Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna framför parenteserna. Behåll parenteserna då det finns ett minustecken strax framför. Utför inte fler steg på en gång än du klarar av (x + h) 7(x + h) (x 7x ) (x + h) 7(x + h + hx) (x 7x ) x + h (7x + 7h + 14hx) x + 7x x + h 7x 7h 14hx x + 7x h 7h 14hx Kommentarer: Vilka bokstäver man använder spelar förstås ingen roll. Det går lika bra om man byter ut y mot h, som när man på lågstadiet byter äpplen mot päron. Kom nu ihåg att det är bäst att behålla parenteserna så länge! Har man flera bokstavsfaktorer i en term brukar det vara vanligt att ordna dem i bokstavsordning skriv hellre 4hx än 4xh. 1110 c) Vi är på jakt efter ett av de tre mönstren: 1111 d) Första kvadreringsregeln x + xy + y = (x + y) Andra kvadreringsregeln x xy + y = (x y) Första kvadreringsregeln x y = (x + y)(x y) Vi ska alltså använda någon av dessa regler baklänges. 50a + 40a + 8 (5a + 0a + 4) (5a + ) Kommentarer: Varken 50 eller 8 är heltalskvadrater. Därför kan vi inte tillämpa någon av reglerna direkt. Men om vi bryter ut ser det bättre ut. Det är alltså första kvadreringsregeln som kommer till användning här. 5x (x + 1)(x 3) = 3(x + 4)(x 4) 5x (x 6x + x 3) = 3(x 4x + 4x 16) 5x x + 5x + 3 = 3x 48 5x x 3x + 5x = 48 3 x = 51 5 Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

Kommentarer: Starta med att utveckla parenteserna, men behåll dem. I andra steget tar vi bort parentesen på vänster sida och observerar samtidigt att det finns en minustecken framför den på vänstra sidan. På högra sidan kan vi multiplicera in 3 och samtidigt ta bort parentesen. Samla nu alla x och x -termer på vänster sida. Vilken tur att x -termerna försvann vi har ju inte talat om andragradsekvationer ännu! Resultatet 51/5 är lika med 10., som det står i bokens facit. 1113 Givet y(x) =.15 +.1x 0.41x Vi har fått i uppgift att bestämma y(.5) y(.0). y(.5) =.15 +.1.5 0.41.5 = 4.8375 y() = +.1 0.41 = 4.71 y(.5) y() = 4.8375 4.56 = 0.175 Kommentarer: Sätt in (substituera) x med respektive.5 och och låt räknedosan göra resten. Som extra bonus får du här funktionen plottad. Eftersom det handlar om basket är det inte förvånande att det här visar sig en kastparabel, en andragradsfunktion med negativ x -term. Figur 1: Utkastet sker antagligen från x = 0. Det verkar ju troligt att då spelaren står med händerna över huvudet så befinner sig bollen mer än meter över golvet (x-axeln). När bollen har nått x-koordinaten har bollen nästan nått sin högsta punkt. Om x =.5 verkligen är det x-värde då bollen nått maximal höjd kommer vi att kunna avgöra senare i kursen. Det 0.175 vi fått som svar anger hur mycket bollen stigit från golvet sedan senaste avläsningen, x =. 1114 Vi ska här hantera tillverkningskostnad T, vinst V och försäljningspris P då man tillverkar q enheter. V(q) = qp T(q). Den totala omsättningen vid försäljning av q enheter får man genom qp, som anger hur mycket pengar man får in om priset är P kr/enhet. I detta speciella fall är P = 90 kr/enhet vilket ger formeln V(q) = 90q (800 + 15q + 0.3q ) = 90q 800 15q 0.3q = 75q 800 0.3q Återigen en graf som extra bonus: Vad säger den? Att det finns en högsta total vinst som man får om man tillverkar ungefär 15 enheter då vinsten verkar bli omkring 4000 kr. Om man tillverkar fler än 30 enheter blir det förlust! Vad det beror på kan vi bara gissa. För dyr lagerhållning eller för stort slitage på maskiner (eller personal!) Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

4000 3000 000 1000-1000 50 100 150 00 50 Figur : 1115 Kostnaden för att tillverka x enheter får vi genom formeln K(x) = 16000+50x+0.x Kostnaden för x + 1 enheter följaktligen genom K(x + 1) = 16000 + 50(x + 1) + 0.(x + 1). Här vill man att vi ska räkna ut K(x + 1) K(x) vilket vi får genom: 16000 + 50(x + 1) + 0.(x + 1) (16000 + 50x + 0.x ) 16000 + (50x + 50) + 0.(x + x + 1) 16000 50x 0.x 16000 + 50x + 50 + 0.x + 0.4x + 0. 16000 50x 0.x 50. + 0.4x Observera att vi inte får glömma parenteserna när vi ska subtrahera ett uttryck från ett annat. Tolkningen av detta är inte lätt. Har vi tillverkat 100 fjädrar kostar det 90.0 kr att tillverka den 101:a. Har vi tillverkat 1000 fjädrar kostar det 450.0 kr att tillverka den 1001:a. Det blir dyrare och dyrare per fjäder ju fler man tillverkar! Finns det någon verklighetsbakgrund? 1119 a) Nu gäller det andragradsekvationer ett tag framåt och därmed dessa formler, som du bör kunna utantill, åtminstone en av dem: x + px + q = 0 ax + bx + c = 0 x = p (p ) ± b ± b 4ac q x = a I den vänstra formel är x -koefficienten 1. Den högra formeln är därför mer allmän. Visst kan man alltid överföra ekvationen från den högra till den vänstra genom att dividera samtliga termer med a. Här behöver vi dock inga formler. x = 81 har två rötter x 1 = 9 och x = 9, som vi får genom att dra roten ur båda sidorna, upphöja båda sidorna till 1/. Observera att formeln fungerar. Det är på grund av att p = 0, som allt blir så enkelt. 111 d) Först den klumpiga vägen: (x 3)(x + 4) = 0 x + 4x 3x 1 = 0 x + x 1 = 0 x 1 = 3 x = 4 Håkan Strömberg 3 KTH Syd Haninge

Sista steget fixar vi med formeln: x = 1 ± (1 ) + 1 x = 1 ± 1 + 4 1 4 x = 1 ± 1 + 4 1 x = 1 ± 7 x 1 = 3 x = 4 Målet är att finna ett (eller två) värden på x, sådana att dessa, insatta i den ursprungliga ekvationen medför att dess vänstra led blir lika med dess högra. Högra ledet i vår ekvation är 0, alltså vill vi finna värden på x, så att även vänstra ledet blir 0. Studerar vi nu ekvationen innan vi utvecklar parenteserna (x 3)(x + 4) = 0 så kan vi få vänstra ledet till 0 genom att välja x = 3 eller x = 4 där har vi de två rötterna. 11 De fyra ekvationerna i denna uppgift kan alla direkt lösas med formeln ovan. Det orkar vi dock inte genomföra här. Istället ska ni förstå att skolan och lärarna i allmänhet är ganska snälla. Detta betyder att det är mer än troligt att en given andragradsekvation har heltalslösningar, det vill säga x 1 och x är heltal. Vad har man nu för nytta av att veta detta? Vi påstår utan att bevisa det att p = x 1 x och q = x 1 x. Efter en del träning kan man se detta ganska enkelt. Vi försöker på de fyra ekvationerna x 4x + 3 = 0 x 1 = 3 x = 1 x + 8x 9 = 0 x 1 = 1 x = 9 y 3y 4 = 0 y 1 = 1 y = 4 t + 5t + 4 = 0 t 1 = 1 t = 4 Det gick ju utmärkt, åtminstone för mig. Du får se detta knep som överkurs. 113 d) Lös ekvationen 3y 1y + 15 = 0. Den här ekvationen med 3 som x -koefficient lämpar sig för den mer allmänna formeln om den inte vore så snäll. Dividerar vi båda sidor med 3 får vi y 4y + 5 = 0. Med formeln får vi: y = ( 4) y = ± 4 5 (( 4) ) ± 5 Sen då! Den var snäll i början men eftersom vi fått ett negativt tal under rottecknet så blir vi tvungna att ge upp här och säga att ekvationen saknar lösning. Egentligen, vilket kommer att visa sig i kommande kurser, är rötterna x 1 = + i och x = i. i används som ett substitut för 1. Men just nu är det en helt annan historia. Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

117 Ekvationen 0.x + 50x 7000 = 0 övergår till x + 50x 35000 = 0 när vi dividerar med 0.. Inte så lätt att direkt se rötterna även om de troligtvis är heltal, så vi använder formeln: x = 15 ± 15 ( 35000) x 1 = 350 x = 100 Eftersom det inte går att producera ett negativt antal fjädrar så måste svaret vara 100 stycken. 118 Antalet bakterier i burken följer funktionen N(x) = 500 + 350x + 5x. Efter 1 minuter till exempel finns det N(1) = 500 + 350 1 + 5 1 = 10300. Hur många bakterier finns det i burken när försöket startar? Får vi genom T(0) = 500. Vi vill alltså ha reda på hur lång tid det dröjer innan det finns dubbelt så många 5000. Detta ger oss ekvationen: 500 + 350x + 5x = 5000 100 + 14x + x = 00 x + 14x 100 = 0 x = 7 ± 49 + 100 x 1 = 5.1 x = 19.1 Som du ser började vi dividera ekvationen med 5. Den här ekvationen är inte så enkel, det vill säga den ger inte heltalsrötter. Åter en ekvation där en av rötterna är omöjlig. Svaret blir då 5.1 minuter. 119 a) För att kunna lösa ekvationen x (x + 1) 64(x + 1) = 0 får man absolut inte starta med att utveckla parenteserna, för då hamnar man i en tredjegradsekvation, som vi inte har något verktyg för att lösa. Nej, titta i stället på ekvationen. Vad händer då x = 1? Båda termerna blir ju 0. Vi har hittat en rot x 1 = 1. Dividerar vi nu båda sidor med (x + 1) återstår x 64 = 0 eller x = 64. Huvudräkning, x = 8 och x 3 = 8. Tre rötter!? Inte ett dugg överraskade, om en förstagradsekvation har en rot, en andragradsekvation två rötter, så är det väl logiskt att en tredjegradsekvation har tre. 1133 d) Ekvationen 3x 5 = x 1 ser kanske besvärligare ut än den i verkligheten är. Rottecknet försvinner om upphöjer det till. Jag menar att ( x ) = x Vi kvadrerar alltså båda sidor i ekvationen: 3x 5 = x 1 ( 3x 5 ) = (x 1) 3x 5 = x + 1 x x 5x + 6 = 0 x 1 = x = 3 Som tur är kan vi direkt se vilka rötterna är genom knepet ovan. Nu tillkommer en komplikation när det gäller rotekvationer. Vid kvadreringen kan falska rötter tillkomma och man är alltid tvungen att testa om de duger genom att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen. Som vi ser uppfyller x 1 = villkoret att båda sidor ska vara lika 3 5 = 1. Detta gäller även för x = 3 som ger 3 3 5 = 3 1. I figur 3visar vi grafen. 1140 d) Den här ekvationen är verkligen besvärlig! Kvadrerar vi båda sidor får vi fortfarande en rot kvar. Men varför skulle man då inte kunna kvadrera en gång till. Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

1.5 1 0.5 1.8..4.6.8 3 Figur 3: s + 13 7 s = ( s + 13 7 s ) = 0 (s + 13)(7 s) = 4 s + 6s 7 = 0 s 1 = 3 8 = (s + 13)(7 s) 64 = (s + 13)(7 s) 64 = 7s s + 91 13s s = 9 OK, nu har vi funnit två rötter s 1 = 3 s = 9. Innan vi ger dem som svar måste vi pröva dem. s 1 = 3 3 + 13 7 3 = 4 = s = 9 ( 9) + 13 7 ( 9) = 4 Alltså är det bara s 1 = 3 som fungerar. Men hur ska man förstå detta? Innan vi kvadrerar har vi funktionerna (VL) f 1 (s) = s + 13 7 s och (HL) f (s) =. Plottar vi dem får vi följande graf: 4-10 -5 5 - -4 Figur 4: Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge

Vi ser helt klart att ekvationen bara har en rot. Den ena kurva skär den andra på ett ställe, s = 3. Plottar vi nu de två funktionerna f 3 (s) = ( s + 13 7 s ) och f4 (s) = 4, sådana de ser ut efter en kvadrering får vi 0 15 10 5-10 -5 5 Figur 5: En extra (falsk) rot har dykt upp för x = 9, som förresten inte försvinner då vi kvadrerar ytterligare en gång. Denna uppgift är kanske onödigt komplicerad i den här delen av kursen. 1143 a) Vi ger oss nu på en annan svettig historia. (4x + 1) ( ) x = 4x + 1 x (4x + 1) = x 4x + 1 + x 4x + 1 + x (4x + 1) = (4x + 1) ( ) x 4x + 1 + x = x(4x + 1) + (4x + 1) x = 4x + x + (16x + 1 + 8x) x = 4x + x + 3x + + 16x 0 = 35x + 17x + Håkan Strömberg 7 KTH Syd Haninge

x + 17x 35 + = 0 35 (17 x = 17 ) 70 ± 70 35 x = 17 17 70 ± 70 70 35 70 x = 17 89 80 70 ± 4900 x = 17 70 ± 3 70 x 1 = 0 70 = 7 x = 14 70 = 1 5 En lämplig faktor att multiplicera båda sidorna av ekvationen är (4x + 1). När denna faktor fått verka på båda sidorna finns inte längre någon nämnare kvar. När vi utvecklat parenteserna får vi en andragradsekvation. 1150 b) För att faktorisera andragradsfunktionen g(x) = x 5x + 6 måste vi lösa andragradsekvationen x 5x + 6 = 0. Vi är nu en viss vana vid att snabbt se att rötterna måste vara x 1 = och x = 3. Vi kan nu skriva andragradsekvationen som två faktorer (x )(x 3) = 0). Vilket leder till svaret g(x) = (x )(x 3) 1154 b) En liknande uppgift, f(t) = 4t 4t 1 ska faktoriseras och ekvationen 4t 4t 1 = 0 ska lösas. Vi väljer här att använda den mer allmänna formeln: a = 4, b = 4 och c = 1 ger ax + bx + c = 0, x = b ± b 4ac a x = 4 ± 4 4 ( 4) 1 ( 4) Vi får här en dubbelrot x 1, = 1/. Ekvationen kan skrivas Utvecklar vi dessa parenteser får vi ( t 1 ) = 0 t t + 1 4 som inte överensstämmer med den ursprungliga funktionen. Men det kommer den att göra om vi multiplicerar uttrycket ovan med ( 4). ( 4)(t t + 1 4 ) = 4t + 4t 1 ( Vi kan nu skriva funktionen faktoriserad som 4 t 1 ) Håkan Strömberg 8 KTH Syd Haninge

10 5-4 6-5 -10-15 -0 Figur 6: 1157 b) Från boken får vi denna graf. I uppgiften gäller det att finna funktionen. Vi måste slå fast att det handlar om en andragradsfunktion f(x) = ax + bx + c Om vi betraktar funktionens nollställen x = och x = 6 och inte tar hänsyn till någon den tredje punkten (0, 18) finns det oändligt många funktioner av andra graden som har dessa nollställen. Håkan Strömberg 9 KTH Syd Haninge

0 10-4 6-10 -0-30 -40 Figur 7: Här ser vi tre av dem: f 1 (x) = x 4x 1, f (x) = 3x 1x 36, f 3 (x) = 3x / 6x 18. En av dem är vi på jakt efter. Det visar sig att vi kan bryta ut olika konstanter i alla uttrycken. f 1 (x) = x 4x 1, f (x) = 3(x 4x 1), f 3 (x) = 3/(x 4x 1). Använder vi nu nollställena från figuren kan vi skriva funktionen f(x) = a(x + )(x 6), där a är en konstant sådan att funktionen går genom punkten (0, 18). f(0) = a ( 6) = 1a. I figuren ser vi att f(0) = 18, alltså 1a = 18, a = 3/. Det är alltså f 3 (x), som är svaret. 1158 a) Figuren i boken visar en tredjegradsfunktion, f(x) = a(x + )(x 3)(x 8) kan vi skriva den. a kommer nu att bestämmas av den fjärde punkten (0,4). f(0) = 4. Från vår ansats får vi f(0) = a ( 3) ( 8) = 48a. Detta ger 4 = 48a eller a = 1/. Nu kan vi skriva funktionen på faktoriserad form (x + )(x 3)(x 8) f(x) = 1159 Nollställena till funktionen p(x) = x (a+b)x+ab. Vi ska lösa ekvationen x (a+b)x+ab = 0 med avseende på x. x (a + b)x + ab = 0 x = a + b (a + b) ± ab 4 x = a + b a + b + ab 4ab ± 4 x = a + b a + b ab ± 4 x = a + b ± (a b) a + b ± (a b) x = x 1 = b x = a Detta är ett bevis på det knep vi tidigare använt: p = x 1 x och q = x 1 x i ekvationen x + px + q = 0. Håkan Strömberg 10 KTH Syd Haninge