7 Vi kommer att i efterföljande kapitel (Kapitel 8 Transversella filter och Kapitel 9 Rekursiva filter) studera olika former av tidsdiskreta filter varför det kan vara lämpligt att inleda med en del allmänna filterbegrepp och filtertyper som är kända från den analoga signalbehandlingen. 7. Grundläggande filterbegrepp Låt oss kortfattat gå igenom ett antal grundläggande begrepp som vi använder i samband med filterbeskrivningar. Med filterbeskrivningar menar vi här filtrets överföringsfunktion ( ). Vi kommer i de följande punkterna att införa ett antal filterbegrepp som illustreras av Figur 7. - 4. 7.. Frekvensskalor Då vi ritar diagram som funktion av frekvensen så förekommer två varianter av frekvensskalor. Vi kan ha x-axeln i frekvens, dvs i ertz, eller också kan vi använda vinkelfrekvens som x-axel, då med enheten radianer/sekund. De två metoderna är i praktiken likvärdiga eftersom sambandet mellan frekvens och vinkelfrekvens π f bara leder till en skalning av x-axelns gradering. Eftersom vi i verkligheten kommer i kontakt med frekvenser, inte vinkelfrekvenser, så bör vi använda frekvensskala. Undantaget från detta är dimensioneringsuttryck och tabellerade dimensioneringsvärden som oftast är framtagna för den normerade gränsvinkelfrekvensen radian/sekund. Vi använder oftast logaritmiska frekvensskalor då vi ritar filterkurvor för analoga filter. Det betyder att skalorna inte har någon nollpunkt utan man får välja frekvensskalans startoch slutpunkt utifrån vilket frekvensområde som är intressant. Två vanliga begrepp i detta sammanhang är oktav, som innebär en frekvensfördubbling och dekad som innebär tiodubbling av frekvensen. Lägg märke till att en dekad på grund av den logaritmiska skalan är lika stor oberoende av om vi t ex går från z till z eller om vi går från kz till Mz, det är i båda fallen fråga om en tiodubbling av frekvensen. Motsvarande gäller för oktavens frekvensfördubbling. I tidsdiskreta sammanhang använder man oftast linjära frekvensskalor och eftersom egenskaperna här inte beror på de verkliga frekvenserna utan på frekvensen relativt samplingsfrekvensen så normerar vi oftast frekvensen relativt samplingsfrekvensen och använder då relativ frekvens f f s eller relativ vinkelfrekvens Ω π f f s sida 7.
Observera att vi i tidsdiskreta sammanhang använder beteckningen Ω för den relativa, normerade vinkelfrekvensen och inte den vanliga vinkelfrekvensbeteckningen. Den relativa frekvensen har ingen speciell, ofta förekommande, beteckning. 7.. Belopps- och faskurvor Frekvensberoendet är oftast komplext, dvs vi har inverkan på både belopp och fas. Det är svårt att på något tydligt sätt beskriva båda dessa egenskaper samtidigt så därför delar vi oftast upp uttryck i belopp och fasvinkel och ritar dessa var för sig. Vi kan också dela upp uttrycket i real- och imaginärdel men detta ger i det här sammanhanget inget användbart resultat. 7..3 Decibel Även för beloppskurvan används ofta logaritmisk skala, då i form av decibelskalor (db). För amplitudskalan gäller db log ( ) Då vi använder logaritmisk frekvensskala och db-skala för beloppet så kommer analoga filter att i spärrbandet få ett förlopp som beskrivs av en rät linje som lutar ± 6 n db/oktav, där n är filtrets gradtal. Ibland använder vi också db-skalor för effekt, då gäller i stället p db log ( ) p 7..4 Passband Med passband menar vi ett frekvensområde där filtret släpper igenom signalen bra i förhållande till andra frekvensområden. Vid mer komplexa filterkurvor kan begreppet bli ganska vagt. I ett idealt filter passerar signaler med frekvenser inom passbandet oförändrade, dvs passbandsförstärkningen är ett () som motsvarar db, se Figur 7. 4. 7..5 Spärrband Med spärrband menar vi ett frekvensområde där filtret spärrar signaler mer än vad det gör i andra frekvensområden. Även detta begrepp kan bli vagt för mera komplexa funktioner. I ett idealt filter dämpas signaler i detta frekvensband totalt, dvs de slipper inte igenom filtret och spärrbandsförstärkningen är noll (), se Figur 7. 4. 7..6 Övergångsband Ett verkligt filter kan aldrig ha en direkt, abrupt övergång mellan passband och spärrband utan mellan dessa två band finns en gradvis övergång som kallas övergångsband (på engelska transition band), se Figur 7. 4. sida 7.
7..7 Gränsfrekvens Då övergången från passband till spärrband sker gradvis så måste vi bestämma oss för vad som skall gälla vid den frekvens där vi anser att passbandet slutar. Med gränsfrekvens menar vi den frekvens där signalnivån (belopp) har sjunkit med någon bestämd faktor i förhållande till nivån i passbandet. En vanlig definition på gränsfrekvens är pb pb 3 db ~, 77 pb Även andra nivåer kan förekomma. För bättre mätinstrument kan db vara mer lämpligt. I hifisammanhang, speciellt högtalare kan gränsfrekvensen definieras på diverse olika sätt så man bör se upp med vad som står eller inte står i specifikationerna då man läser reklamen. I ytligare reklam undviker man oftast att ange vad man menar med begreppet gränsfrekvens varför informationen blir ganska meningslös, se Figur 7. 4. 7..8 Toleransnivåer Gränsfrekvensen säger inte allt om hur beloppskurvan ser ut i passbandet, om kurvan är jämn (plan) eller starkt varierande. För att specificera detta anger man ibland ett toleransområde och säger att kurvan i passbandet håller sig inom toleransgränserna ± x db. Denna variation brukar inte vara så stor för rent elektroniska kretsar. Kretsar som innehåller mekanik, som mikrofoner och högtalare, har dock ofta mekaniska resonanser som påverkar frekvenskurvan och ger variationer i denna. Även här undviker reklamen oftast att ange vad man menar och hur man har specificerat sina data. 7..9 Spärrbandsfrekvens Med spärrbandsfrekvens menar vi den frekvens i spärrbandet som ligger närmast passbandet där vi uppnår önskad dämpning i spärrbandet. Dämpningen måste vara minst så stor som detta värde vid alla frekvenser som ligger längre ifrån passbandet, se Figur 7. 4. 7.. Bandbredd Vi talar om bandbredd B då vi har filter som släpper igenom ett frekvensområde som är begränsat både nedåt och uppåt via en undre gränsfrekvens f u respektive en övre gränsfrekvens f ö. Vi har sambandet B f ö f u Man talar också något oegentligt om bandbredden hos ett lågpassfilter och menar då egentligen filtrets gränsfrekvens, dvs man har undre gränsfrekvensen noll () och övre gränsfrekvensen f g. För högpassfilter kan man inte tala om bandbredd. För bandspärrfilter förekommer det att man talar om spärrbandets bandbredd i stället, se Figur 7. 4. sida 7.3
I amerikansk litteratur talar man om lower och upper cut-off frequency som betecknas f l respektive f u. Svensk beteckning på undre gränsfrekvens f u är alltså samma som den amerikanska beteckningen på övre gränsfrekvens vilket är något att se upp med. 7.. Mittfrekvens Med mittfrekvens f menar vi oftast ett bandpassfilters geometriska mittfrekvens som ges av f f u f ö Där f u är undre gränsfrekvens och f ö är övre gränsfrekvens. Denna mittfrekvens skiljer f u + f sig då från den linjära mittfrekvensen ö. Den geometriska mittfrekvensen hamnar mitt i det aktuella bandet då vi använder logaritmiska frekvensskalor. 7.. Passbandsförstärkning Med passbandsförstärkning menar vi ( ) i passbandet, dvs förhållandet mellan beloppen hos filtrets utsignal och insignal. Eftersom förstärkningen i passbandet inte är konstant över hela bandet så måsta man bestämma sig för vad man menar med detta begrepp. Ofta menar man den högsta nivån i bandet. Även om vi kallar begreppet för förstärkning så behöver det inte vara större än ett. Vi kan ha en () gångs förstärkning, dvs lika stor ut- och insignal, eller förstärkning mindre än ett (), dvs mindre utsignal än insignal. I decibel ger förstärkning större än ett () positiva värden, en gångs förstärkning ger db och förstärkning mindre än ett () ger negativa värden, se Figur 7. 4. 7..3 Spärrbandsdämpling En signal blir aldrig helt utdämpad i spärrbandet. Vi anger då den dämpning (förstärkning mindre än ett ()) vi önskar uppnå vid spärrbandsfrekvensen. Dämpningen anges relativt passbandsförstärkningen, se Figur 7. 4. Passbandsförstärkning pb pb -3 db Spärrbandsdämpning spärr Bandbredd B frekvens f Gränsfrekvens f g Spärrbandsfrekvens f spärr Figur 7. Sammanfattning av ett antal filterbegrepp, lågpassfilter sida 7.4
Passbandsförstärkning pb pb -3 db Spärrbandsdämpning spärr Gränsfrekvens f g frekvens f Spärrbandsfrekvens f spärr Figur 7. Sammanfattning av ett antal filterbegrepp, högpassfilter Figur 7.3 Sammanfattning av ett antal filterbegrepp, bandpassfilter Figur 7.4 Sammanfattning av ett antal filterbegrepp, bandspärrfilter 7..4 Förstärkning kontra dämpning Då man talar om förstärkning och dämpning får man vara lite grand försiktig eftersom begreppen ofta används lite slarvigt. sida 7.5
utsignal Med förstärkning menar man egentligen insignal medan man med dämpning menar insignal. De två betecknas ofta A eller utsignal pb D pb respektive D. Vi ser av sambanden att Vilket också innebär att då vi använder decibelskalor är negativ förstärkning det samma som positiv dämpning och tvärt om. I de flesta fall använder man sig dock av förstärkningsbegreppet och säger då att man har dämpning om förstärkningen är mindre än ett (), vilket då egentligen är ett felaktigt sätt att uttrycka sig. 7..5 Gradtal Vi klassificerar ofta filter efter deras gradtal och menar då med gradtal den högsta potens av frekvensen f som finns i filtrets överföringsfunktion. Är överföringsfunktionen uttryckt i vinkelfrekvens så anges gradtalet av högsta potens hos vilket ger samma resultat som då vi använder frekvens. Filtrets gradtal betecknas ofta med n. 7..6 Lutning i spärrband För grundtyperna av analoga filter så kommer vi som vi nämnt inte att få en abrupt övergång från passband till spärrband utan beloppskurvan uppförs sig så att då vi går från passbandet och närmar oss spärrbandet så får vi en allt större dämpning (mindre förstärkning) som vid gränsfrekvensen är 3 db större än vad den är i passbandet (likvärdigt med 3 db:s pb, db förstärkning). Fortsätter vi in i spärrbandet så fortsätter dämpningen att växa (förstärkningen minskar) och ritar vi beloppsdiagrammet i decibel med logaritmisk frekvensskala så kommer kurvan att asymptotiskt gå mot en rät linje som lutar ± 6 n db/oktav (plus för högpassfilter, -8 minus för lågpassfilter), där n är filtrets gradtal. Använder vi dekader i stället så är detta likvärdigt med ± n db/dekad, Figur 7.5. Lägg märke till att linjen är en asymptot som kurvan går emot. I närheten av gränsfrekvensen har vi inte kommit tillräckligt nära asymptoten och lutningen är då ofta en annan, i de flesta fall är den mindre än den räta linjens lutning. Belopp - - -3-4 -5-6 -7 Butterworthfilter Figur 7.5 Lutning i spärrbandet n n n3 n4 sida 7.6
7..7 Rippel Med rippel menar vi en periodisk svängning hos beloppskurvan i pass- och/eller spärrband. Svängningen behöver inte ha, men har för analoga filter oftast konstant amplitud, Figur 7.6. Belopp.9.8.7.6.5.4.3.. Elliptiskt Rp.5,Rs n n3 n4 n5.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.6 Rippel i pass- och spärrband 7. Filtertyper I princip så har vi ett filter så snart vi har ett system där egenskaperna förändras med frekvensen men i många fall försöker vi efterlika någon filtertyp ur en grupp av ideala grundläggande filtertyper. 7.. Ideala filter Med ett idealt filter menar vi ett filter som har vissa frekvensband där alla signaler släpps igenom opåverkade och andra frekvensband där inga signaler alls slipper igenom. Vi säger att vi har ideala pass- och spärrband. Idealt finns det inget övergångsband mellan pass- och spärrband. Filtret har passbandsförstärkningen ett () och spärrbandsförstärkningen noll (). Ideala filter ger ingen påverkan på signalens fas. Vi kan identifiera fyra grundtyper av ideala filter. 7... Lågpassfilter Med ett idealt lågpassfilter menar vi ett filter som släpper igenom alla signaler upp till en gränsfrekvens f g och signaler som har frekvenser som är högre än f g spärras helt, Figur 7.7. Filternamnet brukar förkortas LP. f g Figur 7.7 Idealt lågpassfilter frekvens f sida 7.7
7... ögpassfilter Vi kan se ett högpassfilter som omvändningen av ett lågpassfilter, dvs alla signaler med en frekvens lägre än gränsfrekvensen f g spärras helt medan signaler med frekvens över f g slipper igenom opåverkade, Figur 7.8. Vi använder ofta beteckningen P för denna filtertyp. f g frekvens f 7...3 Bandpassfilter Ett bandpassfilter släpper igenom signaler med frekvens mellan en undre gränsfrekvens f u och en övre gränsfrekvens f ö. Rimligen skall f u < f ö. Signaler med frekvenser lägre än f u eller högre än f ö spärras helt, Figur 7.9. Filterbeteckningen förkortas BP. Ett bandpassfilter kan realiseras som seriekopplingen av ett lågpassfilter med gränfrekvens f ö och ett högpassfilter med gränsfrekvens f u, Figur 7., observera att lågpassfiltret skall ha en gränsfrekvens som är högre än högpassfiltrets gränsfrekvens, det är lätt att tänka fel angå- f u f ö frekvens f ende detta. Ordningen mellan länkarna spelar ingen roll så länge vi kan se filtren som ideala. 7...4 Bandspärrfilter Ett bandspärrfilter är omvändningen till ett bandpassfilter, dvs det släpper igenom signaler med frekvens lägre än f u och signaler med frekvens högre än f ö medan det spärrar signaler med frekvens f u < f < f ö, Figur 7.. Vi benämner ofta filtret BS. Ett bandspärrfilter kan realiseras som parallellkopplingen av ett lågpassfilter med gränsfrekvens Figur 7.8 Idealt högpassfilter f u f ö Figur 7.9 Idealt bandpassfilter Figur 7. Idealt bandpassfilter genom seriekoppling av låg- och högpasslänk f u f u f ö f ö frekvens f frekvens f frekvens f Figur 7. Idealt bandspärrfilter sida 7.8
f u och ett högpassfilter med gränsfrekvens f ö, Figur 7.. Observera att till skillnad mot motsvarande bandpassfilterrealisering skall lågpassfiltret här ha en gränsfrekvens som är lägre än högpassfiltrets gränsfrekvens. f g frekvens f f u f ö frekvens f f g frekvens f Figur 7. Idealt bandspärrfilter genom parallellkoppling av låg- och högpasslänk 7...4. Notchfilter Ett notchfilter är ett bandspärrfilter med mycket smalt spärrband, Figur 7.3. Filtret skall oftast i princip spärra bort en enda frekvenskomponent, t ex en 5 z störning från elnätet. f frekvens f Figur 7.3 Idealt notchsfilter 7.. Allpassfilter Ett allpassfilter har lite andra egenskaper än vad vi är van vid från andra filter. Allpassfilter skall nämligen inte påverka amplituden hos en signal utan denna skall passera filtret opåverkad. Filtren skall i stället påverka signalens fasvridning. Filtertypen är vanlig för att förbättra stabiliteten hos återkopplade system. I praktiken kan analoga allpassfilter bara realiseras inom begränsade frekvensområden. 7.3 Analoga filter Vi kommer strax att gå in på ett antal analoga filterfamiljer som genom sina gemensamma egenskaper har fått egna namn men vi inleder med att studera första och andragradslänkar för sig, utan att dela upp dem i filterfamiljer, eftersom dessa filtergradtal är mycket vanliga och vi kan dessutom använda ett gemensamt betraktelsesätt för att behandla första- respektive andragradsfilter. är borde vi egentligen tala om tidskontinuerliga filter, men begreppet analoga filter är mycket vanligare. sida 7.9
Lägg märke till att alla överföringsfunktioner för filter av gradtal ett ( n ) har samma nämnare och detsamma gäller för alla överföringsfunktioner av gradtal två ( n ), det som skiljer för de olika filtertyperna är vilken del av nämnaren som hoppar upp till täljaren. Då vi har ett frekvensuttryck är det lämpligt att försöka skriva uttrycket på en sådan form att vi med hjälp av jämförelser med dessa grunduttryck kan identifiera vilken filtertyp vi har och vilka egenskaper filtret har. Vi sammanfattar här bara med de olika filtertypernas överföringsfunktioner samt filtrens beloppskurva (i decibel och med logaritmisk frekvensskala) och några kommentarer. I samtliga uttryck betecknar pb - filtrets passbandsförstärkning f g - filtrets gränsfrekvens f - filtrets egenfrekvens En något mer omfattande beskrivning ges i Bilaga 7. 7.3. Förstagradsfilter Förstagradslänkar karakteriseras av att ha en frekvensberoende term av gradtal ett. Av filtergrundtyperna kan vi här bara skapa låg- och högpassfilter, inte bandpass- och bandspärr. Vi kan dessutom skapa allpassfilter. 7.3.. Lågpassfilter ( ) PB + j g PB + g arctan g Figur 7.4-6 Förstagradsfilter LP fg z Förstagradsfilter LP fg z.8-5 Belopp.6.4 Belopp (db) - -5. -.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.4 Första gradens lågpassfilter, beloppsspektra, linjär skala -5 - - Figur 7.5 Första gradens lågpassfilter, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala sida 7.
Förstagradsfilter LP fg z Fasvinkel (relativt pi) -. -. -.3 -.4 -.5.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.6 Första gradens lågpassfilter, fasspektra 7.3.. ögpassfilter ( ) PB j g + j g PB g + g π arctan g Figur 7.7-9 Förstagradsfilter P fg z Förstagradsfilter P fg z.8-5 Belopp.6.4 Belopp (db) - -5. -.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.7 Första gradens högpassfilter, beloppsspektra, linjär skala -5 - Figur 7.8 Första gradens högpassfilter, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala sida 7.
Förstagradsfilter P fg z.5 Fasvinkel (relativt pi).4.3...5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.9 Första gradens högpassfilter, fasspektra 7.3..3 Allpassfilter Filtret kan anta två olika former. Den första formen ger positiv fasvridning. + j ( ) arctan Figur 7. j Fasvinkel (relativt pi).9.8.7.6.5.4.3.. Förstagradsfilter AP typ f z.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7. Första gradens allpassfilter, positiv fasvridning, fasspektra medan den andra formen ger negativ fasvridning. j ( ) arctan Figur 7. + j sida 7.
Förstagradsfilter AP typ f z -. -. Fasvinkel (relativt pi) -.3 -.4 -.5 -.6 -.7 -.8 -.9 -.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7. Första gradens allpassfilter, negativ fasvridning, fasspektra 7.3. Andragradsfilter är tillkommer faktorn Q som saknas i förstagradsfiltren. Faktorn kallas systemets Q- värde eller godhetstal. ögt Q-värde gör att övergången från pass- till spärrband kan göras skarpare, men på bekostnad av att beloppskurvan får en resonanstopp (rippel) nära övergången mellan pass- och spärrband samtidigt som fasgången blir allt mer olinjär. För bandpass- och bandspärrfilter har Q-värdet en annan innebörd som vi återkommer till i.5.5. Q-värde. Lägg märke till att egenfrekvensen f inte är det samma som filtrets gränsfrekvens utom i specialfallet att Q-värdet är. 7.3.. Lågpassfilter ( ) PB + j Q PB Q arctan + Q Figur 7. - 4 sida 7.3
Andragradsfilter LP f z Andragradsfilter LP f z. Q,5 Q Belopp.8.6.4 Q,5 Q,5 Q Q,7 Belopp (db) -5 - -5 Q,7 Q,5. -.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7. Andra gradens lågpassfilter, Q,5,,7,,,5, beloppsspektra, linjär skala -5 - - Figur 7.3 Andra gradens lågpassfilter, Q,5,,7,,,5, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala Andragradsfilter LP f z Fasvinkel (relativt pi) -. -. -.3 -.4 -.5 -.6 -.7 -.8 -.9 Q,5 Q,7 Q Q,5 -.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.4 Andra gradens lågpassfilter, Q,5,,7,,,5, fasspektra 7.3.. ögpassfilter ( ) PB + j Q sida 7.4
Q PB π arctan + Q Figur 7.5-7 Andragradsfilter P f z Andragradsfilter P f z Belopp..8.6.4 Q,5 Q Q,7 Q,5 Belopp (db) -5 - -5 Q,5 Q Q,7 Q,5. -.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.5 Andra gradens högpassfilter, Q,5,,7,,,5, beloppspektra, linjär skala -5 - Figur 7.6 Andra gradens högpassfilter, Q,5,,7,,,5, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala Andragradsfilter P f z Fasvinkel (relativt pi).9.8.7.6.5.4.3.. Q,5 Q,7 Q Q,5.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.7 Andra gradens högpassfilter, Q,5,,7,,,5, fasspektra sida 7.5
7.3..3 Bandpassfilter ( ) PB j Q + j Q Q π Q PB arctan + Q Figur 7.8-3 Andragradsfilter BP f z Andragradsfilter BP f z. Q,5 Belopp.8.6.4 Q,5 Q,7 Q Q,5 Belopp (db) -5 - -5 Q,7 Q Q,5. -.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.8 Andra gradens bandpassfilter, Q,5,,7,,,5, beloppsspektra, linjär skala -5 - Figur 7.9 Andra gradens bandpassfilter, Q,5,,7,,,5, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala sida 7.6
Andragradsfilter BP f z Fasvinkel (relativt pi).5.4.3.. -. -. -.3 -.4 Q,5 Q,7 Q Q,5 -.5.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.3 Andra gradens bandpassfilter, Q,5,,7,,,5, fasspektra 7.3..4 Bandspärrfilter ( ) PB + j Q Q PB arctan + Q Figur 7.3-33 sida 7.7
Andragradsfilter BS f z Andragradsfilter BS f z. Q,5 Q,5-5 Q Q,7 Belopp.8.6.4. Q Q,7 Q,5 Belopp (db) - -5 - Q,5.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.3 Andra gradens bandspärrfilter, Q,5,,7,,,5, beloppsspektra, linjär skala -5 - Figur 7.3 Andra gradens bandspärrfilter, Q,5,,7,,,5, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala Andragradsfilter BS f z.5 Fasvinkel (relativt pi).4.3.. -. -. -.3 Q,5 Q,7 Q Q,5 -.4 -.5.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.33 Andra gradens bandspärrfilter, Q,5,,7,,,5, fasspektra 7.3..5 Allpassfilter Även här har allpassfiltret två olika former. I det första fallet med positiv fasvridning ( ) Figur 7.34 + j Q j Q Q arctan sida 7.8
Fasvinkel (relativt pi).8.6.4..8.6 Andragradsfilter AP typ f z Q,5 Q Q,7 Q,5.4..5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.34 Andra gradens allpassfilter, Q,5,,7,,,5, positiv fasvridning, fasspektra och i det andra fallet med negativ fasvridning. ( ) j Q + j Q Q arctan Figur 7.35 -. -.4 Andragradsfilter AP typ f z Fasvinkel (relativt pi) -.6 -.8 - -. -.4 -.6 -.8 Q,5 Q,7 Q Q,5 -.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.35 Andra gradens allpassfilter, Q,5,,7,,,5, negativ fasvridning, fasspektra Vi övergår nu till de olika filterfamiljerna som har fått egna namn eftersom de har gemensamma karaktärsdrag. Vi begränsar oss här till att se på lågpassfilter. sida 7.9
7.3.3 Butterworthfilter Butterworthfilter eller maximalt plana filter av lågpasstyp karakteriseras av att då vi ökar frekvensen (för ett lågpassfilter) så kommer filtrets beloppskurva i passbandet att ligga horisontellt så länge som möjligt innan kurvan börjar falla av. Kurvan kommer inte att ha någon översväng, dvs kurvan kommer att vara monotont avtagande, Figur 7.36-38. Butterworthfilter Butterworthfilter.9 - Belopp.8.7.6.5.4 n Belopp (db) - -3-4 -5-6 n n3 n4 n5.3 n3-7.. n4 n5-8 -9.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.36 Butterworthfilter, n, 3, 4 och 5, beloppsspektra, linjär skala - - Figur 7.37 Butterworthfilter, n, 3, 4 och 5, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala Butterworthfilter Fasvinkel (relativt pi) -.5 - -.5 - n n n3 n4 -.5 - - Figur 7.38 Butterworthfilter, n, 3, 4 och 5, fasspektra, logaritmisk frekvensskala För filtertypen ligger alla nollställen i oändligheten medan polerna ligger på en cirkel med radien g i s-planet och vid vinklarna Φ k π + π n ( k + ) k,,, K, n sida 7.
sida 7. Generellt får vi för ett Butterworthfilter av gradtal n med den normerade gränsvinkelfrekvensen radian/sekund () ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + n udda n k s s s jämn n n k s s e s s n k n k n k n k cos cos π π π π π π och vi får beloppet ( ) n + 7.3.4 Tjebytjevfilter Vi skall nu se på två familjer av filter där man i det första fallet (Tjebytjev typ I) fördelar passbandsdämpningen jämnare över passbandet än vad Butterworthfiltren gör, genom att lägga dämpningen som en svängning, ett rippel, i passbandet i stället för som en största dämpning närmast gränsfrekvensen. Vi får alltså mindre dämpning i närheten av gränsfrekvensen men introducerar i stället dämpning i intervall som ligger inom själva passbandet. Vi har inget rippel i spärrbandet. I den andra typen av filter (Tjebytjev typ II) fördelar vi spärrbandsdämpningen jämnare över spärrbandet och får kraftigare dämpning nära gränsfrekvensen. I detta fall finns inget rippel i passbandet. Båda filtertyperna ger en mer olinjär fasvridning än vad Butterworthfilter ger. Filtren har fått namn efter den ryske matematikern Pafnuti L. Tjebytjev. Eftersom namnet kommer från ryskan som använder det kyriliska alfabetet så har den fonetiska översättningen givit upphov till diverse olika stavningar av namnet, t ex Tjebytjev, Tjebycheff, Chebycheff etc. 7.3.4. Tjebytjev typ I Även här ligger alla nollställen i oändligheten medan polerna ges av
pk ak + j bk π ak sin n π bk cos n ( k ) sinh( η) ( k ) cosh( η) k,, K, n är definieras gränsfrekvensen som den frekvens där passbandsförstärkningen har sjunkit med ripplenivån och inte den vanligare definitionen av gränsfrekvens som den frekvens där passbandsförstärkningen har sjunkit 3 db. Figur 7.39-44 Filtrets beloppskurva ges av där ( ) + ε C n ( ) [ narccos( )] cos rad / sekund C n ( ) cosh[ narccos h( )] rad / sekund yperboliska funktioner beskrivs i Bilaga 7.. C n () kan också beräknas enligt C C C n C C n n sida 7.
Belopp.9.8.7.6.5.4.3..,5 db Tjebytjev typ I,5 db.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.39 Tjebytjevfilter typ I, n 4,,5 respektive,5 db:s rippel, beloppsspektra, linjär skala Belopp (db) - - -3-4 -5-6 -7-8 -9 Tjebytjev typ I,5 db,5 db - - Figur 7.4 Tjebytjevfilter typ I, n 4,,5 respektive,5 db:s rippel, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala Tjebytjev typ I -. -.4 Fasvinkel (relativt pi) -.6 -.8 - -. -.4 -.6,5 db -.8,5 db - - - Figur 7.4 Tjebytjevfilter typ I, n 4,,5 respektive,5 db:s rippel, fasspektra, logaritmisk frekvensskala sida 7.3
Tjebytjev typ I Tjebytjev typ I.9 -.8 - n.7-3 Belopp.6.5.4 n Belopp (db) -4-5 -6 n3 n4.3. n3 n4-7 -8 n5. n5.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.4 Tjebytjevfilter typ I, db:s rippel, n, 3, 4 och 5, beloppsspektra, linjär skala -9 - - Figur 7.43 Tjebytjevfilter typ I,,5 db:s rippel, n, 3, 4 och 5, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala Tjebytjev typ I Fasvinkel (relativt pi) -.5 - -.5 - n n3 n4 n5 -.5 - - Figur 7.44 Tjebytjevfilter typ I,,5 db:s rippel, n, 3, 4 och 5, fasspektra, logaritmisk frekvensskala 7.3.4. Tjebytjev typ II är tillåter vi inget rippel i passbandet men accepterar i stället rippel i spärrbandet, vi fördelar spärrbandsdämpningen jämnare över spärrbandet. Vi får då ett filter med både poler och nollställen skilda från origo och oändligheten. Nollställena ges av II f spärr nk j k,, K, n π ( k + ) sin + n sida 7.4
dvs de ligger på imaginäraxeln. Polerna ges av pk ak bk II II II a f f II k spärr spärr + j b a I I ( a ) + ( b ) k b I I ( a ) + ( b ) k II k I k I k k k k,, K, n I I I Där pk ak + j bk är polerna för motsvarande Tjebytjevfilter av typ I. Filtrets belopp ges av ( ) ( ) Cn s + ε s Cn där faktorerna ( ) C n ges av samma uttryck som för Tjebytjevfilter av typ I. Figur 7.45-5 Tjebytjev typ II Tjebytjev typ II.9.8 - Belopp.7.6.5.4 Belopp (db) - -3 db.3.. 4 db db -4-5 4 db.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.45 Tjebytjevfilter typ II, n 4, respektive 4 db:s rippel, beloppsspektra, linjär skala -6 - Figur 7.46 Tjebytjevfilter typ II, n 4, respektive 4 db:s rippel, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala sida 7.5
Tjebytjev typ II Fasvinkel (relativt pi).8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 4 db db - - - Figur 7.47 Tjebytjevfilter typ II, n 4, respektive 4 db:s rippel, fasspektra, logaritmisk frekvensskala Belopp.9.8.7.6.5.4 Tjebytjev typ II.3 n5. n4. n3 n.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.48 Tjebytjevfilter typ II, 4 db:s rippel, n, 3, 4 och 5, beloppsspektra, linjär skala Belopp (db) - - -3-4 -5 n4 n3 n Tjebytjev typ II n5-6 - Figur 7.49 Tjebytjevfilter typ II, 4 db:s rippel, n, 3, 4 och 5, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala sida 7.6
Tjebytjev typ II Fasvinkel (relativt pi).8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 n5 n4 n3 n - - - Figur 7.5 Tjebytjevfilter typ II, 4 db:s rippel, n, 3, 4 och 5, logaritmisk frekvensskala, fasspektra 7.3.5 Elliptiska filter, Cauerfilter Genom att tillåta rippel i både pass- och spärrband kan brantheten i övergången mellan pass- och spärrband ökas ytterligare. Detta kommer dock att ge en än mer olinjär fasgång. Även i detta fall har filtren både poler och nollställen skilda från origo och oändligheten. Filterfamiljen kallas elliptiska filter eller Cauerfilter. Filtrens belopp ges av där ( ) + ε R n ( ) ε D rippel åter ger ripplet i passbandet. Funktionen R n ( ) är elliptisk och kallas ibland för en rationell Tjebytjevfunktion. Den ges av sida 7.7
N ri Rn ( ) k n i zi N ri Rn ( ) k i zi s ri zi jämn n udda Figur 7.5-56 Elliptiskt Rp.5,Rs Elliptiskt Rp.5,Rs Belopp.9.8.7.6.5.4.3.. n5 n3 n4 n Belopp (db) - - -3-4 -5 n5 n n3 n4.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.5 Elliptiskt lågpassfilter,5 db rippel i passband, db dämpning i spärrband, n, 3, 4 och 5, beloppsspektra, linjär skala -6 - Figur 7.5 Elliptiskt lågpassfilter,5 db rippel i passband, db dämpning i spärrband, n, 3, 4 och 5, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala sida 7.8
Elliptoskt Rp.5,Rs.8 Fasvinkel (relativt pi).6.4. -. -.4 -.6 -.8 n3 n5 n4 n - - - Figur 7.53 Elliptiskt lågpassfilter,5 db rippel i passband, db dämpning i spärrband, n, 3, 4 och 5, fasspektra, logaritmisk frekvensskala Elliptiskt Rp.5,Rs4 Elliptiskt Rp.5,Rs4.9.8 - Belopp.7.6.5.4.3.. n5 n3 n4 n Belopp (db) - -3-4 -5 n5 n3 n4 n.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.54 Elliptiskt lågpassfilter,5 db rippel i passband, 4 db dämpning i spärrband, n, 3, 4 och 5, beloppsspektra, linjär skala -6 - Figur 7.55 Elliptiskt lågpassfilter,5 db rippel i passband, 4 db dämpning i spärrband, n, 3, 4 och 5, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala sida 7.9
Elliptiskt db-skala Rp.5,Rs4 Fasvinkel (relativt pi).8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 n n3 n4 n5 - - - Figur 7.56 Elliptiskt lågpassfilter,5 db rippel i passband, 4 db dämpning i spärrband, n, 3, 4 och 5, fasspektra, logaritmisk frekvensskala 7.3.6 Besselfilter Besselfilter försöker inte optimera beloppskurvan som de tidigare filtertyperna försöker göra utan eftersträvar i stället att optimera faskurvan och göra den så linjär som möjligt. Filtret kommer att vara monotont (inget rippel) men böja av tidigare än ett Butterworthfilter av samma gradtal. Besselfiltret ger sämre dämpning än båda Butterworth- och Tjebytjevfilter i spärrbandet. Överföringsfunktion för ett Besselfilter av gradtal n ges av uttrycket ( ) B B n n ( ) ( ) där Besselpolynomet B n () ges av B B B n ( ) ( n ) B ( ) B ( ) ( ) ( ) n n + j Figur 7.57-59 sida 7.3
Bessel Bessel Belopp.9.8.7.6.5.4.3.. n5 n n3 n4.5.5.5 3 3.5 4 Figur 7.57 Besselfilter, n, 3, 4 och 5, beloppsspektra, linjär skala Belopp (db) - - -3-4 -5 n5 n n3 n4-6 - Figur 7.58 Besselfilter, n, 3, 4 och 5, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala Bessel Fasvinkel (relativt pi) -.5 - -.5 - n n3 n4 n5 -.5 - - Figur 7.59 Besselfilter, n, 3, 4 och 5, fasspektra, logaritmisk frekvensskala 7.3.7 Filtertransformering I samband med filterdimensioneringar är det vanligt att använda sig av normerade filterdata som vi kan tabellera för olika filtergradtal. Normeringen innebär normalt att dimensioneringen görs för ett lågpassfilter med passbandsförstärkning ett ( ) och gränsvinkelfrekvens radian/sekund ( rad/s). pb Vi använder sedan transformeringar för att skala om filterkonstanterna för önskad passbandsförstärkning och gränsfrekvens varefter vi kan använda andra transformeringar för att övergå till högpass-, bandpass- eller bandspärrfilter. Nedanstående transformeringar gäller inte bara dessa normerade funktioner utan kan användas för alla byten av passbandsförstärkning och gränsfrekvens. g sida 7.3
7.3.7. Byte av passbandsförstärkning För att byta passbandsförstärkning från till ' så multiplicerar vi överföringsfunktionen (dvs dess täljare) med pb pb trans pb pb ' Exempel, Bilaga 7.3 7.3.7. Byte av gräns- eller egenfrekvens Resonemanget gäller så snart vi vill skala om en frekvensskala, dvs töja ut eller trycka ihop den. I de flesta fall är vi ute efter att ändra filtrets gränsfrekvens varför vi bygger resonemanget på denna tillämpning. Resonemanget blir också detsamma oberoende av om vi använder frekvens- eller vinkelfrekvensvariabel i uttrycket för överföringsfunktionen, varför vi nöjer oss med resonemanget för vinkelfrekvens. För att byta från gränsfrekvens f g till gränsfrekvens f f g ' så ersätter vi överallt i överföringsfunktionen variabeln med variabeln f g j j f ' g f n Kom ihåg att termer av typen då skall ersättas med f Exempel, Bilaga 7.4 f g g ' g g ' 7.3.7.3 Lågpass högpass Vid transformering från lågpass- till högpassfilter så använder man transformeringen n. j g, LP g, P j där f g, LP är lågpassfiltrets gränsfrekvens medan f g, P är högpassfiltrets gränsfrekvens. Exempel, Bilaga 7.5 7.3.7.4 Lågpass bandpass Vid transformering från lågpass- till bandpassfilter så använder man transformeringen sida 7.3
+ u, BP ö, BP j, j ö, BP u, BP g LP ( ) där f g, LP är lågpassfiltrets gränsfrekvens medan f u, BP och f ö, BP är bandpassfiltrets undre respektive övre gränsfrekvens. Observera att gradtalet hos bandpassfiltret är dubbelt så högt som gradtaget hos lågpassfiltret. Detta beror på att filtret har två övergångar mellan passband och spärrband (vid undre och övre gränsfrekvens). Exempel, Bilaga 7.6 7.3.7.5 Lågpass bandspärr Vid transformering från lågpass- till bandpassfilter så använder man transformeringen j ( ) ö, BS u, BS j g, LP + u, BS ö, BS där f g, LP är lågpassfiltrets gränsfrekvens medan f u, BS och f ö, BS är bandspärrfiltrets undre respektive övre gränsfrekvens. Även bandspärrfiltret får dubbelt så högt gradtal som lågpassfiltret av samma skäl som bandbassfiltret fick fördubblat gradtal. Exempel, Bilaga 7.7 7.4 Linjär fasgång I stort sett alla filter kommer att ge upphov till någon fasvridning av den signal som passerar filtret. Om systemet fasvrider olika frekvenser olika mycket så kommer de olika frekvenskomponenterna i en komplex signal innehållande flera olika frekvenskomponenter att fasvridas olika mycket. Fasvridningen Φ har ett direkt samband med tidsförskjutningen av signalen och tidsförskjutningen ges av fasvridningens derivata. Vi talar om systemets grupplöptid τ g dφ d Ett villkor för att utsignalen från filtret ska se likadan ut som filtrets insignal (bortsett från vad filtret gör med frekvenskomponenternas belopp) är att alla frekvenskomponenter tar lika lång tid på sig att passera filtret, dvs grupplöptiden skall vara konstant för alla frekvenser och detta innebär att vi skall ha en fasvridning som är linjärt beroende av frekvensen, dvs Φ k inget analogt filter kan uppfylla detta, annat än i begränsade frekvensband, men vi kan se att de olika filtertyper vi gick igenom ovan (detaljer se Bilaga 7.) är mer eller mindre långt ifrån att vara linjära. Vi skall senare se att vissa tidsdiskreta filter (Kapitel 8 Transversella filter) kan ha helt linjär fasgång. Vi beskriver effekterna av linjär och olinjär fasvridning i Bilaga 7.8. sida 7.33
7.5 Filteregenskaper kända från hifivärlden Låt oss ta tillfället i akt och beskriva ett antal filtertyper och filteregenskaper som brukar förekomma i vardagen och då speciellt i hifibranschen. 7.5. Tonkontroll Med en tonkontroll menar vi en enhet för att kunna kontrollera hur vi förändrar beloppskurvan för systemets överföringsfunktion. Tonkontrollen kommer också oundvikligen att påverka systemets fasgång. En tonkontroll består oftast av en bas- och en diskantkontroll där vi via varsin ratt kan välja att förstärka eller dämpa basen (den lågfrekventa delen, engelska bass) respektive diskanten (den högfrekventa delen, engelska trebble) hos signalen. Dessa filter har oftast en beloppskurva som liknar en hylla (platå) och filtertypen kallas på engelska shelving filter och kan förekomma i två varianter, Figur 7.6-6. ögfrekvens shelffilter Lågfrekvens shelffilter 8 8 6 6 4 4 Belopp (db) - Belopp (db) - -4-4 -6-6 -8-8 - 3 4 Figur 7.6 Shelving filter med högfrekvensinverkan, diskantkontroll, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala - 3 4 Figur 7.6 Shelving filter med lågfrekvensinverkan, baskontroll, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala sida 7.34
Ibland förekommer också en mellanregisterkontroll (frekvensspektrats mellersta del, mid på engelska) där vi kan förstärka eller dämpa denna del av spektrat, Figur 7.6. Filtret har en klockformad frekvensgång (engelskans bell, se nedan). Belopp (db) 8 6 4 - -4-6 Bellfilter 9 db 6 db 3 db -3 db -6 db -8 - -9 db 3 4 Figur 7.6 Bell filter, beloppsspektra, dbskala, logaritmisk frekvensskala 7.5. Shelving Detta filter beskrivs av överföringsfunktionen ( ) pb + + j j där vi för diskantkontrollfallet (Figur 7.6) får förstärkning om f < f och dämpning om det omvända gäller, Figur 7.63, för baskontrollen (Figur 7.6) blir förhållandet något mer komplicerat då det är högfrekvensnivån som skall hållas konstant. Vi får detta genom funktionen ( ) pb + + j j pb f f + + j j Figur 7.64 I reglertekniska sammanhang kallas den första typen leadfilter medan den senare typen kallas lagfilter. Via Baxandallkopplingen (se nedan) kommer den lägre frekvensen att hållas konstant medan vi kan kontrollera mängden förstärkning eller dämpning av diskanten genom att variera den högre frekvensen med hjälp av en ratt där halva regleringsområdet ger dämpning medan den andra halvan ger förstärkning. sida 7.35
f f frekvens f Figur 7.63 Shelving filter med högpassfunktion, beloppsspektra Figur 7.64 Shelving filter med lågpassfunktion, beloppsspektra 7.5.3 Bell Ett klockformat filter (bell) påverkar inte ändarna av frekvensområdet, utan en del i mitten. Då vi vill förstärka detta frekvensområde så får vi något som liknar ett bandpassfilter i önskat område och vi kan via en ratt styra hur mycket området förstärks. Det som skiljer detta filter från ett vanligt bandpassfilter är att vi inte dämpar övriga delar av frekvensspektrat utan dessa passerar opåverkade, Figur 6.65. På samma sätt kan vi via vad som liknar ett bandspärrfilter få dämpning i det aktuella området. Via samma ratt kontrollerar vi hur stor dämpningen skall vara. Rattens halva regleringsområde ger då dämpning medan den andra halvan ger förstärkning. Filtret kan realiseras som en parallellkoppling av ett bandpassfilter och ett notchfilter bell ( ) ( ) + ( ) bp bp där mittfrekvensens förstärkning eller dämpning ges av bs bs mitt bp bs Använder vi andragradslänkar så får vi t ex bell ( ) bp j Q + j Q + bs + j Q där Q-värdet kommer att ge passbandets respektive spärrbandets bredd. sida 7.36
Belopp (db) 8 6 4 - -4-6 -8 Bellffilter Q.5 Q Q Q Q Q.5-3 4 Figur 7.65 Bell filter ± 6 db, Q,5, och, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala 7.5.4 Baxandall De flesta tonkontroller bygger på en grundkoppling som engelsmannen P.J. Baxandall utvecklade 95. Filtret består av två stycken shelving filter, det ena som baskontroll och det andra som diskantkontroll, Figur 7.66. Belopp (db) 5 5-5 Baxandalltonkontroll - -5 3 4 Figur 7.66 Baxandall tonkontroll, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala 7.5.5 Svepbart filter Med ett svepbart filter menar vi ett filter där vi kontinuerligt kan välja vilken del av frekvensområdet som filtret skall påverka. Ibland kan vi också variera bredden på det område vi påverkar då filtret har klockform. I det senare fallet ändrar vi filtrets Q-värde (se nedan). Enklare varianter av filtertypen förekommer där vi inte kan svepa frekvensen utan bara förflytta oss mellan ett antal fasta frekvenser. sida 7.37
7.5.5. Q-värde Vi nämnde tidigare filteregenskapen Q -värde eller godhetstal som den också kallas. För bandpass- och bandspärrfilter finns det ett direkt samband mellan Q -värdet, filtrets mittfrekvens f och filtrets bandbredd B Q f B f ö f u f f ö u -5 Lågpass shelffilter Q. ögt Q-värde innebär alltså smal bandbredd, Figur 7.67. För låg- och högpassfilter talar man ibland i stället om begreppet resonans som är direkt beroende av Q -värdet. Belopp (db) - -5 - -5-3 Q.5 Q Q Q4 Q -35-4 3 4 Figur 7.67 Bandpassfilter med olika Q- värden Q,,,5,,, 4 och, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala 7.5.6 Equalizer Med en equalizer brukar man mena en apparat som innehåller ett antal variabla filter vid olika frekvenser så att vi kan anpassa (engelskans equalize) frekvenskurvan noggrannare. Vi har två grundtyper. 7.5.6. Parametrisk equalizer En parametrisk equalizer innehåller ett antal svepbara bandpass/bandspärrfilter (bell) där vi normalt kan variera förstärkning, mittfrekvens och Q-värde för de olika filtren. Svepområdet för de olika filtren är ofta till en del överlappande, Figur 7.68. Apparaten kan också innehålla ett låg- och ett högpassfilter med svepbara gränsfrekvenser samt svepbara bas- och diskantkontroller av shelvingtyp. LF Band Band Band 3 Figur 7.68 Överlappande frekvensband F frekvens f sida 7.38
7.5.6. Grafisk equalizer En grafisk equalizer innehåller ett antal klockformade (bell) filter där vi kan kontrollera förstärkning och dämpning, Figur 7.69. De olika filtrens mittfrekvenser är fasta. Apparaten har fått sitt namn av att vi ofta kontrollerar förstärkning/dämpning med ett antal skjutpotentiometrer som sitter på en rad bredvid varandra och lägena hos potentiometerreglagen ger då en grafisk bild av hur vi påverkar frekvensspektrat. De olika filtren är logaritmiskt fördelade över det hörbara området och vi har två grundgrupper. 7.5.6.. Oktavband är ligger filtrens mittfrekvenser på avståndet en frekvensfördubbling (en oktav) från varandra och man brukar ha tio filter med mittfrekvenser 3.5, 6.5, 5, 5, 5, k, k, 4k, 8k och 6 kz För t ex filtret vid kz så får vi gränsfrekvenserna Belopp (db) 8 6 4 - -4-6 -8 - Grafisk oktavbandsequalizer 3 4 Figur 7.69 Grafisk equalizer, beloppsspektra, db-skala, logaritmisk frekvensskala f f u ö 5 77 z,44 kz och Q-värdet blir för alla länkar Q 44 77,44 7.5.6.. Tersband Tersband är en tätare uppdelning än oktavband och då har vi ofta runt 3 reglage, 3 band är vanligt. En ters är en tredjedels oktav. Vi får då t ex in två nya filter runt oktavbandsfiltret vid kz, samtidigt som alla filter nu skall ha en mindre bandbredd (dvs ett större Q-värde) och dessa filter har då mittfrekvenserna sida 7.39
f f 5 3 3 794 z,6 kz vilket för kz-filtret ger gränsfrekvenserna f f u u 794 89 z,6, kz och Q-värdet blir för alla länkar Q 89 6 6 4,38 7.5.7 Loudness Den mänskliga hörseln är sådan att för svaga ljud så kan vi uppfatta mycket svagare ljud i frekvensintervallet - 4 kz än vad vi gör vid lägre och högre frekvenser. De svagaste ljud vi uppfattar vid olika frekvenser beskrivs av hörseltröskeln som beskrivs med hjälp av en kurva över denna nivå som funktion av frekvensen. För ljud ovanför hörseltröskeln talar vi om kurvor för samma upplevda ljudstyrkenivå (equal loudness) där vi då ritar kurvor över de ljudnivåer vid olika frekvenser som vi uppfattar som lika starka. Vid nivåer strax över hörseltröskeln så följer equal loudness-kurvorna i stort sett hörseltröskelns kurvform, dvs de går på lägre nivå i intervallet - 4 kz. öjer vi ljudstyrkan så kommer skillnaden mellan de nivåer vid olika frekvenser som vi uppfattar som lika starka att bli mindre, dvs subjektivt så kommer vi inte att behöva lika starka nivåer relativt mittfrekvenserna i bas och diskant som vi behövde vid lägre nivåer. Vi kommer att få en förstärkning av bas- och diskantområdet. Figur 7.7. sida 7.4
Intensitet [db] 8 9 8 7 6 4 6 5 4 3 k k k f [z] Figur 7.7 örselkurvor, equal loudness, db-skala, logaritmisk frekvensskala Detta betyder att vi kommer inte att få samma upplevelse av musik om vi spelar den vid låg nivå som vi får då vi spelar den vid hög nivå. För att vi skall uppfatta musik som är avsedd att spelas vid hög nivå på rätt sätt även vid låg nivå så har man infört så kallade loudnessfilter som då förstärker basen och diskanten hos signalen. I de flesta fall är det ett filter som kan kopplas in eller ut men det finns också stegvis eller kontinuerligt variabla loudnessfilter. 7.5.8 RIAA-korrektion CD-skivornas föregångare grammofonskivor av vinyl spelas in genom att en nål ansluten till en elektromagnet använder ljudsignalen som styrsignal för att omvandla den elektriska signalen till en rörelse hos nålen, nålen rör sig alltså i takt med musiken. Nålen får rista (gravera) ett spår i vinylskivans så kallade master och spårets svängningar avspeglar alltså musiken. Vid avspelningen får en annan nål ansluten till en elektromagnet följa det inspelade spåret som nu har förts över till en vinylskiva. De nålrörelser som spåret ger upphov till inducerar en signal i elektromagneten och denna signal förstärks och avspelas. Den mekaniska rörelsen omvandlas nu alltså åter till en elektrisk signal. sida 7.4
Vid graveringen ger styrningen av nålen vissa problem. Om vi låter signaler med olika frekvens men samma amplitud styra nålen med samma signalstyrka, dvs konstant amplitud så måste nålen röra sig med mycket högre hastighet vid hög frekvens än vid låg frekvens eftersom en period vid hög frekvens då skall graveras under mycket kort tid medan periodtiden blir mycket längre för signaler med låg frekvens, Figur 7.7 a) - b). Denna stora hastighetsvariation är svår att styra. Ett alternativ skulle vara att styra nålen med konstant hastighet, oberoende av frekvens, och vi uppnår detta genom att ge lågfrekventa signaler högre amplitud, Figur 7.7 a) - b). Detta skulle dock göra att högfrekventa signaler skulle bli så svaga att de skulle drunkna i brus medan lågfrekventa signaler skulle ge så stora pendlingar hos nålen att den skulle störa närliggande spår (övermodulation). Gravering med konstant hastighet.8 Lika amplitud.6.4 astighet Amplitud. -. f f Amplitud -.4 -.6 -.8 f f frekvens f - 4 6 8 Tid Figur 7.7 a) Gravering med konstant amplitud, tidsförlopp Figur 7.7 b) Gravering med konstant amplitud Gravering med konstant hastighet Amplitud.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 - f f Lika lutning 4 6 8 Tid Figur 7.7 a) Gravering med konstant hastighetsändring, tidsförlopp Amplitud f f astighet frekvens f Figur 7.7 b) Gravering med konstant hastighetsändring sida 7.4
Man har valt att vid graveringen använda en frekvenskurva där lågfrekventa signaler dämpas för att undvika övermodulering medan högfrekventa signaler förstärks för att förbättra signal/brusförhållandet. I den förstärkare som tar hand om signalen från skivspelarens pickup vid uppspelningen måste vi göra den omvända korrektionen för att få en signal som har samma frekvensspektra som den signal som spelades in och sedan graverades. Korrektionen har standardiserats av det amerikanska sammanslutningen Record Industri Association of America (RIAA) och kallas därför RIAA-korrektion, Figur 7.73. Slutsatsen är att man måste se till att den förstärkare som man använder till sin skivspelare har en ingång som inte bara har 3 4 lämplig förstärkning utan dessutom måste ha RIAA-korrektion, detta måste man komma ihåg även då man överför vinylskivor till CD. En ingång med RIAA-korrektion kallas oftast phonoingång. 7.5.9 Rumble Vid avspelning av grammofonskivor drabbas pickupen och därmed nålen lätt av mekaniska vibrationer från omgivningen via skivspelarens mekaniska kontakt med sitt underlag. Vibrationerna är lågfrekventa och brukar på engelska kallas rumble. Vi dämpar rumblet med ett högpassfilter som dämpar signaler under c:a 5 z. 7.5. Scratch är har vi återigen ett filter som härstammar från hanterandet av vinylskivor. Då dessa spelas upp får man, speciellt då skivorna börjar bli slitna, ett sprakande ljud. Detta ljud är högfrekvent och kallas på engelska för scratch. Vi dämpar det med hjälp av ett lågpassfilter med en gränsfrekvens runt kz. 7.5. Brum (hum) Apparatur som är ansluten till elnätet drivs av en växelspänning med frekvensen 5 z och i utrustning som arbetar med svaga signaler som måste förstärkas mycket kan en ogenomtänkt konstruktion lätt uppfånga och förstärka störningar från nätet. Dessa störningar kommer då att ha frekvensen 5 z eller ännu vanligare z. Den lägre frekvensen är då nätfrekvensen medan den högre uppkommer genom att vi i de flesta fall helvågslikriktar spänningen i nätdelen och detta ger en grundton med fördubblad frekvens, dvs z. I båda fallen är signalerna lågfrekventa och störningen uppfattas som ett brum, därav namnet, engelskans beteckning är hum. Störningarna kan nå utrustningen genom en dåligt filtrerad drivspänning eller (oftare) genom inducerade störningar från en dåligt avskärmad nätdel. 5 z störningen är ganska lätt att filtrera bort eftersom nätfrekvensen är mycket stabil och vi då kan använda ett notchfil- Belopp (db) 5 5-5 - -5 - RIAA-korrektion, avspelning Figur 7.73 RIAA-korrektion vid uppspelning, beloppspektra, db-skala, logaritmisk frekvenskala sida 7.43
ter för bortfiltreringen. Störningen ligger dessutom i ett frekvensområde som inte innehåller så mycket ljudinformation, vilket förenklar filtreringen. Filtret behöver inte vara så smalt (liten bandbredd). z störningen är besvärligare att ta hand om eftersom den helvågslikriktade spänningen inte är har ren sinusform och detta ger upphov till övertoner, dvs signaler med frekvenser som är heltalsmultiplar av z, även om dessa har lägre amplitud än grundtonen. Vi har dock fått toner vid högre frekvens som kommer in i frekvensområden som innehåller mer av önskad ljudsignal och det blir då svårare att filtrera bort störningarna utan att det påverkar den önskade signalen och därmed märks. Under senare år har vi dessutom fått många utrustningar som inte drivs av klassiska analoga nätdelar utan av så kallade switchade nätdelar. Dessa nätdelar arbetar med högre frekvenser och hackar sönder spänningen i fyrkantpulser som ger upphov till kraftiga störningar. Datorer är stora syndare i detta fall och det är inte rekommendabelt att ha en dator nära en högkvalitativ ljudanläggning. sida 7.44