Murray Gell-Mann och

Relevanta dokument
Föreläsning 8 Elementarpartiklar, bara kvarkar och leptoner

Föreläsning 8 Elementarpartiklar, bara kvarkar och leptoner

Föreläsning 8 Elementarpartiklar, bara kvarkar och leptoner

Introduktion till partikelfysik. CERN Kerstin Jon-And Stockholms universitet

EXAMENSARBETE C. Kvarkar. - upptackt och aterupptackt

Higgsbosonens existens

14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

Detektion av subatomiska partiklar och framväxten av standardmodellen. Jens Fjelstad

MA2047 Algebra och diskret matematik

15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

Partikelfysik och Kosmologi

Om Particle Data Group och om Higgs bosonens moder : sigma mesonen

Standardmodellen. Figur: HANDS-ON-CERN

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

Grupper och RSA-kryptering

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Imz. Rez. Bo E. Sernelius

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Kvantfysik SI1151 för F3 Tisdag kl

Att utforska mikrokosmos

Tentamen i Modern fysik, TFYA11, TENA

Föreläsning 12 Partikelfysik: Del 1

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Vektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Kvantmekanik II (FK5012), 7,5 hp

Supersymmetri. en ny värld av partiklar att upptäcka. Johan Rathsman, Lunds Universitet. NMT-dagar, Lund, Symmetrier i fysik

MATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

4.10. Termonukleär fusion

MVE520 Linjär algebra LMA515 Matematik, del C

Algebra och kryptografi Facit till udda uppgifter

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Kontinuitet och gränsvärden

September 13, Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har. (i) en riktning, och

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av

Geometriska vektorer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

Supersymmetri. en ny värld av partiklar att upptäcka. Johan Rathsman, Lunds Universitet. NMT-dagar, Lund, Symmetrier i fysik

Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp)

9, 10. TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelkinetik-energi Magnus Johansson,IFM, LiU

Determinanter, egenvectorer, egenvärden.

Andragradspolynom Några vektorrum P 2

Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37

Matematiska grunder för Artificiellt Medvetande

Lösningar - Rätt val anges med fet stil i förekommande fall (obs att svaren på essäfrågorna inte är uttömmande).

Algebrans fundamentalsats

Vektorgeometri för gymnasister

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010

Permutationer med paritet

Analys 2 M0024M, Lp

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

Algebra och talteori MMGL31. Repetition. Idag. Föreläsning 9 VT FLS och primtalstestning. Carmichaeltal. Rabin-Miller test.

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

INDUKTION OCH DEDUKTION

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Datum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.

1. (3p) Ett RSA-krypto har de offentliga nycklarna n = 33 och e = 7. Dekryptera meddelandet 5. a b c d e. a a b c d e

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Tentamen i FUF050 Subatomär Fysik, F3

Abstrakt algebra för gymnasister

En studie av särpartiklar

1 Speciell relativitetsteori

1 Några elementära operationer.

Matriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)

Partikelfysik och det Tidiga Universum. Jens Fjelstad

Kongruens och likformighet

1 x 1 x 2 1 x x 2 x 2 2 x 3 2 A = 1 x 3 x 2 3 x x 4 x 2 4 x 3 4

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016

Maj Lycka till! Sergei Silvestrov. 1. a) Bestäm Jordans normalform och minimalpolynom av Toeplitzmatrisen T =

Tentamen i Modern fysik, TFYA11/TENA

MINNESANTECKNINGAR FÖR DELTAGARNA I WORKSHOP GRUPPER

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN

Elteknik. Komplexa tal

3. Bestäm med hjälpa av Euklides algoritm största gemensamma delaren till

LAPLACES OCH POISSONS EKVATIONER

Matrisexponentialfunktionen

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

Kvantmekanik II - Föreläsning 14

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2001

Linjär algebra på några minuter

Gausselimination fungerar alltid, till skillnad från mer speciella metoder.

Nöjd Medarbetar Index 2012

Materiens Struktur II Del III Partikelfysik

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

Möbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.

Varför behöver vi higgs-partikeln?

Hur mycket betyder Higgs partikeln? MASSOR! Leif Lönnblad. Institutionen för Astronomi och teoretisk fysik Lunds Universitet. S:t Petri,

Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Sammanfattning av kandidatarbetet

ÖVN 14 - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål

FK Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 21 december 2016, kl 17:00-22:00

Transkript:

Matriser Institute of Geometry, Algebra and Topology Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne Sonja Kovalevskydagarna Uppsala, den 7 november 2008

Matriser

Översikt 1 Matriser 2 Matriser 3

Kvarkar Kvarkar är elementarpartiklar, byggklossarna varav andra, större partiklar, som kallas hadroner uppbyggas. Så vitt fysikerna vet, finns det sex kvarkar: u (upp), d (ner), s (sär), c (charm), b (botten) t (topp). Matriser Varje kvark har vissa fysikaliska egenskaper, som mätas genom olika kvanttal: laddning, isospin, baryontal, särtal, charmtal, bottental, topptal, färgladdning. För varje kvark, finns det en antikvark, som har motsatta kvanttal.

Hadroner Mesoner är hadroner som byggas upp av en kvark en antikvark. Till exempel, pi-mesonen π + byggas upp av en upp-kvark en ner-antikvark. Matriser Baryoner är hadroner som består av tre kvarkar eller tre antikvarkar. Till exempel, en proton består av två upp-kvarkar en ner-kvark, mens en neutron består av en upp-kvark två ner-kvarkar. Än så länge har fysikerna inte upptäckt några andra sorters hadroner i naturen.

Kvarkmodellen I Naturliga symmetrier bland egenskaper av de olika hadronerna inspirerade att utveckla en teori som organiserade de dåkända 9 mesonerna i Matriser en särskild ensamstående partikel, en oktett som bestod av en sexkant samt två besläkta ensamstående partiklar.

Mesonoktetten Matriser

Kvarkmodellen II Å andra sidan organiserade Gell-Mann de dåkända 26 baryonerna i en särskild ensamstående partikel, två oktetter, Matriser en dekuplet, som bestod av nio partiklar liggande på en trekant en besläkt ensamstående partikel förutom att det fattades ett hörn av trekanten... En partikels läge i sin gruppering bestämdes av sina fysikaliska egenskaper (laddning, särtal isospin).

Baryondekupleten Matriser

Gell-Manns förutsägelse Gell-Mann var helt säker på att hans teori var rätt. Han förutspådde alltså år 1962 att de måste finnas en baryon som kompletterade dekupleten. År 1964 upptäcktes Gell-Manns partikel, Ω. År 1969 fick Gell-Mann Nobelpriset i fysik för sin kvarkmodell. Matriser

Komplexa tal Om a är ett reellt tal, är a 2 0. Alltså, för att kunna ta kvadratroten ur negativa tal, måste vi lägga till nya tal, bl a: i = 1 : den imaginära enheten. Mängden C av komplexa tal består av summorna Matriser a + ib, där a b är reella tal (möjligtivis 0!). Summan produkten definieras så här: (a + ib) + (a + ib ) = (a + a ) + i(b + b ) (a + ib)(a + ib ) = (aa bb ) + i(ab + ba ).

Matriser: definition (2 2)-matriser: ( ) a1 a 2 (3 3)-matriser: b 1 b 2 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Matriser Osv! (n n)-matriser: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a n1 a n2 a nn

Matriser: summan skalärmultiplikationen Fallet 2 2: ( ) a1 a 2 b 1 b 2 ( a + 1 a 2 ) ( a1 + a b 1 b 2 = 1 a 2 + a 2 ) b 1 + b 1 b 2 + b 2 Matriser ( ) ( ) a1 a c 2 ca1 ca = 2 b 1 b 2 cb 1 cb 2 För alla n, kan man ta summan av två (n n)-matriser eller multiplicera ett komplext tal en (n n)-matris likadant.

Matrisprodukter kommutatorer ( ) a1 a 2 b 1 b 2 ( a 1 a 2 ) ( a1 a b 1 b 2 = 1 + a 2b 1 a 1 a 2 + a 2b 2 ) b 1 a 1 + b 2b 1 b 1 a 2 + b 2b 2 Matriser För n > 2, definieras produkten av två (n n)-matriser likadant. Om M M är (n n)-matriser, definierar vi [M, M ] = M M M M : kommutatoroperationen

En Lie-algebra består av en mängd L, samt tre operationer för alla x, y L a C: summan: x + y L, skalärmultiplikationen: a x L, liebracketen: [x, y] L. Dessa operationer måste uppfylla vissa axiom, som är egenskaper av de naturliga matrisoperationerna, t ex: Matriser [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], [x, x] = 0 [ x, [y, z] ] + [ y, [z, x] ] + [ z, [x, y] ] = 0.

Exempel på : gl n (C) Matriser Lie-algebran gl n (C) består av alla (n n)-matriser, med den vanliga summan skalärmultiplikationen där liebracketen är kommutatoroperationen.

Exempel på : sl 2 (C) Lie-algebran sl 2 (C) består av alla (2 2)-matriser ( ) a b, c a där a, b, c är godtyckliga komplexa tal, med samma operationer som gl 2 (C). sl 2 (C) är verkligen en lie-algebra, eftersom ( ) ( ) a b da db d =, c a dc da Matriser ( ) a b c a ( ) ( ) a b + a + a b + b c a = c + c a a, [ (a ) ( ) ] ( ) b a b, bc c a c a = b c 2(ab a b) 2(a c ac ) b c bc.

Exempel på : sl 3 (C) Lie-algebran sl 3 (C) består av alla (3 3)-matriser a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3, c 1 c 2 a 1 b 2 Matriser där a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3, c 1, c 2 är godtyckliga komplexa tal, med samma operationer som gl 3 (C). Beviset att sl 3 (C) verkligen är en Lie-algebra liknar fallet sl 2 (C).

Vad är en representation? Låt L vara en Lie-algebra. En representation av L är en avbildning ϕ : L gl n (C) Matriser sådan att: ϕ(a x) = a ϕ(x), ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ϕ ( [x, y] ) = [ ϕ(x), ϕ(y) ] för alla x, y L a C.

Exempel på representationer av sl 3 (C) Den regulära representationen: ι : sl 3 (C) gl 3 (C) : M M Dualen till den regulära representationen: Matriser ι : sl 3 (C) gl 3 (C) Om då har vi a 1 a 2 a 3 M = b 1 b 2 b 3, c 1 c 2 a 1 b 2 a 1 b 1 c 1 ι(m) = a 2 b 2 c 2. a 3 b 3 a 1 + b 2

Tensorprodukter: fallet 2 2 = 4 Låt ϕ : L gl 2 (C) ψ : L gl 2 (C) vara representationer av en Lie-algebra L. Tensorprodukten av ϕ ψ är en representation sådan att för alla x L, ( ) a1 a ϕ(x) = 2 b 1 b 2 ϕ ψ : L gl 4 (C) ( a ψ(x) = 1 a 2 ) b 1 b 2 Matriser innebär att ϕ ψ(x) = a 1 + a 1 a 2 a 2 0 b 1 a 1 + b 2 0 a 2 b 1 0 b 2 + a 1 a 2 0 b 1 b 1 b 2 + b 2.

Tensorprodukter: fallet 3 3 = 9 Låt ϕ : L gl 3 (C) ψ : L gl 3 (C) vara representationer av en Lie-algebra L. Tensorprodukten av ϕ ψ är en representation Matriser ϕ ψ : L gl 9 (C) som definieras på ett sätt som liknar fallet 2 2 = 4.

Gell-Manns teori: allmäna påståenden De tre riktningarna i den regulära representationen ι : sl 3 (C) gl 3 (C) motsvarar de tre kvarkarna: u, d, s. De tre riktningarna i den duala representationen Matriser ι : sl 3 (C) gl 3 (C) motsvarar de tre antikvarkarna: ū, d, s. Tensorprodukter av dessa representationer motsvarar uppbyggning av hadroner från kvarkar.

Gell-Manns teori: mesoner Eftersom varje meson består av en kvark en antikvark, är antalet mesoner uppbyggda av u, d, s dess antikvarkar lika med antalet riktningar i representationen Matriser ι ι : sl 3 (C) gl 9 (C). Alltså måste det finnas 9 mesoner uppbyggda av u, d, s dess antikvarkar, vilket är lika med antalet mesoner som man kände till år 1962.

Gell-Manns teori: baryoner Antalet baryoner uppbyggda av u, d s är lika med antalet riktningar i representationen Matriser ι ι ι : sl 3 (C) gl 27 (C). Alltså måste det finnas 27 baryoner uppbyggda av u, d, s, men år 1962 kände man bara till 26 baryoner...