Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9

Matematik Extrauppgifter för skolår 7-9 Pärm med kopieringsunderlag. Fri kopieringsrätt inom utbildningsenheten! Författare: Mikael Sandell Copyright 00 Sandell Utbildning Första upplagan, första tryckningen Senast reviderad 00-09-1 Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Alla sidor får dock kopieras fritt inom utbildningsenheten. Sandell Utbildning Hertig Carls väg 7 11 8 SÖDERTÄLJE E-post WWW info@sandellutbildning.se www.sandellutbildning.se COPYRIGHT, SANDELL UTBILDNING 1

Innehållsförteckning INNEHÅLLSFÖRTECKNING... FÖRORD... 1 DE FYRA RÄKNESÄTTEN... 6 TIOSYSTEMET... 11 UTTRYCK MED FLERA RÄKNESÄTT... 1 NEGATIVA TAL... 16 BRÅKFORM, DECIMALFORM, PROCENTFORM... 18 "Det hela" är 100 procent... 18 6 RÄKNA MED BRÅK... 7 KLOCKAN... 8 TIDSZONER... 7 9 GEOMETRISKA BEGREPP... 8 10 VÄG, TID, FART... 11 POTENSER... Stora och små tal i potensform... 8 Grundpotensform... 8 1 PREFIX STORA OCH SMÅ TAL... 0 1 ALGEBRA OCH EKVATIONER... Hur löser man en ekvation?... 1 1 FUNKTIONER... 1 SANNOLIKHET... 7 16 TRIGONOMETRI... 60 Sinusvärden... 61 Enkel tabell för sinus... 6 Cosinusvärden... 6 Enkel tabell för cosinusvärden... 6 Räkna med sinus och cosinus... 6 FACIT DE FYRA RÄKNESÄTTEN... 68 FACIT TIOSYSTEMET... 69 FACIT UTTRYCK MED FLERA RÄKNESÄTT... 70 FACIT NEGATIVA TAL... 71 COPYRIGHT, SANDELL UTBILDNING

FACIT BRÅKFORM, DECIMALFORM, PROCENTFORM 7 FACIT RÄKNA MED BRÅK... 7 FACIT KLOCKAN... 76 FACIT TIDSZONER... 77 FACIT GEOMETRISKA BEGREPP... 78 FACIT VÄG, TID, FART... 8 FACIT POTENSER... 86 FACIT PREFIX, STORA OCH SMÅ TAL... 91 FACIT ALGEBRA OCH EKVATIONER... 9 FACIT FUNKTIONER... 98 FACIT SANNOLIKHET... 99 FACIT TRIGONOMETRI... 100 LÄNKAR TILL MATERIAL PÅ INTERNET... 101 COPYRIGHT, SANDELL UTBILDNING

0 a) 16 9 1 1 a) 11 00 a) 1 1 b) 7 b) 1 8 b) 19 EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7 9 c) c) 10 8 8 8 68 c) 16 a) a) 11 b) b) 70 096 6 11 c) 8 00 c) 60 Vad är kvoten av 1 och 7? 6 Om kvoten ska bli 60 och täljaren är 10. Vad är då nämnaren? 7 Om kvoten ska bli och nämnaren är. Vad är då täljaren? 8 Vad blir summan av och 8? 9 Om summan är 10 och ena termen är 7. Vad är då den andra termen? 0 Ena faktorn är 1 och den andra faktorn är. Vad blir resultatet? 1 Om produkten är 10 och ena faktorn är. Vad är då den andra faktorn? Talet 6 subtraheras med 7. Vad blir resultatet? Vad blir differensen av 6 och 18? Använd uppställningar för att lösa uppgifterna. a) 6, + 1, b), +, a) 76,9 + 1,0 b) 17,009 +,8 6 a) 1,7 + 1,86 b) 10,0 + 98, 7 a) 1076,16 + 1,01 b) 96,006 + 0,81 8 a) 97,0,10 b) 10,79 1,6 COPYRIGHT, SANDELL UTBILDNING 7

1 MB RAM till datorn kostade 9 kronor. Helena köpte 08 MB. Vad fick hon betala? 6 David fick löneförhöjning, från 90,0 kr/timme till 9 kr/timme. a) Hur mycket mer tjänade han per dag? b) Hur mycket mer per vecka? (8 timmar per dag och arbetsdagar per vecka) Addition och subtraktion med fler termer än två. 7 a) 8 10 8 b) 7 + 6 8 a) 6 + 6 b) 10 0 9 a) 9 1 + 1 6 b) 11 + 98 + 1 60 a) 18 9 + 9 7 b) 01 7 + 80 61 a) 1 18 + + b) 70 9 1 + 6 a) 00 + 6 0 b) 9 + 7 16 + 98 Multiplikation med flera faktorer. 6 a) 6 b) 8 c) 7 6 a) 8 b) 10 c) 8 7 6 a) 10 10 b) c) 6 6 1 66 a) 6 b) 6 8 c) 6 7 9 Avrunda till hela centimeter. 67 a),6 cm b) 7, cm c) 1,8 cm 68 a) 0,8 cm b) 8,1 cm c) 10,1 cm 69 a), cm b) 100,90 cm c) 0,1 cm 70 a) 16,1 cm b) 11,9 cm c) 19,0 cm COPYRIGHT, SANDELL UTBILDNING 9

Uttryck med flera räknesätt Om ett uttryck innehåller flera olika räknesätt så utförs alltid multiplikation och division före addition och subtraktion. 11 a) + b) 7 + 10 c) + 6 11 a) 18 10 b) + c) + 11 a) 1 + + 8 b) 8 c) + 11 a) 10 b) + 7 c) 9 1 116 a) 1 + 7 b) 1 + 6 6 c) 6 / 1 117 a) + 18 / b) 1 + 10 / c) / 6 + 9 118 a) 8 / + 1 b) 0 / 10 c) 1 + 1 / Hur skriver man om man faktiskt vill att plus eller minus ska gå före multiplikation eller division, t.ex. om man först vill slå ihop + och sedan multiplicera resultatet med, dvs. man vill få fram som det totala resultatet. Om man skulle skriva + så skulle man inte få utan 17, eller hur? Det är nu som parenteser kommer in i matematiken. Låt oss skriva så här istället: ( + ) Med parenteserna markerar vi att :an ska adderas med :an innan man multiplicerar med. När det gäller division så är det i vanliga fall ganska klart vad som ska räknas ut först. Det är bara när divisionstecknet ser ut så här / som parenteser måste användas. Till exempel ger ( + 18) / och + 18 / två olika resultat, eller hur? Men om divisionen skrivs +18 istället, så behövs inga parenteser. 119 a) (1 + 1) b) ( ) 10 a) (6 + ) b) ( 1) 11 a) ( + ) b) (10 ) COPYRIGHT, SANDELL UTBILDNING 1

Negativa tal Mycket tidigt i matematikens historia upptäckte man ett behov av negativa tal. Man var helt enkelt tvungna att införa negativa tal, tal som är mindre än noll. Beräkna. 18 a) 7 b) 8 c) 9 1 19 a) 8 b) 0 1 c) 1 0 10 a) 10 0 b) 78 100 + 11 c) 6 98 + 0 Låt oss nu titta på följande tabeller: 8 + = 1 8 + = 11 8 + = 10 8 + 1 = 9 8 + 0 = 8 8 + ( 1) =? Vi förstår att 8 + ( 1) = 7 8 = 8 = 8 = 6 8 1 = 7 8 0 = 8 8 ( 1) =? På samma sätt förstår vi att 8 ( 1) = 9 Kom-ihåg-regeln är "lika tecken ger plus, olika tecken ger minus" Beräkna. 11 a) 7 + ( ) b) + ( ) c) ( 6) 1 a) ( ) b) ( ) + c) + ( ) 1 a) ( 9) b) ( ) + + ( ) c) ( 6) ( ) 1 a) 1 ( ) b) ( 1) + c) ( ) COPYRIGHT, SANDELL UTBILDNING 16

a) 8? = 6 b) 1? = 1 c)? 8 = 6 a)? = 10000 b)? = 1 c)? = 10 Nu går vi vidare till det som i matematiken brukar kallas potensregler. Egentligen är de faktiskt inga matematikregler utan istället bra komihåg-regler. Det går jättebra att räkna utan potensregler, men det går betydligt fortare om man kan dem. Potensregel 1 = eller snabbare med en regel, = = = + = Vid multiplikation av två potenser med samma bas så kan man addera potensernas exponenter. Potensregel / / = = = / / 1 = eller snabbare med en regel, = = 1 = Vid division av två potenser med samma bas så kan man ta differensen mellan exponenten i täljaren och exponenten i nämnaren. Potensregel 1 1 1 = = 0 1 = 1 Detta hade gällt oavsett vilken bas vi hade använt, eller hur? En potens med exponenten 0 är alltid 1, oavsett vilken bas potensen har. Här är ett exempel där exponenten i nämnaren är större än exponenten i täljaren. Ett perfekt läge för potensregel, eller hur? 1 = = Skriv följande potenser så enkelt som möjligt. 6 a) b) COPYRIGHT, SANDELL UTBILDNING 6

och vi vet ju ännu inte vad x är! Men, så fort vi vet vad x är så går det förstås. Vilket tal måste x vara, för att likheten ska stämma? 9 a) 8 = + x b) x + = 0 c) x = 9 96 a) x = 7 b) 16 = x + x + c) = x + x 97 a) 0 0 = x b) 1 + = x c) = x 98 a) = x b) + = 6 x c) = 6 8 Titta lite extra på t.ex. a i sista uppgiften. Går det att kontrollera att du gjort rätt? (Tips, använd multiplikation) Den typen av uppgifter som du nyss löst brukar kallas för ekvationer. Ordet ekvation kommer ifrån det latinska aequo som betyder "göra lika", och det är ju precis vad du har gjort. Du har sett till att ersätta x med ett tal som gör så att båda sidor om likhetstecknet är lika. Eller som de gamla grekerna skulle ha sagt: "Du har gjort lika". Detta kallas också för att lösa ekvationen. Innan vi går vidare med ekvationslösning måste vi lära oss lite mer om hur man räknar med bokstäver, och nästa steg är att använda flera bokstäver i samma uttryck. Förenkla så långt som möjligt. 99 a) 7x x + y b) x x + y + y 00 a) 9x + x y b) y + x y x 01 a) 8y + x y + x b) 0y 10x y + 1x 0 a) z + x + 8y + z b) x + 7z y + z y Nästa steg är att börja använda parenteser i uttrycken också. Du kommer väl ihåg att om det står ett minustecken framför en parentes COPYRIGHT, SANDELL UTBILDNING

Så en vinkel v har både ett sinusvärde och ett cosinusvärde. 8 Rita nu en rätvinklig triangel där vinkeln v är º. a) Vad har den vinkeln för sinusvärde? b) Stämmer det på värdet i tabellen? c) Vad har den vinkeln för cosinusvärde? d) Stämmer det på värdet i tabellen? Använd nu en miniräknare som har inbyggda funktioner för att beräkna sinus och cosinus. Avrunda till decimaler. 8 a) cos b) sin c) cos 60 8 a) sin 1 b) sin 90 c) cos 90 86 a) sin 0 b) cos 0 c) sin 0 Beräkna med hjälp av rätvinkliga trianglar. Avrunda till decimaler. 87 a) sin b) cos 0 c) sin 0 88 a) cos 1 b) sin 70 c) cos 89 a) cos 7 b) cos 60 c) sin 6 90 Vad är cos 0 om du vet att sin 60 0,87? 91 Vad är sin om du vet att cos 0,71? Räkna med sinus och cosinus Låt oss nu gå ett steg vidare. Antag att sin v = motstående katet hypotenusa = 0, och antag också att triangelns hypotenusa är 6 cm. Hur lång är då motstående katet? Ovanstående sinusekvation kan ju skrivas som: hypotenusa sin v = motstående katet, eller hur? Alltså är det bara att multiplicera 6 med 0,. Svar: Motstående katet är cm lång Likadant är det med cosinusekvationen: COPYRIGHT, SANDELL UTBILDNING 6

a) a) x + x 1 x = b) 6x 1 = 6x 1 + 1 = + 1 6x = 16 6x 16 = 6 6 16 x = 6 (dividera med uppe och nere) x = 16 6 1, x = 1, x = 1, x = = 1, 8 = 1, x 1,8 = 1,,x +, x 6 = 1, b) 1, x 1,8 + 1,8 = 1, + 1,8 6 Antag att Maja har M kr. x 0 = x = EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7 9 x = x + = + x = x = x = 0 x 1 = + 9 x 1 9 = + 9 9 x = x = (två steg på en gång) 1 = x x = Vilken bokstav vi använder spelar ingen roll. Det måste inte vara x, utan det kan vara t.ex. M som i Maja. Om Maja har M kr så har Stina (M + ) kr Tillsammans ska de ha 111 kr: M + (M + ) = 111 M + = 111 M = 86 M = Stina = M + = + = 68 Svar: Maja har kr och Stina har 68 kr. (Kontrollera svaret genom att summera! Blir det 111?) 7 Antag att Lena har L kr. Om Lena har L kr så har Anders (L + ) kr Tillsammans ska de ha kr: L + (L + ) = L + = L = 0 L = Anders = L + = + = 0 Svar: Lena har kr och Anders har 0 kr. (Glöm inte att kontrollera svaret!) COPYRIGHT, SANDELL UTBILDNING 96