Balanserng av vndkraft och vattenkraft norra Sverge Elforsk rapport 09:88 Mkael Ameln, Calle Englund, Andreas Fagerberg September 2009
Balanserng av vndkraft och vattenkraft norra Sverge Elforsk rapport 09:88 Mkael Ameln, Calle Englund, Andreas Fagerberg September 2009
Förord Den här rapporten utgör resultatet från Elforsk-projektet Överförng av vndkraft och vattenkraft från norra Sverge som har genomförts under lednng av Dr Mkael Ameln vd Avdelnngen för elektrska energsystem, KTH, under våren 2009. Projektet utgör ett steg för att analysera konsekvenserna av en storskalg ntegrerng av vndkraft Sverge. Projektet har fnanserats av Skellefteå Kraft AB, Svenska Kraftnät, Umeå Energ AB, Vattenfall AB och Statens Energmyndghet. Projektet har också följs av en styrgrupp med följande medlemmar: Anna Persson, Johan Nlsson och Stefan Forsgren Skellefteå Kraft, Elsabet Norgren Svenska Kraftnät, Anders Persson Umeå Energ, Johan Gustafsson och Set Persson Vattenfall samt Anna Carlén Energmyndgheten. Elforsk tackar styrgruppen för värdefulla kommentarer och synpunkter. Elforsk september 2009 Lars Wrangensten Programområde El- och Värmeprodukton
Sammanfattnng Det fnns dag planer på storskalga vndkraftsatsnngar både Sverge och våra grannländer. Elproduktonen från vndkraft varerar som bekant kontnuerlgt och det är därför nödvändgt att balansera dessa varatoner med annan kraftprodukton. I det nordska elsystemet är vattenkraften väl lämpad för denna typ av balanserng, men det fnns naturlgtvs en gräns för hur stora volymer vndkraft som kan balanseras av vattenkraften ett gvet område. Om vndkraftutbyggnaden överskrder denna gräns kan det bl aktuellt att förstärka överförngskapacteten tll närlggande områden för att undvka att behöva splla vatten- eller vndkraft. Denna rapport beskrver resultaten från en stude av vattenkraftens förmåga att balansera olka mängder vndkraft norra Sverge. För att kunna genomföra en sådan analys har en modell av vattenkraftsystemet norr om sntt två tagts fram. Modellen omfattar 154 vattenkraftverk med en sammanlagd effekt på 13,2 GW, vlket motsvarar ungefär 80% av den nstallerade effekten den svenska vattenkraften. I modellen är det möjlgt att följa samspelet mellan vattenkraft, vndkraft, övrga kraftverk och last på tmbass. Vattenkraftsmodellen har gjorts så detaljerad som möjlgt, och tar hänsyn tll vattendomar, rnntder mellan kraftverk och andra fysska begränsnngar. Däremot har det nte vart möjlgt att nom ramen för detta projekt utveckla tllräcklgt detaljerade modeller av säsongs- och korttdsplanerng. Även modellerngen av elmarknaden är starkt förenklad. Sammantaget leder detta tll att modellen kan vsa vlka teknska möjlgheter som fnns att balansera vndkraftvaratoner med vattenkraften, men det kommer att krävas fortsatt forsknng för att studera hur mycket av denna reglerförmåga som kommer elmarknaden tllgodo vd olka utformnngar av elmarknadens regelverk. Modellen har använts ett antal fallstuder för att studera hur stor reglerförmåga vattenkraften har vd en vndkraftutbyggnad på 1000, 4000, 8000 respektve 12000 MW. Det spll som uppstår fallstuderna består tll en överväldgande del av sådant spll som kan undvkas om man använder effektva verktyg för framför allt säsongsplanerngen. Enbart enstaka fall och då framför allt vd en vndkraftutbyggnad på 12000 MW uppstår spll på grund av att vattenkraften nte kan balansera vndkraftvaratonerna. Slutsatsen av studen är därför att den exsterande vattenkraften norra Sverge har en mycket god reglerförmåga och att de befntlga kraftverken har tllräcklg stor effekt och är tllräcklgt snabba för att balansera även stora volymer vndkraft. Utmanngen vd en storskalg vndkraftutbyggnad är snarare att fnna avsättnng för all elprodukton. Denna utmanng kan lösas med förbättrade planerngsverktyg, men det kan också bl lönsamt att göra nvesterngar t.ex. utbyggd exportkapactet från det studerade området, pumpkraft, flexbel elförbruknng och/eller styrnng andra kraftverk.
Summary Today there are plans for large-scale wnd power expanson n Sweden as well as n our neghbourng countres. The electrcty generaton from wnd power s as s well known varyng contnuously and t s therefore necessary to balance these varatons by other generaton sources. In the Nordc system, hydro power s well sutable for ths knd of balancng, but there s of course a lmt to how large volumes of wnd power that can be balanced by the hydro power n a gven area. If the wnd power expanson exceeds ths lmt t mght be of nterest to renforce the transmsson capablty to adjacent areas to avod beng forced to spll hydro or wnd power. Ths report descrbes the results from a study of the capablty of the hydro power to balance varous amounts of wnd power n Northern Sweden. To perform such an analyss, a model of the hydro power system north of cut two has been developed. The model ncludes 154 hydro power plants wth a combned capacty of 13.2 GW, whch corresponds to about 80% of the nstalled capacty of all hydro power n Sweden. The model makes t possble to follow the nterplay between hydro power, wnd power, other power plants and the load on an hourly bass. The hydro power model has been made as detaled as possble, and consders court decsons, water delay tme between power plants and other physcal lmtatons. However, t has not been possble wthn ths project to develop suffcently detaled models of season and shortterm plannng. Also the modellng of the electrcty market s qute smplfed. All n all, ths results n a model whch can show whch techncal possbltes there are to balance wnd power varatons by hydro power, but more research s requred to study how much of ths balancng capablty that wll be made avalable to the electrcty market under dfferent regulatory frameworks. The model has been used n a number of case studes to nvestgate the sze of the balancng capablty of the hydro power for a wnd power expanson of 1000, 4000, 8000 and 12000 MW respectvely. The spll that can be seen n the case studes s to an overwhelmngly extent such spll that can be avoded by usng effcent tools for especally the season plannng. Only n a few cases and then n partcular for a wnd power expanson of 12000 MW wll there be spll that depends on nsuffcent balancng capablty n the hydro power. The concluson of the study s therefore that the exstng hydro power n Northern Sweden has suffcent nstalled capacty and s fast enough to balance even large amounts of wnd power. The challenge for a large-scale expanson of wnd power s rather to fnd an outlet for all electrcty generaton. Ths challenge can be solved by mproved plannng tools, but t could also be proftable to make nvestments n for example renforced export capacty.
Notaton Mängder d k j K L t Tmmar under ett vsst dygn Vattenkraftverk Segment kraftverk Mängden av kraftverk närmast uppströms från kraftverk Mängden av kraftverk som spller vatten drekt uppström om kraftverk Td (h) Varabler H Elprodukton för kraftstaton under tmme t (MW) t, M Innehåll vattenmagasn vd slutet av tmme t (TE) t, Q Total tappnng genom kraftstaton under tmme t (TE) t, Q Tappnng genom kraftstaton, segment j, under tmme t (TE), j, t S Spll förb kraftstaton under tmme t (TE) t, U Bnär varabel som ndkerar fall kraftverk har startats under t, tmme t y Kompensatonsvarabel för kraftverk, tmme t (TE) t, z Bnär varabel som ndkerar om kraftverk är bruk under tmme t t, z Bnär varabel som ndkerar om segment j kraftverk är fullt, j, t utnyttjat under tmme t Parametrar C Anger hur hårt tappnngsändrngar straffas D Lokal förbruknng under tmme t (MWh/h) t G Övrg (termsk) elprodukton under tmme t (MWh/h) t γ Produktonsekvvalent (MWh/TE) H Installerad effekt kraftverk (MW) h Gångtd hela tmmar (h) K Maxmalt antal tllåtna starter för samtlga kraftverk under hela smulerngen M Maxmalt magasnnnehåll för kraftverk (TE) M Mnmalt magasnnnehåll för kraftverk (TE) m Resterande gångtd mnuter (mn) M Mål för magasnsnnehåll vd smulerngsperodens slut kraftverk slut, (TE) m Mål för magasnens fyllnadsgrad vd smulerngsperodens slut (%) slut M Magasnsnnehåll vd smulerngsperodens början kraftverk (TE) start, m Magasnens fyllnadsgrad vd smulerngsperodens början (%) start μ Margnell produktonsekvvalent för kraftverk, segment j (MWh/TE), j P Maxmal export tll område n (MWh/h) n Q ( Lägsta tllåtna tappnng då kraftverk är drft (TE) Q % Maxmal tappnngsförändrng kraftverk (TE) Q Maxmalt total tappnng för kraftverk (TE) Q Maxmal tappnng för kraftverk, segment j (TE), j S Mnmalt spll från kraftverk (TE) τ Gångtd från kraftverk tll nästa nedströms lggande kraftverk (mn) V Lokal tllrnnng tll kraftverk (TE) W Vndkraftprodukton tmme (MWh) t
Innehåll 1 Inlednng 1 1.1 Bakgrund... 1 1.2 Problembeskrvnng... 2 2 Matematsk modell 5 2.1 Optmerng... 5 2.2 2.1.1 Lnjärprogrammerng... 6 2.1.2 Heltalsprogrammerng... 6 Grundmodell... 7 2.2.1 Målsättnng... 8 2.2.2 Vattenkraft... 8 2.2.3 Transmsson, övrg produkton och last... 15 2.3 Vdareutvecklng av modellen... 16 2.3.1 2.3.2 Förbättrade vattenkraftmodeller... 16 Enkel stokastsk modell... 18 3 Modellerng av norra Sverge 21 3.1 Vattenkraft... 22 3.1.1 Magasnsnvåer... 22 3.1.2 Tllrnnng... 23 3.1.3 Vårfloden... 23 3.1.4 Jurdska begränsnngar... 24 3.2 Värmekraft... 24 3.3 Lokal last... 24 3.4 Exportkapactet... 24 3.5 Vndkraft... 25 3.6 Test av vattenkraftmodellen... 26 4 Fallstuder 29 4.1 Basfall... 29 4.1.1 Resultat... 30 4.2 Varatoner vndkraften... 33 4.2.1 Resultat... 34 4.3 Torrår och våtår... 36 4.3.1 Resultat torrår... 37 4.3.2 Resultat våtår... 38 4.4 Förbjudna ntervall för tappnngen... 40 4.5 Start och stopp av vattenkraftverk... 45 4.6 Tappnngsändrngar... 47 4.7 Vndkraftprognoser... 50 4.7.1 Resultat... 52 4.8 Ökad överförngskapactet... 53 5 Slutsatser 55 5.1 Förenklngar... 55 5.1.1 Överskattnng av reglerförmågan... 55 5.1.2 Underskattnng av reglerförmågan... 57 5.2 Dskusson... 58 5.3 Framtda forsknng... 59 5.3.1 Förbättrngar av modellen... 59 5.3.2 Förbättrngar av ndata... 60 6 Referenser 62
1 Inlednng Det fnns dag ett stort ntresse för att bygga ut vndkraften såväl Sverge som våra grannländer. T.ex. har Energmyndgheten föreslagt ett planerngsmål på 30 TWh vndkraft tll år 2020 [1]. För att nå detta mål skulle man behöva ungefär 12 000 MW nstallerad effekt vndkraft, vlket kan jämföras med att den totala produktonskapacteten Sverge var ungefär 34 000 MW slutet av år 2008 [2]. En sådan storskalg utbyggnad av en kontnuerlgt varerande elprodukton skulle naturlgtvs nnebära ökade krav på elsystemets förmåga att upprätthålla balansen mellan produkton och konsumton. På den nordska elmarknaden sköts denna balanshållnng tll största delen av vattenkraften. Det är därför angeläget att studera vlken förmåga vattenkraften har att balansera stora volymer vndkraft och vad mån utökad transmssonskapactet skulle förbättra reglerförmågan. 1.1 Bakgrund El är som bekant en extrem färskvara och därför måste alltd balans upprätthållas mellan den elektrska effekt som matas n ett elsystem och den effekt som tas ut från systemet. Det enda praktskt genomförbara sättet att upprätthålla denna momentana balans är att använda automatska reglersystem. Närhelst en konsument ökar sn förbruknng måste reglersystemet se tll att några kraftverk systemet ökar produktonen lka mycket. Denna typ av transaktoner sker kontnuerlgt och det vore extremt komplcerat att realtd följa alla transaktoner. Därför är elmarknaden uppbyggd så att den som säljer el förbnder sg att leverera en vss mängd energ under en vss handelsperod; på motsvarande sätt förbnder sg den som köper el att konsumera en vss mängd el under en vss handelsperod. På den nordska elmarknaden och många andra elmarknader omfattar varje handelsperod en tmme, men det förekommer också att man använder kortare handelsperoder. I och med att el handlas som energ per handelsperod är det naturlgt att dela upp elhandeln olka faser. Den första fasen är förhandsmarknaden, som omfattar all handel som sker före handelsperoden. I denna fas köper och säljer marknadens aktörer el tll varandra utfrån de prognoser som fnns tllgänglga. På den nordska elmarknaden omfattar förhandsmarknaden marknadsplatser som Elspot och Elbas, samt blaterala kontrakt. Nästa fas är realtdsmarknaden, vlken omfattar den handel som sker under själva handelsperoden. Syftet med realtdsmarknaden är att systemoperatören ska kunna upprätthålla balansen systemet genom att handla med aktörer som har flexbel produkton eller konsumton. På den nordska elmarknaden utgörs realtdsmarknaden av den reglermarknad som de nordska systemoperatörerna drver gemensamt. Den ssta fasen är efterhandsmarknaden, där 1
de balansansvarga aktörerna är skyldga att köpa och sälja balanskraft för att reglera eventuella avvkelser mellan planerad omsättnng och verklgt utfall. Elproduktonen från vndkraft kan varera på olka sätt. Dels har man snabba varatoner tll följd av vndbyar och dels har man mer långsamma varatoner tll följd av att olka vädersystem passerar kraftverket. De förra varatonerna hanteras första hand av prmärreglerngen, d.v.s. det automatska reglersystem som upprätthåller den momentana balansen mellan elprodukton och elförbruknng De långsammare varatonerna hanteras både på förhandsmarknaden ( Sverge främst Elspot men även Elbas och blaterala avtal). Baserat på de vndprognoser som fnns tllgänglga lägger vndkraftproducenterna n bud tll de olka marknadsplatserna på förhandsmarknaden. Om prognoserna för en vss tmme pekar mot hög vndkraftprodukton kommer färre bud från övrga kraftslag att antas under denna tmme. Vsar prognoserna stället på låg vndkraftprodukton kompenseras detta genom att övrga kraftslag får sälja mer. Om sedan prognoserna slår fel 1 kompenseras detta genom att systemoperatören aktverar bud på realtdsmarknaden. Realtdsmarknaden kan också behövas även då man nte har några större prognosfel, eftersom en vndkraftprognos kan vara nästan korrekt om man beaktar antalet MWh vndkraftprodukton under en tmme, samtdgt som det nte blåser någontng början av tmmen medan det blåser väldgt mycket slutet av tmmen ett sådant läge kommer systemoperatören kanske att behöva aktvera uppreglerngsbud början av tmmen och nedreglerngsbud senare tmmen. För att man ska kunna balansera stora volymer är det nödvändgt att det fnns tllräcklgt med reglerresurser både form av prmärreglerngskapactet, bud tll reglermarknaden och möjlghet att ändra produktonen från tmme tll tmme. I den här rapporten kommer fokus att lgga på den sstnämnda typen av reglerförmåga. 1.2 Problembeskrvnng I både vattenkraftverk och termska kraftverk fnns det begränsnngar som gör att kraftverken nte kan öka eller mnska produktonen helt frtt från en tmme tll en annan. T.ex. kan det ta flera tmmar att starta ett stort termskt kraftverk eftersom det tar td nnan man värmt upp ångpannan tll rätt drfttemperatur. Det kan också fnnas begränsnngar på hur snabbt man får öka respektve mnska effektuttaget för att nte skada den teknska utrustnngen dessa kraftverk. För vattenkraftens del handlar det nte lka mycket om teknska begränsnngar det går relatvt fort att starta ett vattenkraftaggregat som ekonomska begränsnngar, ett läge då man har stor tllrnnng och fulla vattenmagasn nnebär en produktonsmnsknng att man kanske måste splla vatten stället, vlket nnebär en ekonomsk förlust 1 Det är svårt att göra exakta prognoser för vndkraftprodukton. I t.ex. [4] presenteras statstk som vsar att 100 MW vndkraft (med en genomsnttlg tllgänglg produktonskapactet på ungefär 25 MW) så kan felet en 12 tll 36-tmmarsprognos varera mellan 20 MW och +20 MW. 2
för kraftverksägaren. Det kan även fnnas jurdska begränsnngar form av vattendomar som reglerar hur snabbt flödet nedströms ett kraftverk får ändras, hur snabbt nvån vattenmagasnen får ändras, o.s.v. Syftet med denna rapport är att studera hur stor förmåga den norrländska vattenkraften har att reglera vndkraftvaratoner. Ju större reglerförmåga desto större volymer vndkraft kan man nstallera norra Sverge utan att det leder tll att vatten- eller vndkraft måste spllas. Resultaten från denna stude ger en antydan om vd vlken nvå på vndkraftutbyggnad som det kan vara samhällsekonomskt lönsamt att förstärka överförngskapacteten mellan norra och södra Sverge eller tll våra grannländer. Förstärkt överförngskapactet är uppenbarlgen lönsamt då värdet av splld vatten- eller vndkraft överstger nvesterngskonstnaderna, men och med att överförngskapactet även har andra värden är det förmodlgen ratonellt att vdta åtgärder redan på en något längre nvå. Denna typ av avvägnngar mellan värdet och kostnaderna för nätnvesterngar är emellertd alltför komplcerad för att ngå denna rapport. Ett stort värde med denna stude är den modell som används ger en uppfattnng om vlka faktorer som är av betydelse då man studerar system med stora volymer vndkraft. Med denna kunskap kan man gå vdare och utveckla både mer detaljerade smulerngsprogram (för att närmare analysera vlka nvesterngar som är samhällsekonomskt lönsamma) och utveckla lämplga planerngsverktyg för vattenkraftverk. 3
4
2 Matematsk modell I detta kaptel beskrvs en modell som är lämplg för att studera samspelet mellan vndkraft och vattenkraft ett område med begränsad exportkapactet. Syftet med modellen är att studera hur mycket energ som kommer att behöva spllas om vattenkraften ska balansera stora volymer vndkraft. Eftersom modellen ska kunna följa med vndkraftens varatoner på tmbass använder modellen ett tdssteg på en tmme. Samtdgt är det vktgt att modellen omfattar en längre tdsperod, eftersom det annars fnns rsk att man överskattar vattenkraftens reglerförmåga att spara vatten under en dag för att vndkraften producerar mycket är förstås enklare än att hantera tre blåsga dagar rad. I framställnngen här (och senare fallstuderna) smuleras en vecka taget. Detta betyder att man ska hantera ett mycket stort antal beslutsvarabler; varje vattenkraftverk modelleras med fyra eller fem varabler per tmme, vlket betyder att man med ett hundratal kraftverk och 168 tmmar måste hantera optmerngsproblem med ett mycket stort antal varabler. Kaptlet nleds därför med en överskt om optmerngslära och sedan följer en grundmodell och exempel på hur grundmodellen kan vdareutvecklas. 2.1 Optmerng Optmerngslära, eller programmerng, är en matematsk teor om att lösa ett gvet problem på det bästa sättet. Problemen som kan lösas kan vara av väldgt skftande slag och storlek men de behöver alla kunna beskrvas på matematsk form. Att fnna detta sätt att utrycka ett verklgt problem kan många gånger vara det svåraste momentet lösandet och kräver ofta en del fantas och mycket rutn. För att lösa ett problem måste man först och främst bestämma vad som menas med bästa sättet. Det kan tll exempel vara att maxmera en vnst för ett företag, att mnmera td för en resa eller htta den balans mellan rsk och förväntad avkastnng bland möjlga nvesterngar som tlltalar mest. Sedan måste man dentfera vlka val som har nverkan på detta värde. Dessa val kallas varabler och det gäller nu att beskrva deras effekt på slutvärdet med en funkton. För en mnmerng av restd är vägvalen som görs exempel på varabler. Målfunktonen är den matematska formulerng av hur vårt målvärde beror på dessa varabler, som den totala restden. I de allra flesta fall fnns det krav på hur varablerna får väljas, man kan ju tll exempel nte åka längs vägar som nte fnns eller snabbare än högsta tllåtna hastghet. Dessa så kallade bvllkor måste också beskrvas på matematsk form. Ett generellt optmerngsproblem kan alltså formuleras som (P) mn f ( x) x X (1) 5
där f ( x ) är målfunktonen som beror av varablerna x = ( x1, K, x ) T n och X är mängden av tllåtna val av x. Normalt sett kan denna mängd beskrvas med hjälp av m stycken olkhetsvllkor på formen g ( x ) b, = 1, K, m. (2) Andra exempel på bvllkor kan vara att en varabel är bnär eller måste vara heltal. Att problemet ovan är skrvet som ett mnmerngsproblem är ngen nskränknng då att mnmera f ( x ) är detsamma som att maxmera f ( x ). Samma resonemang gäller för rktnngen på olkheterna bvllkoren; g( x ) b kan stället skrvas som g ( x ) b. Man brukar dela upp optmerngsproblem de två huvudkategorerna lnjära och cke-lnjära problem eftersom metoderna för att lösa de olka problemen skljer sg mycket åt. Medan lnjära problem nästan alltd följer relatvt enkla metoder och ger resultat som kan analyseras detalj så kan det många gånger vara nära omöjlgt att bevsa att man har funnt en optmal lösnng för ett cke-lnjärt problem. 2.1.1 Lnjärprogrammerng Om målfunktonen och alla bvllkor är lnjära funktoner med avseende på varablerna kallas problemet lnjärt. Ett lnjärt problem är mycket önskvärt då lösandet av sådana är mycket effektvt. Därför approxmerar man gärna nästan lnjära funktoner med lnjära. Ett lnjärt problem kan skrvas på standardform på två sätt, matrsform (LP) eller funktonsform (LP ) mn n j = 1 cx j j (LP) mn cx T Ax b (LP ) n a, jxj b, = 1, K, m, j = 1 x 0, j = 1, K, n. j (3) Om A är den (m n) -matrs som utgörs av elementen a, j, b är vektorn som byggs upp av b, = 1, K, m, och den vektor som utgörs av cj, j = 1, K, n, är det här två sätt att skrva exakt samma problem. För den teoretske matematkern är oftast matrsformen att föredra men den praktske ngenjören har oftast lättare att utläsa den verklga tolknngen ur funktonerna. Vanlga lnjära problem löses oftast mycket effektvt, med modern programvara klarar en vanlg persondator att lösa problem med tusentals varabler och bvllkor på några mnuter. 2.1.2 Heltalsprogrammerng Om mnst en av varablerna endast kan anta heltalsvärden, tll exempel ett antal av någontng, får man ett så kallat heltalsproblem. Heltalsproblem kan 6
vara av både lnjär och ckelnjär natur. Ett lnjärt heltalsproblem är betydlgt mer komplcerat att lösa än vanlga lnjära problem och kräver ofta betydlgt mer td och datorkapactet. Detta beror på att det nu nte fnns ett stort sammanhängande område av tllåtna lösnngar utan många sprdda punkter av tllåtna lösnngar. En vanlg varant av heltalsproblem är så kallade bnära problem där mnst en varabel endast kan anta två värden, 0 och 1. Bnärvarabler används ofta för att ange om t.ex. en fabrk används eller nte. Standardförfarandet vd lösandet av heltalsproblem är att först lösa problemet utan heltalskravet, för att sedan utgå från denna lösnng för att fnna den bästa heltalslösnngen. Vlken metod som används för att fnna heltalslösnngen varerar men de bygger oftast på att dela n det tllåtna området många underområden ett sökträd. Redan ett problem med två heltalsvarabler och totalt 12 tllåtna lösnngspunkter ger ett sökträd med 7 noder för vlka optmalvärden och optmallösnngar måste beräknas och sparas. Moderna lösare har dock mycket sofstkerade metoder för att korta lösnngstderna. Oftast nöjer sg lösaren också med en någon menng tllräcklgt optmal lösnng snarare än den absolut mest optmala. Detta görs genom att jämföra optmalvärdet noden med det optmala värde som erhölls utan heltalskravet, om skllnaden är tllräcklgt lten nöjer sg lösaren med denna lösnng. Det är mycket svårt att uppskatta hur mycket längre td ett heltalsproblem tar att lösa än ett motsvarande enkelt lnjärt. I bästa fall ökade lösnngstden endast margnellt, medan de värsta fallen som upptäcktes detta arbete ökade lösnngstden från 5 mnuter tll mer än två dygn vd nförandet av ungefär 25000 heltalsvarabler. Eftersom heltalsvarabler försvårar lösandet mycket försöker man undvka att formulera stt problem med sådana. Ofta fnns knep att använda sg av för att åtmnstone hålla nere antalet bnära varabler något. Tll exempel kan många heltalsvarabler som är drekt beroende av andra heltalsvarabler många gånger modelleras som fra varabler, beroendet och egenskaper hos den optmala lösnngen kommer att se tll att varablerna endast antar heltalsvärden lösnngen. 2.2 Grundmodell Det har redan nämnts att syftet med modellen är att studera hur stor förmåga vattenkraften har att balansera vndkraft. I verklgheten måste man naturlgtvs ta hänsyn tll att både vattenkraften och övrg produktonen är verksamma på en elmarknad och att prsbldnngen på elmarknaden har stor betydelse för hur kraftverken kommer att köras. Att modellera en elmarknad kan emellertd vara nog så komplcerat och kräver dessutom tllgång tll stora mängder data. Därför fokuserar den modell som presenteras här nästan helt och hållet på vattenkraften och dess förmåga att ändra produktonen från tmme tll tmme. 7
De grundläggande samband som presenteras här fnns utförlgare beskrvna t.ex [8]. 2 Dessutom har det tllkommt extra bvllkor som behövs för att hantera de olka typer av vattendomar som man kan gälla för svenska vattenkraftverk. 2.2.1 Målsättnng En optmerngsmodell behöver en målfunkton som skall optmeras. I verklgheten försöker varje aktör på elmarknaden maxmera sn egen vnst. En sådan modell skulle emellertd bl alltför omfattande för detta arbete och därför används stället en förenklng, som nnebär att vattenkraften antas köras på så vs att man maxmerar elproduktonen under den smulerade veckan: max Ht,, (4) t, där H t, är den producerade energn kraftverk under tmme t. Denna modell nnebär alltså att v antar att det alltd fnns avsättnng så länge det fnns exportkapactet (se avsntt 2.2.3) för all den energ som vattenkraften producerar. Vdare antas det att vd de tllfällen som man väljer att nte producera särsklt mycket vattenkraften så kan man täcka lasten systemet med andra kraftverk eller genom mport. Modellen vsar med andra ord hur man skulle kunna köra vattenkraften om man vll utnyttja hela dess reglerförmåga. För att hela denna reglerförmåga verklgen ska utnyttjas krävs det förstås att elmarknaden är så utformad att det är lönsamt för vattenkraften att tllhandahålla all kapactet men det är en fråga som faller utanför ramen för detta projekt. 2.2.2 Vattenkraft Modellerngen av vattenkraften är det största och tyngsta momentet denna modell. Det är av stor vkt att skapa en modell med stor överensstämmelse med verklgheten och som framförallt nte överskattar verklghetens reglerngsförmåga. De vllkor och begränsnngar som fnns för vattenkraft kan delas upp tre kategorer. Dels fnns fysska vllkor så som att vatten ska rnna från någon plats tll någon annan. Sedan fnns jurdska begränsnngar för hur reglerngen av vattnet får skötas. Den ssta kategorn är drftteknska förutsättnngar för hur man får nyttja vattnet och kraftverken. Fysska begränsnngar De första kraven v måste ställa på vår modell är att vattnet flödar systemet på naturlgt sätt. V vet ju att vatten nte kan rnna uppför älvarna och att vatten nte skapas eller försvnner någonstans längs vägen. 2 En överskt av den notaton som används återfnns nlednngen tll denna rapport. För att underlätta jämförelser har notatonen valts så att den görlgaste mån överensstämmer med den [8]. 8
Ett magasns nnehåll av vatten en vss td beror av nnehållet ett tdssteg nnan, hur mycket som runnt n magasnet och hur mycket som runnt ut sedan dess. magasnsnnehåll = gammalt magasnsnnehåll + tllrunnet vatten utrunnet vatten (5) Det gamla magasnsnnehållet ges av nnehållet föregående tdsperod. För första tdspunkten fnns dock nget sådant utan man får ange en parameter med ett startnnehåll, M start,. Storleken av startnnehållet väljs som en procentsats, samma för alla magasn, av magasnens maxmala nnehåll: där M = m M, (6) start, start M är den maxmala volymen vatten magasnet. Vatten kan rnna tll ett magasn från flera olka källor. Dels har ett område en naturlg tllrnnng, V, från olka små vattendrag och sjöar som bland annat beror på nederbörd och smältvatten. I ett vattendrag med mer än ett kraftverk kommer styrnngen av ett kraftverk att påverka vattenflödet hos nedströms lggande kraftverk. Vatten som tappas eller splls hos det övre kraftverket kommer efter en td () τ att nå nedströms lggande magasn som därmed fylls på. En vktg detalj är att vssa magasn kan splla vatten en annan älvfåra än den som turbnerna leder vattnet tll. V kan alltså beskrva det tllrunna vattnet för kraftverk som, tllrunnet vatten = V + Q + S (7) k, t τk k, t τ k k K k L där K är mängden av alla drekt uppströms lggande kraftverk vars turbner leder vatten tll kraftverk och L är mängden kraftverk vars spllvatten går tll kraftverk. Gångtden () τ är en komplcerad funkton av bland annat mängden genomsläppt vatten vlket leder tll att termen Qt, τ är olnjär. Då detta antas ha en k relatvt lten effekt på slutresultatet och önskemålet är en lnjär modell approxmerar man denna gångtd med ett medelvärde. Hos en modell som denna med dskreta tdssteg är nte heller tolknngen av t τ helt självklar om nte gångtderna kan mätas hela tdsteg. Då v mäter tden t hela tmmar och gångtderna ofta är av storleksordnngen mnuter behöver v en metod för att kompensera för detta. Om gångtden från kraftverk är h hela tmmar och m mnuter kan man uttrycka dess effekt som ett vktat medelvärde av tappnngen h + 1 och h tmmar tdgare enlgt m 60 m Qt, τ = Q t, h 1+ Qt, h. (8) 60 60 Ett uttryck för effekten av spllvattnets gångtd tas fram på samma sätt och skljer sg endast genom att Q byts mot S (8). Då gångtderna mellan vssa kraftverk är så långa som två dygn kommer v få några mycket oönskade egenskaper hos smulerngarna. Bland annat kommer 9
den enda tllrnnngen hos det nedströms lggande kraftverket enbart bestå av det från närområdet tllrunna vattnet fram tlls det första vattnet från kraftverket ovan når fram. Då det är mycket otrolgt att kraftverket ovan har vart helt stängt under dagarna nnan smulerngens början lägger v tll en extra term under de första tmmarna så att tllrnnngen under dessa blr lka stor som den årlga medelvattenförngen. Det ur magasnet runna vattnet är helt enkelt summan av tappnngen och spll under tdssteget: utrunnet vatten = Q + S. (9) t, t, V har nu allt som behövs för att beskrva vattnets flöde systemet som en lnjär modell beroende av lokal tllrnnng, genomsläpp, spll, gångtder och magasnens nnehåll vd starttden. Tllrnnngen, gångtderna och startnnehåll är parametrar som bestäms på förhand. Genomsläpp och spll är optmerngsvarabler vlka kan styras för att fnna optmala drftplaner. Andra fysska begränsnngar på systemet är exempelvs storleken på magasnen, hur mycket vatten man kan släppa genom turbnerna eller spllvägar och hur snabbt man kan ställa om mellan olka genomsläpp. Dessa har dock sällan någon betydelse för modellen då det oftast fnns hårdare jurdska begränsnngar. Jurdska begränsnngar För varje ngrepp ett vattendrag dag fnns det mnst en så kallad vattendom som bestämmer hur detta ngrepp får se ut och hur det får nyttjas. Vattendomarna är domstolsbeslut som fattas av Sverges olka mljödomstolar för att förhndra att man förstör eller förändrar mljön krng kraftverken och dammarna alltför mycket. Vattendomarna begränsar exempelvs vlka högsta och lägsta nvåer man får hålla vattenmagasnen eftersom man vll undvka att sjöar torkas ut och strandkanter översvämmas. I modellen anges detta som gränser för största och mnsta tllåtna volym vattenmagasnen modellen. V får alltså bvllkoret M M M (10) för alla magasn För att förenkla arbetet något skalar man om volymerna tll så kallade aktva volymer vlka bättre återspeglar hur mycket vatten man har att arbeta med. Ett magasns aktva volym är helt enkelt den faktska volymen mnus den mnsta tllåtna. Detta gör att den undre gränsen för den aktva volymen är noll och den övre gränsen är precs den volym vatten man kan nyttja. Man kan därför skrva om (10) som 0 M M (11) där M nu är den mängd vatten som kan tömmas från magasnet och den aktva volymen. M är 10
I vattendomarna anges även gränser för hur stora och små tappnngar som får göras varje kraftverk. Vanlgast är att den maxmala tappnngen kraftverken även är den största som tllåts domen och att tappnngen tllåts att stängas av helt. Domar för mnsta tappnngar, så kallade mntappnngar, fnns oftast för att säkerställa ett jämnt flöde av vatten nedströms kraftverket. Dessa utformas vanlgen med antngen ett momentant mnmum eller ett mnmum för dygns- eller veckomedel. Gränserna för mntappnngarna kan också varera med tden på året eller t.o.m. med tden på dygnet eller veckodagarna. Maxtappnng och momentan mntappnng är de enklaste domarna att beskrva som bvllkor: där Q Q t, Q, (12) Q, (13), t Q för vssa kraftverk även är beroende av tden t och därför blr t, Veckomedel blr ganska enkla då vår modell smulerar över just en vecka 1 Q Q, t. (14) 168 t Dygnsmedel leder däremot tll den något mer komplcerade ekvatonen 1 Q Q, t k = 1, K7, (15) 24 t dk där dk representerar tmmarna för dygn k, t.ex. d 1 = 1, 2, K, 24 och d 4 = 73,74, K,96. För några statoner fnns även begränsnngar hur stora förändrngar tappnngen som får göras nom en vss td, vanlgen ett dygn. Detta vllkor formuleras matematsk genom att begränsa dfferensen mellan den största och mnsta tappnngen nom ett gvet tdsntervall (som ekvaton (16) är ett dygn). max ( Q ) mn ( Q ) Q % där t d k = 1, K, 7. (16) t, t, k Funktonerna max ( x) och mn ( x ) kräver bnära lösnngsmetoder och bvllkor (16) bör därför ersättas med ett enklare uttryck som ger samma effekt. Dfferensen mellan det största och mnsta värdet är garanterat större än alla andra dfferenser mellan de andra värdena och man kan skala bort de bnära funktonerna och behålla samma vllkor. Man får då att Q Q Q % där tt, d k= 1, K,7. (17) t, t, k I en del kraftverk tllåts endast en del av magasnet att användas för kortare reglerngar, tll exempel kan det fnnas begränsnngar hur stora skllnaderna mellan högsta och lägsta vattenstånd får vara under en vecka. Då v nte anger nvåerna magasnen ytans höjd utan procent av magasnets Q. 11
maxmala nnehåll tmenheter krävs det en metod att tolka om dessa krav. Enklast är att anta att sjöns area är lka stor oberoende av vattenståndet, vlket betyder att höjdnvåerna drekt kan översättas tll modellens skala. Ett magasn med begränsnngar nvåförändrngen per vecka ger detta bvllkor tll modellen M M M%. (18) t, t, Magasn med begränsade nvåändrngar per dag får samma tllägg som ekvaton (17). Hos ett fåtal kraftverk fnns domar som begränsar hur snabbt tappnngen får öka från att ha vart avstängd. I de flesta fall är denna td betydlgt kortare än denna modells tdssteg på en tmme varför v kan bortse från dessa men ett fall måste ändå hänsyn tas tll detta krav. I detta fall är kravet att det ska ta en tmme från nolltappnng tlls en tappnng på 100 m 3 /s har uppnåtts. Alltså att Q om Q =. (19) t, 100, t 1 0 Ett bvllkor som (19) är dock bnärt vlket kräver tyngre lösnngsmetoder och det bör skrvas om som Qt, 100 + C Qt, 1, (20) där C är ett mycket stort värde. Både ekvaton (19) och (20) medger dock möjlgheten att stället för att stänga tappnngen helt välja att tappa en väldgt lten mängd för att frtt kunna välja tappnngen nästa tdssteg. För att mnska sådana effekter kan man välja ett relatvt lågt värde på C. En ssta vanlgt förekommande begränsnng av styrnngen av kraftverken är att dämnngsgränsen är beroende av det vattenflöde som för stunden fnns älven. Man får alltså hålla vattnet vd en vss nvå om flödet överstger ett vsst värde och en annan högre nvå om flödet är ännu högre. Domar av den här typen fnns oftast för små dammar slutet av älvarna, längst nedströms, och den praktska betydelsen är at tllrunnet vatten nte får sparas några större mängder. Då även nsamlad nformaton om dessa magasn vsar på försumbart små volymer blr tolknngen att magasnen saknar aktv volym. Drftteknska förutsättnngar I modellerngar av drften av ensklda kraftverk och kraftverksägare kan det vara ntressant att nkludera de elprser som råder på marknaden. Exempelvs kan det vara ekonomskt lönsamt för ensklda kraftverksägare att köpa el under peroder med lågt prs stället för att själva producera. Detta gör att de kan för produkton av stora mängder när elprset är högre. I den här modellen bortses emellertd från detta. En ekonomsk effekt som dock måste ngå modellen är värdet av sparat vatten vd smulerngsperodens slut. Om ngen hänsyn togs tll detta skulle 12
alla optmerngsmodeller utnyttja så mycket vatten som möjlgt för den smulerade peroden och nte spara något tll nästa tdsperod. Den vanlgaste metoden vd mndre smulerngar är att sätta ett värde på det vatten som fnns kvar vd smulerngsperodens slut. Normalt sett görs detta genom att estmera ett genomsnttlgt framtda försäljnngsprs för el och multplcera detta med hur mycket el som kan produceras för det sparade vattnet. Värdet för detta adderas målfunktonen och man har nu en mer långsktg plan. I denna modell kommer v däremot att använda oss av en annan enklare metod, nämlgen målnvåer. Denna metod används också bland annat på kraftverkens olka drftcentraler. Målnvån räknas dock oftast ut med hjälp av bland annat estmerngar av framtda elprs. Metoden går helt enkelt ut på att man början av peroden anger en nvå för hur mycket vatten som ska fnnas magasnen vd perodens slut. I denna modell anges målnvåerna som procent av maxmala volymen och sätts tll samma för alla magasn M = m M. (21) slut, slut Procentsatsen för magasnens målnvå hämtar v precs som startvolymerna från statstk över magasnens normala fyllnngsgrad vd den smulerade tdpunkten på året. Både verklgheten och en matematsk modell är det mycket svårt och ofta omöjlgt att träffa denna målnvå exakt. Att ställa en exakt träff som ett bvllkor modellen leder ofta tllsammans med de andra vllkoren tll att området av möjlga lösnngar försvnner helt. Därför väljer v stället att formulera detta som en olkhet där man får mssa målnvån något, säg en halv procent, uppåt. Resultatet blr ett bvllkor på formen M M 1,005 M. (22) slut,,168 slut, Elprodukton Mängden el som produceras ett vattenkraftverk är en nvecklad ckelnjär funkton som bland annat beror av mängden vatten som strömmar genom kraftverkets turbner och höjdskllnaden mellan vattennvåerna upp- och nedströms. För att denna modell ska vara lnjär har v valt att approxmera kraftproduktonen som en lnjär funkton av vattenmängden som genomströmmar turbnerna. Eftersom fallhöjden har en förhållandevs mndre nverkan är denna approxmaton nte alltför grov. Tyvärr ökar nte elproduktonen lnjärt med genomströmnngen utan följer en för varje kraftverk ndvduell och ganska komplcerad funkton. Vssa nvåer på genomströmnng har en bättre så kallad produktonsekvvalent, kvoten av producerad energ och genomströmnngen ( γ ( Q) = H( Q)/ Q). Dessa toppar är att föredra då man får ut högst effekt för vattnet. För att kunna förenklat beskrva elproduktonen som en lnjär funkton av genomströmnngen och behålla effekten av dessa toppar behöver v en styckvs lnjär funkton som har brytpunkter mellan de lnjära segmenten just dessa toppar. Eftersom lösnngen tll ett lnjärt problem alltd återfnns ett hörn av den tllåtna 13
mängden kan man genom att låta brytpunkterna överensstämma med produktonstopparna få modellen att favorsera dessa toppar. För att ett segment ska användas fullt nnan nästa påbörjas bör segmentens produktonsekvvalenter vara avtagande med högre segment. En optmal lösnng kommer då alltd att nyttja ett lägre segment fullt ut nnan nästa påbörjas, dock med några undantag för de fall det fnns övre gränser på hur mycket el som ska produceras, tll exempel om man ska leverera el mot en gven last, eller om det fnns en övre gräns för hur mycket som kan levereras. Då problemet som undersöks denna rapport är av just denna natur bör v därför se tll att undersöka de optmala lösnngarna fall detta nträffat. I sådant fall kan man också tänka sg att denna felaktga lägre effekt för nyttjat vatten stället beror av en blandnng av nyttjat och spllt vatten. Ett annat sätt att försäkra sg mot sådana lösnngar är att nföra extra krav för att förhndra att ett nytt segment används utan att det undre är fullt utnyttjat. Detta löser v genom att nföra den bnära varabeln z som är noll då det fnns ledg kapactet ett undre segment och ett då nästa får nyttjas. 0, j, t, j Q, j, t z, j 1, t Q, j där z, j, t= om Q < Q, (23) 1 om Q, j, t= Q, j. Detta resulterar att man får ett heltalsproblem med många bnära varabler. Som beskrvs avsntt 2.1.2 är stora heltalsproblem arbetsntensva och kan bland resultera konstga lösnngar varför v väljer att stället kontrollera lösnngen och anse en lägre verknngsgrad bero på nblandnng av spll. Då nödvändg fakta för en mer noggrann modell av kraftverken nte vart möjlg att erhålla har v valt att modellera samtlga kraftverk med två lnjära segment (se Fgur 1) med en brytpunkt vd 75% av den maxmala genomströmnngen. De maxmala tappnngarna genom de olka segmenten blr alltså Q,1 = 0,75 Q, (24) Q,2 = Q Q,1 = 0, 25 Q. Detta val är baserat på antagandet att den bästa verknngsgraden för ett vattenkraftverk lgger omkrng 75% av maxmal tappnng. Efter brytpunkten antas den margnella produktonsekvvalenten (som anger hur mycket elproduktonen ökar då man ökar tappnngen med 1 TE) vara 5% lägre. Elproduktonen vd ett vattenkraftverk approxmeras alltså med en rätlnjg funkton från nollpunkten (0 TE genomströmnng ger 0 MWh producerad el) tll brytnvån, 75 % av maxmal genomströmnng. Vd tappnngar över brytpunkten approxmeras produktonen av lnje från brytpunkten tll maxmal tappnng, där man erhåller maxmal effekt. Lutnngarna (vlket motsvarar de margnella produktonsekvvalenterna, μ, j) ska alltså uppfylla följande vllkor: μ,2 = 0,95 μ,1, (25) μ,1q,1 + μ,2 Q,2 = H. Löser man ekvatonssystemet (25) fnner man att de bägge lutnngarna blr H H μ,1 = =. Q + 0,95 Q 0,75Q + 0,95 0,25Q,1,2 (26) 14
respektve H 0,7595H μ,2 =. (27) Q,2 Den totala produktonen från ett vattenkraftverk blr då alltså H = μ Q,, t, j, j, t j där Q, j, t ytterlgare begränsas av bvllkoren (24). I samtlga tdgare vllkor som beror av flödet byts nu Q t, mot Σ j Q, j, t för att passa detta nya sätt att uttrycka tappnngen Q. 100% Elprodukton procent av maxmal 80% 60% 40% 20% 0% 0% 25% 50% 75% 100% Tappnng procent av maxmal Fgur 1 Styckvs lnjär modell av elproduktonen ett vattenkraftverk. 2.2.3 Transmsson, övrg produkton och last I denna modell tas nte någon större hänsyn tll elnätets begränsnngar. Det antas att det nte fnns några nterna begränsnngar, vlket nnebär att ett produktonen ett vsst kraftverk nte behöver ta hänsyn tll vad övrga kraftverk samma del av nätet producerar. Men eftersom syftet med modellen är att kunna studera samspelet mellan vattenkraft och vndkraft ett större geografskt område är det ändå vktgt att ta hänsyn tll den maxmala överförngen från detta område om det nte fnns någon sådan begränsnng skulle ju vattenkraften kunna producera hur mycket som helst även vd de tllfällen då det blåser extremt mycket. I modellen beskrvs all elprodukton förutom vattenkraften som gvna tdsserer: W t, t = 1, K,168, representerar den totala vndkraftproduktonen per tmme området och G t, t = 1, K,168, representerar övrga (termska) kraftverk. Det är också nödvändgt att beakta den lokala elförbruknngen det 15
område som studeras. Även denna antas här vara gven som en tdssere, D t, t = 1, K,168. Alltså blr den totala maxmala tllåtna produktonen producerade energn lka med den lokala förbruknngen plus den maxmala exporten tll andra områden. Om den maxmala exporten tll ett angränsande område betecknas P får man följande bvllkor: n Ht, + Wt + Gt Dt + Pn. t, n (28) Eftersom all övrg produkton är gven kända tdsserer behövs nte dessa nkluderas målfunktonen då denna ändå bara varerar med produktonen vattenkraftverken. 2.3 Vdareutvecklng av modellen Grundmodellen ger en bra översktsbld och är snabb att använda. Tar man med fler detaljer ökar beräknngsntensteten vssa fall är skllnaden avsevärd och man bör därför väga fördelarna med en mer detaljerad modell mot ökad beräknngstd. 2.3.1 Förbättrade vattenkraftmodeller Den vktgaste egenskapen för ett vattenkraftverk är att elproduktonen är beroende av tllgången på vatten, vlket sn tur beror på naturlg tllrnnng, vad som händer andra kraftverk uppströms, o.s.v. Dessa egenskaper representeras väl grundmodellen. Det fnns emellertd även andra egenskaper hos vattenkraftverk som kan påverka deras förmåga att ändra elproduktonen tll önskad nvå från tmme tll tmme. I detta avsntt ges några exempel på hur vattenkraftmodellen kan göras mer detaljerad. Förbjudet tappnngsntervall Vd mycket låga tappnngar är verklgheten verknngsgraden väldgt dålg men modellen är verknngsgraden den högsta möjlga för alla tappnngsnvåer under 75% av den maxmala tappnngen. För att beskrva den verklga verknngsgraden blr man tvungen att nföra heltalsvarabler modellen. Som tdgare dskuterats bör sådana undvkas en effektv modell då lösandet blr både tdskrävande och något mer osäkert ju fler heltalsvarabler som fnns. För att mnska antalet utnyttjar v stället det faktum att kraftverken (nära på) aldrg använder dessa låga tappnngsnvåer eftersom man då nte är närheten av att få ut fullt värde för vattnet. Detta nnebär att modellen kan förbjudas att använda detta tappnngsntervall genom att kräva att tappnngen antngen är noll eller över en vss procent av maxmala tappnngen. Ett förbjudet ntervall ger endast en bnär varabel per kraftverk. z t, 0 ngen tappnng, = 1 vd tappnng. (29) 16
Med hjälp av den bnära varabeln nkluderas det förbjudna området modellen med två enkla bvllkor: ( Q, j, t z, t Q,, j, t, t, j (30) Q z Q, (31) där Q ( motsvarar den lägsta tllåtna tappnngen. Dessa bestäms denna modell som en procentsats av den maxmala tappnngen varje kraftverk, exempelvs som 0, 20 Q. I kraftverk med en dom som reglerar mntappnngen kan detta ytterlgare vllkor bl av mycket stor betydelse då nolltappnng nte är möjlg och lägre tappnngar än Q ( alltså förbjuds. För att undvka dessa knappast korrekta effekter ändras ekvatonerna (13) (15) så att även eventuellt spll får adderas tll tappnngen för att nå kravnvåerna. Tll exempel skrvs ekvaton (13) om som Q Q + S., t, t (32) Start och stopp av kraftverk Det är ntressant att studera hur snabba förändrngar som de optmala lösnngarna kräver hos kraftverken. Bland annat vll man undvka att kraftverken startas och stoppas för ofta och snabbt då detta slter hårt på utrustnngen. För att mnska antalet start och stopp kan man nföra en övre gräns för hur många uppstarter som får göras under en vecka. Utför man sedan smulerngar för olka sådana gränser kan man välja den tappnngsplan som ger det bästa förhållandet mellan antalet starter och producerad energ. Ut, K, (33) t, där U t, är 1 om en start sker och annars 0 och K är en konstant. I modellen med den bnära varabeln z t, som ndkerar om kraftverket används kan man enklast beskrva startvarabeln U t, som 1 om zt, > zt, 1, U t, = (34) 0 annars. Detta vllkor är dock redundant, alltså att en varabel är en cke kontnuerlg funkton av (mnst) en annan. Dessutom nnebär (34) att även varablerna U t, är bnära vlket betyder en fördubblng av de bnära varablerna. Förutom en enorm öknng av tden det tar att lösa ett problem så ökar rsken för och effekten av mndre exakta lösnngar. Istället kan man välja att skrva om vllkoren för U t, på ett smartare sätt genom att utnyttja att varablerna z t, redan är bnära och att modellen alltd kommer att välja det lägsta tllåtna värdet på U. t, 17
Ut, z, t zt, 1. (35) Ekvaton (35) kräver att U t, är större än eller lka med 1 om kraftverket startar tmme t, 0 om ngen förändrng skett och -1 om kraftverket slutade tappa tmme t. För att förhndra de negatva värdena för U t, vd ett stopp lägger man tll vllkoret Ut, 0. (36) Detta betyder att värdet av U t, nu är mnst 1 när kraftverk startar och mnst 0 annars. Eftersom det fnns en övre begränsnng för summan av U t, kommer den optmala lösnngen aldrg välja ett värde för U t, som är större än lägsta tllåtna, alltså 0 eller 1. Valet av K är godtycklgt och beror på hur mycket producerad energ man är beredd att offra för några färre starter. Tappnngsändrngar För att mnska förändrngarna tappnngen kan man använda ett straff för dessa. Genom ett tllägg tll målfunktonen som nu ser ut som (37) kommer modellen att undvka lösnngar som ofta ändrar tappnngen kraftverken.. max H C abs( Q Q, 1 ) (37) t, t, t t, t, Det är storleken på en skalfaktor som v kallar C som avgör hur hårt straffet är, ett större C ger mndre svängnngar men på bekostnad av en lägre produkton. Enklaste metoden att bestämma en bra storlek för C är att utföra tester och välja det C som ger mnst svängnngar utan att sänka produktonen för mycket. 2.3.2 Enkel stokastsk modell I grundmodellen representeras vndkraftsproduktonen av en tdssere med vnddata för varje tmme. Om den optmala lösnngen som smulerngen producerar jämförs med en produktonsplan som läggs fram början på veckan motsvarar detta att produktonsplanen läggs med exakt kunskap om hur mycket det kommer att blåsa varje tmme veckan. Detta är förstås en förenklng av de verklga förhållandena. I verklgheten är väder och vnd aldrg fullständgt förutsägbara. Det går endast att ha mer eller mndre tllförltlga prognoser. Ett sätt att uppskatta hur mycket denna förenklng påverkar slutresultatet är genom att utveckla grundmodellen tll en stokastsk modell. För detta nförs ett nytt ndex s som representerar scenaro och denna modell används tre scenarer så s = 1, 2, 3. Vndproduktonen är nu alltså nte bara beroende av tden utan också utav vlket av de tre scenarer som nträffar. De tre scenarerna har sannolkheter p s vlket är lka för samtlga dvs. 1/ 3. I en stokastsk modell kan vllkoret (28) hanteras på två sätt. Ett sätt är att olkheten alltd ska vara uppfylld, oavsett scenaro. Alltså, att produktonen 18
bestäms början av veckan, på så sätt att oavsett vlket scenaro som nträffar är vllkoret uppfyllt för samtlga tmmar veckan. Det nnebär att produktonen varje tmme bestäms utfrån det scenaro för vlket det blåser mest den tmmen. Det andra sättet att hantera vllkoret, det sätt som valdes för denna modell, nnebär att en ny varabel nförs. Varabeln y s används tll att kompensera för överskrdelser av den maxmalt tllåtna elproduktonen. Med den nya kompensatonsvarabeln får man följande bvllkor för tllåten elprodukton: H y + W + G D + P. (38) t, t, ts, ts, t t n n Det här är en varant av en så kallad enkel kompensaton. Nu motsvarar den del av den planerade produktonen som överskrder maxkapacteten varje scenaro. Eftersom detta nte kan dstrbueras eller exporteras är det lka med spll. I praktken nnebär detta att det som bestäms början av veckan denna modell är hur mycket vatten som ska släppas ur varje magasn vd varje tmme. Huruvda detta vatten ska passera turbnen eller spllas kan bestämmas samma ögonblck som det sker. Högerledet (38) representerar den producerade energn, och y s representerar alltså den energ som hade kunnat produceras av det vatten som splls en vss tmme. Det som ska maxmeras är den förväntade produktonen. Den nya målfunktonen blr därför y s. max Ht, psyts, t, ts, (39) 19