Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna och avslutade med ett svar. Svaren ska förstås ges på så enkel form som möjligt. Varje uppgift kan ge högst poäng. Uppgift räknas som godkänd om den bedömts med minst poäng. För betyg n räcker 4(n poäng och n godkända uppgifter (n, 4, 5. Svar finns efter skrivningstidens slut på kursens hemsida.. Låt f( ( 4e för R. Bestäm värdemängden V f.. Undersök följande gränsvärden: (a 5 + 6 lim + 6 (b lim π/ cos ( (c lim ln 4 π ln(+4. Beräkna följande primitiva funktioner: (a sin cos d (b + 4 + 5 d (c arctan d 4. (a Definiera vad som menas med att f är kontinuerlig i punkten a. (b Definiera vad som menas med att f är deriverbar i punkten a. (c Definiera vad som menas med att f är strängt väande på intervallet I. 5. Beräkna ln( + d. 6. Bestäm (för alla värden på konstanten k R antalet reella lösningar till ekvationen ( k + 4 arcsin. 7. Visa att g f, där och f( g( cos t cosh t för < π för R. (Vi påminner om definitionen av cosinus hyperbolicus: cosh t (et + e t.
Lösningsskisser för TATA4 4--8. Vi kan notera att f( ( 4e har ett uppenbart nollställe i 4, och är positiv till vänster om denna punkt och negativ till höger. Derivatan är f ( 4e + ( 4( 4e 6( ( + 4 e, vilket ger följande teckentabell: 4 + 4 + + + 6 e + + + f ( + + f( lok. ma. lok. min. Funktionen har alltså lokalt maimum f( 4 4 e /8 och lokalt minimum f( e. Vidare ser vi att f( ( 4 ( 4 då e ± (enligt standardgränsvärdet t/e t då t. Nu har vi all information vi behöver för att rita grafen och avläsa värdemängden: y 4e /8 V f 4 e 4 (Funktionen antar naturligtvis alla mellanliggande värden, eftersom den är kontinuerlig. Svar: V f [ e, 4 e /8 ].
. (a 5+6 + 6 ( ( ( (+ + 5 då. (b Variabelbytet t π ger cos 4 π cos(t+ π 4(t+ π π sin t 4t +4πt 4π då t (dvs. då π, enligt ett standardgränsvärde. sin t 4t+4π t (c ln ln( + 4 +4 ln 4 ln( + 4 ln( + då (eftersom logaritmfunktionen är kontinuerlig. Svar: (a 5 (b 4π (c ln.. (a Det finns flera sätt. Sinus av dubbla vinkeln ger sin cos d sin cos d cos + C. Omskrivning av produkten till en summa ger sin cos d (sin +sin d 6 cos cos + C. Att partialintegrera två gånger och lösa ut den sökta primitiven ger sin cos d (sin sin + cos cos + C. (Alla tre svaren är lika, med samma C till och med. (b Variabelbytet t + (med d ger +4+5 d t t + t t + t + ln(t + arctan t + C ln( + 4 + 5 arctan( + + C. (c Variabelbytet t (med t och d t ger arctan d t arctan t t arctan t t +t t arctan t ( +t t arctan t t + arctan t + C ( + arctan + C. 4. (a f sägs vara kontinuerlig i punkten a ifall a D f och f( f(a då a (eller om a är en isolerad punkt i D f. (b f sägs vara deriverbar i punkten a ifall f är definierad i en omgivning f( f(a av a och gränsvärdet lim a a eisterar (ändligt. (c f sägs vara strängt väande på intervallet I ifall f( < f(y närhelst I, y I och < y. (Observera att begreppet derivata inte nämns i definitionen av strängt väande. 5. Partiell integration och sedan partialbråksuppdelning ger ω [ ] ω ln( + ω d ln( + + d ω ln ln( + ω ω + ( + + d + ln ln ω + ln( + ω ω + [ ln + ln( + ( ln ω ω + ( ω ln + ω ω + ( ln + ω ( + ln + ln + ] ω + då ω (enligt standardgränsvärdet ln ω ω för α > och för att logaritmfunktionen är kontinuerlig. (Som rimlighetskontroll kan man förresten notera α att svaret måste bli positivt eftersom ln(+ > när [, [. Svar: ln( + d.
6. Vi ska räkna antalet lösningar till ekvationen f( k, där f( 4 arcsin ( för. Derivatan är f ( 4 (/ + 4, >, 4, <. ( + 4 För > gäller uppenbart f ( >. Funktionen f är kontinuerlig ända ut i ändpunkten, även om derivatan f är odefinierad där (grafens tangent är lodrät, så på intervallet [, [ är f strängt väande, med minsta värde f( 4 arcsin π. I fallet < faktoriserar vi 4 ( (+ och gör teckentabell: + + + + f ( + ej def. f( lok. min. lok. ma. Insättning ger att det lokala minimivärdet är f( 4 arcsin( + π/ och värdet i ändpunkten är f( 4 arcsin( π. Vidare gäller att f( (/ 4 arcsin(/ då ±. (Vi ser att f( när är stort, vilket kan vara användbart när man ritar grafen. Antalet lösningar till ekvationen f( k kan nu avläsas som antalet skärningar mellan grafen y f( och den horisontella linjen y k, för olika värden på k: y π + π/ Tre skärningar här En skärning här (osv. π Svar: Inga lösningar om k < π, en lösning om π k < + π/, två lösningar om k + π/ eller k > π, och tre lösningar om + π/ < k π.
7. Både f och g är inverterbara, eftersom de är strängt väande deras derivator f ( cos och g ( cosh är ju båda positiva (i de angivna intervallen. Vi beräknar g( (som för övrigt kallas Gudermanns funktion: Uträkningen g( cosh t (et + e t [ arctan e t] arctan e π. e t + (e t y arctan e π, R ln tan ( y + π 4 visar att inversen till g är g ( ln tan ( + π 4, < π., y < π Vi ser att g ( ln tan π 4 ln (såklart, eftersom g( cosh t och att derivatan av g är (g ( Alltså är g ( skulle visas. tan ( + π 4 sin( + π cos. cos ( + π 4 sin ( + ( π 4 cos + π 4 f(, dvs. f och g är varandras inverser, vilket cos t