Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 4/9 2008 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M. Tid: sekund (s), dimensionssymbol T. Elektrisk ström: Ampère (A), dimensionssymbol I. Termodynamisk (absolut) temperatur: Kelvin (K), dimensionssymbol Θ. Substansmängd: mol, dimensionssymbol N. Ljusintensitet: candela (cd), dimensionssymbol J. Kraft: Newton (N) Energi: Joule (J) Laddning: Coulomb (C) etc. Kan uttryckas i grundenheterna. Härledda enheter Fördelar med att använda SI-enheter: 1) Uttrycker man alla storheter i SI-enheter vet man att svaret blir uttryckt i en SI-enhet. 2) Ofta har man fått fram den sökta storheten (vänsterledet) uttryckt i en kombination av andra storheter (högerledet). Man kan då lätt kontrollera om enheten hos vänsterledet överensstämmer med den resulterande enheten för högerledet. Om så inte är fallet har man gjort ett allvarligt fel. På tentamina m.m. brukar det bedömas strängt om man lätt hade kunnat konstatera att svaret är orimligt. Några exempel 1) Watt (W) enhet för effekt P. Hur uttrycker vi W i grundenheter? i använder kända samband. Effekt = energi/tidsenhet, enhet W = J/s Energi (arbete) = kraft väg, enhet J = Nm Kraft = massa acceleration, enhet N = kg m/s 2 Metod 1 med användning av dimensionssymboler(jfr. sid. 24 i KP1). dim(f ) = MLT 2 1
dim(e) = ML 2 T 2 dim(p ) = ML 2 T 3 Enhet: W = kg m 2 s 3 Metod 2 med användning av enheter W = J/s = Nm/s = (kg m/s2 ) m s = kg m2 s 3 Anm. Metoden med dimensionssymboler har nackdelen att vi först måste uttrycka alla storheter i grundenheter. Om vi räknar i enheter kan vi starta med härledda storheter som W, J och N och successivt byta ut dem mot grundenheter. 2) Farad (F) enhet för kapacitans C. Kapacitans definieras som laddning dividerat med spänningen över kondensatorn F = C/ Ström = laddning / tidsenhet, enhet C = As Effekt = spänning strömstyrka, enhet = W/A Fann nyss att W = kg m 2 /s 3 Metod 1: dim (P ) = ML 2 T 3 enligt föregående uppgift dim ( ) = ML 2 I 1 T 3 dim (q) = IT dim (C ) = dim(q/ ) = IT (ML 2 I 1 T 3 ) 1 = IT M 1 L 2 IT 3 = I 2 T 4 M 1 L 2 Metod 2: F = C/ = As/ = As W/A = A2 s kg m 2 /s 3 = A2 s 4 kg m 2 3) Tesla (T) enhet för magnetisk fältstyrka B. iktigt samband: Lorentzkraften: F = qv B Magnetfältets belopp ges alltså av B = F/(qv) Metod 1: dim (B) = dim (F/qv) = MLT 2 (IT ) 1 (LT 1 ) 1 = MLT 2 I 1 T 1 L 1 T = MT 2 I 1 Metod 2: N = kg m/s 2 C = As (båda sambanden visade tidigare) 2
T = kg m/s2 (As) (m/s) = kg m s As m s = 2 kg A s 2 Problem 2.1, sid. 36 i KP1 Korrigerad lydelse: Man kan modellera sambandet mellan trycket p, volymen och antalet gaspartiklar N vid absoluta temperaturen T för en icke-ideal gas enligt van der Waals gaslag: ( [ ] N 2 ) p + a ( Nb) = Nk B T, där k B = 1.38065 10 23 J/K är Boltzmanns konstant. ilken enhet har konstanterna a och b uttryckta i SI-systemets enheter? Lösning: När man adderar två storheter måste båda ha samma enhet. I den första parentesen är den första termen trycket p som är kraft per ytenhet och mäts i SI-enheten pascal (Pa) = N/m 2. Kraft är massa gånger acceleration och därmed har vi 1 N = 1 kg m/s 2. Enheten för p blir därmed kg m 1 s 2. Uttryckt i dimensionssymboler har vi M L 1 T 2 Den andra termen i parentesen ska alltså ha samma enhet. N är dimensionslöst. Man kan säga att N har dimensionen 1. mäts i m 3 och har dimensionen L 3. i ska ha ( [N ] 2 ) dim(p) = dim(a) dim vilket ger dim(a) = dim(p) ( [ ] ) 2 = M L 1 T 2 = M L 5 T 2 dim N (L 3 ) 2 och enheten hos a blir alltså kg m 5 s 2 Den andra parentesen innehåller ( Nb). Eftersom N är dimensionslöst måste b ha samma dimension som, d.v.s. L 3 och enheten blir m 3. Observera att vi kan bestämma dimensionen hos a och b enbart ur vänsterledet. i bör dock kontrollera att högerledet har samma dimension som vänsterledet. Det lämnas som en hemuppgift. Anm. I facit anges att enheten för b är N m4. Om vi sätter in att 1 N = 1 kg m s 2 får vi att 1 N m 4 = 1 kg m 5 s 2, vilket överensstämmer med svaret för a ovan. Förutom att exponenterna har hamnat på fel rad har svaren för a och b kastats om. Specialfallet a = 0 = b ger ideala gaslagen. En ideal gas kännetecknas av att växelverkan mellan partiklarna kan försummas. När temperaturen hos en gas sänks ner mot kondensationspunkten blir ideala gaslagen en allt sämre approximation och vi får ta till van der Waals lag. 3
Överslagsberäkningar, storleksordningar Används för att bedöma om det erhållna resultatet är rimligt. Omvandlingsfaktorer: Livslängd 75 år 1 år 365 dagar 1 dag = 24 h 1 h = 60 min = 60 60 s = 3600 s Problem 1: Uppskatta en mans livstid i sekunder 1 livslängd = 75 365 24 3600 s 100 1000 10 1000 s = 10 2 10 3 10 10 3 s = 10 9 s. Beräkning med miniräknare ger 1 livslängd = 2.37 10 9 s. Anm. För att inte få onödigt stor säkerhet är det bra om vi avrundar uppåt och neråt ungefär lika ofta. i kan får ett något noggrannare resultat om vi behåller en siffra förutom tiopotenserna. i får då 1 livslängd 80 400 20 4000 = 256 10 7 = 2.56 10 9 s men avsikten med överslagsberäkningar är att få en grov uppskattning av storleksordningen på ett enkelt sätt. id längre beräkningar med miniräknare är det lätt att göra fel och då kan det vara bra att snabbt uppskatta om det erhållna svaret är av rätt storleksordning. Problem 2: Hur många atomer finns det i ett A4-papper? Se exempel sid. 32-33 i KP1. Dimensionsanalys Problem 4, avsnitt 8.1 i KP3 Det finns pulserande stjärnor vars ljusstyrka och radiella hastighet oscillerar med en period t. En hypotes är att t beror på stjärnans radie r, massa m och gravitationskonstanten G. Uttryck t i dessa storheter så att dimensionerna hänger ihop. i ansätter sambandet t = m a r b G c, där exponenterna a, b och c ska bestämmas. Allmänt gäller (Newtons gravitationslag) att kraften mellan två partiklar med massorna m 1 och m 2 på avståndet r är F = Gm 1m 2 r 2 (Notera att Coulombs lag för kraften mellan två laddningar är på precis samma form). Kraft mäts i N = kg m/s 2. Om vi uttrycker G i de övriga storheterna får vi G = F r2 m 1 m 2 4
och enheten blir (kg m)m 2 s 2 kg 2 = m 3 /(kg s 2 ) Ekvationen för t ger att kg a m b (m 3 kg 1 s 2 ) c ska ha enheten s. Därmed ska exponenten för s vara ett, d.v.s. 2c = 1, och exponenterna för kg och m ska vara noll, vilket ger a c = 0 och b + 3c = 0. Detta ger i tur och ordning c = 1 2, a = 1 2 och b = 3 2. Slutsats: Det sökta sambandet är t = m 1/2 r 3/2 G 1/2 Anm. erkar detta rimligt fysikaliskt? Uttrycket anger att perioden t minskar om m och/eller G ökar. Båda faktorerna innebär att kraften bakom oscillationen ökar och då verkar det rimligt att oscillationen sker snabbare, d.v.s. att perioden minskar. När radien r ökar verkar det också rimligt att oscillationen får större amplitud och sker långsammare. Även om detta resonemang inte ger de exakta värdena för exponenterna kan det vara skäl att tänka efter om trenderna verkar fysikaliskt rimliga. Problem 7, avsnitt 8.1 i KP3 Det hydrostatiska blodtrycket p kan antas bero på blodets densitet ρ, höjdskillnaden h mellan hjärtat och en lägre mätpunkt i kroppen och gravitationen g. Ange ett rimligt uttryck för p så att dimensionerna stämmer. i ansätter p = kρ a h b g c, där k är en dimensionslös konstant. Tryck är kraft per ytenhet och mäts i pascal (Pa) = N/m 2 = (kg m/s 2 ) /m 2 = kg m 1 s 2. idare mäts ρ i kg/m 3 och tyngdaccelerationen g i m/s 2. Enheten hos högerledet blir därmed (kg m 3 ) a m b (m s 2 ) c = kg a m b+c 3a s 2c Jämförelse med enheten för p ger ekvationssystemet a = 1, -2c = -2, b + c - 3a = -1. Detta ger a = b = c = 1, d.v.s. sambandet blir p = kρhg Anm. erkar det rimligt att trycket ökar om densiteten, höjdskillnaden och/eller gravitationsaccelerationen ökar? Kan man tänka sig ett mera allmänt uttryck där dimensionerna också stämmer men där den fysikaliska situationen beskrivs bättre? 5