9.1 Mer om differentialekvationer

9.1 Mer om differentialekvationer 9.1.1 Olika typer Ordinär differentialekvationer.ode innehåller derivator med avseende på endast en variabel. Partiella differentialekvationer.pde innehåller (partiella) derivator av fler än en variabel. Dessa ingår inte i kursen. Ordningen. En DE klassificeras också med avseende på ordningen, den högsta ordningen av derivata som förekommer i ekvationen. Linjär Icke linjär ODE. En linjär DE kan skrivs allmänt a n (x)y (n) (x) + a n 1 (x)y (n 1) (x) +... + a (x)y (x) + a 1 (x)y (x) + a 0 (x)y(x) = f(x) Varje term i vänstra ledet är en produkt av en funktion a i (x) (ofta en konstant) och y(x) eller någon av dess derivator. f(x), den icke homogena termen, beror inte på y. I en icke linjär DE kan finnas termer som y (x) y (x) eller y (x). Det vill säga potenser och produkter av y och dess derivator. Dessa ingår inte i kursen. Homogen Inhomogen. En DE sägs vara homogen då f(x) = 0. Det vill säga y eller dess derivator ingår i alla termer. Följaktligen är DE inhomogen då f(x) 0 Exempel 1. Vi klassificerar. 1) (y ) y cosy = x ) y = y 3) y y + 4y = x 1) Ordinär, icke linjär, inhomogen ) Ordinär, linjär av första ordningen, homogen 3) Ordinär, linjär av andra ordningen, inhomogen 9.1. Separabla differentialekvationer Om differentialekvationen kan skrivas g(y) y = f(x) säger vi att den är separabel. Vi samlar alla y på ena sidan och alla x på den andra) Håkan Strömberg 1 KTH Syd

9.1. MER OM DIFFERENTIALEKVATIONER Exempel. y = x e y DE är separabel eftersom den kan skrivas e y y = x En separabel DE kan likväl skrivas g(y) dy dx = f(x) Om G(x) är primitiv funktion till g(x) (G (x) = g(x)) kan vi skriva d (G(y)) = f(x) dx eftersom d (G(y)) = g(y) y dx Integrerar vi nu båda sidorna med avseende på x d dx (G(y))dx = f(x) dx får vi då F(x) är primitiv funktion till f(x) Vi löser så problemet med denna teknik e ydy dx G(y) = F(x) + C = x e y dy = x dx e y dy = x dx e y = x + C lne y = ln x + C ( x ) y = ln + C Maple Så här går det till att lösa DE ovan med hjälp av Maple. with(detools): separablesol(diff(y(x),x)=x*exp(-y(x)),y(x)) Håkan Strömberg KTH Syd

I biblioteket DEtools finns en mängd verktyg för att lösa differentialekvationer. En av dem heter separablesol, som är speciellt bra på den typ av DE vi hantera här. diff(y(x),x) är inget annat än derivatan av y(x). Ska vi ta fram andra derivatan skriver vi diff(y(x),x$). Den andra parametern i separablesol anger aktuell funktion y(x) Resultatet från kommandona ovan blir som väntat { ( )} 1 y(x) = ln x + _C1 Exempel 3. Bestäm den allmänna lösningen till dy dx = y sinx 1 y dy = sinx dx 1 dy = sinxdx y 1 y dy = sinxdx 1 y = cosx + C y = Exempel 4. Bestäm den allmänna lösningen till 1 cosx C y dy dx = 3x y dy = 3x dx y dy = 3x dx y 3 3 = x 3 + C y 3 = 3(x 3 + C) y 3 = 3x 3 + D y = 3 3x 3 + D Exempel 5. Lös dy dx = x y Håkan Strömberg 3 KTH Syd

9.1. MER OM DIFFERENTIALEKVATIONER med bivillkoret y(0) = 3 y dy = x dx y dy = x dx y 3 3 = x + C y = 3 3(x + C) Eftersom y(0) = 3 så 3 3(0 + C) = 3 3 3C = 3 3C = 7 C = 9 Svar: y = 3 3x + 7 Maple När vi har ett eller flera bivillkor givna flyttar vi över den allmänna lösningen till en ekvation vi löser med solve 9.1.3 Tillämpningar på separabla DE Exempel 6. En jordgubbes tillväxttakt är proportionell mot dess diameter. Vi antar att jordgubbens form hela tiden är klotformad). Vid t = 0 är jordgubbens diameter 5mm och vid tiden t = 3 är diametern 8mm. Bestäm diametern som funktion av tiden t. Vi betecknar diametern med s (istället för d, som skulle kunna förvilla). ds = ks dt s(0) = 5 s(3) = 8 Tillväxttakten är helt klart ds dt. Den är proportionell mot s. Alltså ska s multipliceras med Håkan Strömberg 4 KTH Syd

en proportionalitetskonstant, här kallad k. Vi får då ds s ds s = k dt = k dt ln s = kt + C s = e kt+c s = e kt e C s(t) = D e kt s(0) = 5 ger D = 5 och s(3) = 8 ger Svar: ln 8 5 8 = 5e 3k 8 5 = e 3k = 3k k = 1 3 ln 8 5 s(t) = 5e 1 3 ln 8 5 t Exempel 7. Ett ämne används som hostmedicin. Efter att medicinen intagits avtar mängden av ämnet i kroppen med en hastighet proportionell mot mängden. Ämnets halveringstid är 3.8 timmar. Hur stor del av en dos finns kvar i kroppen efter 1 timmar? Låt m= mängden i kroppen. dm dt = km m(0) = m 0 Vi får m(3.8) = m 0 dm m dm m = k dt = k dt ln m = kt + C m = e kt+c m = e kt e C m(t) = De kt Håkan Strömberg 5 KTH Syd

9.1. MER OM DIFFERENTIALEKVATIONER m(0) = m 0 ger D = m 0. m(3.8) = m 0 ger m 0 ln 1 = m 0 e 3.8k = 3.8k 1 3.8 ln1 + 1 3.8 ln = k k = 1 3.8 ln m(t) = m 0 e ln 3.8 t ln 10 m(1) = m 0 e 38 0.11m 0 Exempel 8. Ett lik hittas kl 9 : 00. Kroppstemperaturen är då 3.4 C. En timme senare är kroppstemperaturen 31.7 C. Rumstemperaturen har sedan dödsfallet varit 0.0 C Kroppstemperaturen T lyder under Newtons avsvalningslag: Temperaturändringen är proportionell mot temperaturskillnaden mellan ett objekt och dess omgivning När inträffade dödsfallet? dt dt = k(t 0) T(0) = 3.4 Vi tecknar DE T(1) = 31.7 dt T 0 dt T 0 = k dt = k ln T 0 = kt + C T 0 = e kt+c T 0 = e kt e C T 0 = Be kt T(t) = 0 + Be kt T(0) = 3.4 ger 3.4 = 0 + B och B = 1.4. T(1) = 31.7 ger 31.7 = 0 + 1.4e k 11.7 1.4 = e k k = 11.7 1.4 k 0.058 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

T(t) = 0 + 1.4e 0.058t Vi söker nu T(t 1 ) = 37.0 37.0 = 0 + 1.4e 0.058t ln 17 1.4 17 = 1.4e 0.058t = 0.058t t = 1 17 ln 0.058 1.4 t 5.44 Svar: Döden inträffade 5.44 timmar innan liket upptäcktes, alltså kl 03 : 34. Men tänk om personen dog av för hög kroppstemperatur så där en 4 feber. Exempel 9. Den radioaktiva isotopen c 14 finns i små mängder i alla levande organismer och mängden hålls konstant tills organismen dör, varefter den sönderfaller till den stabila isotopen C 1 med en hastighet proportionell mot mängden C 14. C 14 har en halveringstid på 5730 år. 1988 hittades den så kallade Turin-skruden, vilket påstods vara den svepeduk, som Jesus begravdes i. En undersökning visade att Turinskruden innehöll 91% av mängden C 14 i nya textilier av samma material. Hur gammal är Turin-skruden enligt dessa data? Låt mängden C 14 vara C(t). Låt plaggets ålder vara t 1 dc = kc dt C(0) = C 0 C(5730) = C 0 Vi söker nu t 1 så att C(t 1 ) = 0.91C 0 dc C dc C = k dt = k dt ln C = kt + A C = e kt+a C = e kt e A C(t) = Be kt Håkan Strömberg 7 KTH Syd

9.1. MER OM DIFFERENTIALEKVATIONER C(0) = C 0 ger B = C 0 och C(5730) = C 0 ger C 0 = C 0 e 5730k ln 1 = 5730k k = 1 5730 ln1 k = ln 5730 C(t) = C 0 e ln 5730t Vi löser nu ekvationen Svar: Turin-duken är från cirka år 100. 0.91C 0 = C 0 e ln 5730t 1 ln0.91 = ln 5730t 1 t 1 = ln0.91 ln 5730 t 1 = 780 Problem 1. Lös exemplen 3 till 8 med hjälp av Maple. Problem. Lös med penna och papper DE y y = 1 där y > 0. Kontrollera svaret med hjälp av Maple Problem 3. Lös med penna och papper DE y = xy där y 0. Kontrollera svaret med hjälp av Maple Problem 4. Lös med penna och papper DE siny y = x Kontrollera svaret med hjälp av Maple Problem 5. Lös med penna och papper DE e y y = x Kontrollera svaret med hjälp av Maple Håkan Strömberg 8 KTH Syd

Svar 1. Exempel 3 Exempel 4 separablesol((diff(y(x),x))=y(x)^*sin(x),y(x)) Exempel 5 separablesol(y(x)^*(diff(y(x),x))=3*x^,y(x)) separablesol(diff(y(x),x)=*x/y(x)^,y(x)) solve((3*0^+6*_c1)^(1/3)=3) När vi fått den allmänna lösningen använder vi den för att finna den speciella. Exempel 6 separablesol(diff(s(t),t)=k*s(t),s(t)) s(t):=exp(t*k+c1*k) evalf(solve({s(0)=5,s(3)=8},[k,c1])) exp(10.7986*.1566678764) evalf((1/3)*ln(8/5)) De två sista satserna visar att den lösning vi får är identisk med den vi räknat fram Exempel 7 separablesol(diff(m(t),t)=-k*m(t),m(t)) m(t):=exp(-t*k-c1*k) evalf(solve({m(3.8)=1/,m(0)=1},[k,c1])) m(t):=exp(-0.18407158*t) evalf(m(1)) Vi kommer förbi en del problem om vi antar att den intagna dosen är 1 (liter, ton eller någonting annat). Det spelar ju ingen roll. Exempel 8 separablesol(diff(t(t),t)=-k*(t(t)-0),t(t)) T(t):=exp(-t*k-C1*k)+0 evalf( solve({t(0)=3.4,t(1)=31.7},[k,c1])) T(t):=exp(-0.05810763081*t+43.3815566*0.05810763081)+0 solve(t(t)=37.0,t) Håkan Strömberg 9 KTH Syd

9.1. MER OM DIFFERENTIALEKVATIONER Exempel 9 separablesol(diff(c(t),t)=-k*c(t),c(t)) C(t):=exp(-k*t-C1*k); evalf( solve({c(0)=1,c(5730)=1/()},[k,c1])) C(t):=exp(-0.000109680943*t); solve(c(t)=0.91,t) Svar. Svar 3. y = x + C y = Ce x Svar 4. Svar 5. cosy = C x3 3 ( ) x y = ln + C Håkan Strömberg 10 KTH Syd