Skivbuckling Före buckling Fritt upplagd skiva på fyra kanter Vid buckling
Axiellt belastad sträva (bredd = b, tjocklek = t) P cr E a I 1 (1 )
Axiellt belastad sträva (bredd = b, tjocklek = t) 1 E I P cr a 1 (1 ) b t I 3
Axiellt belastad sträva (bredd = b, tjocklek = t) P cr E a I 1 (1 ) 0,3
Vad är termen 1 1 1,1 För en vanlig pelare (liten bredd b i förhållande till längden l) så är töjningen i tvärled ungefär samma vid upplagen och vid mitthöjd För en skiva så är töjningen i tvärled förhindrad vid upplagen och mer eller mindre fri i skivans mitthöjd Just tack vare denna låsta töjningen i tvärled vid skivans upplagen får vi ett något högre värde på den kritiska bucklingslasten (ca 10% större)
Kritisk bucklingsspänning cr ) (1 1 a I E P cr 1 3 t b I 0,9 1 1 a t E t a E t b P cr cr Den kritiska spänningen beror av längden!
Från sträva till skiva Hittills har diskussionen endast berört strävor En sträva (eller pelare) är upplagd bara på sina två belastade ändar En skiva är upplagd på tre eller fyra sidor Detta faktum (upplag längs tre eller flera sidor) gör att den styrande parametern för skivbuckling blir bredden b istället för längden a!
Låt oss skaffa en bakgrund till uttrycket för skivbuckling. Det gör vi genom att studera en platta! Skiva: belastas enbart i sitt plan Platta: belastas vinkelrätt mot sitt plan
Samband mellan utböjning w och belastning q q y w y x w x w D 4 4 4 4 4 3 3 1 1 1 1 1 1 t E t E D Där D är böjstyvheten EI för en strimla med bredd b=1
Skiva vid buckling (utböjt jämviktsläge) x w t x w x w t x w t q x x x
Differentialekvation för en skiva belastad med normalkraft vid utböjt jämviktsläge 4 4 4 4 4 x w t y w y x w x w D cr
Generellt uttryck på lösningen w Asin m x a sin n b y y m: antal halvsinusvågor i x-led n: antal halvsinusvågor i y-led x w
Insättning av uttrycket för w i differentialekvationen för skivan ger 4 a m t b n a m D cr b n a m t m D a cr
Lägsta värdet för cr erhålls för n = 1 (d.v.s. bara en halvsinusvåg i tvärled 0,9 1 1 b t E k t b E k cr m m b m a a b m k
Lägsta värdet för cr erhålls för n = 1 (d.v.s. bara en halvsinusvåg i tvärled 0,9 1 1 b t E k t b E k cr Notera att den kritiska lasten är oberoende av plåtens längd!
Bucklingskoefficient för en skiva fritt upplagd längs alla sina ränder k min =4,0 cr k t 0,9 E b k m m En buckla Två bucklor
Exempel a=3b b b a 3 a=1b b b a 1 Obs! Den kritiska bucklingsspänningen är lika för ovanstående skivor (då k=4,0 i bägge fall; dessutom är b/t samma för båda skivor)
K-värde vid olika randvillkor k >>6,97 för små = a/b. k 6,97 för > 3,0
Exempel: livbuckling hos en rörprofil fläns Fast inspända sidor 6,97 liv Fritt upplagda sidor Buckling i livet! ~ 4.0
K-värde vid olika randvillkor
K-värde vid N + M Liv av I-balk vid ren böjning
Skjuvbuckling 1 1 t d E k cr 1 4,34 5 d a d a k 1 5,34 4 d a d a k
Sammanfattningsvis Ren böjning Ren skjuvning Rent tryckning
Efterkritisk bärförmåga Skivor besitter en efterkritisk bärförmåga, vilket möjliggör en ytterligare lastkapacitet efter att buckling har uppstått
Efterkritisk bärförmåga Dragen strimla tryckt strimla membranverkan -D modell
Efterkritisk bärförmåga (skiva utan initialimperfektioner) Efterkritisk bärförmåga w
Fackverksanalogi 1. När bucklan uppstår så förlorar den centrala delen av skivan merparten av sin styvhet. Lasten tvingas länka sig förbi bucklan via de styvare partierna vid sidan om bucklan 3. På så sätt bildas membran (drag) krafter som bromsar utböjningen av skivan 4. Membranverkan är mest effektiv ju närmare ränderna man kommer
Förenklad metod för att uppskatta den efterkritiska bärförmågan (effektiva bredden b eff ) b eff max ( y) dy x b eff ( y) dy x max Förenklad spänningsfördelning Verklig spänningsfördelning Skivan i efterkritiskt området
Men hur räknar man den effektiva bredden b eff?
von Kármán hypotes (193) Skivans bärförmåga beräknas utifrån antagandet att den kritiska bucklingsspänningen inte kan vara större än den maximala spänningen vid de styva ränderna. I andra ord cr kan - som högst - bli lika med sträckgränsen f y. cr f y k 1 1 E b t eff f y b eff k 1 1 E f y t
Fritt upplagd platta på alla ränder (k=4,0 Poissons tal 0,3) b eff 1 1 0,3 4 E f y 1,9 E f y t P max f y beff t, 9 1 E f t y
Observation 1: den effektiva bredden är inte beroende av skivans bredd (om a/b 1) b eff 1, 9 E f y t Detta beror på att ju bredare skiva desto bredare buckla och därmed samma effektiva bredd.
Observation : den kritiska spänningslasten minskar med ökande plåtbredd, däremot förblir den maximala bärförmågan konstant cr k b 1 1 E t Beroende av b P max f y beff t, 9 1 E f t y Oberoende av b Smalare plåt Bredare plåt
Budskap: Välj inte i onödan en för bred plåt då det är att slösa med material, eftersom den effektiva bredden är konstant oavsett plåtbredd!
Hittills har diskussionen har enbart berört teorin för ideala plåtar, d v s plåtar utan närvaro av varken initiella imperfektioner eller egenspänningar. Men vad händer i verkliga plåtar: Egenspänningar Initiella imperfektioner
Effekt av egenspänningar och imperfektioner Tryckegenspänningar i den centrala delen av plåten gör att man uppnår den kritiska bucklingsspänningen tidigare än enligt den klassiska teorin
Effekt av egenspänningar och imperfektioner Tryckegenspänningar i den centrala delen av plåten gör att man uppnår den kritiska bucklingsspänningen tidigare än enligt den klassiska teorin Däremot påverkar egenspänningar inte avsevärt plåtens maximala bärförmåga, speciellt om plåten är mycket slank. Detta beror på att egenspänningarna är självbalanserade
Effekt av egenspänningar och imperfektioner Tryckegenspänningar i den centrala delen av plåten gör att man uppnår den kritiska bucklingsspänningen tidigare än enligt den klassiska teorin Däremot påverkar egenspänningar inte avsevärt plåtens maximala bärförmåga, speciellt om plåten är mycket slank. Detta beror på att egenspänningarna är självbalanserade De initiella imperfektionerna gör att plåten börjar böja ut redan för laster som är mindre än den teoretiska bucklingslasten. Utböjningar ökar snabbare när man närmar sig P cr
Bärförmåga: ideal plåt kontra verklig plåt a b Efterkritisk bärförmåga Kurva a : ideal plåt Kurva b : verklig plåt OBS: w o (0,- 1) t
Effektiv bredd enligt EC3 b b eff Reduktionsfaktorn beror av plåtens bucklingsspänning cr och materialet sträckgräns f y f y p 0, p cr p
von Kármán kontra EC3 Fritt uppalgd plåt på fyra ränder med f y = 360 MPa, t = 10 mm, k = 4,0 a/b 1,0