TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det inte att hitta en invers till sin för alla R. Det finns ju uppenbarligen oändligt många möjliga val för för varje y mellan och. Men om vi väljer ut en mindre definitionsmängd då? Till eempel är y = sin inverterbar då eftersom sinus är strängt väande på det intervallet (se figuren, viss argumentation nödvändig för att visa det mer eplicit). arcsin Definition. y = arcsin är det tal y så att sin y = och y. johan.thim@liu.se
[ Vi noterar att D arcsin = [, ] och att V arcsin =, ]. Observera även följande: sin arcsin =,, arcsin sin =,. Till eempel, om > / eller < / gäller alltså inte arcsin sin =. Var försiktig med detta! y y = arcsin Lös ekvationen sin = där < <. Lösning. Vi ser att / inte kommer från en standardvinkel, så en lösning till ekvationen sin = / ges av = arcsin /. Hur hittar vi alla lösningar? Precis som vi gjort tidigare! Vi vet att sin = = sin arcsin = arcsin + n eller = arcsin + n. Detta är alltså samtliga lösningar. Vilka uppfyller kravet i formuleringen? Vi behöver ha en uppfattning om hur stor arcsin är. Ur figuren ovan kan vi se att 0 < arcsin < eftersom 0 < <. Fall. Om = arcsin + n så ser vi direkt att n 0 inte fungerar. Om n = blir uttrycket för stort, så här hittar vi inga lösningar i rätt intervall.
Fall. Om = arcsin + n så ser vi direkt att n 0 gör för stor respektive för liten. Men n = 0 fungerar, då måste / < < vilket uppfyller villkoret i uppgiften. Svar: = arcsin. arccos Definition. y = arccos är det tal y så att cos y = och 0 y. Vi noterar att D arcsin = [, ] och att V arcsin = [0, ]. y y = arccos Förenkla sin arccos 7. Lösning. Låt v = arccos 7. Eftersom 0 < /7 < så måste 0 < v < ovan!). Vi kan alltså använda en rätvinklig triangel. (titta i figuren 7 b Pythagoras implicerar att b = 7 = =, och därmed erhåller vi att v sin v = 7.
Alternativ: vi kan använda trigonometriska ettan. Låt v = arccos. Då är 7 sin v = cos v = ( cos arccos 7) = ( ) = 7 9. Alltså är sin v = ±. Plus eller minus? Eftersom 0 < v < / så måste sinus vara positiv 7 (titta i enhetscirkeln!). Svar: sin arccos 7 = 7. Ett lite krångligare eempel? Visst! Detta är en gammal duggauppfit (där det dök upp ganska många kreativa svar). Förenkla arcsin(sin ) arccos(cos 7). Lösning. Vi börjar med nämnaren: v = arccos(cos 7) { cos v = cos 7, 0 v, { v = ±7 + n, 0 v, v = 7. På samma sätt kan täljaren skrivas v = arcsin(sin ) { sin v = sin, / v /, { v = + n eller v = + n, / v /, vilket är ekvivalent med att v =. Följaktligen får vi Svar: 7. arcsin(sin ) arccos(cos 7) = 7. arctan Definition. y = arctan är det tal y så att tan y = och < y <. Vi noterar att D arctan = R och att V arctan = ], [.
y y = arctan Förenkla arctan() + arccos ( ). Lösning. Låt v = arctan + arccos( /). Eftersom kan vi skriva tan v = tan(a + b) = tan a + tan b tan a tan b, tan(arctan ) + tan(arccos( /)) tan(arctan ) tan(arccos( /)). Vi ser att tan(arctan ) =, men tan(arccos( /)) är lite värre. Låt u = arccos( /). Då är cos u = / och 0 u. Minustecknet är lite obehagligt, så vi skriver cos u = cos( u) =. En rätvinklig triangel med katetlängderna och ger att tan( u) =, så tan(u) = (kan man se t e från additionsformeln ovan). u
Vi kan nu räkna ut tan v: tan v = ( ) =. Alltså måste v = arctan(/) + n för något heltal n. Vi uppskattar storleken på ingående arcusfunktioner: 0 < arctan < arctan = < arctan <, = arccos( ) ( ) < arccos < arccos( ) =. Här har vi använt att arctan är väande, arccos är avtagande och kända standardvinklar. Alltså är + < v < + < v <. Eftersom 0 < arctan(/) < / så följer det att n = är nödvändigt. Alltså blir den sökta vinkeln v = +arctan(/). Med hjälp av en miniräknare eller dator kan man så klart enkelt få fram närmevärden och genom det bestämma n. Svar: + arctan. Fasvinkelomskrivning Summor (linjärkbominationer) av sinus och cosinus med samma frekvens kan skrivas som en enda term. Vi skriver om så att vi kan använda additionsformeln för sinus (går lika bra att göra motsvarande för cosinus om så önskas). Vi bryter ut så att koefficienterna framför sin och cos utgör koordinater för en punkt på enhetscirkeln: A sin + B cos = ( ) A A + B A + B sin + B A + B cos = A + B (cos v sin + sin v cos ) = A + B sin( + v), där v är en vinkel så att cos v = A A + B och sin v = B A + B. Det finns alltid oändligt många sådana val, men oftast räcker det för oss att hitta ett.
y 0.8 ( A A + B, ) B A + B 0. v 0. 0.8 Vi introducerar också att C = A + B för att underlätta notationen. Lös ekvationen sin cos = för R. Lösning. Vi använder oss av hjälpvinkelmetoden och skriver om vänsterledet som C sin( + v). Då ska alltså, enligt additionsformeln för sinus, sin cos = C (sin cos v + cos sin v) = C sin( + v). Genom att, till eempel, låta = 0 och = /, erhåller vi sambanden { C sin v = C cos v = För att bestämma C kvadrerar vi dessa ekvationer och summerar för att finna att C = C (sin v + cos v) =. Alltså är C = ett lämpligt val, och vi finner v genom att lösa { cos v = = sin v = = v = + n, n Z. Vi väljer v = /. Vi ska nu lösa ekvationen sin( + v) = sin( + v) = + v = + n, + v = + n. 7
Vi erhåller alltså lösningarna = 7 + n och = + n för n Z. Svar: = 7 + n och = + n för n Z. 8