januari 2008 (8) Institutionen för elektro och informationsteknik Daniel Sjöberg ETE5 Ellära och elektronik, tentamen januari 2008 Tillåtna hjälpmedel: formelsamling i kretsteori. Observera att uppgifterna inte är sorterade i svårighetsordning. i 2 2 i 2 2 2 v i 3 v 2 v 3 a) Bestäm i, i 2 och i 3. b) Bestäm v, v 2 och v 3. 2 jωl V 0 2 jωl V 3 V 2 h V 4 jωc Postadress Box 8, 22 00 LUND Besöksadress Ole ömers väg 3, Lund Leveransadress Ole ömers väg 3, 223 63 LUND Internpost Hämtställe 7 Telefon växel 046222 00 00 Fax 046222 75 08 Epost Internet http://www.eit.lth.se
2(8) Vinkelfrekvensen ω, den komplexa spänningen V 0, samt L, C, h,, 2, 3 och 4, är kända. Bestäm ett ekvationssystem med två ekvationer ur vilka de komplexa spänningarna V och V 2 kan bestämmas. Ekvationssystemet skall skrivas på formen ( ) ( ) ( ) a a 2 V b = a 2 a 22 V 2 b 2 där matriselementen a ij och vektorelementen b j endast får innehålla kända storheter. 3 En vanlig typ av små mikrofoner är elektretmikrofonen. Denna består av två ledande plattor separerade av dels ett luftlager och dels ett material som har en given polarisation (ett sådant material kallas elektret, i likhet med magnet) enligt nedanstående principskiss. a P 0 h d b Den övre plattan kan röra sig beroende på det yttre lufttrycket, dvs avståndet h kan ha (små) variationer. Samtliga tvärsnittsytor är A, och elektreten kan beskrivas med relationen D = ε 0 E P 0, där P 0 är den konstanta polarisationen (som är oberoende av E). a) Föreslå en kretsmodell för denna sorts mikrofon. Ge uttryck för de olika kretselementen med hjälp av data i bilden. Tips: Ansätt en fri laddning q vid platta a och q vid platta b, och beräkna ett uttryck för spänningen v = v a v b. Detta kommer att se ut som en kapacitans i kombination med ytterligare ett element. b) Hur stor ska den fria laddningen q vara för att den totala spänningen över mikrofonen v = v a v b ska vara noll? Om du inte fått ett uttryck för v i a)uppgiften, får du lösa denna deluppgift under förutsättningen att elektreten fyller hela utrymmet, dvs h = 0.
3(8) 4 Nedanstående är en kretsmodell av en högtalare med två högtalarelement, ett för låga frekvenser (bas) och ett för höga (diskant). 4.2 µf 40 µf 5.8 Ω µh 637 µh 5.6 Ω 800 µh 70 Ω.3 mh 24 µf a 637 µh 6.2 Ω.5 mh b 4.2 µf 6.2 Ω 40 µf 44 Ω 50 mh 700 µf Ingången till högtalaren (det som kopplas till musikanläggningen) är a och b. a) Identifiera de delar i kretsen som utgör ett högpassfilter och ett lågpassfilter (det räcker med två kretselement för vardera). Ge en kort motivering till varför de är just högpass respektive lågpass. b) Vad är brytvinkelfrekvensen för dessa filter (när tomgångsspänningen används som utsignal)? Gör först en kort beräkning med bokstäver. Du behöver inte beräkna det slutliga siffervärdet exakt, ett närmevärde med ungefär en värdesiffra räcker. c) Vilket element är bas och vilket är diskant?
4(8) 5 Beräkna ingångsresistansen i nedanstående koppling, dvs /i in. 2 3 i in Det kan förutsättas att den negativa återkopplingen är tillräcklig för att operationsförstärkaren ska befinna sig i sitt linjära område. 6 V DD V DD D C 2 C v(t) 2 S C S L v ut Samtliga kretsparametrar i ovanstående schema kan betraktas som kända. Kapacitanserna är så stora att de kan betraktas som kortslutningar för småsignalerna. Även småsignalparametrarna kan betraktas som kända. ita småsignalschema och beräkna utspänningen v ut (t) som funktion av v(t).
5(8) Lösningsförslag Svar: i 3 = /2 = 2 5 i 2 = 5 i = 5 v 3 = i 3 = 2 5 v 2 = 2i 2 = 2 5 v = i = 5 2 Svar: ( 2 jωl 3 ) ( ) jωl 3 jωl V h jωc = 3 jωl 3 V jωl 2 3 a) ( V0 ) 0 Ansätt en laddning q vid platta a, och q vid platta b. Låt a finnas vid z = 0 och b vid z = h d. Den elektriska flödestätheten är konstant i hela utrymmmet, D = q/ae z, där A är plattarean och e z är en enhetsvektor i zriktningen. Det elektriska fältet i det luftfyllda utrymmet är då E = D/ε 0 = q ε 0 A e z och i utrymmet fyllt med elektreten är det E 2 = (D P 0 )/ε 0 = ( ) q ε 0 A P 0/ε 0 e z där vi skrivit ut P 0 = P 0 e z i enlighet med figuren i uppgiften. Spänningen mellan plattorna är då v a v b = b a E dr = h 0 E e z dz hd h E 2 e z dz = qh ε 0 A qd ε 0 A P 0d ε 0 = q(h d) ε 0 A P 0d ε 0
6(8) Detta svarar mot sambandet mellan spänning och laddning i en kapacitans (första termen) samt en spänningskälla (andra termen). Kretsmodellen är alltså a b C = ε 0A d h v 0 = P 0d ε 0 b) För att totala spänningen ska vara noll krävs q = P 0 A d d h = P 0A h/d Vi ser att då h = 0, dvs då elektreten fyller hela utrymmet, så är q = P 0 A, dvs precis motsatt den bundna laddning som finns vid elektretens yta. 4 a) Högpassfiltret består av kapacitansen på 4.2µF och induktansen på 637µH i den övre kretsdelen. Att det är ett högpassfilter inses från att för höga frekvenser är induktansen ett avbrott och kapacitansen en kortslutning, och tvärtom för låga frekvenser. Lågpassfiltret är motsvarande kretselement i den undre kretsdelen. Motsvarande resonemang om gränsvärden för impedansen hos induktans och kapacitans för höga och låga frekvenser visar att det är ett lågpassfilter. b) Högpassfiltret har följande utseende: jωc jωl v ut
7(8) Överföringsfunktionen fås genom spänningsdelning H(jω) = v ut = jωl jωl /(jωc) = ω2 LC ω 2 LC Brytvinkelfrekvensen ges av ω b = / LC. För lågpassfiltret byts komponenterna mot varandra och överföringsfunktionen blir /( ω 2 LC) med samma brytvinkelfrekvens som i föregående räkning. Denna blir ungefär ω b = LC = 4.2 0 6 637 0 rad/s = 06 rad/s 6 4.2 637 06 rad/s 2500 = 06 rad/s 50 = 2 0 4 rad/s Ett mer exakt värde är.9 0 4 rad/s, svarande mot en frekvens på 3. khz. 5 Båda ingångarna på OP:n har potentialen. Låt v ut vara utspänningen från operationsförstärkaren. Då gäller och Detta ger i in = v ut 3 v ut 2 = 0 i in = 2 = = 3 3 i in 2 dvs vi kan realisera en negativ resistans på detta sätt. 6 Småsignalschemat är v(t) 2 G v gs S g m v gs r d D S D v ut L Spänningen v gs ges av spänningsdelning v gs (t) = 2 2 v(t) = / / 2 / / 2 v(t) = v(t) / / 2
8(8) Utspänningen är v ut (t) = g m v gs (t)r d D L = g m v gs (t) /r d / D / L g m = v(t) / / 2 /r d / D / L