Utbredningshastighet v Amplitud A Våglängd λ Periodtid T Frekvens f=1/t Vinkelfrekvens ω=2πf Vågtal k= 2π/λ Tecknet ger utbredningsriktning y(x,t)=acos(kx-ωt+φ) Faskonstant, ges av begynnelse villkoren Mediets hastighet v y λf=v Fig. 15.3 Fig. 15.4
Man kan representera vågen på två sätt: 1. Välj en bestämd tid (här t=0) och plotta y som funktion av x. 2. Välj en bestämd punkt (här x=0) och plotta y som funktion av t. Fig. 15.9
Fig. 15.10 FÖRVÄXLA EJ DENNA HASTIGHET MED VÅGENS UTBREDNINGS- HASTIGHET v = λf=ω /k!!! Hastigheten v y hos en partikel i mediet, t.ex. ett kort segment av den sträng som en våg utbreder sig med, ges av: y( x, t) = v y ( x, t) = Acos( kx ωt) y( x, t) t Accelerationen a y blir: a y ( x, t) = 2 y( x, t) 2 t = ωasin( kx ωt) 2 = ω Acos( kx ωt) 2 = ω y( x, t)
Stående våg y( x, t) A SW = = A (sin kx)sinω t 2A SW Fig. 15.24 Observera skillnaden hos detta uttryck och det för en fortskridande våg. Här är x och t separerade i varsin funktion. Den stående vågen pulserar upp och ned, men fortskrider ej! Endast vissa frekvenser! λ n =2L/n, f n =n(v/2l)
Animering av stående våg Den stående vågen kan beskrivas som en superposition av två motriktade fortskridande vågor.
Interferens Fig. 16.21 Fig. 16.22
Gångskillnaden mellan de två strålarna gör att de blir fasförskjutna relativt varandra. Detta fasskift kan anges både som en vinkel eller hur stor del av en våglängd det svarar emot. I figuren nedan är fasskiftet φ ca 0,40π radianer (70 o ) vilket även kan uttryckas i våglängder (λ) och då blir 0,20λ. y φ x Om gångskillnaden är d blir fasskiftet: φ = ( d/λ)2π 2π, svarar mot λ
Animeringen visar hur två harmoniska vågor med en liten frekvensskillnad alstrar en beat-frekvens.
Stående vågor i orgelpipor Fig. 16.16 Fig. 16.17 Båda ändar öppna open pipe Fig 16.18 En ända stängd stopped pipe
Fig. 16.26 Dopplereffekten v är ljudhastigheten v L är lyssnarens hastighet v S är källans (source) hastighet OBS v L och v S mäts relativt luftmassan Fig. 16.27 f L v = v + + v v Positiv riktning är L S från L mot S f S
Kap. 33. Härifrån arbetar vi med elektromagnetiska vågor, framför allt ljus. Brytningsindex n = c/v är nu en viktig storhet. Vinklarna mäts mot ytnormalen. Reflektionslagen: θ a = θ r Refraktionslagen: n a sin θ a = n b sin θ b (Snells lag) Sambanden för reflektion och brytning är enkla: Alla strålar ligger i planet som definieras av den infallande strålen och ytnormalen, infallsplanet.
n b > n a ger brytning mot normalen n b < n a ger brytning från normalen Detta fall kan leda till totalreflektion! Vinkelrätt infall ger ingen brytning Fig. 33.8
Här hamnar bilden bakom spegeln där det inte finns något ljus. Bilden hamnar där strålarnas förlängning skär varandra. Detta är exempel på en virtuell bild. Här alstras bilden där verkliga ljusstrålar skär varandra. Vi har en reell bild.
Lär er att rita diagram med principal rays både för linser och speglar! Det räcker med två principal rays för att konstruera bilden.
Formeln för bildalstring i sfäriska speglar och tunna linser är densamma: 1/s +1/s =1/f Viktigt att ha koll på teckenreglerna som står i formelhäftet!
Förstoringsglaset tan θ~ θ =y/25 cm tan θ ~ θ =y/f Fig. 34.51 M=θ /θ = (y/f)/(y/25 cm)=25 cm/f Observera att detta är vinkelförstoring.
Att bestämma var max och min-intensitet från en ideal dubbelspalt är lätt med approximationen nedan. Om det är långt till skärmen approximeras gångskillnaden till r 2 r 1 = dsin θ Konstruktiv : d sinθ = mλ m = (0, ± 1, ± 2, ± 3...) Destruktiv 1 d sinθ = m + λ 2 m = (0, ± 1, ± 2, ± 3...)
Phasor representation av en cosinus funktion Kommer vi även att använda när vi arbetar med växelström under nästa period.
Phasor representation av summan av två cosinus funktioner I vårt fall är amplituderna (dvs längden hos den röda och blå pilen) samma. Frekvensen i vårt fall svarar mot ljusvågornas frekvens, typiskt 6x10 14 Hz.
Beräkning av ljusintensitet från en dubbelspalt E(t) i P är E 1 (t) + E 2 (t) enligt superpositionsprincipen. Om vi sätter x = 0 i P så är E 1 och E 2 : E 1 ( t ) = E cos( ω t + φ ) E ( t) = E cos( ωt) 2 1. Bestäm amplituden E P som funktion av φ 2. När man vet E P vet man (medel)intensiteten I 3. Relatera fasvinkeln φ till rumsvinkeln θ 4. Relatera rumsvinkeln θ till avståndet y Fig. 35.9
Tre faktorer avgör om man får ljus eller mörker: 1. Den geometriska gångskillnaden 2. Brytningsindex mellan reflexerna påverkar λ. 3. Fasskift vid gränsytorna.
d Ideal dubbelspalt Försumbar spaltvidd a Enkelspalt Interferensmönster från två ideala (dvs. smala spalter). Max för d sinθ = mλ m = 0, ± 1, ± 2... φ cos 2 I = I0 2 2πd φ = sinθ λ φ är här fasskillnaden mellan strålar från vardera spalt. Diffraktionsmönster från enkelspalt. Min för a sinθ = mλ m = ± 1, ± 2... I sin( β / 2) = I0 β / 2 2πa β = sinθ λ β är här fasskillnaden mellan strålarna från spaltens ovan respektive underkant 2
36.4-5 Många smala spalter, Diffraktionsgitter 4:e min Principal max 1:a min Första min Sekundär max 2:a min (Fig. från annan kursbok)
Diffraktionsgitter med två våglängder, λ 1 >λ 2 d sinθ = θ = mλ ( m mλ arcsin d = 0, ± 1, ± 2...) λ 1 λ 2 λ 2 λ 1
Elläradelens byggblock Elektrostatik. Alla laddningar har rört sig färdigt. Inga strömmar. Ström, motstånd, emf Magnetism Magnetiska krafter på laddningar Magnetfältets källor Elektromagnetisk induktion, växelström Fysiken bakom all storskalig kraftgenerering Elektromagnetiska vågor
F el = 1 4πε 0 q q 1 2 2 r Coulombs lag är en av grundbultarna. Vi använde den för att definiera det elektriska fältet från punktladdning. 1 q E = rˆ F = 2 4πε 0 r QE Fältlinjerna pekar i samma riktning som kraften på en liten + laddning. Har vi flera laddningar vektoradderas bidragen.
Ex. 21.10 Utsmetad laddning (linjeladdningstäthet, ytladdningstäthet, volymsladdningstäthet): Integrera Välj smart laddningselement. Utnyttja samband för punktladdning! Symmetri kan ofta utnyttjas!!
Begreppet flöde av ett vektorfält Fig. 22.6 Laddning i centrum Fältet parallellt med ytnormalen Fältets belopp konstant på ytan Φ E = 4π r 2 E
Gauss sats i ord: Totala flödet av elektriska fältet genom en godtycklig sluten yta beror enbart av den inneslutna nettoladdningen och är Q encl /ε 0 Ytan som innesluter Q encl kan ha vilken form som helst (enclosed=innesluten). Q encl kan vara placerad var som helst innanför ytan Ex. 22.4, Fig 22.15 Sid. 735 BRA!
Figuren illustrerar flera viktiga saker: I en elektrostatisk situation är E-fältet noll i en ledare Gauss sats ger då att all överskottsladdning måste ligga på ytan Har man en hålighet med en innesluten laddning ger också Gauss sats att ytan mot håligheten måste ha samma mängd laddning som den som finns i håligheten. Fig. 22.23
V = 1 4πε 0 q r (Elektrisk) potential från punktladdning (V=0 i oändligheten) Potentialen anger en laddnings potentiella energi enligt: U = QV Positiv partikel Negativ partikel
Jämför uttrycken för elektriskt fält och potential från punktladdning 1 q E = rˆ F = 2 4πε 0 r qe Vektor 1 q V = U = 4πε r 0 qv Skalär
Relation mellan E-fält och V i en dimension E = dv dx xˆ + E E, V E = konst. x V = -Ex x
Kondensator Lägger man på en potential skiftas laddningen enligt: Q = CV dvs. C=Q/V Kapacitans
Med ett dielektrikum (= isolator) istället för vakuum minskar fältet och potentialen för en viss mängd laddning, så C ökar.
Relation mellan strömtäthet och ström J = I/A Vektor! Riktningen på strömtätheten är samma som på E När vi arbetar med strömmar har vi lämnat elektrostatiken, och då kan vi ha E-fält i ledare vilka alstras av emf:er (ex. batterier eller generatorer)
Inne i batteriet drivs laddningarna från till + (alltså mot fältets riktning) av en icke-elektrisk kraft. Detta är källan till emf. Ex. kemisk energi i batteri El. magn. induktion
Kirchoffs lagar Loop rule Junction rule Inåt räknas positivt! Fig 25.20 BRA FIGUR!
Strömriktningarna väljer du själv Loopriktningarna väljer du själv Var konsekvent Träna
Kraft på laddning när vi har elektriskt och magnetiskt fält F = q( E + v B) Högerhandsregel för att veta riktningarna i kryssprodukt (vektorprodukt)
F = qv B ger alltid en kraft som är vinkelrät mot v. Från mekaniken vet vi att en sådan kraft ej gör något arbete på partikeln, men ändrar dess riktning. Om hastigheten ligger i tavlans plan i figuren ger mekaniken att partikeln kommer att röra sig i en cirkel.
Även permanentmagneter kan ses som små strömslingor kallas magnetisk dipol Magnetisk dipol Atom µ = IA τ = µ B U Högerhandsregel: Fingrarna i strömmens riktning, ytnormal och magnetiskt moment i tummens riktning. = µ B Homogent B-fält ger bara vridmoment på magnetisk dipol Inhomogent B-fält ger även nettokraft
Bra tabell, ger B-fält från olika sorters ledare, finns i formelblad
B-fältets källor Högerhandsregel: Fingrarna i strömmens riktning B-fältet i tummens riktning Tummen används för den storhet som går rakt Högerhandsregel: Tummen i strömmens riktning, B-fältet i fingrarnas riktning
Gauss sats för magnetfältet Gäller alltid! Lika många pilar in som ut ur ytan. B fältets flöde ut ur slutna ytan är noll även när magneten är innesluten!
Amperes lag säger alltså Amperes lag säger alltså att linjeintegralen runt varje sluten kurva som omsluter en samling strömmar är densamma, oberoende av hur strömmarna är fördelade
Här blir Amperes lag enkel pga. symmetrin
Induktion: Förstå fenomenet från bilden ε = dφ dt B
Formell bestämning av emf riktning från induktionslagen 1. Välj ytans riktning 2. Högerhandsregel ger positiv emf riktning 3. Ytans riktning avgör om flödet ökar eller minskar 4. Tillämpa induktionslagen, tecknet ger emf riktning
Bestämma emf riktning med Lenz s lag(lättare) Den inducerade strömmen vill motverka den ursprungliga flödesändringen
Phasor-diagram. Nödvändigt för förståelsen av kap. 31!
Strömmen i är samma i hela kretsen Spänningen över R i fas med strömmen Spänningen över L 90 o före strömmen Spänningen över C 90 o efter strömmen Sen är det geometri om man kan sina phasors! Fig. 31.13
Kretsens impedans Z ges av: Z = R 2 2 ( ) 2 2 1 + X L X C = R + ωl ωc V = IZ Funkar som Ohm s lag! Funkar både för amplituder (ovan) och rms värden V rms = I rms Z
Vid effektberäkningar i växelströmskretsar måste man använda rms värden! I spole och kondensator: P av = 0 I motstånd: I godtycklig RLC krets: P = V av P = V av rms rms I I rms rms cosφφ