Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05-
Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra är att ge grundläggande kunskaper om linjära ekvationssystem, matriser och vektorer. Undervisning Kurstillfället i period 4 är schemalagt med tio föreläsningar och tio lektioner om vardera -3 timmar. Kursinnehåll och kursmaterial Kursens omfattning definieras av innehållet i de 16 stycken filer betitlade Anteckningar från moment, numrerade A.1 A.8, B.1 B.8, och publicerade på kursens webbsidor. Momenten kan som antyds av numreringen ses som att kursstoffet gås igenom i två omgångar två nivåer), varav den första är avsedd att introducera till de begrepp som ingår i kursen medan den andra är ämnad att träna i att kunna lösa mer sammansatta problemställningar. En rekommendation är att inför var och en av föreläsningarna läsa igenom de Anteckningar från moment som berörs vid respektive tillfälle två moment per föreläsning). Speciellt finns i slutet av var och en av filerna en förteckning över vad varje student förväntas kunna från respektive moment. Vid sidan om anteckningarna kan det vara bra att skaffa sig någon av alla de kursböcker som finns i ämnet. Några av de titlar som är lämpliga är Grundläggande linjär algebra av Hillevi Gavel, 1:a uppl., Studentlitteratur 011. Linjär algebra av Gunnar Sparr, :a uppl., Studentlitteratur 198 reviderad 1997). Eget studium Vid sidan om de schemalagda passen förutsätter kursen ett eget arbete med att lösa övningsuppgifter, och då såväl sådana som finns i detta häfte som de som finns i den kursbok som används. Därutöver finns gamla tentamina publicerade på kursens webbsidor) att öva på. Generellt råd Vikten av att vid matematikstudier lösa många och olika typer av problem kan knappast överskattas. I denna studiehandledning finns därför relativt många representativa övningsuppgifter att ta sig an, alla med svar till. Svaren skulle dock ha kunnat utelämnas eftersom ett tema rakt igenom hela kursen kommer att vara att träna i att kunna verifiera lösningar. Examination och betyg Examination i kursen är fr.o.m. höstterminen 013 uppdelad i två examinationsmoment, TEN5 och TEN6. Examinationsmomenten genomförs i form av skriftliga tentamina. Tentamen TEN5 Tentamen TEN5 består av åtta 8) stycken 3-poängsuppgifter baserade på innehållet i den första omgången A) av kursens åtta moment. Poängkraven för de godkändbetyg 3, 4 och 5 som finns är 11p, 16p respektive 1p. Skrivtid per enskild tentamen är tre 3) timmar. Tentamen TEN6 Tentamen TEN6 består av fem 5) stycken 4-poängsuppgifter baserade på innehållet i den andra omgången B) av kursens åtta moment. Poängkraven för de godkändbetyg 3, 4 och 5 som finns är 9p, 13p respektive 17p. Skrivtid per enskild tentamen är tre 3) timmar. Sammanfattningsbetyg De betygsgrader som används som sammanfattningsbetyg på avklarad kurs är 3, 4 och 5. Om den erhållna poängen vid tentamen TEN5 benämns S 5, och den vid tentamen TEN6 S 6, bestäms graden på sammanfattningsbetyget för en slutförd kurs enligt S 5 11, S 6 9 och S 5 + S 6 41 3 S 5 11, S 6 9 och 4 S 5 + S 6 53 4 S 5 + S 6 54 5
Övningsuppgifter Momenten A.1 A.8 A.1 Linjära ekvationssystem Vilka taltriplar x, y, z) satisfierar ekvationssystemen S 1, S respektive S 3? x 4y 3z = 4 S 1 : 3x + y z = 6 x + 5y + z = 3x + y + z = 5 ) S 1 : 4x 3y + z = 1 x + y 3z = 1 x + y + z = 1 S : 4x + y + z = 3 x + 4y + 3z = 5 x y + z = 6 S : x + 5y z = 16 5x 7y + 4z = 0 x + 3y + 10z = 4 S 3 : x 5y + z = 7 3x 3y + 7z = 1 x + y + z = 8 S 3 : 3x + y z = 1 x + y + 3z = 6 A. Matriser Bestäm den matris X som löser ekvationen. E är lika med enhetsmatrisen. X + ) X + E) 3) ) ) 1 T ) 3 1 1 = 1 1 1 ) 3 1 = 1 ) 1 1 + X = 1 ) T 1 1 ) T 3 X 1 4) 5) 6) ) 3 1 = X 4 T + 3E ) 1 ) ) 8 0 1 1 = X 0 8 T 1 3 1 ) 1 X = 4 ) T 3 X 3 1 ) T A.3 Determinanter ) ) ) ) 3 1 3 3 7 3 Matriserna A, B, C, D är givna enligt A=, B=, C=, D=. 3 3 4 3 1 3 Beräkna determinanten för matrisen 3A 1 B T A 5 B 1 ) 3. ) Vilka värden har determinanten för de matriser X som satisfierar ekvationen 4XC T X = X T? 3) Matrisen X är av typ 5 5 och satisfierar ekvationen X T = XHX, där determinaten för matrisen H är lika med 1/. Vilka värden har determinanten för de matriser som satisfierar ekvationen? 4) Beräkna determinanten för matrisen 8C T ) 9 D 4 C 1 ) 7 D 1 ) 6. 5) Vilka värden har determinanten för de matriser X som satisfierar ekvationen 5XB = X T X? 6) Determinanten för matrisen P av typ 6 6 är lika med. Vilka värden har determinanten för de matriser X som satisfierar ekvationen P T XX T = 8X T? 3
4 A.4 Geometriska vektorer Låt punkterna A, B, C och D vara i moturs led angivna hörn i en rektangel, och låt E vara mittpunkten på sträckan CD, och F mittpunkten på sträckan BD. I det plan som bestäms av rektangeln är basen e 1, e definierad på så sätt att de riktade sträckorna AE och DF är representanter för basvektorerna e 1 respektive e. Bestäm med avseende på denna bas koordinaterna för den vektor som representeras av den riktade sträckan CA. ) Låt punkterna A, B, C och D vara i moturs led angivna hörn i en rektangel, och låt E vara mittpunkten på sträckan AB och F mittpunkten på sträckan AD. I det plan som bestäms av rektangeln är basen e 1, e definierad på så sätt att de riktade sträckorna CE och BF är representanter för basvektorerna e 1 respektive e. Bestäm med avseende på denna bas koordinaterna för den vektor som representeras av den riktade sträckan F D. 3) Låt punkterna A, B, C och D vara i moturs led angivna hörn i en rektangel, och låt E vara mittpunkten på sträckan AB och F mittpunkten på sträckan BC. I det plan som bestäms av rektangeln är basen e 1, e definierad på så sätt att de riktade sträckorna F D och EA är representanter för basvektorerna e 1 respektive e. Bestäm med avseende på denna bas koordinaterna för den vektor som representeras av den riktade sträckan AD. 4) Låt punkterna A, B, C och D vara i moturs led angivna hörn i en rektangel, och låt E vara mittpunkten på sträckan CD och F mittpunkten på sträckan DA. I det plan som bestäms av rektangeln är basen e 1, e definierad på så sätt att de riktade sträckorna F C och EA är representanter för basvektorerna e 1 respektive e. Bestäm med avseende på denna bas koordinaterna för den vektor som representeras av den riktade sträckan BD. A.5 Linjer och plan Bestäm på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som innehåller punkterna P : 1,, 3), Q : 3, 4, och R : 5,, 4). ) Undersök om linjerna λ 1 : x, y, z) = 3, 0, ) + t, 3, 5) och λ : x, y, z) = 1, 7, 9) + t3,, skär varandra. Bestäm om så är fallet koordinaterna för skärningspunkten, och på parameterform en ekvation för det plan som innehåller bägge linjerna. 3) Bestäm på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som innehåller punkten P :, 3, och linjen λ : x/ = y + 3)/ = 1 z)/4. 4) Undersök om linjen λ : x, y, z) =, 1, ) + t 1,, 5) och planet π : x y 3z = 0 skär varandra, och bestäm om så är fallet koordinaterna för skärningspunkten. Skriv även på parameterform en ekvation för planet π. 5) Bestäm på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som innehåller punkten P :, 1, ) och linjen λ : x, y, z) = 4 + t, 1 t, 3 + 5t). 6) Skär linjerna λ 1 : x, y, z) = 1 + t, 5 + t, t) och λ : x 9)/ = y + 5)/3 = z 3)/ ) varandra? Bestäm om så är fallet koordinaterna för skärningspunkten, och på parameterform en ekvation för det plan som innehåller bägge linjerna. 7) Bestäm på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som innehåller punkterna P :, 1, 4), Q : 3,, ) och R : 1, 4,. 8) Undersök om linjen λ : x, y, z) = + t, 3 t, 1 + 3t) och planet π : x, y, z) = +4r+7s, 1 r+s, 1+ r + 4s) skär varandra, och bestäm om så är fallet koordinaterna för skärningspunkten. Skriv även på parameterfri form en ekvation för planet π. A.6 Skalärprodukt Vektorn u har i ON-basen e 1, e, e 3 koordinaterna 3, 4,. Dela upp vektorn i två ortogonala komposanter, bägge skilda från nollvektorn, på så vis att den ena komposanten är parallell med vektorn e 1 e e 3. ) Vektorerna a och b har längderna respektive 3, och satisfierar relationen a b = 9/4. Bestäm längden av vektorn a + b. 3) Vektorerna e 1, e, e 3 bildar en ON-bas. Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn e 1 e + e 3 på vektorn e + e 3. 4) Bestäm i ON-basen e 1,e,e 3 den vektor u vars längd är lika med 4, och vars vinklar med basvektorerna är lika med 5π/6, π/ respektive π/3. 5) Vektorn v har i ON-basen e 1, e, e 3 koordinaterna 5, 4, ). Dela upp vektorn i två ortogonala kom-
A.7. VEKTORPRODUKT 5 posanter, bägge skilda från nollvektorn, på så vis att den ena komposanten är parallell med vektorn e 1 e + e 3. 6) Skalärprodukten a + b) b är lika med /9, och vektorerna a och a + 3b har längderna 3 respektive 5. Bestäm längden av vektorn a b. 7) Vektorerna e 1, e, e 3 bildar en ON-bas. Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn e 1 + 6e e 3 på vektorn 4e 1 e + e 3. 8) Bestäm i ON-basen e 1,e,e 3 den vektor v vars längd är lika med 3, och vars vinklar med basvektorerna är lika med π/3, π/4 respektive π/3. A.7 Vektorprodukt Vektorerna u och v har koordinaterna 1, 1, ) respektive, 4, 3) med avseende på en högerorienterad ON-bas HON-bas) e 1, e, e 3. Bestäm en annan HON-bas ê 1, ê, ê 3 sådan att ê 1 pekar i samma riktning som u, och ê i samma riktning som v. ) Beräkna arean av det begränsade triangelområde som definieras av att vardera en representant för vektorerna 3e 1 e + e 3 och e 1 + e + 3e 3 sammanfaller med två av triangelns sidor. HONbas) 3) Antag att vektorerna u, v, w uppfyller relationerna u v = 3 och u v = w. Förenkla uttrycket u+3v) [u v) 3u v)]+[u 3v) u+ v)] 3u v) så mycket som möjligt är. 4) Ange alla värden på parametern a så att vektorekvationen e 1 3e + 4e 3 ) xe 1 + ye + ze 3 ) = ae 1 e + e 3 blir lösbar. HON-bas) 5) Vektorerna u och v har koordinaterna 5, 3, respektive,, 4) med avseende på en högerorienterad ON-bas HON-bas) e 1, e, e 3. Bestäm en annan HON-bas ê 1, ê, ê 3 sådan att ê 1 pekar i samma riktning som u, och ê i samma riktning som v. 6) Vardera en representant för vektorerna 3e 1 + 4e + 3e 3 och ae 1 + e 3e 3 sammanfaller med två av sidorna i en triangel. Bestäm alla värden på a så att den inneslutna triangelytan har arean 1/ a.e. HON-bas) 7) Antag att vektorerna u, v, w uppfyller relationerna u v = och u v = 3w. Förenkla uttrycket [4u v) 3u + v)] u + 7v) + u + 5v) [u 3v) u + 4v)] så mycket som möjligt är. 8) Beräkna volymen av den parallellepiped som definieras av att vardera en representant för vektorerna e 1 5e + e 3, 3e 1 + e e 3 och 4e 1 + e + e 3 sammanfaller med tre av parallellepipedens ickeparallella) sidor. HON-bas) A.8 Komplexa tal Skissa området Re z 3, z 4 och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har minsta möjliga imaginärdel. ) Skissa området 3 Im z 0, Re z 0, z 6 och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har minsta möjliga realdel. 3) Skissa området π/6 arg z π/3, Re z 4 och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har största möjliga imaginärdel. 4) Skissa området Im z 4, z 8 och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har minsta möjliga realdel. 5) Skissa området Im z 4, z 8 och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har största möjliga realdel. 6) Skissa området π/4 arg z π/3, Im z och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har största möjliga realdel. 7) Skissa området π/ arg z π/3, Re z 3 3 och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har minsta möjliga absolutbelopp. 8) Skissa området 0 Re z 4, Im z 0, z 8 och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har minsta möjliga imaginärdel.
Övningsuppgifter Momenten B.1 B.8 B.1 Linjära ekvationssystem Bestäm för varje reellt värde på parametern a de taltriplar x, y, z) som satisfierar ekvationssystemet. x y + az = 1 x y + z = 1 ax + y z = 1 ) x + y z = 1 ax + y + az = 3 x + ay + z = a 3) ax + y = 1 x + y + az = ax + ay + z = 4) x + ay + z = a ax + y + z = 1 x + y + az = a B. Matriser Visa att matrisen är inverterbar och bestäm inversen. 3 5 0 1 1 ) 1 1 0 3 3) 3 7 1 1 6 3 1 4) 0 1 1 3 5 7 5 11 1 1 B.3 Determinanter Beräkna determinanten. 1 3 0 0 1 1 3 0 1 1 1 3 3 1 1 1 ) 17 51 55 17 35 17 17 18 3 17 17 16 17 34 37 17 3) 4 1 4 1 6 3 4 1 3 4 7 1 4) 3 1 48 19 3 9 7 81 3 6 1 4 3 3 3 3 5) 0 1 3 1 1 1 3 7 1 1 0 1 6) 8 9 9 9 9 7 9 9 9 9 6 5 9 9 9 5 B.4 Geometriska vektorer Antag att vektorerna e 1, e, e 3 utgör en bas. Kan vektorn 3e 1 9e 4e 3 skrivas som en linjärkombination av vektorerna e 1 e +3e 3 och e 1 + e + e 3? ) För vilka värden på α och β är vektorerna e 1 + αe + 4e 3 och βe 1 e e 3 parallella? 3) Är vektorerna e 1 + 4e e 3, 6e 1 4e + 5e 3 och 4e 1 e e 3 linjärt oberoende? 4) För vilka värden på κ och λ är vektorerna κe 1 + e 5e 3 och 3e 1 + 4e + λe 3 parallella? 5) Är vektorerna 7e 1 + 4e e 3, 5e 1 + e e 3 och 4e 1 7e 4e 3 linjärt beroende? 6) Kan vektorn 4e 1 e 3e 3 skrivas som en linjärkombination av vektorerna e 1 +e 3e 3 och 3e 1 + e 9e 3? 6
B.5. LINJER OCH PLAN 7 B.5 Linjer och plan Antag att vektorerna e 1, e, e 3 utgör en bas. Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som är parallellt med linjerna λ 1 : x, y, z) = 1 + t, 1 3t, 5t) och λ : x, y, z) = t, 3 + t, 1 + t), och som innehåller punkten P : 3,,. ) Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som innehåller såväl punkten P : 1, 1, 5) som linjen λ : x = y 5 = z 3. 3) Ett plan π innehåller punkten P :, 1, 3) och är parallellt med såväl vektorn 3e 1 +e e 3 som vektorn e 1 + e 4e 3. Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för planet π. 4) Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som innehåller både punkten P :, 5, 3) och skärningslinjen mellan planen π 1 : x+y z 3 = 0 och π : x+y z+4 = 0. 5) Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som är parallellt med linjerna λ 1 : x, y, z) = 4 + t, + 3t, 3 t) och λ : x, y, z) = 3 4t, 1 + 5t, + 7t), och som innehåller punkten P : 1, 7, ). 6) Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som innehåller både punkten P : 3, 8, 5) och linjen λ : x 1 = y + = 4 3 z 5. 7) Ett plan π innehåller punkten P : 4,, 5) och är parallellt med såväl vektorn e 1 + 6e 5e 3 som vektorn e 1 + 3e e 3. Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för planet π. 8) Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som innehåller såväl punkten P : 4, 3, 5) som skärningslinjen mellan planen π 1 : x+y+5z+4 = 0 och π : x y+3z+ = 0. B.6 Skalärprodukt Bestäm koordinaterna för spegelbilden i planet π : x y + z 5 = 0 av punkten P :, 1,. ONsystem) ) En matematisk partikel startar i origo i ett koordinatsystem och rör sig till att börja med i riktningen 6,, 3). I punkten P ändrar partikeln rörelseriktning genom att vika av i en rät vinkel med den ursprungliga riktningen. Partikeln stannar till slut i punkten Q : 11, 1, 10). Bestäm koordinaterna för punkten P. ON-system) 3) Bestäm härled) avståndet mellan punkten P :, 1, 3) och linjen λ : x, y, z) = +t, +3t, 1 t). ON-system) 4) En fotbollsplan med måtten 60 meter gånger 100 meter ska placeras så att två av dess hörn i ett visst koordinatsystem hamnar i punkterna A : 13, ) och B : 49, 70). Vilka är koordinaterna för de övriga hörnen? ON-system) 5) En ljusstråle med riktningsvektor e 1 + e + e 3 reflekteras i planet π : 3x + 4y + z = 0. Bestäm en riktningsvektor för den reflekterade strålen. ONsystem) 6) En fotbollsplan med måtten 50 meter gånger 75 meter ska placeras så att två av dess hörn i ett visst koordinatsystem hamnar i punkterna A : 17, 8) och B : 8, 5). Vilka är koordinaterna för de övriga hörnen? ON-system) 7) En ljusstråle med riktningsvektor e 1 + 3e 3e 3 reflekteras i planet π : 3x y + z + 6 = 0 i punkten P : 1, 1, ). Bestäm ekvationen för den reflekterade strålen. ON-system) 8) Bestäm koordinaterna för spegelbilden i planet π : x, y, z) = 5 + 14r, 3 + 4s, 3 7r + 7s) av punkten P :,, 3). ON-system) 9) En matematisk partikel startar i origo i ett koordinatsystem och rör sig till att börja med i riktningen 1, 3, 7). I punkten P ändrar partikeln rörelseriktning genom att vika av i en rät vinkel med den ursprungliga riktningen. Partikeln stannar till slut i punkten Q : 8,, 5). Bestäm koordinaterna för punkten P. ON-system) 10) Bestäm härled) avståndet mellan punkten P : 3,, ) och linjen λ : x + /3 = y 5 = z/. ON-system)
8 B.7 Vektorprodukt Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för den linje λ 1 som går genom punkten P : 1,, 4), som är parallell med planet π : x + y z = 0, och som är vinkelrät mot linjen λ : x, y, z) = 1 + 3t, 3t, + t). HON-system) ) Vektorerna u och v har koordinaterna 1, 3, respektive,, med avseende på en högerorienterad ON-bas HON-bas) e 1, e, e 3. Bestäm en annan HON-bas ê 1, ê, ê 3 sådan att ê 1 pekar i samma riktning som u v, och ê 3 pekar i samma riktning som v. 3) Linjerna λ 1 : x, y, z) = + t, 1 t, 3 + t) och λ : x = y 7)/5 = 3 z)/ skär varandra i punkten P. Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för den linje λ 3 som går genom punkten P och som är vinkelrät mot såväl λ 1 som λ. HON-system) 4) Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för den linje λ 1 som går genom punkten P : 1, 4,, som är parallell med planet π : x, y, z) = r, s, 4 3r s), och som är vinkelrät mot linjen λ : x 3)/ = y + = 1 z)/. HONsystem) 5) Vektorerna u och v har koordinaterna 3, 1, ) respektive, 3, med avseende på en högerorienterad ON-bas HON-bas) e 1, e, e 3. Bestäm en annan HON-bas ê 1, ê, ê 3 sådan att ê 1 pekar i samma riktning som u, och ê 3 pekar i samma riktning som v u. 6) Linjerna λ 1 : x, y, z) = 4 + t, t, 3 + 3t) och λ : x, y, z) = t, 5 + 3t, + t) skär varandra i punkten P. Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för den linje λ 3 som går genom punkten P och som är vinkelrät mot såväl λ 1 som λ. HON-system) B.8 Komplexa tal Lös ekvationen och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. z i = Imz + i) i 1 ) 3i) 5) arg = π 9) z + 3 = z + 4i ) z 4 + 18 = 18 3 3i)z 4 10) z 3i 5 + 6 = i 6) z 3i = z + 6 3) z 1 = z + i 7) 4 + 4i)9 + 9 ) 3i) 1 arg = 0 z i = z 1 i z 4) z + 1i = 5 8) z 4 + + 3i = 0 1) z + 3 + 4i = 0
Svar dock ej figurer) till alla övningsuppgifter A.1 Linjära ekvationssystem Ekvationssystemen S 1, S och S 3 satisfieras av taltriplarna x, y, z) enligt... S 1 : x, y, z) = t, t, t), t R S : Inga x, y, z) S 3 : x, y, z) = 5, 3, ) S 1 : x, y, z) = 1, 3, ) S : x, y, z) = t, 4 t, 3t), t R S 3 : Inga x, y, z) A. Matriser Matrisen X är lika med... ) ) 4 13 5 5 ) 6 7 4 5 7 5 3) ) 1 1 1 4) ) 1 3 5) ) 7 5 0 4 6) 9 16 1 8 19 3 5 16 ) A.3 Determinanter Determinanten har värdet/värdena... 79 5 = 9 + 4 5 ) 0 och 1 48 3) 0 och 1 16 4) 576 5 = 3 + 1 5 5) 0 och 15 6) 0 och 17 A.4 Geometriska vektorer Koordinaterna är lika med... 4 3, 3 ) ) 5, 1 5 ) 3), 4) 4), ) A.5 Linjer och plan π : x, y, z) = 1,, 3) + r, 1, + s 6, 0,, r, s R π : x + 8y + 6z 35 = 0 ) λ 1 λ : x, y, z) = 5, 3, 7) plan : x, y, z) = 5, 3, 7) + r, 3, 5) + s3,,, r, s R 3) π : x, y, z) = 0, 3, + r1, 1, ) + s1, 0,, r, s R π : x 3y z 8 = 0 5) π : x, y, z) = 4, 1, 3) + r1,, 5) + s,,, r, s R π : 4x 3y z 7 = 0 6) λ 1 λ : x, y, z) = 7, 1, plan : x, y, z) = 7, 1, + r,, + s 1, 3, ), r, s R 7) π : x, y, z) =, 1, 4) + r 1, 1, ) + s1, 3, 5), r, s R π : x 7y 4z + 5 = 0 4) λ π : x, y, z) = 9 5, 7 5, π : x, y, z) = + r + 3s, r, s), r, s R 8) λ π : x, y, z) = 40 19, 61 19, 13 19 ) π : x + 3y 5z = 0 9
10 A.6 Skalärprodukt ) 7 { u = 8 3 e 1 + 4 3 e + 8 3 e 3 u = 1 3 e 1 + 8 3 e 5 3 e 3 3) 3 5 e + 6 5 e 3 4) 3 e 1 + e 3 { v = 5 6 5) e 1 + 5 3 e 5 6 e 3 v = 35 6 e 1 + 7 3 e 7 6 e 3 6) 4 3 37 8.1 7) e 1 + 1 e 1 e 3 8) 3 e 1 + 3 e + 3 e 3 A.7 Vektorprodukt ) 13 a.e. 3) 0 ê 1 = 1 6 e 1 + e e 3 ) ê = 1 9 e 1 + 4e + 3e 3 ) ê 3 = 1 174 11e 1 7e + e 3 ) 4) a = 5 ê 1 = 1 35 5e 1 3e e 3 ) 5) ê = 1 6 e 1 + e + e 3 ) ê 3 = 1 10 5e 1 11e + 8e 3 ) 6) a = 6 5 ) a = 0) 7) 0 8) 53 v.e. A.8 Komplexa tal 4e i5π/6 = 3 i 3) 8e iπ/3 = 4 + 4 3i 5) 8e iπ/6 = 4 3 4i 7) 6 3e iπ/3 = 3 3+9i ) 6e iπ/4 = 3 3 i 4) 8e i5π/6 = 4 3 + 4i 6) 4e iπ/4 = + i 8) 8e iπ/4 = 4 + 4 i B.1 Linjära ekvationssystem Ekvationssystemet satisfieras av x, y, z) enligt... ) x, y, z) a=1 existerar ej ) x, y, z) a,1 = 0, a+1 a 1, a 1 x, y, z) a= = 3t, 3 5t, t), t R x, y, z) a= 1 a=1 existerar ej ) 1 x, y, z) a 1,1 = a 1, a 3 a 1, 1 a+1 3) 4) x, y, z) a= 1 existerar ej ) 1 x, y, z) a 1,1 = a+1, 1 a+1, a+1 x, y, z) a=1 = 1 t, t,, t R x, y, z) a= existerar ej ) x, y, z) a,1 = a+1 a+, 1 a+, a+ a+ x, y, z) a=1 = r, s, 1 r s), r, s R B. Matriser Den inversa matrisen är lika med... 1 1 1 6 10 7 5 3 3 5 5 ) 3 3) 3 4 3 1 5 6 5 1 5 0 1 1 6 4) 1 7 1 1 3 3 1 1 1 B.3 Determinanter Determinanten är lika med... 6 ) 17 3) 56 4) 97 5) 3 6) 354
B.4. GEOMETRISKA VEKTORER 11 B.4 Geometriska vektorer Vektorerna e 1, e, e 3 utgör en bas. Vektorerna u, v, w svarar mot de i uppgiftsformuleringarna givna vektorerna och då i den ordning de räknas upp. De senare utgör även matrisen U:s kolonnvektorer, dvs de vektorer vars koordinater utgör matriselementen i U:s kolonner. JA, u = v 5w ) α = 4, β = 1 3) JA, de är linjärt oberoende ty detu) = 4 0 4) κ = 3, λ = 10 5) JA, de är linjärt beroende ty detu) = 0 6) JA, u = 5v + w B.5 Linjer och plan Ekvationer på parameterform och parameterfri form för planet π är... π : x, y, z) = 3,, + r1, 3, 5) + s,,, r, s R π : 13x 9y 8z 65 = 0 ) π : x, y, z) = 0,, 0) + r, 5, 3) + s1, 3, 5), r, s R π : 16x + 7y + z 14 = 0 3) π : x, y, z) =, 1, 3) + r3, 1, + s1,, 4), r, s R π : x 11y 5z 8 = 0 4) π : x, y, z) =, 5, 3) + r4, 4, 9) + s1, 0,, r, s R π : 4x 13y 4z 61 = 0 5) π : x, y, z) = 1, 7, ) + r, 3, + s 4, 5, 7), r, s R π : 13x 5y + 11z + 6 = 0 6) π : x, y, z) = 3, 8, 5) + r4, 3, 5) + s, 10, 3), r, s R π : 59x y + 34z 171 = 0 7) π : x, y, z) = 4,, 5) + r1, 6, 5) + s, 3,, r, s R π : 9x + 11y + 15z 61 = 0 8) π : x, y, z) = 4, 3, 5) + r 8, 1, 3) + s6, 3, 5), r, s R π : x 9y + 15z + 4 = 0 B.6 Skalärprodukt P : 16 9, 5 9, 5 9 ) ) P : 1, 4, 6) 3) 594 6 11 l.e. = 3 11 l.e.. l.e. { C1 : 19, 10) 4) D 1 : 93, 38) eller { C : 31, 130) D : 67, 8) 5) e 1 e + e 3 6) { C1 : 1, 8) D 1 : 57, ) eller { C : 68, ) D : 3, 38) 7) x, y, z) = 1 + 3t, 1 + 18t, 15t), t 0. 8) P : 110 69, 40 69, 63 69 ) 9) P : 1 59, 63 59, 147 10) 966 14 l.e. = 59 ) 69 14 l.e.. l.e. B.7 Vektorprodukt λ 1 : x, y, z) = 1,, 4) + t, 5, 9) λ 1 : x 1 = y = z 4 5 9 ) ê 1 = 1 3 10 5e 1 + e + 8e 3 ) ê = 1 3 10 5e 1 + 7e 4e 3 ) ê 3 = 1 3 e 1 + e + e 3 ) 3) λ 3 : x, y, z) = 4, 3, 7) + t, 0, λ 3 : x 4 = z 7, y 3 = 0 4) λ 1 : x, y, z) = 1, 4, + t 3, 8, λ 1 : x + 1 3 = y 4 = z 1 8
1 5) ê 1 = 1 14 3e 1 e + e 3 ) ê = 1 5 4 5e 1 31e 8e 3 ) ê 3 = 1 5 3 5e 1 e + 7e 3 ) 6) λ 3 : x, y, z) =, 1, 0) + t, 1, λ 3 : x + = y 1 = z 1 B.8 Komplexa tal Imz) = 1 Rez)) ) z k = 6 e i π 6 +k π ), k = 0,..., 3 3) Imz) = 1 Rez) 3 4 4) z = 3 i) z = 3 + i) 5) argz) = 11π 6 + n π 6) z 4i = 5 7) z + 1 i = 8) z k = e i π 3 +k π ), k = 0,..., 3 9) Imz) = 3 4 Rez) 7 8 10) z k = e i π 6 +k π 5 ), k = 0,..., 4 1 argz) = π 6 + n π 1) z = 1 i) z = 1 + i)