Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)

Relevanta dokument
Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.

TAL OCH RÄKNING HELTAL

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Att förstå bråk och decimaltal

Linjära ekvationer med tillämpningar

Utvidgad aritmetik. AU

1Mer om tal. Mål. Grunddel K 1

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik

Dra streck. Vilka är talen? Dra pil till tallinjen. Skriv på vanligt sätt. Sätt ut <, > eller =

KW ht-17. Övningsuppgifter

Här är två korta exempel på situationer då vi tillämpar den distributiva lagen:

a) A = 3 B = 4 C = 9 D = b) A = 250 B = 500 C = a) Tvåhundrasjuttiotre b) Ettusenfemhundranittio

Potenser och logaritmer på en tallinje

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING

Tal och polynom. Johan Wild

FACIT. Kapitel 1. Version

Ur kursplanen för ämnet matematik I detta arbetsområde ska eleven utveckla sin förmåga att:

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Extramaterial till Matematik Y

Matematik klass 4. Vårterminen. Namn: Anneli Weiland Matematik åk 4 VT 1

Abstrakt algebra för gymnasister

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

DOP-matematik Copyright Tord Persson Övning Bråkräkning. Matematik 1. Uppgift nr 14 Addera 9. Uppgift nr 15 Addera 3. Uppgift nr 16 Subtrahera

Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p.

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

FACIT. Kapitel 1. Version

Sammanfattningar Matematikboken Z

ARBETSPLAN MATEMATIK

Denna text handlar huvudsakligen om multiplikation, men eftersom

Matematik klass 4. Höstterminen. Namn: Anneli Weiland Matematik åk 4 HT 1

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL

TALSYSTEMET. Syfte Lgr 11

Rationella tal. R. Området består av följande tre delområden: Sambanden mellan delområden ser ut så här: RB Bråk. AG Grundläggande Aritmetik

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Sommarmatte del 1. Matematiska Vetenskaper. 15 augusti c 2017 Matematiska Vetenskaper

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

Hanna Almström Pernilla Tengvall. matematik. Koll på. Läxbok

matematik FACIT Läxbok Koll på Sanoma Utbildning Hanna Almström Pernilla Tengvall

Matematik klass 4. Vårterminen FACIT. Namn:

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 12 mars 2012

Matematik klass 4. Höstterminen. Facit. Namn:

0, 1, 2, 3,...,9, 10, 11,... I, II, III, IV, V, VI,...

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping

Arbetsblad 1:1. Tiondelar på tallinjen 0,1 0,5 0,9 0,2 0,8 0,3 0,8 1,1 1,5 1,6 2,1 2,4 1,1 1,4 2,6 3,2 3,8

Arbetsblad 1:1. Tiondelar på tallinjen 0,9 1,1 0,8. 6 Sätt ut pilar som pekar på talen: A = 0,3 B = 0,8 C = 1,4

Arbetsblad 1:1. Tiondelar på tallinjen. 6 Sätt ut pilar som pekar på talen: A = 0,3 B = 0,8 C = 1,4

Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Övningsblad 1.1 A. Tallinjer med positiva tal. 1 Skriv det tal som motsvaras av bokstaven på tallinjen.

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att

Lokala mål i matematik

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65

Innehållsförteckning kopieringsunderlag kapitel 1

DIAMANT. NaTionella DIAgnoser i Matematik. Ett diagnosmaterial i matematik för skolåren årskurs F- 9. Anpassat till Lgr 11. Löwing januari 2013

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

1 Josefs bil har gått kilometer. Hur långt har den gått när han har kört (3) tio kilometer till? km

Södervångskolans mål i matematik

Bråkräkning uppfattas av många elever som svårt, särskilt vid beräkningar

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik

1 mindre än 2 > 3 = Hur stor andel är färgad? Sätt ut < eller > Storlek på bråk. Skriv på två sätt. Skriv i blandad form. Skriv som bråk.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.


TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1

Innehållsförteckning kopieringsunderlag kapitel 1

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Tal Räknelagar Prioriteringsregler

Sammanfattningar Matematikboken X

Syfte. Positivt om negativa tal. Hur möjliggör du för eleverna att förstå. Innehåll. Fler begrepp. Begrepp 3 5 = 3 (-5) = -3 (-3) -

Övning log, algebra, potenser med mera

Extra-bok nummer 2B i matematik

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

1 Julias bil har gått km. Hur långt har den gått när den har körts tio (3) kilometer till? Rita en ring runt det största bråket.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

vilket är intervallet (0, ).

Manual matematiska strategier. Freja. Ettan

Elteknik. Komplexa tal

Aritme'k med fokus på nyanlända elever. Madeleine Löwing

Volym liter och deciliter

Lathund algebra och funktioner åk 9

Matematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer

Språkstart Matematik Facit. Matematik för nyanlända. Jöran Petersson

Remissversion av kursplan i matematik i grundskolan. Matematik. Syfte

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 15 mars 2009

Grupper och RSA-kryptering

Matematik klass 2. Vårterminen. Anneli Weiland Matematik åk 2 VT 1

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer

Matematik klass 3. Höstterminen. Anneli Weiland Matematik åk 3 HT 1

Arbetsblad 1:1. 1 Svara i bråkform hur stor andel av den stora rutan som är. 2 Svara i decimalform hur stor andel av den stora rutan som är.

Peanos axiomsystem för de naturliga talen

Förenklad förklaring i anslutning till kompedieavsnitten 6.3 och 6.4

Kommentarmaterial, Skolverket 1997

Transkript:

UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-24 SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används för att beskriva olika mängder samt grundläggande regler inom algebran. Några viktiga ord översatta till svenska. Set Element Natural numbers Whole numbers Integers Variables Empty set Set-builder notation Integers Property Rational numbers Irrational numbers Real numbers Absolute value Inequality Mängd Element De naturliga talen Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Variabler Tomma mängden Mängdbyggartecken Egenskap Rationella tal ( tal som går att skriva som bråk) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk) Reella tal (både rationella och irrationella tal) Absolutbelopp olikhet Några kommentarer Mängdbyggartecken skrivs som ett lodrätt streck och används när man vill beskriva mängden utan att lista alla element. I exempel 1a (sid 2) kan man läsa ut mängden av x sådana att x är ett heltal och mindre än 4. Dvs mängdbyggartecknet ersätts med sådana att och därefter kommer en beskrivning av elementen i mängden. Figur 4 (sid 4) är en bra bild över de olika talmängderna. Man ser att de naturliga talen och heltalen är delmängder av de rationella talen. Däremot så är de irrationella talen något annat än de rationella talen. Dessa två mängder tillsammans bildar mängden av reella tal. Exempel på irrationella tal är π och 2. I sverige brukar vi enbart tala om de naturliga talen (alla positiva heltal) och de hela talen eller heltalen (det boken kallar Integers, dsv alla heltal, negativa som positiva). I boken inför man begreppet additiv invers. Den additiva inversen till ett tal är det tal summerat med det givna talet vars summa är noll. Tex så är -6 additiv invers till 6. Begreppet invers återkommer vi till många gånger under kurserna men i olika sammanhang.

Absolutbeloppet (sid 6) kan betraktas som ett sätt att beskriva avståndet från ett tal på tallinjen till origo (noll). Tex så är avståndet mellan talet 7 och origo detsamma som talet -7 och origo, dvs 7 = 7 =7. Olikheter (sid 7-9) Ett antal symboler införs här. Visar nedan med några exempel språkbruket. 4>3 Fyra större än tre. 5 5 5 större än eller likamed 5. 6 7 6är skilt från 7. Lämpliga övningar: Alla övningar i marginalen, Sid 11-14: 5,7,9,11,13,15,17,19,25,29,31,35,37,39,41,47,51,55,59,65,67,79,81,89,97 Avsnitt 1.2 Räkneoperationer på de reella talen I detta avsnitt behandlar räkneoperationerna, addition, subtraktion, multiplikation och division på de reella talen. Mycket kommer att fokuseras till hur vi räknar med negativa tal Vi bedömer att ni redan behärskar detta men vi vill ändå kommentera några detaljer. Addition av negativa tal kan förklaras med modellen skuld och tillgångar. 3000(tillgång)+(-4000)(skuld) = (-1000)(skuld) Subtraktion kan visas med uppgifter som innehåller skalor med både negativa och positiva värden, tex termometern. Hur stor är temperaturskillnaden mellan +12 C och 7 C? Jo 12 " ("7) =12 + 7 =19 grader. Tallinjemodellen är bra för att förstå addition och subtraktion. Differensen mellan två tal kan ses som avståndet mellan talen med tecken. Om ett större tal dras från ett mindre så är differensen. Tex "3 ( ) "6 = ("3) + ("6) = ("9 ) Om du däremot sätter absolutbelopp kring subtraktionen fås direkt avståndet mellan talen. Tex "3 ( ) " 6 = ("3)+ ("6) = "9 = 9 är avståndet mellan talet (-3) och 6 men ( ) = 6 + 3 = 9 = 9 är också avståndet mellan 6 och (-3). 6 " "3 Multiplikation av negativa tal är inte så lätt att förklara. Ett sätt är att se på strukturen. Skillnaden mellan produkterna är 2. 4 2 = 8 3 2 = 6 2 2 = 4 1 2 = 2 0 2 = 2-1 2 = -2-2 2 = -4-3 2 = -6 3-2 = - 8 2-2 = -4 1-2 = -2 0-2 = 0-1 -2 = 2-2 -2 = 4-3 -2 = 6-4 -2 = 8

Reglerna som minus gånger minus är plus osv är konsekvenser av att de negativa talen är en del av talsystemet och att räknelagarna skall gälla för alla tal. På svenska blir reciprocal invers (eller multiplikativ invers). Inversen till a är 1/a ty produkten av dessa tal är 1 (a " 1 =1). Ettan kallas identitetselement (vid a multiplikation) därför att 1" a = a. Boken definierar division (blå ruta sid 20) som multiplikationen av a och inversen till talet b. Detta innebär att b 0. Det finns ju ingen invers till talet 0. Inom matematiken har man en egenhet att man gärna vill skriva allt så kortfattat som möjligt. Man byter gärna till något annat som är ekvivalent (lika). I den blå rutan på sid 21 (Equivalent Forms of Fractions). Där har du exempel på bråk (fraction på engelska) som är ekvivalenta. Jag sammanfattar nedan namnen för de olika operationerna. Man adderar termer och resultatet är en summa. Man subtraherar termer och resultatet är en differens. Man multiplicerar faktorer och resultatet är en produkt. Man dividerar Täljaren med nämnaren och resultatet är en kvot. Den första divisionstanken hos barn är delningsdivision. Problem som Kalle, Lisa och Anna har 15 kolor och skall dela lika. Hur många kolor får var och en? En mer utvecklad divisionstanke är innehållsdivision vilken behövs för att lösa problem av typen Kalle har 34 kronor och vill köpa samlarbilder. Varje paket kostar 7 kr. Hur många paket kan han köpa? Här fungerar inte delningstanken. Hur många 7 kronor innehåller 34 kr. Har man bara delningsdivisionstanken kan man aldrig förstå en division med en nämnare som ej är ett heltal. 1 Med innehållsdivisionstanken är det inget problem att förstå att 2 1 är 2. 4 En halv innehåller två fjärdedelar. Detta är något som behandlas i didaktikdelen. Övningar: sid 21-24: 1,3,5,7,9,11,13,15,25,27,35,37,41, 49,51,57,61,63,67,75,77,83,85,93,95,99 Avsnitt 1.3 Exponenter, rötter och prioriteringsregler

Avsnittet behandlar exponenter, ett sätt att skriva upprepade multiplikationer på ett kortfattat sätt. Tex 2 6 = 2 "2 " 2 "2 " 2 "2. Faktorn 2 kallas bas och 6:an exponent. Ett vanligt fel hos elever är att de säger att "3 4 är detsamma som "3 Men "3 4 = "(3# 3# 3# 3) = "81 och "3 ( ) 4 = ("3) #("3) #("3) #("3) = 81 ( ) 4. Det andra begreppet är kvadratrötter (square roots). Se exempel 4 sidan 26. OBS! Du kan bara dra roten ur positiva tal och en kvadratrot är alltid större än eller lika med noll. Sist behandlas ordningen utav operationer. När vi skriver ner beräkningar vill vi ju att det bara skall gå att läsa ut på endast ett sätt. Tex om vi skriver 5-2+7. Vad menar vi med det? Skall 5-2 beräknas och sedan 3+7? Eller är det 2+7 och sedan 5-9? Vi får helt olika resultat. Därför har vi vissa prioriteringsregler för att få ett sätt att skriva ner beräkningar med samma standard över hela världen. Se blå ruta sid 28 och efterföljande exempel sid 28-29. Grundregeln är att räkna från vänster till höger men den bryts av punkt 1-3 i rutan. Övningar: Sid 29-31: 1,3,5,7,9,11,13,15,17,21,27,31,33,37,41,47 49,55,57,59,61,63,67,71,77,83,91,93 Avsnitt 1.4 Egenskaper hos de reella talen Distributiva lagen finner du i blå rutan sidan 33. En bra förklaring till lagen hittar du i figur 10 sid 35. Man kan beräkna arean på två olika sätt. Den blå ytan plus den röda ytans area eller såberäknar man totala arean direkt. De två andra lagarna är kommutativa lagen och associativa lagen vilken gäller för addition och multiplikation. Se blå rutan sidan 36. Dessa lagar kan slarvigt formuleras som att ordningen spelar ingen roll det blir ändå samma resultat. På sida 35 återkommer man till inverserna. Man inför identitetselement. Det är 0 för addition och 1 för multiplikation, dvs a + 0 = a och a "1= a. Se hur detta är kopplat till inverserna i blå rutan ovanför. Övningar:sid 41-42: 1,3,5,7,9,11,13,15,17,21,23,25,27,31,35,39,41,43,45,47,53