Växande och avtagande

Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen: litet bonusmaterial...... 4. Lokala maximum och minimum igen................ 4 Sammanfattning Vi ska fortsätta studera funktioner. Med derivatans hjälp kan vi ge bra beskrivningar av hur en funktion beter sig. 1 Växande och avtagande Antag att vi försöker analysera funktionen h(t) som för varje tidpunkt t 0 ger hastigheten för en kropp som färdas framåt. Antag vidare att vi i något intervall [a, b] finner att h(t ) > h(t 1 ) för alla a t 1 < t b. Det betyder att (tänk på hur grafen skulle se ut) h skulle vara strängt växande i intervallet [a, b]. Definition 1.1. Antag att funktionen f är definierad på intervallet [a, b] och att f(x 1 ) < f(x ) för alla x 1 och x i [a, b] sådana att x 1 < x. Då säger vi att f är strängt växande i intervallet [a, b]. Vi säger att f är strängt växande om f(x 1 ) < f(x ) för alla x 1 och x i f s definitionsmängden sådana att x 1 < x. Om de strikta olikheterna (<) i definitionen byts ut mot vida olikheter ( ) så talar vi istället om att f är växande (alltså inte längre strängt växande). Analogt har vi: Definition 1.. Antag att funktionen f är definierad på intervallet [a, b] och att f(x 1 ) > f(x ) för alla x 1 och x i [a, b] sådana att x 1 < x. Då säger vi att f är strängt avtagande i intervallet [a, b]. Vi säger att f är strängt avtagande om f(x 1 ) > f(x ) för alla x 1 och x i f s definitionsmängden sådana att x 1 < x. Om de strikta olikheterna (>) i definitionen byts ut mot vida olikheter ( ) så talar vi istället om att f är avtagande (alltså inte längre strängt avtagande). Om vi har en funktion f som är deriverbar så gäller: 1

Funktionen f är strängt växande i intervallet [a, b] precis då tangentens k-värde är strikt positivt på intervallet, det vill säga f (x) > 0 för alla Funktionen f är strängt avtagande i intervallet [a, b] precis då tangentens k-värde är strikt negativt på intervallet, det vill säga f (x) < 0 för alla Antag att a < c < b och att f är växande på intervallet [a, c] men avtagande på intervallet [c, b]. Värdet c kallas då för ett lokalt maximum. Så kallade lokala minimum definieras analogt. Fundera över de två punkterna (ang. strängt växande resp. avtagande) ovan. Vad händer med derivatan i punkten c, det vill säga, vad är f (c)? Tangenten har ju varken positiv eller negativ lutning, så f (c) = 0. Man kan visa att det alltid är så, det vill säga att: Om f är deriverbar i en punkt x = c och har ett lokalt maximum eller minimum där, så är derivatan i punkten 0, det vill säga f (c) = 0. Vi fortsätter att studera vår funktion f som vi antar är deriverbar. Kan man avgöra var f är som störst och minst på ett givet intervall [a, b]? Vi kan ju alltid börja med att räkna ut f(a) och f(b) för att ha kontroll på dessa värden, men mycket kan hända inne i intervallet. Men, vad händer om f skulle vara som störst i en punkt c, a < c < b, i det inre 1 av intervallet. Då måste ju f växa precis till vänster om c men avta precis till höger om c. Alltså är c ett lokalt maximum! Det betyder att f (c) = 0. Detta gör en undersökning enklare eftersom vi då kan derivera f och se efter för vilka x det gäller att f (x) = 0. Varför heter det lokala maximum och minimum? Jo, det kan även finnas något som kallas globala maximum och/eller globala minimum. Ett globalt maximum är en punkt c sådan att f(c) f(x) för alla x i f s definitionsmängd. Ett globalt minimun föreligger om istället f(c) f(x) för alla x i f s definitionsmängd. Anmärkning 1.. Var litet försiktig då du talar om maximum och minimum. Tänk noga efter om det är lokala eller globala maximum eller minimum du talar om. Övning 1. Hitta största och minsta värdet av funktionen f(x) = (1 x ) på intervallet [0, ]. Andraderivatan Sammanfattning Andraderivatan är det sista redskapet vi ska lägga i vår vertygslåda när det gäller att analysera funktioner och kurvor. Den säger oss hur derivatan ändras. 1 Det inre av ett intervall [a, b] är punkterna x med a < x < b, vilket även brukar betecknas (a, b) och kallas ett öppet intervall

.1 Andraderivatan och acceleration Om vi har en funktion f(x) som är deriverbar så är även derivatan f (x) en funktion. Men, tänk om denna funktion igen är deriverbar. Om vi deriverar f får vi vad som kallas andraderivatan till f som betecknas f (uttalas f bis ). En mer precis definition är Definition.1. Antag att f är en deriverbar funktion och att f i sin tur med är deriverbar i en punkt a. Då kallas gränsvärdet f (a + h) f (a) lim h 0 h adraderivatan av f i punkten a och betecknas f (a). Kom ihåg att derivatan av f i en punkt a mäter förändringen av f i punkten a, det vill säga, den beskriver hur f beter sig i punkten a. Vad betyder då andraderivatan f (a), vad mäter den? Jo, den måste ju såklart mäta förändringen av derivatan i punkten a. Anmärkning.. Tänk så här: Derivatan f (a) berättar för oss om f växer eller avtar i punkten a. Andraderivatan f (a) säger oss om denna tillväxt tilltar eller avtar i punkten a. Exempel 1. Antag att s(t) mäter sträckan (km) en bil färdats vid tidpunkten t (timmar). Derivatan s (t) berättar för oss vad hastigheten (km/h) är i tidpunkten t. Andraderivatan s (t) säger oss om hastigheten ökar eller minskar vid tidpunkten t. Andraderivatan mäter alltså accelerationen. Även andraderivatan för en funktion f(x) = y betecknas på nägra olika sätt. Istället för f (a) kan man skriva y, D f, d y dx och d f dx. Anmärkning.. Observera var tvåorna hamnar i skrivsätten ovan!. Andrederivatans tecken Kom ihåg att: om vi har en funktion f som är deriverbar i ett intervall [a, b] så gäller följande. Funktionen f är strängt växande i intervallet [a, b] precis då tangentens k-värde är strikt positivt på intervallet, det vill säga f (x) > 0 för alla Funktionen f är strängt avtagande i intervallet [a, b] precis då tangentens k-värde är strikt negativt på intervallet, det vill säga f (x) < 0 för alla Vad händer om vi istället antar att f (x) > 0 på ett intervall (a, b)? Jo, då är f strängt växande på intervallet. Det betyder att k-värdet för tangenterna (det vill säga f (x), x (a, b)) på intervallet växer. Om man tänker på hur grafen till

f på intervallet (a, b) ser ut så inser man att den måste ligga ovanför tangenten hela tiden. I en sådan situation säger man att f är konvex på intervallet [a, b]. Fallet med f (x) < 0 på (a, b) är helt analogt. Man inser att då avtar k- värdena (det vill säga f (x)) på intervallet och grafen till f där ligger under tangenterna. Man säger då att f är konkav på intervallet [a, b]...1 Andraderivatans nollställen: litet bonusmaterial Vi har sagt att f (x) är en funktion. Hur är det med lokala maximum och minimum för den? Vi har talat om lokala maximum och minimum för funktionen f, men inte för derivatan f. Kom ihåg att om c är ett lokalt maximum (eller minimum) för f så gäller f (c) = 0. Vi skulle vilja förstå följande: Vad betyder det för f att f har ett lokalt maximum (eller minimum) i en punkt c? Svaret är ganska enkelt. Eftersom f har lokalt maximal (eller minimal) i punkten c, måste grafen till f vara lokalt brantast möjlig.. Lokala maximum och minimum igen Vi kan använda andraderivatan för att på enkelt sätt avgöra om vi studerar ett lokalt maximum eller minimum. Antag nämligen att vi har en funktion f och att f (a) = 0. Om f (a) > 0 ligger grafen till f nära a ovanför tangenten i punkten a. Det betyder att a är ett lokalt minimum. Om vi istället hade haft att f (a) < 0 inser vi att det är tvärtom, det vill säga, a är ett lokalt maximum. Detta eftersom grafen till f nära a ligger under tangenten i punkten a. Om man studerar en funktion upprättar man ofta en så kallad teckentabell. Där för man in den fakta man får fram och kan på ett överskådligt sätt kartlägga funktionens beteende. Vi visar detta med ett exempel. Exempel. Låt oss studera funktionen f(x) = x x. Vi kan börja med att undersöka när (om det alls händer) f(x) = 0, det vill säga när grafen till f skär x-axeln. f(x) = 0 x(x ) = 0. Det ger oss lösningarna x = 0, x = och x =. Derivatan av f är f (x) = x. Det ger att f (x) = 0 x = ±. Andraderivatan av f är f (x) = 6x. Eftersom f ( ) > 0 och f ( ) < 0 ser vi att x = är ett lokalt minimum och x = är ett lokalt maxinum. Några globala maximum eller minimum finns inte. Det beror på att f(x) då x och f(x) då x. Vi sammanställer alltsammans i en tabell: 4

x 0 f(x) lok.max lok.min f (x) + + 0 - - - 0 + + f (x) - - - - 0 + + + + Att f och f har de tecken som anges i givna intervall finner man genom att helt enkelt testa lämpligt värde. Till exempel är f ( 1) < 0 och eftersom vi känner till nollställena för f drar vi slutsatsen att f är negativ överallt till vänster om x = 0. 5