TATA69 Flervariabelanalys Kompletterande uppgifter ht 2013

Hans Lundmark Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013-08-30 TATA69 Flervariabelanalys Kompletterande uppgifter ht 2013 e här uppgifterna är till för att du på ett handfast sätt ska få bekanta dig med några grundläggande begrepp för funktioner av flera variabler. Uppgifter markerade smakprov handlar om saker som behandlas noggrannare senare i kursen. Tanken är att du ska klura själv, diskutera med kurskamrater och lärare, samt experimentera med hjälp av dator, och facit har därför helt avsiktligt utelämnats. K0 Tillbakablick Ägna ett ögonblick åt att tänka igenom vad du vet om funktioner av en variabel: När man först lär sig rita grafer y = f (x) brukar man nöja sig med en värdetabell. Såhär, t.ex.: x 3 2 1 0 1 2 3 f (x) = x 2 9 4 1 0 1 4 9 Men naturligtvis räcker det inte att enbart känna till värden i enstaka punkter för att kunna rita en tillförlitlig graf, utan man måste även tänka efter hur funktionen beter sig mellan dessa punkter. Senare har du lärt dig mer avancerade metoder för funktionsundersökning, framför allt med hjälp av derivator. (Och även gränsvärden, för att undersöka om det finns asymptoter.) u vet också att arean mellan grafen och x-axeln (räknat med tecken ) kan beräknas med hjälp av integraler. Intuitivt kan man tänka såhär: till varje punkt x hör en infinitesimalt smal rektangel med höjd f (x) och bredd d x, och integralen b f (x) d x är summan av a dessa oändligt många oändligt små rektangelareor. Mera precist definierar man Riemannintegralen med ett slags gränsvärdesförfarande som involverar trappfunktioner och över-/undersummor. K1 Funktioner av två variabler Som vårt första exempel på en funktion av två variabler tar vi f (x, y) = x 2 + 4y. (a) Gör en tabell över f :s värden i några punkter, t.ex. heltalspunkter med x, y = 0, ±1,..., ±5. Ett bekvämt sätt att sköta bokföringen är 1

att föra in värdena i ett (x, y)-koordinatsystem: vid punkten (x, y) skriver du det uträknade värdet f (x, y). (b) Fundera över funktionens värden i punkter som ligger mellan punkterna i din tabell. (Hur ändras värdet f (x, y) om man varierar x men håller y konstant? Växer det eller avtar det? Och om man ändrar y men håller x konstant? Etc.) (c) Hur beter sig funktionen när x och/eller y är stort? (Kan man få f (x, y) att bli hur stort som helst, eller finns det någon övre eller undre gräns som värdet inte kan över- resp. underskrida?) (d) Finns det symmetrier? (Just denna funktion råkar ha egenskapen att f ( x, y) = f (x, y); hur syns detta i värdetabellen?) (e) Hitta alla punkter där f (x, y) = 0. (u kanske direkt hittar några sådana heltalspunkter i din värdetabell, men glöm inte att det kan finnas andra möjliga punkter mellan heltalspunkterna.) essa punkter bildar en nivåmängd, som betecknas såhär om man ska vara noggrann: 1 (x, y) R 2 : f (x, y) = 0. Rita in den i koordinatsystemet. 2 Gör samma sak för ytterligare några nivåmängder, t.ex. f (x, y) = 1, f (x, y) = 1 och f (x, y) = 2. Kan du tänka ut hur en godtycklig nivåmängd f (x, y) = C ser ut? (f) Med hjälp av de ovanstående stegen, gör dig en mental bild av funktionens graf z = f (x, y) (även kallad funktionsytan för f ). Försök också att rita den på papper, och jämför sedan med en datorritad bild. 3 (g) Nivåmängderna f (x, y) = C ritar man i ett tvådimensionellt koordinatsystem (x, y), medan grafen z = f (x, y) ritas i ett tredimensionellt koordinatsystem (x, y, z). Fundera över sambanden mellan dessa två figurers utseende. (Förslag: tänk på höjdkurvor på en orienteringskarta.) 1 Ett förkortat skrivsätt är {f (x, y) = 0} eller bara {f = 0}. Ofta är man dock ännu latare och skriver nivåmängden f (x, y) = 0 eller nivåmängden f = 0 utan några mängdklamrar. Egentligen är detta att misshandla språket en aning, eftersom f (x, y) = 0 är en ekvation och inte en mängd, men det brukar anses acceptabelt. (Liknande förenklingar är att säga funktionen f (x) = x 2 istället för funktionen f vars värde i en godtycklig punkt x ges av formeln f (x) = x 2, eller grafen y = f (x) istället för grafen {(x, y) R 2 : y = f (x)}.) 2 Ofta, som i det här fallet, är nivåmängden en nivåkurva, men mer allmänt kan en nivåmängd se ut lite hur som helst; t.ex. kan den vara tom, eller bestå av enstaka punkter. 3 et finns många datorprogram, mobiltelefonappar och webbtjänster som kan hjälpa till med att rita grafer och nivåkurvor. T.ex. kan du skriva in x^2 + 4y i Googles sökruta, så kommer det upp en interaktiv 3d-modell av grafen z = x 2 + 4y, som man kan rotera och zooma i med musen (funkar inte med alla webbläsare, men t.ex. Firefox går bra). Ett annat populärt alternativ är www.wolframalpha.com. 2

(h) Räkna ut f x (x, y) och f y (x, y) (de partiella derivatorna4 med avseende på x resp. y) och fundera på vad de säger om hur funktionsvärdena växer/avtar. I vilka punkter är f x (x, y) = 0? Var är f y (x, y) = 0? Finns det några punkter där båda de partiella derivatorna är noll samtidigt? K2 efinitionsmängd Låt g(x, y) = ln(x 2 + 4y). Vilket villkor måste x och y uppfylla för att värdet g(x, y) ska vara definierat? Illustrera i (x, y)-planet den mängd som består av alla punkter som uppfyller detta villkor; med andra ord, rita definitionsmängden g. Hur ser nivåmängderna och grafen för g ut? (u kan ha hjälp av uppgift K1 här, eftersom g = ln f, där f är funktionen från den uppgiften.) K3 Gör om uppgift K1 för följande funktioner: (a) f (x, y) = 2x 5 y (b) f (x, y) = x y (c) f (x, y) = x 2 + 4 y 2 (d) f (x, y) = x 2 4 y 2 (e) f (x, y) = x 2 + 4x y + 4 y 2 (f) f (x, y) = 2x 2 + 4x y + 5 y 2 (g) f (x, y) = x 3 3x y 2 K4 Kontinuitet (smakprov) Låt f (x, y) = x 2 + y 2, om x < y, x, om x y. (Alltså t.ex. f (2, 3) = 2 2 + 3 2 = 13 eftersom 2 < 3, men f (1, 0) = 1 eftersom 1 0.) Hur ser nivåmängderna och grafen ut? (u kan alltid börja med att göra en värdetabell ifall du är osäker på hur du ska angripa problemet.) Skulle du säga att f är en kontinuerlig 5 funktion? Titta istället på g(x, y) = x 2 + y 2, om x < y, 2x 2, om x y. 4 en partiella derivatan f beräknas genom att derivera f med avseende på x som om x y vore en konstant. en andra partiella derivatan f fås genom att istället behandla y som y variabel och x som konstant. Exempel: Om f (x, y) = x 3 + x 2 y 5 så är f (x, y) = 3x 2 + 2x y 5 och x f (x, y) = 0 + 5x 2 y 4. y 5 Löst uttryckt: sitter grafen ihop? Begreppet kontinuitet definieras ordentligt lite senare i kursen. 3

Är g en kontinuerlig funktion? K5 Rotationssymmetri m.m. Rita nivåmängder och graf för nedanstående funktioner. Fundera särskilt över vilka olika typer av symmetri som förekommer. (a) f (x, y) = x 2 + y 2 (b) f (x, y) = x 2 + y 2 (c) f (x, y) = sin(x 2 + y 2 ) (d) f (x, y) = (x + 2y) 3 (e) f (x, y) = sin(x + 2 y) (f) f (x, y) = x y (g) f (x, y) = max( x, 2 y ) (Beteckningen max(a, b) står för det största av de två talen a och b; t.ex. är max(3, 7) = 7 och max( 2, 3) = 2.) K6 Gränsvärde (smakprov) Rita nivåmängder och graf för följande funktioner: x y (a) f (x, y) = x 2, om (x, y) (0, 0), + y2 odefinierat, om (x, y) = (0, 0). (Ledning: vad är f (x, y) om y = k x?) x 2 y (b) f (x, y) = x 4, + y2 om (x, y) (0, 0), odefinierat, om (x, y) = (0, 0). (Ledning: vad är f (x, y) om y = k x 2?) (e här funktionerna kommer att vara användbara som exempel när vi ska prata om gränsvärden senare. u kan redan nu fundera på om du tycker att man bör säga att de har något gränsvärde när (x, y) (0, 0), och vad det gränsvärdet är i så fall.) K7 Funktioner av tre variabler Funktioner av tre variabler är svårare att visualisera. För att rita en graf w = f (x, y, z) skulle man ju behöva ha tillgång till ett fyrdimensionellt rum med x-, y-, z- och w-axlar! et man däremot kan illustrera i tre dimensioner är nivåmängderna f (x, y, z) = C, som ju är mängder i R 3. Ofta är nivåmängderna nivåytor, men de kan också vara kurvor, tomma mängden, bestå av enstaka punkter, eller ha något annat mer komplicerat utseende. 4

För följande funktioner, gör dig en mental bild av hur nivåmängderna f (x, y, z) = C ser ut för C = 1, 0, 1 och 2 (eller för godtyckligt C), och rita dem på papper om du kan: (a) f (x, y, z) = x + 2 y + 3z (b) f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 (c) f (x, y, z) = x 2 4 + y2 9 (d) f (x, y, z) = x yz K8 Vektorvärda funktioner e funktioner som vi har tittat på hittills har som indata haft en punkt (eller en vektor om man så vill) x = (x 1, x 2 ) R 2 eller x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3, och som utdata ett vanligt tal f (x) = f (x 1, x 2 ) R resp. f (x) = f (x 1, x 2, x 3 ) R, Man brukar indikera detta med skrivsättet f : R 2 R resp. f : R 3 R. Funktioner av typen f : R n R kallas reellvärda eller skalärvärda, eftersom deras värden f (x) är reella tal (skalärer). et finns även funktioner f : R n R m vars utdata är punkter/vektorer i R m (med m 2); sådana funktioner kallas vektorvärda. Några exempel: (a) f : R 2 R 2, f (x, y) = (3x + y, x y) (b) f : R 2 R 2, f (x, y) = (x 2 y 2, 2x y) (c) f : R R 3, f (t) = (1 + t, 2 t, 3 + 5t) (d) f : R R 3, f (t) = (t, t 2, t 3 ) (e) f : R 2 R 3, f (s, t) = (s 2 cos t, s 2 sin t, s) Fundera över hur man skulle kunna visualisera och/eller tolka sådana här funktioner. (Ett par av exemplen ovan bör nog se lite bekanta ut. Kommer du ihåg linjära avbildningar och linjens ekvation på parameterform från kursen i linjär algebra?) K9 Gradient (smakprov) Givet en reellvärd funktion f : R n R kan man bilda en vektorvärd funktion genom att räkna ut alla f :s partiella derivator och ställa upp dem i en vektor. enna funktion kallas gradienten för f, och betecknas f ( nabla f ): f : R n R n, f (x) = f x 1 (x), f x 2 (x),..., f x n (x). 5

et lämpligaste sättet att tänka på gradienten är som ett vektorfält: i varje punkt x sitter det en tillhörande vektor f (x). Gå tillbaka till uppgifterna K1 och K3, där du har ritat nivåkurvor och räknat ut de partiella derivatorna för ett antal funktioner f (x, y). Gör följande för några av dessa funktioner: skriv upp uttrycket för gradienten f (x, y) = f x (x, y), f y (x, y), räkna ut dess värde i några punkter, rita in dessa vektorer på sina rätta platser i (x, y)-planet, och rita i samma figur in några nivåkurvor f (x, y) = C. Ser du något intressant? (Och kan du spekulera om något motsvarande fenomen för funktioner av tre variabler?) K10 ubbelintegral (smakprov) u känner till den vanliga integralen b f (x) d x från envariabelanalysen; a där integrerar man över ett intervall a x b på tallinjen R. Här ska vi nu ta en första titt på begreppet dubbelintegral f (x, y) dx dy, där man istället integrerar en tvåvariabelfunktion f (x, y) över någon mängd i talplanet R 2. I det enklaste fallet är integrationsområdet en rektangel a x b, c y d, men det kan se ut lite hur som helst en triangel, en cirkelskiva, eller någonting mer komplicerat. Vi ska här beräkna dubbelintegralen av f (x, y) = x 2 + 3y över den rektangel som definieras av olikheterna 6 0 x < 3, 1 y < 2. (a) Rita in rektangeln i ett (x, y)-koordinatsystem. För att illustrera skillnaden mellan och < i definitionen av så kan man rita den nedre och den vänstra kanten med heldragen linje (dessa punkter tillhör mängden ), och den övre och den högra kanten med streckad linje (dessa punkter tillhör inte ). (b) Idén med integralen är att man i någon mening ska summera alla f :s värden i området. Så låt oss börja med att ta alla heltalspunkter som tillhör, och addera f :s värden där: S 1 = f (0, 1) + f (1, 1) + f (2, 1) = 3 + 4 + 7 = 14. etta värde, S 1 = 14, är en första grov approximation av integralen. 6 et spelar ingen roll för slutresultatet om man har stränga olikheter eller inte (dvs < eller ), men det kommer att påverka exakt vilka punkter som kommer med i uträkningarna på vägen dit i denna uppgift. 6

(c) Nästa steg är att förfina beräkningen. Nu tar vi med även alla halvtalspunkter som tillhör : (0, 3 2 ) ( 1 2, 3 2 ) (1, 3 2 ) ( 3 2, 3 2 ) (2, 3 2 ) ( 5 2, 3 2 ) (0, 1) ( 1 2, 1) (1, 1) ( 3 2, 1) (2, 1) ( 5 2, 1) Beräkna f :s värden i dessa punkter, och räkna ut vad deras summa S 2 = f (0, 3 2 ) + f ( 1 2, 3 2 ) + f (1, 3 2 ) + f ( 3 2, 3 2 ) + f (2, 3 2 ) + f ( 5 2, 3 2 ) + f (0, 1) + f ( 1 2, 1) + f (1, 1) + f ( 3 2, 1) + f (2, 1) + f ( 5 2, 1) blir. Eftersom vi summerar fyra gånger så många värden som i första steget, så bör S 2 grovt räknat bli fyra gånger så stort som S 1. Vi är ute efter en process som leder till ett ändligt gränsvärde, så för att inte få en följd av tal som skenar iväg och blir större och större när vi fortsätter att förfina, så dividerar vi med fyra; värdet S 2 /4 (som grovt räknat bör vara av samma storleksordning som S 1 ) är alltså vår förbättrade approximation av integralen. (Faktorn 1 kan även förklaras såhär: vi har delat in området i rektanglar av sidlängd x = y = 1, och för varje rektangel räknar vi 4 2 ut f (x, y) x y, alltså funktionsvärdet i någon punkt i rektangeln multiplicerat med rektangelns area, och summerar.) (d) I steg nummer n tar vi med punkter som ligger på avståndet 1 n från varandra, alltså de punkter som tillhör mängden och har formen (x, y) = ( r n, s ) där r och s är heltal. Med vår specifika rektangel n får vi olikheterna 0 r n < 3 och 1 s < 2, vilket innebär (eller n hur?) att de tillåtna värdena för r och s är r = 0, 1, 2,..., 3n 1, s = n, n + 1, n + 2,..., 2n 1. Summan av f :s värden i dessa punkter är S n = 3n 1 r=0 2n 1 s=n f 3n 1 r n, s n = r=0 2n 1 s=n r 2 n + 3 s. n Om du gillar en liten utmaning, försök att härleda en enkel formel för denna dubbelsumma. (Vi börjar behöva en formel, dels för att det efter ett tag inte är så roligt att sitta och summera värden för hand, men framför allt för att vi ska kunna beräkna gränsvärdet när n.) Ifall du ger upp, eller är lite bekväm redan från början, kan du ta hjälp av dator; t.ex. kan du mata in sum (r/n)^2 + 3s/n, r=0..3n-1, s=n..2n-1 7

på www.wolframalpha.com. Och eftersom vi summerar n 2 gånger fler värden än i steg 1, så dividerar vi summan med n 2 ; approximationen av integralen i steg n är alltså S n /n 2. (e) Själva integralen är det slutliga värdet som man får när man förfinar i all oändlighet, med andra ord gränsvärdet S n lim n n 2. Verifiera, med hjälp av formeln för S n från föregående deluppgift, att detta gränsvärde blir 45/2. ärmed har vi räknat ut vår första dubbelintegral: (x 2 + 3 y) dx dy = 45 2. (f) Så som vi nu har beräknat integralen gör man nästan aldrig i praktiken, utan detta var mest till för att ge dig en känsla för hur integralen är definierad, som en oändligt förfinad summa. (en exakta definitionen är lite mer komplicerad, med över- och undersummor etc., men idén är ungefär den som har illustrerats här.) För att beräkna integraler använder man istället primitiv funktion, liksom i envariabelanalysen. Närmare bestämt såhär, med så kallad upprepad enkelintegration : 2 3 x=0 (x 2 + 3 y) dy y=1 dx. Eller såhär: 2 3 y=1 (x 2 + 3 y) dx x=0 dy. Utför dessa båda uträkningar; det ska bli 45/2 i båda fallen. (Integralerna dx och dy beräknas genom att ta primitiv funktion med avseende på x resp. y, alltså den motsatta operationen till att beräkna partiell derivata med avseende på x resp. y.) (g) Hur tror du att man ska ställa upp den upprepade enkelintegrationen ifall man istället vill integrera f (x, y) = x 2 + 3y över triangeln med hörn i (0, 1), (0, 2) och (3, 1) (dvs nedre vänstra halvan av rektangeln )? (Ifall du vill testa om din teori stämmer så kan jag avslöja att integralens värde i detta fall ska bli 33/4.) (h) Till sist, fundera lite över följande exempel på hur man kan tolka dubbelintegraler: 8

Antag att området beskriver formen hos en elektriskt laddad tunn platt skiva, och att f (x, y) anger laddningstätheten per ytenhet i punkten (x, y). (enna täthet mäts i enheten Coulomb per kvadratmeter, och kan vara positiv i vissa punkter och negativ i andra, eftersom elektrisk laddning kan vara antingen positiv eller negativ). å är f (x, y) dx dy den totala elektriska laddningen i skivan, räknad med tecken så att positiv laddning ger positivt bidrag och negativ laddning ger negativt bidrag. Man kan intuitivt tänka sig att skivan är uppdelad i infinitesimalt små rektanglar med sidlängder dx och dy; i en sådan liten rektangel vid punkten (x, y) kan laddningstätheten sägas vara konstant lika med f (x, y), så den rektangeln innehåller laddningen f (x, y) dx dy (laddningstätheten gånger arean). en totala laddningen i skivan fås genom att addera (dvs integrera) alla dessa oändligt många, oändligt små bidrag. Om f (x, y) istället är masstätheten per ytenhet (kg/m 2 ) så är dubbelintegralen f (x, y) dx dy den totala massan hos skivan. enna tolkning är förstås inte tillämpbar om f antar negativa värden i, eftersom massa alltid är ickenegativ. Som specialfall, om man låter tätheten vara konstant lika med ett, ser man att 1 dx dy (vilket vanligen skrivs dx dy) är lika med arean av området. (För en skiva med densiteten 1 kg/m 2 är ju massans värde i kg lika med areans värde i m 2. Man kan också tänka direkt att man integrerar ihop alla infinitesimala rektangelareor dx dy för att få skivans totala area.) En vanlig geometrisk tolkning är att om f 0 så representerar f (x, y) dx dy volymen av den kropp K i R3 som har området i (x, y)-planet som bottenplatta och grafen z = f (x, y) som lock : K = (x, y, z) R 3 : (x, y) och 0 z f (x, y). (Se t.ex. figuren i början av Kapitel 6 i Persson Böiers.) Här tänker man sig att f (x, y) dx dy är volymen av en infinitesimalt smal stapel från punkten (x, y, 0) till punkten (x, y, f (x, y)), alltså med höjd f (x, y) och bottenarea dx dy, och kroppens totala volym fås genom att integrera ihop volymerna av alla dessa staplar. Om f även kan anta negativa värden måste man modifiera tolkningen. å ger f (x, y) dx dy volymen mellan och grafen räknat med tecken, så att den del av grafen som ligger ovanför ger positivt bidrag, och den del av grafen som ligger under ger negativt bidrag. 9

Tolkningarna med täthet fungerar även för trippelintegraler E f (x, y, z) dx dy dz, där E är en mängd i R 3, ifall f (x, y, z) betyder täthet per volymsenhet (istället för per ytenhet). å ger integralen den totala laddningen resp. massan hos den kropp i rummet vars form beskrivs av mängden E, och dx dy dz är kroppens volym. E äremot är inte tolkningen med volymen under grafen särskilt användbar för trippelintegraler; man får i så fall försöka tänka sig hypervolymen av det fyrdimensionella område i (x, y, z, w)- rummet som ligger mellan det tredimensionella området E i (x, y, z)-hyperplanet och funktionshyperytan w = f (x, y, z). 10