Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare. Uppgift nr 6 2x² = 50 Uppgift nr 7 0 = -2-4x² - 19 + 3x² + 8x² Uppgift nr 8 0 = 6-4x² + 79 - x² Uppgift nr 9 x 18 11 Uppgift nr 10 (x - 6) 16 18 Uppgift nr 11 (x - 2) x Uppgift nr 12 x (x - 7) Uppgift nr 13 (x - 5) x Uppgift nr 14 (4x + 17) x Uppgift nr 15 (4x - 17) x Uppgift nr 16 x² - 17x Uppgift nr 17 x² - 16x Sid 1
Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 18 x² - 14x Uppgift nr 19 x² - 13x Uppgift nr 20 14x = 7x² Uppgift nr 21 (x - 2)² = 36 Uppgift nr 22 (x - 7)² 5 Uppgift nr 23 x² - 10x + 16 Uppgift nr 24 x² + 10x + 24 Uppgift nr 25 x² - 10x + 16 Uppgift nr 26 x² + 8x + 15 Uppgift nr 27 x² + 2x - 63 Uppgift nr 28 x² + 2x - 3 Uppgift nr 29 x² + 10x + 24 Uppgift nr 30 x² - 2x - 8 Uppgift nr 31 x² + 5x + 6 Uppgift nr 32 x² - 3x + 2 Uppgift nr 33 x² - 13x + 40 Uppgift nr 34 x² + 17x + 72 Uppgift nr 35 x² + 9x + 14 Sid 2
Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 36 x² - x - 2 Uppgift nr 37 x² - 5x - 24 Uppgift nr 38 x² + 3x - 40 Uppgift nr 39 x² + 3,6x + 2,75 Uppgift nr 40 x² + 8x + 22 Uppgift nr 45 (x + 5) (x - 3) Uppgift nr 46 Hitta på en andragradsekvation med lösningarna -6 och 9 Uppgift nr 47 Hitta på en andragradsekvation med lösningarna 8 och -2 Uppgift nr 48 En rektangel har arean 33,63 m². Basen är 0,2 m längre än höjden. Beräkna rektangels sidor. Uppgift nr 41 x² + 6x + 10 Uppgift nr 42-50 - 5x² = -102,5x Uppgift nr 43 (x - 5) (x + 9) Uppgift nr 44 (x - 4) (x + 6) Sid 3
Uppgift nr 1 Svar: x är talet 6 eller talet -6 (Kan kortare skrivas x = ±6) Uppgift nr 2 Svar: x = ±8 (x² betyder x x. Ekvationer med variabeln i kvadrat kallas andragradsekvationer.) Uppgift nr 3 Svar: x = ±9 (Termer kan som vanligt flyttas om, om man byter tecken på dem som byter sida. Man kan också byta tecken på ALLA termer (dvs multiplicera ekv. med -1). Ekv. kan alltså skrivas x² = 81.) Uppgift nr 4 Svar: Ekvationen har ingen lösning. Det finns inget tal, som gånger sig själv blir ett negativt tal. Uppgift nr 5 Svar: Exakt x = ± 7 Närmevärden x ± 2,646 Uppgift nr 6 2x² 2 = 50 2 x² 5 Svar: x = ±5 Uppgift nr 7 (Endast x²-termer och tal) -3x² + 4x² - 8x² = -2-19 -7x² = -21 [Byt, om du vill, tecken på båda termerna (dvs mult ekv med -1) 7x² 1 ] 7x² 7 1 7 x² = 3 Svar: Exakt x = ± 3 Närmevärden x ± 1,732 Uppgift nr 8 (Endast x²-termer och tal) 4x² + x² = 6 + 79 5x² = 85 5x² 5 = 85 5 x² = 17 Svar: Exakt x = ± 17 Närmevärden x ± 4,123 Uppgift nr 9 (Eftersom ingen av de andra faktorerna är 0, så måste x vara 0, för att svaret skall kunna bli 0.) Svar: x Uppgift nr 10 [Eftersom ingen av de andra faktorerna är 0, så måste faktorn (x - 6) vara 0, för att svaret skall kunna bli 0.] (x - 6) Svar: x = 6 Uppgift nr 11 [Vänstra ledet blir 0 om någon av faktorerna är noll, dvs om x är 0 eller (x - 2).] Svar: Ena lösningen x 1 Andra lösningen (Ekvationen är av andra graden. Syns bättre om man multiplicerar in x så ekvationen blir x² - 2x.) Uppgift nr 12 [Vänstra ledet blir 0 om någon av faktorerna är noll, dvs om x är 0 eller (x - 7).] Svar: Ena lösningen x 1 Andra lösningen = 7 (Ekvationen är av andra graden. Syns bättre om man multiplicerar in x så ekvationen blir x² - 7x.) Uppgift nr 13 [Vänstra ledet blir 0 om någon av faktorerna är noll, dvs om x är 0 eller (x - 5).] Svar: Ena lösningen x 1 Andra lösningen = 5 (Ekvationen är av andra graden. Syns bättre om man multiplicerar in x så ekvationen blir x² - 5x.) Sid 1
Uppgift nr 14 En lösning noll. Andra fås av 4x + 17 4x = -17 4x 4 = -17 4 = -4,25 Uppgift nr 15 En lösning noll. Andra fås av 4x - 17 4x = 17 4x 4 = 17 4 = 4,25 Uppgift nr 16 x-term. Eftersom båda termerna innehåller x kan x brytas ut.) x (x - 17) = 17 Uppgift nr 17 x-term. Eftersom båda termerna innehåller x kan x brytas ut.) x (x - 16) = 16 Uppgift nr 18 x-term. Eftersom båda termerna innehåller x kan x brytas ut.) x (x - 14) = 14 Uppgift nr 19 x-term. Eftersom båda termerna innehåller x kan x brytas ut.) x (x - 13) = 13 Uppgift nr 20 x-term. Redan nu vet man att en lösning är noll.) 14x - 7x² (Bryt ut x) x(14-7x) (Andra lösningen) 14-7x -7x = -14 7x = 14 Uppgift nr 21 Eftersom (x - 2) i kvadrat är 36 måste (x - 2) vara talet 6 eller talet -6 Ena lösningen x - 2 = 6 ger x = 6 + 2 Andra lösningen x - 2 = -6 ger x = -6 + 2 = 8 = -4 Uppgift nr 22 Eftersom (x - 7) i kvadrat är 25 måste (x - 7) vara talet 5 eller talet -5 Ena lösningen x - 7 = 5 ger x = 5 + 7 Andra lösningen x - 7 = -5 ger x = -5 + 7 = 12 Uppgift nr 23 x = - (-10) 2 ± (-10 2 )2-16 x = - (-5) ± (-5) 2-16 x = 5 ± 25-16 x = 5 ± 9 x = 5 ± 3 = 8 och Sid 2
Uppgift nr 24 x = - 10 2 ± (10 2 )2-24 x = - 5 ± 5 2-24 x = -5 ± 25-24 x = -5 ± 1 x = -5 ± 1 = -4 och = -6 Uppgift nr 27 x = - 2 2 ± (2 2 )2 - (-63) x = - 1 ± 1 2 + 63 x = -1 ± 1 + 63 x = -1 ± 64 x = -1 ± 8 = -9 och = 7 Uppgift nr 30 x = - (-2) 2 ± (-2 2 )2 - (-8) x = - (-1) ± (-1) 2 + 8 x = 1 ± 1 + 8 x = 1 ± 9 x = 1 ± 3 = 4 och = -2 Uppgift nr 25 x = - (-10) 2 ± (-10 2 )2-16 x = - (-5) ± (-5) 2-16 x = 5 ± 25-16 x = 5 ± 9 x = 5 ± 3 = 8 och Uppgift nr 28 x = - 2 2 ± (2 2 )2 - (-3) x = - 1 ± 1 2 + 3 x = -1 ± 1 + 3 x = -1 ± 4 x = -1 ± 2 = -3 och = 1 Uppgift nr 31 x = - 5 2 ± (5 2 )2-6 x = - 2,5 ± 2,5 2-6 x = -2,5 ± 6,25-6 x = -2,5 ± 0,25 x = -2,5 ± 0,5 = -3 och = -2 Uppgift nr 26 x = - 8 2 ± (8 2 )2-15 x = - 4 ± 4 2-15 x = -4 ± 16-15 x = -4 ± 1 x = -4 ± 1 = -3 och = -5 Uppgift nr 29 x = - 10 2 ± (10 2 )2-24 x = - 5 ± 5 2-24 x = -5 ± 25-24 x = -5 ± 1 x = -5 ± 1 = -6 och = -4 Uppgift nr 32 x = - (-3) 2 ± (-3 2 )2-2 x = - (-1,5) ± (-1,5) 2-2 x = 1,5 ± 2,25-2 x = 1,5 ± 0,25 x = 1,5 ± 0,5 och = 1 Sid 3
Uppgift nr 33 x = - (-13) 2 ± (-13 2 )2-40 x = - (-6,5) ± (-6,5) 2-40 x = 6,5 ± 42,25-40 x = 6,5 ± 2,25 x = 6,5 ± 1,5 = 8 och = 5 Uppgift nr 34 x = - 17 2 ± (17 2 )2-72 x = - 8,5 ± 8,5 2-72 x = -8,5 ± 72,25-72 x = -8,5 ± 0,25 x = -8,5 ± 0,5 = -9 och = -8 Uppgift nr 35 x = - 9 2 ± (9 2 )2-14 x = - 4,5 ± 4,5 2-14 x = -4,5 ± 20,25-14 x = -4,5 ± 6,25 x = -4,5 ± 2,5 = -2 och = -7 Uppgift nr 36 x = - (-1) 2 ± (-1 2 )2 - (-2) x = - (-0,5) ± (-0,5) 2 + 2 x,5 ± 0,25 + 2 x,5 ± 2,25 x,5 ± 1,5 och = -1 Uppgift nr 37 x = - (-5) 2 ± (-5 2 )2 - (-24) x = - (-2,5) ± (-2,5) 2 + 24 x,5 ± 6,25 + 24 x,5 ± 30,25 x,5 ± 5,5 = -3 och = 8 Uppgift nr 38 x = - 3 2 ± (3 2 )2 - (-40) x = - 1,5 ± 1,5 2 + 40 x = -1,5 ± 2,25 + 40 x = -1,5 ± 42,25 x = -1,5 ± 6,5 = 5 och = -8 Uppgift nr 39 x = - 3,6 2 ± (3,6 2 )2-2,75 x = - 1,8 ± 1,8 2-2,75 x = -1,8 ± 3,24-2,75 x = -1,8 ± 0,49 x = -1,8 ± 0,7 = -1,1 och = -2,5 Uppgift nr 40 x = - 8 2 ± (8 2 )2-22 x = - 4 ± 4 2-22 x = -4 ± 16-22 x = -4 ± -6 Svar:Ekvationen har ingen lösning. [När det är ett negativt tal under rottecknet finns det ingen REELL (verklig) lösning. Om man definierat så kallade KOMPLEXA tal, kan man ange x = -4 ± -6 som ireell lösning.] Sid 4
Uppgift nr 41 x = - 6 2 ± (6 2 )2-10 x = - 3 ± 3 2-10 x = -3 ± 9-10 x = -3 ± -1 Svar:Ekvationen har ingen lösning. [När det är ett negativt tal under rottecknet finns det ingen REELL (verklig) lösning. Om man definierat så kallade KOMPLEXA tal, kan man ange x = -3 ± -1 som ireell lösning.] Uppgift nr 42 (Ekvationen måste göras i ordning innan kan användas.) -5x² + 102,5x - 50 5x² - 102,5x + 50 x² - 20,5x + 10 x = - (-20,5) 2 ± ( -20,5 2 )2-10 x = - (-10,25) ± (-10,25) 2 Parenteserna - 10 x = 10,25 ± 105,0625-10 x = 10,25 ± 95,0625 x = 10,25 ± 9,75,5 och 0 Uppgift nr 43 (Produkten av binomen blir noll när någon av parenteserna är noll.) = 5 = -9 Uppgift nr 44 (Produkten av binomen blir noll när någon av parenteserna är noll.) = 4 = -6 Uppgift nr 45 (Produkten av binomen blir noll när någon av parenteserna är noll.) = -5 = 3 Uppgift nr 46 (x + 6) (x - 9) [har de givna lösningarna, eftersom då antingen ena eller andra parentesen blir noll. multipliceras.] Svar: x² - 3x - 54 = 0 [eller (x + 6) (x - 9)=0] Uppgift nr 47 (x - 8) (x + 2) [har de givna lösningarna, eftersom då antingen ena eller andra parentesen blir noll. Parenteserna multipliceras.] Svar: x² - 6x - 16 = 0 [eller (x - 8) (x + 2)=0] Uppgift nr 48 x m A = 33,63 m² (x + 0,2) m Antagande enligt figuren Höjden basen = arean ger x (x + 0,2) = 33,63 x² + 0,2x - 33,63 ger x = - 0,2 2 ± (0,2 2 )2 - (-33,63) x = -0,1 ± 5,8 x 1 = 5,7 ( = -5,9 sträcka) Svar: Höjd 5,7 m och bas 5,9 m (5,7 m + 0,2 m) Sid 5