω) Α(Ω) Α(Ω) Ω r Ω Ω r Ω u Ω Ω Ω l Ω uω Ω Ω l Ω Ω Ωu Ω S Ω u s (s Ω l Ω u ) s(ω u Ω l ) s(ω u Ω l ) (s Ω l Ω u ) Framåt Bakåt LP-HP Ω r = Ω u /Ω r Ω r = Ω u /Ω r LP-BP Ω av = (Ω u Ω l )/ Ω r = min( A, B ) Ω = Ω rω av Ω l Ω u Ω av Ω r A = ( Ω Ω l Ω u )/[Ω (Ω u Ω l )] Ω = Ω rω av Ω l Ω u Ω av Ω r B = (Ω Ω l Ω u )/[Ω (Ω u Ω l )] s BP = S LP Ω av ± (S LP Ω av ) Ω u Ω l ) LP-BS Ω av = (Ω u Ω l )/ Ω r = min( A, B ) Ω = Ω av/ω r Ω l Ω u Ω av /Ω r A = Ω (Ω u Ω l )/( Ω Ω l Ω u ) Ω = Ω av/ω r Ω l Ω u Ω av /Ω r B = Ω (Ω u Ω l )/( Ω Ω l Ω u ) s BP = Ω av /S LP ± (Ω av /S LP ) Ω u Ω l ) 33

5 Tidsdiskreta lter 5. FIR-lter och IIR-lter FIR-lter IIR-lter H(z) = b 0 b z... b M z M h(n) = { bn 0 n M 0 för övrigt H(z) = b 0 b z... b M z M a z... a N z N h(n) = Z {H(z)} 5. FIR-lter med fönstermetoden Impulssvar h(n) = h d (n) w(n) med önskad impulssvar h d (n) och spektrum H d (ω) (i 0 ω π) och tidsfönster w(n) Lågpass: h d (n) = ω c π ( ) sin ω c n M ( ) ω c n M Bandpass: Högpass: H d (ω) = ( h d (n) = cos (ω 0 H d (ω) = { e jω (M )/ ω < ω c 0 för övrigt n M )) ωc π ( ) sin ω c n M ( ) ω c n M { e jω (M )/ ω 0 ω c < ω < ω 0 ω c 0 för övrigt ( h d (n) = δ n M ) ω c π ( ) sin ω c n M ( ) ω c n M { e jω (M )/ ω > ω H d (ω) = c 0 för övrigt Filtrets spektrum H(ω) = H d (ω) W (ω) och vid gränsfrekvensen ω c är dämpningen 6dB. Vid dimensionering av lter ger nedanstående tabeller en grov approximation av erforderlig längd M. 34

Tabell 5. Storlek på huvudlob och sidolob för några vanliga fönsterfunktioner. Approximativ Största Fönster bredd av sidolob huvudlob (db) Rectangular 4π/M -3 Bartlett 8π/M -7 Hanning 8π/M -3 Hamming 8π/M -43 Blackman π/m -58 Tabell 5. Storlek på övergångszon och sidolob för några fönsterfunktioner. Fönster Övergångszonens Största sidolob bredd (Hz) (db) Rektangulärt 0.6/M - Hamming.7/M -55 Blackman 3/M -75 En bättre approximation erhålles med utnyttjande av sambandet (f litet, M stort) sin(πfm) M sin(πf) sin(πfm) πfm (f litet, M stort.) H(f) som funktion av x = (f f c ) M med M = 99, f c = 0. för rektangelfönster, hammingfönster och blackmanfönster ges i guren på nästa sida. 35

Dämpningskurvor för fönsterlter 0 x = { (f fc ) M lågpasslter (f f c ) M högpasslter H(f) /db 3 4 5 6 0 0 0 7 8 9. 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 x 0 Dämpning i db 30 40 50 Rektangel 60 70 80 Hamming Blackman 90 0.5 0 0.5.5.5 3 3.5 4 x=(f fc)*m Övergångszon för FIR-lter, konstruerade med fönstermetoden, M = 99 och f c = 0.. x-axel graderad med x = (f f c )M. För högpasslter använd x = (f f c )M. Ger en användbar approximation för M > 0. Bättre approximatioin för stora M. Den lilla guren visar området runt x = 0. Filtren konstruerade med Rektangelfönster Hammingfönster Blackmanfönster 36

5.3 Ekvirippel FIR-lter Dimensionering av ekviripplelter enligt Remez algoritmen. Approximativt enligt Kaiser. H(f) δp - δp δs f p fs f N = D (δ p, δ s ) f f = f s f p D (δ p, δ s ) = 0 log δ p δ s 3 4.6 5.4 FIR-lter med minstakvadratmetoden Minimering av ger och M n=0 E = n [x(n) h(n) d(n)] h(n)r xx (n l) = r dx (l) l = 0,..., M E min = r dd (0) M k=0 h(k)r dx (k) där r xx (l) är korrelationsfunktionen för x(n) och r dx (l) är korskorrelationen mellan d(n) och x(n). I matrisform kan detta skrivas R xx h = r dx h = R xx r dx E min = r dd (0) h T r dx 37

5.5 IIR-lter Bestämning av IIR-lter utgående från analoga lter. 5.5. Impulsinvarians.. h(n) = h a (nt ) h a (t) = e σ 0t H a (s) = s σ 0 H(z) = e σ 0T z h a (t) = e σ 0t cos Ω 0 t H a (s) = s σ 0 (s σ 0 ) Ω 0 3. H(z) = z e σ 0T cos Ω 0 T z e σ 0T cos Ω 0 T z e σ 0T h a (t) = e σ 0t sin Ω 0 t H a (s) = Ω 0 (s σ 0 ) Ω 0 H(z) = 5.5. Bilinjär transformation Frekvenstransformation (prewarp") z e σ 0T sin Ω 0 T z e σ 0T cos Ω 0 T z e σ 0T F prewarp = T Analog lterkonstruktion i variabeln Ω prewarp. tan(πf) π H(z) = H a (s) där s = T T är en normeringsfaktor (kan oftast väljas =). z z 38

5.5.3 Koecientkvantisering Polföryttning då koecienterna a,..., a k ändras a,..., a k p i p i a a p i a k a k Vid normalform (direktform II) gäller 5.6 Latticelter p i a j = p k j i (p i p )(p i p )... (p i p k ) } {{ } k st faktorer (p i p i ) skall ej tas med f 0(n) f (n) f (n)... f M-(n) = y(n) x(n) K K K K K z - z - g 0(n) g (n) Lattice FIR... z - g (n) g (n) M- x(n) f N (n) - f N- (n) K N f (n)... f (n) f 0(n) = y(n) - - K K g (n) N K N z -... K z - g (n) Lattice all-pole IIR g (n) K z - g (n) 0 x(n) f N (n) f N- (n) f (n) f (n)... - K - - N K K f (n) 0 g (n) N v N K N z -... g (n) v K z - g (n) v K z - g (n) 0 v 0... y(n) Lattice-ladder 39

A 0 (z) = B 0 (z) = { Am (z) = A m (z) K m z B m (z) B m (z) = K m A m (z) z B m (z) där A m (z) = K m (A m (z) K m B m (z)) A m (z) = Z{α m (n)} med K m = α m (m) B m (z) = Z{β m (n)} Samband mellan A m (z) och B m (z) B m (z) = z m A m (z ) och β m (k) = α m (m k) Lattice-FIR Lattice-all pole IIR Lattice-ladder där och H(z) = A M (z) H(z) = A N (z) H(z) = C N(z) A N (z) = c 0 c z... c N z N A N (z) C m (z) = C m (z) v m B m (z) c m (m) = v m m = 0,,..., N 40

6 Spektralskattning Spektralskattning γ xx (m) = E{x(n)x(n m)} autokorrelation Periodogram Γ xx (f) = m= γ xx e jπfm eektspektrum r xx (m) = N P xx (f) = N m n=0 x(n)x(n m) 0 m N N r xx (m)e jπfm = N x(m)e jπfm m= N N m=0 eektspektrum (estimat) autokorrelation (estimat) E{r xx (m)} = ( m ) N γ xx (m) γ xx (m) då N var(r xx (m)) N n= [γ xx(n) γ xx (n m)γ xx (n m)] 0 då N E{P xx (f)} = / / Γ xx (α)w B (f α)dα där W B (f) är Fouriertransformen av Bartlettfönstret ( ) m N var(p xx (f)) = Γ xx(f) om x(n) Gaussisk. Periodogram med DFT: ( ) sinπfn Γ Nsinπf xx(f) då N P xx ( k N ) = N N nk jπ x(n)e N n=0 k = 0,..., N 4

Medelvärdesbildning av periodogram Quality factor Q = [E{P xx(f)}] Relativ varians Q Q tid-bandbreddsprodukt. var(p xx (f)) Periodogram f = 0.9 M Q = Bartlett (N = K M) f = 0.9 M Q B = N M Rektangulärt fönster Ingen överlappning Welch (N = L M) f =.8 M Q B = 6 9 N M Blackman/Tukey f = 0.6 M f = 0.9 M Q B = N M Q B = 3 N M Triangulärt fönster 50% överlappning Rektangulärt fönster Triangulärt fönster Upplösning f beräknad i -3dB punkterna från fönstrets huvudlob. 4