Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt får vi lära oss hur man umgås med determinanter och med vektorer. Till varje kvadratisk matris kan man ordna ett tal, determinanten för matrisen. Determinanten har bl a betydelse vid invertering av matriser och vid lösning av ekvationssystem med lika många ekvationer som obekanta. Vektorer ser vi till att börja med som geometriska objekt; pilar eller riktade sträckor. Vi lär oss använda räknesätt för vektorer, och att använda dem för att beskriva avstånd, vinklar, linjer och plan. (Senare i kursen kommer vi att definiera vektorer på mer allmängiltiga sätt. De abstrakta vektorer vi då har att göra med utgör centrala begrepp i linjär algebra.) Läsanvisningar och kommentarer till läroboken 2.1 Determinant-funktionen Determinanten för en (kvadratisk) matris är ett tal, som på ett visst sätt kan räknas ut med hjälp av matrisens element. Till exempel, om matrisen A ges av A = a c b d, så är determinanten1 för A det(a) = a b c d = ad bc. Determinanten för en 2 2 -matris är alltså enkel att räkna ut: den är differensen mellan produkten av elementen på huvuddiagonalen och produkten av elementen på den andra diagonalen. Ett annat sätt att se det är att determinanten är en summa av termer, som är valda på följande sätt. Varje term är en produkt, i vilken varje faktor är ett element i matrisen. Elementen är valda så att exakt ett kommer från varje rad 1 Ett annat vanligt förekommande skrivsätt är att utelämna parenteserna kring argumentet för determinantfunktionen. Man skriver ofta deta i stället för det(a). 1
och, samtidigt, exakt ett kommer från varje kolonn 2. En extra faktor +1 eller 1 kommer in beroende på om sättet att välja ut elementen svarar mot en jämn eller udda permutation. Det senare sättet att förstå hur determinanten räknas ut är tyvärr något mer komplicerat, men det är detta som är det rätta sättet. Det vill säga, på detta sätt definieras determinanten inte bara för 2 2 -matriser, utan allmänt för n n -matriser. Om det verkar knepigt med begreppen jämna och udda permutationer så kan de lämnas därhän. Det viktiga är att du ordentligt lär dig hur man räknar ut 2 2 - och 3 3 -determinanter. Större determinanter är opraktiska att beräkna enligt definitionen; man använder istället radreduktion eller utveckling (kap 2.2-2.4). Lär dig gärna den grafiska minnesregeln i Fig 2 för hur man räknar ut 2 2 - och 3 3 -determinanter. Övningar: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 19, 20. 2.2 Beräkning av determinanter med radreduktion Om en matris är triangulär så är dess determinant lätt att räkna ut; den är helt enkelt lika med produkten av elementen på huvuddiagonalen (sats 2.2.2). Detta beror på att varje annan elementär produkt måste innehålla minst en faktor som är noll. Vi vet sedan tidigare hur man med hjälp av elementära radoperationer kan omforma en matris till trappstegsform, vilket för kvadratiska matriser innebär triangulär form. Sats 2.2.3 talar om hur determinanten ändras då elementära radoperationer appliceras. (Studera Ex 2 som åskådliggör satsen.) Detta innebär sammantaget att vi har en metod att beräkna determinanten för en godtycklig n n -matris utan att behöva tillgripa definitionen. Studera Ex 5, som illustrerar hur sats 2.2.3 används i metoden. Vi har ytterligare resurser till vårt förfogande. Det gäller exempelvis att det(a) = det( A T ). Detta innebär att vi kan låta rader och kolonner byta roller, och alltså även använda elementära kolonnoperationer. Observera vidare att om en rad (eller en kolonn) består enbart av nollor så är determinanten lika med noll. Detsamma gäller om två rader (eller två kolonner) är proportionella. Övningar: 1, 2, 3, 5, 7, 9, 13. 2 Varje sätt att välja ut element på detta vis ger upphov till exakt en term i determinanten. Detta innebär att en n n - determinant består av n! termer. 2
2.3 Egenskaper för determinantfunktionen I kap 2.3 presenteras två mycket viktiga resultat: sats 2.3.3 som säger att matrisen A är inverterbar om och endast om det(a) 0, och sats 2.3.4 som säger att det(ab) = det(a)det(b). (Här förutsätts givetvis att matriserna har storlek så att determinanterna och matrisprodukterna är definierade.) Dessa resultat måste du obehindrat kunna använda. Bevisen är dock överkurs. Sats 2.3.1 är mindre viktig, men kan vara användbar vid determinantberäkning. En intressant tillämpning av sats 2.3.3 är ekvationer av typen Ax = x. Detta kallas för ett egenvärdesproblem. Det rör sig egentligen om ett homogent linjärt ekvationssystem. En lösning är givetvis x = 0, den triviala lösningen. Frågan är dock när, d v s för vilka värden på, det finns andra lösningar. Dessa värden kallas egenvärden (eigenvalues) Egenvärdesproblem är så viktiga att ett helt kapitel i boken, kap 7, ägnas åt dem. Vi återkommer till dem i avsnitt 5 av kursen. Övningar: 1, 2, 4ac, 12, 16, 18. 2.4 Kofaktorutveckling; Cramers regel I kap 2.4 får vi lära oss hur man kan uttrycka en n n -determinant med hjälp av n stycken (n 1) (n 1) -determinanter, så kallade underdeterminanter (minors). Denna metod kallas för utveckling av determinanten i kofaktorer. En kofaktor är en underdeterminant multiplicerad med +1 eller 1, beroende på vilken rad och vilken kolonn som har strukits. Man kan givetvis kombinera denna metod med de tidigare kända teknikerna för determinantberäkning. Studera Ex 4. Det beskrivs också här hur man med hjälp av kofaktorer kan definiera något som kallas för adjunktmatris (adjoint), och med denna uttrycka matrisinversen. Detta är dock mest av teoretiskt intresse, och denna teori är inte central för den här kursen. Däremot är det bra att känna till och kunna använda Cramers regel för lösningen till ett kvadratiskt ekvationssystem, i det fall det existerar en unik lösning (sats 2.4.3). Studera Ex 8. Övningar: 1, 2ab, 3abc, 5, 7, 9, 17, 21, 23. 3
Kap 3 Vektorer i planet och i rymden Vektorer har nog de flesta av oss stött på i tidigare kurser i matematik eller i fysik. En vektor är något som har storlek och riktning, har vi kanske fått oss till livs. Synsättet innebär att vektorer är geometriska objekt, relaterade till våra tre rumsdimensioner. Man talar om vektorer i (den tredimensionella) rymden. Ibland betraktar man ett tvådimensionellt plan i stället för hela rymden, och har då att göra med vektorer i planet. I kapitel 3 gås igenom hur man räknar med vektorer i planet och i rymden. Addition, multiplikation med tal, skalärprodukt och norm (med mera) definieras och räknas med. Man ser hela tiden vektorer främst som geometriska storheter. Detta stoff är kanske inte nytt. Kan man redan detta kan det i alla fall vara bra att ögna igenom kapitlet som repetition. Det är bra att vara väl förtrogen med de geometriska vektorernas egenskaper när vi sedan ska gå vidare till vektorer i högre dimensioner och till abstrakta vektorer. 3.1 Introduktion till (geometriska) vektorer En vektor kan beskrivas som en pil från punkt A till punkt B. En geometrisk vektor är en riktad sträcka, och bestäms av startpunkt och slutpunkt. Vektorn ovan brukar betecknas AB. (I läroboken används ett skrivsätt med en pil i stället för ett streck över punkterna, men det är inte nödvändigt; av punkternas ordningsföljd framgår vilken som är startrespektive slutpunkt.) I vektorernas natur ligger emellertid att de karakteriseras fullständigt av storlek och riktning. Detta innebär att olika riktade sträckor (d v s med olika start- och slutpunkter) kan svara mot samma vektor. Jämför Fig 1b. Nu när vi vet vad vektorer är så kan vi gå vidare med att lära oss räkna med dem. Definitionen av summa av vektorer framgår klart av den geometriska konstruktionen i Fig 2a. (I Fig 2b ser man att vektorsumman är kommutativ; ordningen mellan termerna spelar ingen roll.) En speciell vektor är nollvektorn (zero vector) 0. Nollvektorn har storleken (=längden) noll. Den är också speciell såtillvida att den inte har någon bestämd riktning. Icke desto mindre är den nödvändig att ha med i vår formalism. 3 Nästa räknesätt är multiplikation av vektor med tal. 2v bör rimligen vara detsamma som v + v. Detta är en vektor med samma riktning som v, och med dubbla längden. 2v bör vara en vektor som när den adderas till 2v ger 3 Nollvektorn är i själva verket den enskilda vektor som kommer att spela störst roll framöver! 4
0. Alltså har den motsatt riktning jämfört med v, och dubbla längden. Heltalsmultipler av vektorer är alltså klara. Hur är det då med t ex 2 7 v? Jo, det måste vara en vektor som då den multipliceras med 7 ger 2v. Alltså: en vektor med samma riktning som v och med 2 7 av längden. Allmänt definieras produkten av ett reellt tal och en vektor enligt den nedre rutan på sid 119. Se också Fig 5. Det är ofta praktiskt att kunna räkna med komponenterna av en vektor. Komponenterna är helt enkelt koordinaterna för vektorns slutpunkt, då dess startpunkt är origo 4. Se Fig 6 (vektor i planet) och Fig 12 (vektor i rymden). I den övre färgade plattan på sid 123 ser vi hur räknesätten tar sig uttryck på komponentnivå. Det är viktigt att vara på det klara med att komponenterna av en vektor beror på valet av koordinatsystem. Man säger att komponenterna transformeras vid koordinatbyte. I Fig 14 och Ex 3 ser vi hur detta kan ta sig uttryck vid en translation, d v s en parallellförflyttning av koordinataxlarna. Se till att du har den relativa orienteringen av x-, y- och z-axlarna klar för dig, i enlighet med Fig 11a (vi använder enligt konventionen högersystem). Övningar: 1acej, 2acgi, 3ae, 5, 6ace, 9, 10, 11, 12. 3.2 Norm för vektor; vektoraritmetik I sats 3.2.1 sammanfattas några enkla räkneregler för vektoraddition och för multiplikation av vektor med tal. Se till att du förstår varför dessa likheter gäller, på åtminstone ett av sätten: geometriskt och/eller algebraiskt 5. I Fig 2b ser man geometriskt att vektorsumman är associativ; ordningen mellan additionerna spelar ingen roll. Ett viktigt begrepp är normen av en vektor, som tecknas 6 u. Denna är helt enkelt lika med längden av vektorn. Pytagoras sats ger uttrycken för u i de färgade plattorna på sid 128. En vektor med längden 1 (normen 1) kallas enhetsvektor (unit vector). En sådan vektor sägs vara normerad. Övningar: 1ace, 2ac, 3ace, 4, 6, 7, 9. 4 Denna ett-till-ett-korrespondens mellan vektorer och punkter är så grundläggande att man ibland underlåter att skilja på punkter och vektorer. När vi i nästa kapitel behandlar R n så kommer vi omväxlande att tala om vektorerna i R n och om punkterna i R n. En vektor från origo till en given punkt kallas för punktens ortsvektor (radius vector). 5 I läroboken kallas det algebraiska sättet analytic. 6 För geometriska vektorer är det vanligt att man kallar normen av u för beloppet av u, och använder absolutbeloppsymbolen u. 5
3.3 Skalärprodukt; projektioner Nu utökar vi vårt förråd av räknesätt för vektorer. Ett sätt att multiplicera två vektorer är den så kallade skalärprodukten (dot product). Det svenska namnet syftar på att resultatet av räkneoperationen är en skalär, alltså ett vanligt tal och ingen vektor. (Det engelska namnet syftar på den prick som brukar beteckna detta slags multiplikation, och som aldrig ska utelämnas.) Det är viktigt att behärska både den geometriska, komponentfria definitionen på sid 131 och den ekvivalenta komponentformeln på sid 133. Ett intressant specialfall är skalärprodukten av en vektor med sig själv. Att v v = v 2 följer strax ur vilket som helst av de båda uttrycken. Kolla! Skalärprodukten är nära förknippad med begreppet vinkel mellan vektorer. Skalärprodukten är positiv då vinkeln är spetsig (acute), negativ då den är trubbig (obtuse), och noll då vinkeln är rät. Att skalärprodukten ska vara noll utgör alltså ett kriterium på att två vektorer är rätvinkliga (perpendicular). Denna egenskap kallas ortogonalitet, och vi kommer att återkomma till detta begrepp gång på gång. Sats 3.3.2 sammanfattar de viktigaste räknelagarna för skalärprodukten: bl a den kommutativa lagen (a) och två distributiva lagar (b) och (c). Måste förstås! Ett användningsområde för skalärprodukten är ortogonala projektioner. Sådana är aktuella bl a när man vill dela upp en vektor i två komposanter (vector components 7 ); en som är parallell med en given vektor och en som är vinkelrät mot denna. Läs dessa sidor (136-138) noga! Uppgifter: 1ac, 2ac, 3ab, 4ac, 5ac, 6ad, 8, 10, 12, 14ac, 16, 17. 3.4 Kryssprodukt En annan typ av multiplikation för vektorer är kryssprodukten (cross product). Denna tecknas med ett kryss i stället för en prick. En viktigare skillnad jämfört med skalärprodukt 8 är att resultatet av multiplikationen är en vektor i stället för ett tal. Definitionen på sid 141 anger hur kryssprodukten u v beräknas med hjälp av komponenter. Geometriskt gäller att u v är vinkelrät mot både u och v. Riktningen (av de två möjliga) ges av högerhandsregeln. Se Fig 3. Längden är lika med arean av parallellogrammen som spänns av u och v. Se Fig 4. 7 Observera att man på engelska här använder ordet components. På svenska betecknar dock ordet komponenter alltid tal, aldrig vektorer. 8 Inom linjär algebra är skalärprodukten ojämförligt mycket viktigare än kryssprodukten. Den senare är bara definierad i R 3, den tredimensionella rymden, medan skalärprodukten spelar en avgörande roll i alla dimensioner. Kryssprodukten är av intresse i den här kursen bara som ett hjälpmedel för att beskriva geometri i rymden. 6
Ex 3 är viktigt. Här får vi se hur standard-enhetsvektorerna i, j och k 9 är relaterade via kryssprodukten. Övningar: 1ace, 2a, 3a, 4a, 7 10, 8a, 10a, 25. 3.5 Linjer och plan i rymden Lär dig förstå och räkna med de olika formerna av planets ekvation (med given punkt och normalvektor (2), allmän form (3) resp. vektorform (5)). Detsamma gäller linjens ekvation på parameterform (komponentvis (7) resp. vektorform (8)). Sätt dig in i härledningen av formeln (9) för avståndet mellan punkt och plan. Läs noga samtliga exempel. Övningar: 1, 2, 4a, 5ab, 6a, 7a, 8a, 9a, 10a, 11a, 18, 19, 25, 31, 39b, 40ab. 9 Dessa vektorer skrivs ofta i stället ex, ey och ez. 10 Ledning: Jämför sats 3.4.1 d och e. 7