Matematiska grunder för Artificiellt Medvetande

Transkript

1

2

3 Matematiska grunder för Artificiellt Medvetande Gästföreläsning på IT-universitetet 22/ av Ambjörn Naeve Computer Vision and Active Perception (CVAP) Centre for user-oriented IT Design (CID) Numerisk Analys och Datalogi (NADA) KTH web-sites: cid.nada.kth.se/il kmr.nada.kth.se

4 Gymnasiet: Mängdlära Geometri IT/KTH: Kategoriteori Geometrisk Algebra plato.stanford.edu/entries/category-theory/ modelingnts.la.asu.edu/gc_r&d.html Tillämpn: Artificellt Medvetande lea.hamradio.si/~s51em/artifico.html Scenanalys Rörelsealgoritmer Artificiellt medvetna robotar

5 Def: En Kategori består av en familj av objekt (A,B, ) med pilar (f, g, h, ) mellan vissa av objekten, så att: (i): pilar som ligger i följd kan sammansättas, dvs f g A B C g o f (ii): sammansättningen är associativ, dvs ho( gof) = ( hog) of 1 (iii): för varje objekt A finns en enhetspil A A A så att f o1 = A f och 1 A o k = k för alla pilar f, k som börjar resp. slutar i A.

6 Ex 1: Kategorin av mängder (Sets): Objekt = mängder. Pilar = funktioner mellan dessa. Ex 2: Kategorin av logiska påståenden (Logic): Objekt = logiska påståenden (P, Q, ). Pilar = implikationer mellan dessa (P => Q). Ex 3: Kategorin av alla beslutskomplex hos ett självorganiserande system (Cons): Objekt = delsystem med beroenden sinsemellan. Pilar = avbildningar som respekterar dessa.

7 Def: Ett objekt A i en kategori kallas initialt om det för varje objekt B finns exakt en pil A B Def: Ett objekt A i en kategori kallas finalt om det för varje objekt B finns exakt en pil B A Ex: I Sets är Ø initialt objekt och 1 finalt objekt. Ex: I Logic är varje obetingat falskt påstående initialt och varje obetingat sant påstående finalt. Notera: Definitionerna av initialt och finalt objekt är duala i den bemärkelsen att man får den ena ur den andra genom att byta riktning på pilarna.

8 Def: Med summan av objekten A och B i en kategori menas ett diagram A AC B B med följande egenskap : För varje diagram av typen finns en unik pil f sådan att f o a = x och f o b = y dvs sådan att diagrammet kommuterar. a x f Z b y

9 Ex: I Sets är summan AC B en mängd som består av elementen i A och elementen i B (disjunkta unionen) AC B= A. B Ex: I Logic är summan av två påståenden P och Q lika med deras disjunktion, dvs påståendet P eller Q PC Q= P Q Dualt gör vi följande

10 Def: Med produkten av objekten A och B i en kategori menas ett diagram A A B B med följande egenskap: För varje diagram av typen finns en unik pil f sådan att ao f = x och bo f = y dvs sådan att diagrammet kommuterar. x a f W b y

11 Ex: I Sets är produkten A B mängden av par av element i A och element i B (kartesiska produkten) A B= A B Ex: I Logic är produkten av två påståenden P och Q lika med deras konjunktion, dvs påståendet P och Q P Q= P Q

12 Summa och produkt definieras analogt för godtyckliga familjer F av objekt A k F = { A : k I}. k Man skriver C A k = A och A = C k I k k k I A k. Informellt beteckningssätt: Man säger att ett objekt Z ligger under familjen F, om det går exakt en pil för varje A A k Dualt säger man att ett objekt W sitter på familjen F om det går exakt en pil W för varje A F Z A k F k. k.

13 Summan av en familj objekt ligger initialt under familjen ty, för varje objekt Z som ligger under familjen, finns en unik pil från summan till Z så att diagrammet kommuterar... A i.. A j. C A k unik pil Z

14 Produkten av en familj objekt sitter finalt på familjen ty, för varje objekt W som sitter på familjen, finns en unik pil från W till produkten så att diagrammet kommuterar. C A k unik pil W.. A i.. A j.

15 Antag nu att det även finns pilar mellan objekten i vår familj (högst en pil mellan varje par av objekt) på ett sådant sätt att varje triangel kommuterar. A i f o f = f kj ji ki f ji A j A k f kj Def: En sådan familj av objekt kallas då ett system. Notera: Om man går olika (pil)vägar mellan två objekt i ett system S så blir den resulterande pilen alltid densamma, oberoende av vilken väg man väljer. Def: Man säger att systemet S har en intern koherens, dvs dess olika objekt (= delar) är koherenta med varandra.

16 Givet ett system S i en kategori. S A i A j A k Def: Ett objekt Z ligger koherent under S om Z ligger under S och pilarna från S till Z respekterar S interna koherens, dvs diagrammet kommuterar. Z

17 W Def: Ett objekt W sitter koherent på S om W sitter på S och pilarna från W till S A i respekterar S interna koherens, dvs diagrammet kommuterar S A j A j

18 Def: lim S (direkta limes av S) är det objekt som ligger initialt koherent under S, dvs lim S ligger koherent under S, och för varje objekt Z som också gör det, finns en unik pil lim S Z så att diagrammet kommuterar. S A i A j A j lim S unik pil Z

19 Def: lim S (inversa limes av S) är det objekt som sitter finalt koherent på S, dvs lim S sitter koherent på S, och för varje objekt W som också gör det, finns en unik pil W lim S så att diagrammet kommuterar. lim S unik pil W S A i A j A j

20 Notera: Om systemet S saknar pilar (dvs saknar växelverkan mellan sina olika delar), så övergår direkta och inversa limes i summa respektive produkt. lim S = C A k lim S = A k

21 Formell modell för artificiellt medvetande Siliconsciousness Def: Medvetandet hos ett system består av två delar: aktions-medvetandet (M act ) som styr dess handlingar, och perceptions-medvetandet (M react ) som styr dess upplevelser. Def: M act (S) = lim S M react (S) = lim S Eilenberg (1956), Binford (1987), Zeleznikar (1996) Referens:

22 M react (S) = lim S entydigt bestämd upplevelse M act (S) = lim S entydigt bestämd handling

23 Perceptions-medvetande = Samsyn = det vi är överens om lim S lim S Aktions-medvetande = Lydnad = det vi rättar oss efter

24 GEOMETRISK ALGEBRA (CLIFFORD ALGEBRA)

25

26

27 Fundamentala problem med den vanliga algebran (som används i s.k. analytisk geometri ) Geometriska operationer är (i allmänhet) ordningsberoende t.ex: Rot ( α) orot ( β) Rot ( β) orot ( α) A B B A medan algebran är ordningsoberoende (xy = yx). Detta leder bl.a. till att riktningsbegreppet blir endimensionellt (endast linjer kan tillordnas riktning på ett koordinatoberoende sätt) -a a koordinat system b + a

28 Grundläggande egenskaper hos den geometriska produkten [ a, b, c är vektorer, λ är ett reellt tal, e 1, e 2, e 3, är ON-bas ] Associativ: a(bc) = (ab)c Vänster-distributiv: a(b+c) = ab + ac Höger-distributiv: (b+c)a = ba + ca Anti-kommutativ på vinkelräta vektorer: ee = ee, i i k k i k Kommuterar med reella tal: aλ = λa Kvadraten på en vektor är ett reellt tal: a 2 = a 2

29 β 2 e 2 α 2 b= βe + β e a= α e + α e Räkneregler: e 2 1 ee 2 = e =1 2 = ee β 1 e 1 α 1 Definition: ab = ( α e + α e )( βe + β e ) = αβe + αβe + αβee + αβee = αβ + αβ + αβ αβ ( )ee 3 ab a b = 1 ( ab + ba) + 1 ( ab ba)

30 ab β 2 e 2 α 2 Slutsatser: b e 1 e 2 β 1 e 1 a α 1 a b relativ skalfaktor = ( αβ αβ) ee { riktad enhetsarea 678 e e 1 2 = 1 ( ee ee) = 1 ( ee + ee ) = ee 1 2 = ba ab = a b a b=0 ab ab = ba ab = a b ab =0 a b

31 Geometriska produkten - sammanfattning Storleken och den relativa riktningen hos två vektorer a och b är representerade i deras geometriska produkt ab : geometrisk produkt: inre produkt: yttre produkt: reellt tal 2-blad } } ab = a b + a b a b = 1 ( ab + ba) = b a 2 a b = 1 ( ab ba) = b a 2 a och b är parallella om och endast om: a and b är vinkelräta om och endast om: ab = a b ab = a b

32 Några ekvivalensoperationer på 2-blad b^ b a a a b = a b^ = ab^ b a b = a^ b = a^ b a^ b R b a R a R b R = a b a

33 Några ekvivalensoperationer på 2-blad (forts.) b A a A = a b

34 a c b c a c a b c c (a+b) c b a+b a c + b c = (a+b) c

35 a c a c= c a c a c a -c a a -c -c

36 Blad har en geometrisk tolkning blad av grad ekvivalensklasser av riktade samma riktning och 1 sträckor 2 ytor 3 3-dim regioner längd area volym k k-dim regioner k-volym

37 Notera att: ( ee ) 2 = eeee 1 2 } 2= eeee = Minns att: ab = αβ + αβ + ( αβ αβ) e e Inför: Har nu: Slutsats: z = ab= λ + λ ee w= µ + µ ee ( )( + ) zw= λ + λ ee µ µ ee = + ( ) λµ λµ λµ λµ λ 1 λ 2, ee ee ee ( ) + ( + ) = λµ λµ λµ λµ Re( zw) Im( zw) ee ab kan alltså tolkas som ett komplext tal!

38 Referenser: Grassmann, H., Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, Leipzig, Hestenes, D. & Sobczyk, G., Clifford Algebra to Geometric Calculus, Dordrecht/D. Reidel, Hestenes, D., New Foundations for Classical Mechanics, Dordrecht/D. Reidel, Hestenes, D., Universal Geometric Algebra, Simon Stevin, 63, pp , Hestenes, D. & Ziegler, R., Projective Geometry with Clifford Algebra, Acta Applicandae Mathematicae 23, pp , Naeve, A. & Svensson, L., Geo-Metric-Affine-Projective Unification, Ch. 5, pp , in Sommer (ed.), Geometric Computing with Clifford Algebras, Springer, 2001.