DOP-matematik Copright Tord Persson Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 1 Givet funktionen f() 2 + 8 Beräkna f() Uppgift nr 2 Givet funktionen f() 9 + 1 Beräkna f(7) Uppgift nr 6 Uppgift nr 3 Givet funktionen f() -5-8 Beräkna f(-2) Uppgift nr Givet funktionen f() -2 + Beräkna f(-9) - - Uppgift nr 5 Här visas en del av grafen till en funktion h. Uppskatta ur koordinatsstemet det/de -värden för vilket/vilka gäller h() -2. - Uppgift nr 7 Du har en polnomfunktion h() a + b + c²... där a, b, c... är konstanta tal. Hur gör du om du skall räkna ut var funktionens graf skär -aeln? Här visas en del av grafen till en funktion f. Uppskatta f(-3) ur koordinatsstemet. - Uppgift nr 8 Du har en polnomfunktion g() a + b + c²... där a, b, c... är konstanta tal. Hur gör du om du skall räkna ut var funktionens graf skär -aeln? Uppgift nr 9 Du har en polnomfunktion f() a + b + c²... där a, b, c... är konstanta tal. Hur gör du om du skall räkna ut var funktionens graf skär -aeln? Sid 1
DOP-matematik Copright Tord Persson Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 10 Du har en polnomfunktion g() a + b + c²... där a, b, c... är konstanta tal. Hur gör du om du skall räkna ut var funktionens graf har sina nollställen? Uppgift nr 16 Uppgift nr 11 Beräkna nollstället / nollställena för funktionen g() -5 + 15 Uppgift nr 12 Beräkna nollställena till funktionen f() ² - 9 Uppgift nr 13 Beräkna nollställena till funktionen f(z) z² + 9z - Sekanten skär kurvan i punkterna (5,0) och (1,-2). Beräkna sekantens lutning. - Uppgift nr 1 Beräkna nollställena till funktionen g(a) g(a) 60,8a - 128,7-0,9a² Uppgift nr 15 Vad menas i matematiken med en sekant? Uppgift nr 17 - - Sekanten skär kurvan i punkterna (-5,-2) och (-1,2). Beräkna sekantens lutning. Sid 2
DOP-matematik Copright Tord Persson Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 18 Uppgift nr 20 - - - - Sekanten skär kurvan i punkterna (5,3) och (1,-1). Beräkna sekantens lutning. Förklara (gärna med hjälp av figuren) vad som menas med medellutningen på en graf i intervallet 1 5? Uppgift nr 19 Uppgift nr 21 - - - - Sekanten skär kurvan i punkterna (,-1) och (-1,3). Beräkna sekantens lutning. Uppskatta medellutningen på den här grafen i intervallet -1. Sid 3
DOP-matematik Copright Tord Persson Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 22 Punkterna ( 1, 1 ) och ( 2, 2 ) tillhör en funktion g. Vad menas i matematiken i detta fall med uttrcket? Uppgift nr 23 Punkterna (-1,-2) och (-,-3) tillhör en funktion g. Beräkna i detta fall. Uppgift nr 2 Punkterna (2,) och (7,11) lig på en linje i ett koordinatsstem. A/ Beräkna B/ Beräkna C/ Beräkna differenskvoten / D/ Vilken egenskap hos linjen har du beräknat? Uppgift nr 25 Punkterna (,2) och (8,8) lig på en linje i ett koordinatsstem. A/ Beräkna B/ Beräkna C/ Beräkna differenskvoten / D/ Vilken egenskap hos linjen har du beräknat? Uppgift nr 26 Givet funktionen g() -² - 5-3 A/ Beräkna funktionens värden för 1 och 3 B/ Beräkna medellutningen för funktionens graf i intervallet 1 3 Uppgift nr 27 Givet funktionen f() ² - 3-6 A/ Beräkna funktionens värden för 2 och 5 B/ Beräkna medellutningen för funktionens graf i intervallet 2 5 Uppgift nr 28 Givet funktionen g() -2 - + 3 2-3 3 Beräkna medellutningen för funktionen g:s graf i intervallet 6 Uppgift nr 29 Givet funktionen f() 3-3 - 3 2 Beräkna medellutningen för funktionen f:s graf i intervallet 6 Uppgift nr 30 Givet funktionen h() -2² - - 3 Beräkna funktionens förändringshastighet i intervallet - -2 Uppgift nr 31 Givet funktionen f() ² - + 2 Beräkna funktionens förändringshastighet i intervallet -6-3 Uppgift nr 32 Givet funktionen f() -3² + 2 + 5 Beräkna funktionens förändringshastighet i intervallet - -2 Uppgift nr 33 Givet funktionen g() 3-3 2 + 3 Beräkna förändringshastigheten för funktionen g i intervallet -7-5 Uppgift nr 3 Givet funktionen f() -3 2-2 + 2-3 Beräkna förändringshastigheten för funktionen f i intervallet -6-5 Sid
DOP-matematik Copright Tord Persson Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 35 En sekant med lutningen 2 skär grafen till funktionen h() ² + 3-6 i punkten med -koordinaten -3. Beräkna sekantens andra skärningspunkt med grafen. Uppgift nr 36 En sekant med lutningen -12 skär grafen till funktionen f() ² - 3-1 i punkten med -koordinaten -5. Beräkna sekantens andra skärningspunkt med grafen. Uppgift nr 37 Ett föremål, som släpps från hög höjd (med luftmotstånd), har efter sekunder hastigheten ungefär 32 meter per sekund och efter 7 sekunder ungefär 8 meter per sekund. Beräkna och tolka differenskvoten i detta eempel. Uppgift nr 38 En ort ha cirka 5600 innevånare om 5 år och ungefär 700 om 9 år. Beräkna och tolka differenskvoten i detta eempel. Sid 5
DOP-matematik Copright Tord Persson Facit - Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 1 f() 16 [f() betder Värdet på f om f() 2 + 8 f() 8 + 8] Uppgift nr 2 f(7) 6 [f(7) betder Värdet på f om 7 f(7) 9 7 + 1 f(7) 63 + 1] Uppgift nr 3 f(-2) 2 [f(-2) betder Värdet på f om -2. f(-2) -5 (-2) - 8 f(-2) 10-8] Uppgift nr f(-9) 22 [f(-9) betder Värdet på f om -9. f(-9) -2 (-9) + f(-9) 18 + ] Uppgift nr 5 (-3,0;2,0) - Uppgift nr 8 Alla i höledet ersättes med noll. [Skärningen med -aeln blir punkten (0,a) om de övriga termerna innehåller.] Uppgift nr 9 - Alla i höledet ersättes med f(-3) 2,0 noll. [Skärningen med [-koordinaten för den -aeln blir punkten punkt på grafen, där (0,a) om de övriga -koordinaten är -3. termerna innehåller.] Kom ihåg att alla avläsningar alltid är Uppgift nr 10 ungefärliga (approimativa).] g() i vänstra ledet ersätts med noll Uppgift nr 6 och ekvationen löses. (Nollställe betder där grafen skär -aeln. Sätt 0 och lös. Största eponenten visar största antal - möjliga nollställen. 0 a + b + c² + d³ kan som eempel ha - högst tre nollställen.) för -värdena Uppgift nr 11 0 och gäller att [Med nollställe menas h() -2 var funktionen skär [ De -värden, som -aeln ( 0 ) dvs -2. Kom ihåg att där g() 0]. alla avläsningar alltid är g() 0 ungefärliga (approimativa).] 0-5 + 15 5 15 Uppgift nr 7 Alla i höledet ersättes med noll. [Skärningen med -aeln blir punkten (0,a) om de övriga termerna innehåller.] 15 5 3 Funktionen har ett nollställe i (3,0) Sid 1
DOP-matematik Copright Tord Persson Facit - Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 12 [Nollställena fås om f() sätts lika med noll ( sätts lika med noll ) och ekvationen löses.] 0 ² - 9 0 ( - 9) 1 0 2 9 Nollställen (0,0) och (9,0) Uppgift nr 13 [Nollställena fås om f(z) sätts lika med noll ( sätts lika med noll ) och ekvationen löses.] 0 z² + 9z 0 z (z + 9) z 1 0 z 2-9 Nollställen (0,0) och (-9,0) Uppgift nr 1 [Nollställena fås om g(a) sätts lika med noll ( sätts lika med noll ) och ekvationen löses.] 0 60,8a - 128,7-0,9a² (Gör klart för pq-formeln) 0 a² - 67,2a + 13 a - (- 67,2 2 ) ± (-67,2 2 )2-13 a 33,6 ± 1128,96-13 a 33,6 ± 985,96 a 33,6 ± 31, a 1 65 a 2 2,2 Nollställen (65,0) och (2,2;0) Uppgift nr 15 En sekant är en linje som skär en kurva till eempel som i denna figur. Uppgift nr 16 k-formeln 2-1 2-1 0 - (-2) 5-1 0 + 2 5-1 2 0,5 Sekantens lutning 0,5 (Sekantens lutning kallas kurvans medellutning i intervallet 1 5.) Uppgift nr 17 k-formeln 2-1 2-1 2 - (-2) -1 - (-5) 2 + 2-1 + 5 1 Sekantens lutning 1 (Sekantens lutning kallas kurvans medellutning i intervallet -5-1.) Uppgift nr 18 k-formeln 2-1 2-1 3 - (-1) 5-1 3 + 1 5-1 1 Sekantens lutning 1 (Sekantens lutning kallas kurvans medellutning i intervallet 1 5.) Uppgift nr 19 k-formeln 2-1 2-1 -1-3 - (-1) -1-3 + 1-5 -0,8 Sekantens lutning -0,8 (Sekantens lutning kallas kurvans medellutning i intervallet -1.) Sid 2
DOP-matematik Copright Tord Persson Facit - Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 20 - Medellutningen är lutningen på en linje genom de två punkterna på grafen, som har -värdena 1 och 5. [Medellutningen kan med hjälp k-formeln eller uppskattas med trappmetoden ( ruträkning Höjdled Sidled ).] - Uppgift nr 21 - Kurvan ser ut att gå genom punkterna (,0) och (-1,1). Kurvans medellutning är lutningen på en linje genom dessa punkter. k-formeln 2-1 2-1 k 0-1 - (-1) 0-1 + 1-1 5-0,2 Medellutningen -0,2 (Lutningen kan också uppskattas med trappmetoden (ruträkning höjdled Sidled mellan punkterna.) Uppgift nr 22 Med menas differensen mellan två -värden. I detta fall alltså 1-2 eller 2-1. - Uppgift nr 23 Med menas differensen mellan två -värden. I detta fall alltså -2 - (-3) -2 + 3 1 eller -3 - (-2) -3 + 2-1. -1 eller 1 Uppgift nr 2 7-2 5 11-7 / 7/5 1, A/ 5 B/ 7 C/ / 1, D/ Differenskvoten k för linjen. Uppgift nr 25 8-8 - 2 6 / 6/ 1,5 A/ B/ 6 C/ / 1,5 D/ Differenskvoten k för linjen. Sid 3
DOP-matematik Copright Tord Persson Facit - Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 26 Funktionsvärdena g(1) -1 1-5 1-3 g(1) -1-5 - 3 g(1) -9 g(3) -3 3-5 3-3 g(3) -9-15 - 3 g(3) -27 (Medellutningen är lutningen för en linje genom de två punkterna på grafen, som har de angivna -värdena.) -27 - (-9) 3-1 -27 + 9 3-1 -18 2-9 A/ g(1) -9 och g(3) -27 B/ Medellutningen är -9. (Grafens medellutning i ett intervall kallas funktionens Uppgift nr 27 Funktionsvärdena f(2) 2 2-3 2-6 f(2) - 6-6 f(2) -8 f(5) 5 5-3 5-6 f(5) 25-15 - 6 f(5) (Medellutningen är lutningen för en linje genom de två punkterna på grafen, som har de angivna -värdena.) - (-8) 5-2 + 8 5-2 12 3 A/ f(2) -8 och f(5) B/ Medellutningen är. (Grafens medellutning i ett intervall kallas funktionens förändringshastighet i intervallet.) Uppgift nr 28 Funktionsvärdena g() -2 - + 3 2-3 3 g() -2 - + 8-192 g() -150 g(6) -2-6 + 3 6 2-3 6 3 g(6) -2-6 + 108-68 g(6) -58 Medellutningen för linjen genom punkterna med k-formeln: -58 - (-150) 6 - -58 + 150 6 - -398 2 Medellutningen är -199 (Grafens medellutning i ett intervall kallas funktionens förändringshastighet i intervallet.) Uppgift nr 29 Funktionsvärdena f() 3-3 - 3 2 f() 3-6 - 8 f() -109 f(6) 3-6 3-3 6 2 f(6) 3-216 - 108 f(6) -321 Medellutningen för linjen genom punkterna med k-formeln: -321 - (-109) 6 - -321 + 109 6 - -212 2 Medellutningen är -106 (Grafens medellutning i ett intervall kallas funktionens förändringshastighet i intervallet.) Sid
DOP-matematik Copright Tord Persson Facit - Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 30 Uppgift nr 32 Uppgift nr 3 h(-) -[2 (-) (-)] - [ (-)] f(-) - 3 -[3 (-) (-)] + [2 (-)] Funktionsvärdena + 5 h(-) -(+32) - (-16) - 3 h(-) -32 + 16-3 h(-) -19 f(-) -(+8) + (-8) + 5 f(-) -8-8 + 5 f(-) -51 h(-2) -[2 (-2) (-2)] - [ (-2)] f(-2) - 3 -[3 (-2) (-2)] + [2 (-2)] f(-6) + 5 9 h(-2) -(+8) - (-8) - 3 h(-2) -8 + 8-3 h(-2) -3 (Förändringshastigheten lutningen för en linje genom motsvarande punkter på funktionens graf.) k-formeln 2-1 2-1 -3 - (-19) -2 - (-) -3 + 19-2 + 16 2 8 Förändringshastigheten är 8. f(-2) -(+12) + (-) + 5 f(-2) -12 - + 5 f(-2) -11 (Förändringshastigheten lutningen för en linje genom motsvarande punkter på funktionens graf.) k-formeln 2-1 2-1 -11 - (-51) -2 - (-) -11 + 51-2 + 0 2 20 Förändringshastigheten är 20. f(-6) -3 (-6) 2-2 + 2 (-6) - (-6) 3 f(-6) -108-2 - 12 + 216 f(-5) -3 (-5) 2-2 + 2 (-5) - (-5) 3 f(-5) -75-2 - 10 + 125 f(-5) 38 (Förändringshastigheten lutningen för linjen genom motsvarande punkter på grafen.) k-formeln 38-9 38-9 -5 - (-6) -5 + 6-56 1 Förändringshastigheten är -56 Uppgift nr 31 f(-6) [(-6) (-6)] - (-6) + 2 f(-6) (+36) - (-6) + 2 f(-6) 36 + 6 + 2 f(-6) f(-3) [(-3) (-3)] - (-3) + 2 f(-3) (+9) - (-3) + 2 f(-3) 9 + 3 + 2 f(-3) 1 (Förändringshastigheten lutningen för en linje genom motsvarande punkter på funktionens graf.) k-formeln 2-1 2-1 1 - -3 - (-6) 1 - -3 + 6-30 3-10 Förändringshastigheten är -10. Uppgift nr 33 Funktionsvärdena g(-7) (-7) 3-3 (-7) 2 + 3 (-7) g(-7) - 33-17 - 21 g(-7) -511 g(-5) (-5) 3-3 (-5) 2 + 3 (-5) g(-5) - 125-75 - 15 g(-5) -215 (Förändringshastigheten lutningen för linjen genom motsvarande punkter på grafen.) k-formeln -215 - (-511) -5 - (-7) -215 + 511-5 + 7 296 2 Förändringshastigheten är 18 Sid 5
DOP-matematik Copright Tord Persson Facit - Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 35 -värdet för givna punkten. [(-3) (-3)] + [3 (-3)] - 6 9-9 - 6-6 Enpunktsformeln sekantekv. - (-6) 2[ - (-3)] 2 + 6-6 2 Skärn.pkterna fås ur ekv.sst. 2 ² + 3-6 i undre ersätts med 2 2 ² + 3-6 0 ² + - 6 pq-formeln - 1 2 ± (1 2 )2 - (- 6) - 0,5 ± 6,25 1 2 2-3 2 i sekantekv. -koord. för sökta punkten. Andra Uppgift nr 36 -värdet för givna punkten. [(-5) (-5)] - [3 (-5)] - 1 25 + 15-1 39 Enpunktsformeln sekantekv. - 39-12[ - (-5)] -12-60 + 39-12 - 21 Skärn.pkterna fås ur ekv.sst. -12-21 ² - 3-1 i undre ersätts med -12-21 -12-21 ² - 3-1 0 ² + 9 + 20 pq-formeln - 9 2 ± (9 2 )2-20 -,5 ± 0,25 1-2 -5 - i sekantekv. -koord. för sökta punkten. Uppgift nr 38 700-5600 9-5 50 (enhet innevånare år ) Antalet innevånare öka i detta tidsintervall med i genomsnitt 50 inv/år. (Differenskvoten kallas även förändringshastighet.) Uppgift nr 37 8-32 7-5,3 (enhet meter/sekund sekund ) Differenskvoten innebär här föremålets genomsnittliga hastighetsökning i intervallet mellan sekunder och 7 sekunder. Medelaccelerationen i intervallet är 5,3 m/sek² (Differenskvoten kallas även förändringshastighet.) Sid 6