Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion tln.04 b(t) = 0000 e b tln.04 (t) = 0000 ln.04e Hur ska man tolka b (4)? Först beräknar vi dess värde b (4) = 0000 ln.04e 4ln.04 459 Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x) Figur : Av grafen at döma skulle man kunna tro att beloppets utveckling b(x) är linjär, men så är icke fallet. Möjligtvis kan man se det på b (x) som stiger lite, lite grann. Om b(x) hade varit linjär hade b (x) varit konstant eller hur? Vi kan säga att alla funktioner som vi sysslar med kan tyckas vara linjära, bara man tittar på ett tillräckligt litet intervall. För att skingra alla tvivel tittar vi på b(t) i ett större intervall, hela 00 år (se fig ) Håkan Strömberg KTH Syd
300000 50000 00000 50000 00000 50000 0 40 60 80 00 Figur : Grafen nedan visar ett så kallad kastparabel där utkastet skett från origo. Efter att det utkastade föremålet nått sin högsta punkt dalar det och slår ner någon stans kring 50 meter. 0 8 6 4 0 0 30 40 50 Figur 3: Parabelns funktion är Vi ska besvara följande frågor f(x) = x 5 + 4x 5 a) Var slår föremålet ned? b) Efter hur många meter når föremålet sin högsta punkt och hur hög är denna? c) Vilket utkastvinkel har föremålet? Den första frågan är lätt att besvara. Vi behöver bara lösa ekvationen f(x) = 0 x 5 + 4x 5 = 0 x ( 4 5 x 5) = 0 Vi har ett faktoriserat andragradsuttryck, där en rot är x = 0. Den andra får vi genom att lösa ekvationen 4 x = 0 5 5 4 5 = x 5 x = 4 5 5 x = 50 Håkan Strömberg KTH Syd
Föremålet slår alltså ned efter exakt 50 meter. För att ta reda på funktionens maxpunkt (för det är helt tydligt en maxpunkt vi ser), deriverar vi funktionen Vi studerar derivatans graf f (x) = 4x 5 + 4 5 0.75 0.5 0.5-0.5-0.5-0.75 0 0 30 40 50 Figur 4: Vi sera att derivatan är > 0 (positiv) från x = 0 fram till ungefär x = 5 då den är exakt 0. Därefter blir derivatan < 0 (negativ), fram till att föremålet slår i marken. Om vi vill ta reda på exakt var f (x) = 0 löser vi motsvarande ekvation: 4x 5 + 4 5 = 0 4 5 = 4x 5 x = 4 5 5 4 x = 5 Då x = 5 vet vi att funktionen nått sitt maximum. För att ta reda på hur högt det är bestämmer vi f(5) f(5) = 5 5 + 4 5 = 0 5 Vi vet nu att maxpunkten är (5, 0). När funktionen som ska undersökas är mer komplicerad brukar man skissa kurvan på följande sätt x x < 5 x = 5 x > 5 f (x) + 0 f(x) ր max ց Utkastvinkel har förstås med f (0) = 4 5 att göra. Tangentens k-värde i punkten Håkan Strömberg 3 KTH Syd
(0, 0). Om vi vill ha svaret i grader skriver vi Ett samband vi inte nämnt tidigare. v = arctan 4 5 38.7 Ett päron föll från sin gren ned mot marken. Hur många meter päronet fallit efter en given tid i sekunder, kan vi bestämma med funktionen 9.8 t s(t) = Päronet nådde marken efter sekund. Vilken hastighet hade päronet när det nådde marken? Lösning: Vi deriverar s(t) = 9.8t och får s (t) = 9.8t Denna funktion ger päronets hastighet efter t sekunder. s() = 9.8 meter/sekund ger oss svaret. Grafen till följande funktioner finns att beskåda här nedan. Vilken är vilken? A) f(x) = x 3 B) f(x) = x(x + )(x ) C) f(x) = x(x + )(x ) D) f(x) = x 3.5 0.00 0.5 0.00 - - -0.4-0. 0. 0.4-0.5-0.00 ) - -.5 ) -0.00.5 0.00 0.00 0.5-0.4-0. 0. 0.4 - - -0.00-0.5 3) -0.00 Lösning: Vi klarar detta då vet vilka funktioner som återges som grafer. Annars skulle man aldrig med säkerhet kunna bestämma funktionens utseende. 4) - -.5 A) hör ihop med ) B) hör ihop med 4) C) hör ihop med ) D) hör ihop med 3) Håkan Strömberg 4 KTH Syd
3 Här har vi plottat de tre funktionerna (figur 5) Vilken är vilken? ) f(x) = x 4 ) g(x) = x 3) h(x) = x 6 Figur 5: Lösning: För att klara uppgiften måste man ha klart för sig vad som är störst f(0.), g(0.) eller h(0.). ) hör ihop med B ) hör ihop med C 3) hör ihop med A 4 Värdeminskningen hos en dator antar modellen f(t) = 8500 0.70 t där f(t) är datorns värde efter t år. Efter hur lång tid efter inköpet tappar datorn värdet 000 kr/år Lösning: Vi startar med att skriva om funktionen med basen e, så att vi enklare kan derivera. tln 0.7 f(t) = 8500 e Nu deriverar vi f tln 0.7 (x) = 8500 ln0.7 e Vi ska nu lösa ekvationen f (t) = 000 8500 ln0.7 e tln 0.7 = 000 e tln 0.7 = 000 8500 ln0.7 lne tln 0.7 = ln 000 8500 ln0.7 t = t 3. ln 000 8500ln 0.7 ln0.7 Svar: Efter 3. år är värdeminskningshastigheten 000 kr/år Håkan Strömberg 5 KTH Syd
5 Lös ekvationen Lösning: 5e x = 00 Svar: x = 6 5e x = 00 e x = 0 ln ( e x ) = ln0 x = ln0 x = ln0 x = ln0 x = ln 400 x 6 6 Antal åskådare som anlänt till matchen som börjar vid t = 0 följer modellen f(t) = 0000e 3t 50 a) Hur många åskådare kom till matchen? b) Hur många åskådare hade kommit timme för matchstart? c) Vid vilken tid hade hälften av åskådarna anlänt? d) Hur många personer/timmen passerade vändkorsen precis vid matchstart? Lösning: a) Vid t = 0 får vi b) Vid t = får vi c) Vi löser ekvationen f(t) = 9950 f(0) = 0000e 3 0 50 = 9950 f( ) = 0000e 3 ( ) 50 946 0000e 3t 50 = 9975 e 3t 9975 + 50 = 0000 ln ( ( ) e 3t) 9975 + 50 = ln 0000 ( ) 9975 + 50 3t = ln 0000 t = ln( ) 9975+50 0000 3 t 0.3 Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Svar: 0.3 timmar före matchstart, det vill säga 3.8 minuter innan avspark. d) Här ska vi ta reda på f (0). Derivatan är f (t) = 0000 3 e 3t vilket ger f (0) = 0000 3 e 3 0 = 60000 70000 60000 50000 40000 30000 0000 0000 - -.5 - -0.5 Figur 6: 7 Bestäm f (x) = 0 då f(x) = x + x Lösning: Vi skriver om funktionen så att det ska bli lättare att derivera Derivatan f (x) = 0 ger ekvationen f(x) = x + x f (x) = x + ( )x 3 = x x 3 x x 3 = 0 x = x 3 x = x x x 3 = x x = Vi plottar f(x) och ser antagligen att det finns en minimipunkt i (, 4 ). Håkan Strömberg 7 KTH Syd
3.5.5 0.5-4 -3 - - 3-0.5 - Figur 7: En modell N(t) beskriver ett förlopp. Bestäm tillväxthastigheten vid tiden t = 3. N(t) = 000 + t 3 Derivera f(x) = x 5 och g(x) = 5 x 3 a) Vad krävs av f (x) för att f(x) ska var växande? b) Kan f (x) > 0 fast f(x) < 0? c) Om både f (x ) = 0 och f(x ) = 0 för ett värde x = x, vad kan man då säga om ett av f(x) s nollställen? d) För ett polynom p(x) finns x = x, x = x och x = x 3 sådana att p (x ) = 0, p (x ) = 0 och p (x 3 ) = 0. Vilket är det minsta gradtal p(x) kan ha? e) För ett visst värde x = x är f (x) > 0 för ett annat x = x där x > x är f (x) < 0. Vad kan man säga om f(x) i intervallet [x, x ]? 4 En extrempunkt hos en funktion är ett antigen en: maxpunkt, minpunkt eller terrasspunkt. Ta med dosans hjälp reda på vilka extrempunkter denna funktion har f(x) = x4 4 5x3 3 + 7x 3x 5 En funktion f(x) är hela tiden växande (eller avtagande) om den saknar x för vilka f (x) = 0. Hur är det med i detta avseende? f(x) = 3x + x 3 Håkan Strömberg 8 KTH Syd
Vi bestämmer N (t) och därefter N (3) och vi har svaret. och sedan N (t) = 3t N (3) = 3 3 = 7 Svar: Tillväxthastigheten är 7 (sorten är vadå förnå t ) ger 3 a) Att f (x) > 0 b) Javisst c) Att det handlar om en dubbelrot f (x) = 5x 4 g(x) = 5 x = e xln 5 g (x) = ln5e xln 5 d) Polynomet har en en term med minst gradtalet 4 e) f(x) måste ha ett maximum i intervallet 4 Det är inte lätt att avgöra grafiskt, men antagligen har den en minpunkt och terrasspunkt. När man använder dosan för att plotta en graf gäller det att 0.5-0.5 - -.5-3 4 Figur 8: förstora upp den del av av grafen där det händer saker. Den här grafen, figur 9, är inte till mycket nytta 5 Planen går ut på att först derivera f(x) och sedan lösa ekvationen f (x) = 0. Om det visar sig att ekvationen saknar rötter är funktionen genomgående växande eller avtagande. Genom att bestämma f (x ) för något x = x får man reda på vilket. f (x) = 3 + 3x Håkan Strömberg 9 KTH Syd
50 00 50 00 50-0 -5 5 0 Figur 9: f (x) = 0 ger ekvationen 3 + 3x = 0 x = 3 3 x = ± 3 3 Ekvationen saknar reella rötter. Eftersom f (0) = 3 > 0 är funktionen f(x) ständigt växande. Plotta den på dosan! Räkna bokens uppgifter: 36, 364, 365, 366, 367, 369, 37, 373, 376. 36 TB: V(t) = 5000 e kt, värdet V, som funktion av tiden t. V(5) = 00000. Med hjälp av det villkoret ska vi kunna bestämma k 5000 e 5k = 00000 e 5k = 00000 5000 lne 5k = ln 00000 5000 5k = ln 00000 5000 Konstigt att minustecknet bara försvinner! k = ln 00000 5000 / 5 0.686 KTH: ln = 0, då är det ju inte så konstigt att lnx < 0 då x < TB: Nu ska jag alltså bestämma derivatan f (x) = 5000 0.686 e 0.686x och med hjälp av den f (5) 68.6. Bilens värde avtar alltså med cirka 600 kr/år just när den är 5 år gammal. Har vi inte räknat ett sådan tal förut? Håkan Strömberg 0 KTH Syd
TB: Tidigare har vi uttryckt denna formel som ( V(t) = S + r ) t 00 Med den får man bättre koll på tillväxtfaktorn tycker jag. Kan man inte skriva om funktionen ovan på denna form? KTH: Eftersom 364 Så får vi som du vill e 0.686x = ( e 0.686) x = 0.85083 V(t) = 500 0.85083 t Värdet avtar med cirka 5% per år. Ganska mycket eller hur? TB: Nu över till Per och hans funderingar kring befolkningsexplosionen. Han har antagit f(x) = 0.000338x + 0.03x + 8.89. f(0) = 8.89 vilket betyder att det fanns 8.89 miljoner själar i Sverige vid millennium-skiftet. Skulle vara kul att se hur grafen av hans funktion ser ut: 9. 8.8 0 40 60 80 00 8.6 8.4 Figur 0: KTH: 94 år Om den här prognosen är sann kommer Sveriges befolkning att börja dala vid omkring år 040. Hur gammal är du då? TB: Vad var det nu de ville ha reda på? Jo vilken förändring i folkmängden (människor/år), det kommer att vara år 00 och år 040. För att kunna svara på den frågan måste jag derivera f(x) och därefter beräkna f (0) och f (40) 365 f (x) = 0.03 0.000676x f (0) = 0.00968 och f (40) = 0.00384. År 00 kommer Sveriges befolkning, enligt Per att öka med 9680 personer och 040, precis som jag förutspådde, befolkningen att avta med 3840 personer. TB: En ny befolkningsprognos, N(t) = 5000 0.98 t. Jag börjar bli lite trött på det här, men OK. Jag vill skriva om funktionen så att jag enklare kan derivera Håkan Strömberg KTH Syd
366 den. Sedan ska jag bestämma N (5) N(t) = 5000 0.98 t tln 0.98 N(t) = 5000 e N (t) = 5000 ln0.98 e N (5) = 5000 ln0.98 e N (5) = 457 tln 0.98 5ln 0.98 År 005 kommer utflyttningen att överskrida inflyttningen med 457 personer. Det handlar förstås om en norrlandskommun. TB: f(x) = 0000.0 4x ska deriveras genom att skriva om den som f(x) = C a x. Så det skulle alltså betyda att jag inte får gå över omskrivning med basen e. Jobbigt. f(x) = 0000.0 4x = 0000 (.0 4) x = 0000.464 x Det finns förstås möjlighet att derivera mer direkt. Jag minns att f(x) = C a x har derivatan f (x) = C lna a x Tillämpar jag denna kunskap får man KTH: Nu kan du det 367 d) f (x) = ln.464 0000.464 x TB: Givet funktionen f(x) = x 3 + 43 x Man är ute efter f (x) = 0. Jag måste alltså först derivera f(x). Vidare f (x) = 3 43 x f (x) = 0 3 43 x = 0 x = 3 43 x = ± 3 43 x = 7 x = 7 369 Håkan Strömberg KTH Syd
TB: Den här funktionen som ska deriveras ser jobbig ut N(t) = 5000 + 49e 0.t Hur ska jag kunna derivera den här funktionen? KTH: Ja, jag förstår inte hur du ska klara av att derivera den här funktionen. Derivatan är N 4500 e0.t (t) = (49 + e 0.t ) Med hjälp uttrycket kan vi nu bestämma N (0) = 4.8985 TB: Nu flummar du iväg utan att tänka på att jag inte har en chans att hänga med KTH: Jag har givit dig ett svar och nu ska du uppskatta derivatan med hjälp av en differenskvot TB: Det var ett tag sedan sist jag använde mig av differenskvoten. Jag beräknar N(0) = 6.797 och N(0.0) = 63.046 och kan nu beräkna differenskvoten: y δx = 63.046 6.797 0.0 0 = 4.9 Även jag har kommit fram till att 5 personer insjuknar under ett dygn kring den 0:e dagen. Det är lite jobbigt att inte veta om man kan lösa en uppgift exakt eller måste ta till approximativa metoder. KTH: Det gäller alla, på alla nivåer. Men läser vi problemtexten en gång till ser vi att det står att problemet ska lösas numeriskt. Det är detta ord som öppnar dörren till den teknik du använt. 37 TB: Nu handlar det om djur och deras hjärtan. f(m) = k m 0.5, där f(m) är pulsen (antal hjärtslag/minut) och m djurets massa (kg). k är en konstant som vi inte känner. Vi ska nu bestämma Vad betyder nu detta? KTH: Inget annat än f (x)/f(x) df(x) dm / f(x) TB: Efter att beräknat f (m) = 0.5 k m.5 kan jag ställa upp kvoten 373 f (m) f(m) = 0.5 k m.5 k m 0.5 = 4m Det står inget om att man ska tolka svaret vilken tur TB: Funktionen B(t) = 0 t, Antalet bakterier B som funktion av tiden t (i timmar). Jag ska nu beräkna B (t) = 000. B (t) = ln 0 t Håkan Strömberg 3 KTH Syd
Ekvationen som ska lösas är B (t) = 000 ln 0 t = 000 t = 00 ln e ln t 00 ln = e ln t ln = ln 00 ln 00 ln ln t = ln 7.76 Efter 7.7 timmar är tillväxten ungefär 000 bakterier/timme KTH: Nu återstår bara en uppgift för idag 376 TB: Man antar här en exponentiell funktion f(x) = C a x. För att komma fram till et svar måste först C och a bestämmas. Detta kan göras med hjälp av två punkter på kurvan (0, 3.75) och (8,.9). Vi får ett ekvationssystem { C a 0 = 3.75 C a 8 =.9 Jag jobbar vidare C = 3.75 a 0 C =.9 a 8 Nu kan jag räkna ut C.9 = 3.75 a 8 a 0.9 3.75 = a8 a 0.9 3.75 = a8 a = C = ( ).9 8 0.934978 3.75 3.75 4.388 0.9349780 Nu har jag funktionen f(x) = 4.388 0.934978 x och kan besvara frågorna, vilka de nu var. f(0) = 4.388 vilket betyder att vår vän Pontus aldrig varit Håkan Strömberg 4 KTH Syd
över den farliga gränsen på 5. För att besvara nästa fråga måste jag derivera f(x) f(x) = 4.388 0.934978 x f (x) = ln0.934978 4.388 0.934978 x f (30) = 0.87 Efter 30 timmar försvinner 0.3 µg/ml på en timma. Halveringstiden får man reda på genom följande ekvation 4.388 = 4.388 0.934978 x 0.5 = 0.934978 x 0 lg 0.5 xlg 0.934978 = 0 x = lg0.5 lg 0.934978 0.3097 0.3 timmar efter en mätning har hälften av det gift som då finns i kroppen försvunnit. KTH: Nu har du varit duktig Håkan Strömberg 5 KTH Syd
Svar till: De fyra korten Vi översätter de fem satserna till lika många pusselbitar Valörbitarna kan endast sättas samman på ett sätt. Färgbitarna likaså. När vi sedan passar in färgkorten över raden av valörkort, finns det även här endast en möjlighet och vi har svaret: hjärterdam, hjärterkung, spaderkung och spaderdam. Dagens problem: Finn skeppen 4 4 4 0 3 3 6 4 3 3 3 I figuren ovan till vänster ser vi ett hav bestående av 0 0 rutor. I havet finns ett antal fyrar markerade med cirklar. Inuti cirklarna finns ett tal, som berättar hur många skepp man kan se från fyren. Alla dessa skepp finns i samma rad eller kolumn som fyren. De åtta rutor som maximalt kan omge ett skepp kan aldrig innehålla vare sig ett annat skepp eller en fyr. Alla skepp syns från åtminstone en fyr. Var finns skeppen? Samma fråga för havet till höger i figuren. Håkan Strömberg 6 KTH Syd