8. Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret 8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K G ( s) =, antages K > 0 Ts + A R ( ω) = G( jω) = K + ( ωt ) ϕ( ω) = arg G( jω) = arctan( ωt) Detta kan framställas grafiskt i ett Bodediagram, där det normerade amplitudförhållandet A R / K och fasförskjutningen ritas som funktioner av frekvensen: 0 0 2 AR/K 0 Fasförskjutning (grader) 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 ωt 0 20 40 60 80 00 0 2 0 0 0 0 0 2 ωt 8-6
8. Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret System av andra ordningen Ett system av andra ordningen har överföringsfunktionen Vi har tidigare härlett 2 n Kω G( s) =, antages K > 0 2 s + 2ζω s + ω n 2 n A R = n K 2 2 2 ζω ωn ( ( ω/ ω ) ) + (2 / ) ϕ 2 ζω/ ω n arctan om ω 2 ( ω/ ωn ) = 2 ζω / ω n arctan om 2 ( ω/ ωn ) ω π ω ω n n Vi har också visat att vi vid vinkelfrekvensen ω = ω n 2ζ får en resonanstopp med amplitudförhållandet A R 2 K = 2 2ζ ζ 8-7
0 ζ = 0. 8. Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret 0 0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.7.0 AR/K 2.0 0 0 2 0 0 0 0 0 ω/ω n 20 40 2.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.7.0 ζ = 0. fasförskjutning ( o ) 60 80 00 20 40 60 80 0 0 0 0 ω/ω n 8-8
8. Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret Dödtid För en dödtid L med överföringsfunktionen Gs () = e Ls har vi härlett A R ( ω ) = ϕ( ω) = Lω Vid växande frekvens kommer den negativa fasförskjutningen att öka obegränsat, och desto snabbare ju större dödtiden är. 0 AR 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 ω L 00 fasförskjutning ( o ) 200 300 400 500 600 0 2 0 0 0 0 ω L 8-9
8. Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret Element i serie För seriekopplade system med totala överföringsfunktionen G = G G G 2 n har vi visat att totala amplitudförhållandet och fasförskjutningen ges av A = A A A R R, R,2 R,n ϕ = ϕ + ϕ + + ϕ 2 n Logaritmering av uttrycket för amplitudförhållandet ger log( A ) = log( A ) + log( A ) + + log( A ) R R, R,2 R, n Eftersom amplitudaxeln i Bodediagrammet är logaritmisk, fås totala amplitudförhållandet av ett seriekopplat system genom att helt enkelt addera de enskilda delsystemens logaritmerade amplitudförhållanden i Bodediagrammet. Eftersom fasförskjutningsaxeln är linjär, fås totala fasförskjutningen genom att addera de enskilda delsystemens fasförskjutningar. 8-20
8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3. Bodes stabilitetskriterium r + y m G c G m G v G p y Överföringsfunktionen för den öppna slingan ges av kretsöverföringen G Antag Gm = Gv =, G G k k p G = G G G G k m p v c 0,s e = 0,5s + och Gc = Kc. Då blir 0,s Ke c Kc = = e 0,5s+ 0,5s+ 0,s Vid frekvensen ω = 7 rad/min (antages att dödtiden och tidskonstanten är uttryckta i minuter) fås fasförskjutningen ϕ = arctan(0,5 7) 0, 7 80 = π Den frekvens där kretsöverföringens totala fasförskjutning är 80 kallas för systemets kritiska frekvens ω c. Amplitudförhållandet vid den kritiska frekvensen blir Kc AR(7) = 0,7 K 2 + (0,5 7) Om K c = / 0,7 = 8,56 fås A R (7) =. c 8-2
8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Vi gör följande tankeexperiment: Antag att ledvärdet r = sin( 7t) och kretsen är öppen. Då blir y m = A R (7) sin(7 t π ) = sin(7 t ) efter en stund. Om kretsen då slutes med r = 0, blir G c :s insignal r y m = sin(7 t), dvs samma som tidigare. Kretsen fortsätter m.a.o. att oscillera av sig själv!. Antag att K c > 8,56, dvs A R > vid ω c = 7. Om vi upprepar samma som ovan, blir y m = A R sin(7 t) i öppen krets. y m:s amplitud är då större än r :s amplitud. När kretsen slutes, har insignalen till G c således större amplitud än tidigare, det nya y m blir ännu större, vilket medför exponentiellt ökande oscillationer. Kretsen är instabil! 2. Antag att K c < 8,56, dvs A R < vid ω c = 7. När kretsen slutes fås då exponentiellt avtagande oscillationer. Kretsen är stabil! Bodes stabilitetskriterium: Ett återkopplat system är instabilt om A R > vid den kritiska frekvensen ω c för kretsöverföringen G k ; systemet är stabilt om AR( ω c) <. Märk att det är kretsöverföringen G k för det oreglerade ( öppna ) systemet som undersökes, men det avgör stabiliteten för det återkopplade ( slutna ) systemet med överföringsfunktionen, där G är en godtycklig stabil G + Gk överföringsfunktion. Vid följereglering är G= G. k 8-22
8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Vid kritiska frekvensen gäller som ger (j ) G arg G ( j ω ) = π Gk ω c = och k c jarg G (j ω ) jπ k c (j ω ) = G (j ω ) e = e k c k c = cos( π) jsin( π) = 0j = dvs s = jω är en lösning till karakteristiska ekvationen c + G ( s) = 0. k I praktiken bör följande två steg utföras vid stabilitetstest enligt Bodes stabilitetskriterium:. Bestäm den kritiska frekvensen ω c, d.v.s. den frekvens som kretsöverföringen fasförskjuter med π, dvs 80. 2. Bestäm kretsöverföringens amplitudförhållande vid den kritiska frekvensen ( = AR( ωc)). Om A R ( ω c ) <, är den slutna kretsen stabil, annars instabil. Dessa två steg kan i sin tur utföras på tre olika sätt:. Grafiskt genom att rita ett Bode-diagram för kretsöverföringen. Den kritiska frekvensen ω c kan utläsas ur fasdiagrammet, och amplitudförhållandet AR( ω c) vid ω c ur amplituddiagrammet. 2. Numeriskt, genom att lösa ekvationen π = ϕ k ( ω), där ϕ k ( ω ) är kretsöverföringens fasförskjutning. Lösningen är ω = ω c. Därefter beräknas AR( ω c) enligt kända formler. 3. Genom simulering av det återkopplade systemet med en P- regulator på samma sätt som K c,max och ω c bestämdes experimentellt i avsn. 7.4.. Eftersom Kc,max AR ( ωc) =, A ( ω ) = / K. fås R c c,max 8-23
8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Övning 8.3 Bestäm kritiska frekvensen och amplitudförhållandet vid densamma för ett system med kretsöverföringen Gk() s = G() s G2() s G3() s G4() s där 4s,5 G() s = e, G2() s = 2s +, G 2 0,8 3() s =, G4() s = 0s+ 5s+ Grafisk lösning med Bodediagram 0 0 0 G G L k 0 0 2 0 2 0 0 0 ω ω 0 00 argg k G L 200 300 400 500 0 2 0 0 0 ω ω 8-24
8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Övning 8.4 En process som kan modelleras som en ren dödtid regleras med en P-regulator. Reglerventilen och mätinstrumentet har försumbar dynamik och deras förstärkningar är K v = 0,5 och K m = 0,8. När en liten förändring av ledvärdet görs uppstår svängningar med en konstant amplitud och perioden 0 minuter. a) Vilken är regulatorns förstärkning? b) Hur stor är dödtiden? 8.3.2 Nyquists stabilitetskriterium I ett Nyquistdiagram uppritas realdelen av G k, Re Gk (j ω ), som funktion av imaginärdelen av G k, Im Gk ( j ω ). Den kurva som uppstår kallas Nyquistkurva. Vi börjar med den enklaste varianten av Nyquistkriteriet, som är helt ekvivalent med Bodes stabilitetskriterium. Det förenklade Nyquist-kriteriet: Om kretsöverföringen G k inte har poler i högra halvplanet (dvs är stabilt, ev. med integrator) är det återkopplade systemet stabilt om Nyquistkurvan ( ω = 0 ) för G k skär negativa realaxeln till höger om punkten (-,0), annars är det återkopplade systemet instabilt. 8-25
8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Exempel 8.2. Nyquistkurvorna för systemet i Övning 8.3, med K c =,, 49 och 2, visas i figuren. 0.5 ImG k 0 0.5 Imag(G L (jω)).5 2 2.5 K c =, stabilt K c =.49, på gränsen 3 K c =2, instabilt 3.5 4 2 0 2 3 4 5 Real(G L (jω)) ReG k Övning 8.5 Undersök stabilitet vid P-reglering av en dödtid. Kretsöverföringen är K. c e Ls a) Hur ser Nyquistkurvan ut? b) Vilket blir stabilitetsintervallet för K c? 8-26
8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3.3 Stabilitetsmarginaler Förstärkningsmarginal Förstärkningsmarginalen (amplitudmarginalen) A m säger med vilken faktor kretsförstärkningen kan öka utan att den slutna kretsen blir instabil. Matematiskt ges förstärkningsmarginalen av Am = AR( ωc) där A R är amplitudförhållandet för kretsöverföringen. För stabilitet krävs att A m >. Förstärkningsmarginalen ger robusthet inte bara mot variationer i processförstärkningen, utan även mot variationer i andra processparametrar (dvs modellfel i allmänhet). Exempel 8.3. I början av avsnitt 8.3 studerade vi kretsöverföringen Gk =. Bestäm en P-regulator som har för- 0,s Ke c 0,5s + stärkningsmarginalen A m =, 7. Är den slutna kretsen fortfarande stabil om dödtiden i stället för 0, är 0,5 minuter? Från tidigare har vi ω c = 7 rad/min, AR( ω c) = 0,7Kc. Vi kräver A ( ω ) = A = /,7 som ger K c = 5. R c m För att kontrollera om den slutna kretsen är stabil med K c = 5 om dödtiden L = 0,5 min, kan vi upprita ett Bodediagram för G k med dessa parametrar. Från diagrammet kan vi på samma sätt som i övning 8.3 avläsa kritiska frekvensen ω c och amplitudförhållandet AR( ω c). Om AR( ω c) <, är systemet stabilt. 8-27
8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Ett annat sätt är att beräkna ω c och AR( ω c) numeriskt. För ett första ordningens system med tidskonstanten T och dödtiden L finner vi ω c genom att lösa ekvationen π = Lω arctan( Tω ) dvs här (efter teckenbyte) π = 0,5ω + arctan(0,5 ω ) c c Vi finner snabbt lösningen iterativt med direkt substitution från sambandet ω = [ π arctan(0,5 ω )] / 0,5 Lösningen är ω c =,6 rad/min. c Ett första ordningens system med förstärkningen K och tidskonstanten T (dödtiden påverkar inte) har amplitudförhållandet K AR ( ω) = 2 + ( Tω) T = 0,5, K = Kc = 5 och ω = ωc =,6 ger AR( ωc) 0,85<, vilket betyder att systemet fortfarande är stabilt om dödtiden förändras från L = 0, till L = 0,5 min. c c c 8-28
8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Fasmarginal Fasmarginalen ϕ m anger hur mycket mer negativ fasförskjutningen kunde vara vid den frekvens där kretsöverföringen har förstärkningen utan att den slutna kretsen blir instabil. Fasmarginalen ger robusthet inte bara mot variationer i processens fasförskjutning, utan även mot variationer i andra processparametrar (dvs modellfel i allmänhet) Bodes stabilitetskriterium säger att AR( ω c) <, dvs om vi vid en frekvens ω g har AR( ω g) =, så kräver stabilitet att vi vid denna frekvens har en mindre negativ fasförskjutning än 80. Frekvensen ω g kallas (amplitudkurvans) överkorsningsfrekvens. Matematiskt definieras fasmarginalen (här uttryckt i radianer) ϕm = ϕω ( g) + π, där ω g ges av AR( ω g) =. För stabilitet krävs att ϕ m > 0. ϕ( ω g) och AR( ω g) skall givetvis beräknas för kretsöverföringen. Exempel 8.4. Bestäm den P-regulator, för samma krets som i exempel 8.3, som har ϕ m = 30. Är den slutna kretsen fortfarande stabil om dödtiden i stället för 0, är 0,5 minuter? Vi söker först ω g så att ϕ( ωg ) = ϕm 80 = 50 = 5 π /6. För att finna lösningen, kan vi rita ett Bodediagram för processens överföringsfunktion G p (dvs G k med K c = ). Vi finner då ω g vid den frekvens där faskurvan skär 50. Det skall gälla att KcAR( ω g) =, där AR( ω g) är amplitudförhållandet för G p vid ω = ωg, som kan avläsas ur Bodediagrammet. Vi får då Kc = / AR( ωg). 8-29
8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Förstärkningen påverkar inte fasförskjutningen. Precis som i exempel 8.3, är kritiska frekvensen för L = 0,5 min ω c =,6 rad/min. Vi kan avläsa AR( ω c) från Bodediagrammet för G p. A ( ω ) > / K, är systemet instabilt då L = 0,5. Om R c c Vi kan också göra beräkningarna rent numeriskt. Frekvensen ω g kan lösas ur 5 π / 6 = 0,ωg + arctan(0,5 ωg) Iterativ lösning genom direkt substitution från sambandet ω = [5 π / 6 arctan(0,5 ω )] / 0, g ger snabbt lösningen ω g = 2, rad/min. AR( ω g) = motsvarar Kc A R (2,) = = 2 + (0,5 2,) som har lösningen K c = 6,4. Om dödtiden L = 0,5 min, är som ovan konstaterats ω c =,6 rad/min. Vi får då 6,4 AR( ω c) = AR(, 6) =, 04 > 2 + (0,5,6) vilket betyder att processen är instabil om L = 0,5 min då K c = 6,4. g 8-30
8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Exempel 8.5. Förstärknings- och fasmarginaler kan enkelt avläsas ur ett Bodediagram då regulatorn är given. För kretsöverföringen Gk = 0,s Ke c 0,5s + med K c = 5 fås Bodediagrammet nedan med angivna förstärknings- och fasmarginaler. 0 Gk G L 0 0 ω g /A m argg k G L 0 00 0 0 0 0 0 2 ω 0 50 ω 50 fasmarginal 200 0 0 0 0 ω 0 2 c ω 8-3
8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3.4 Numerisk lösning av frekvenssamband I exempel 8.3 och 8.4 löstes fasekvationen m.a.p. frekvensen med en enkel numerisk iterationsmetod. Metoden förutsätter att systemet har en dödtid. Så är dock inte alltid fallet, men även om det finns en dödtid fungerar den enkla metoden inte alltid. Vi skall här ta fram en bättre metod för lösning av frekvensen både ur fasekvationen och amplitudekvationen för ett n :te ordningens system med eller utan dödtid. Fasekvationen Vi utgår från en allmän överföringsfunktion Gs () K e Ls = ( n ) ( N ) Ts Tns T + s + T s + + + där systemets poler och nollställen behöver inte vara reella, trots att vi använder denna form. Fasekvationen för detta system har formen ϕ = Lω arctan( Tω) + arctan( Tω) r n N i i= i= n+ där ϕ r är fasförskjutningen uttryck i radianer/tidsenhet. Om vi önskar lösa ut kritiska frekvensen ω = ωc, är ϕr = π överkorsningsfrekvensen ω = ωg, är ϕr = π + ϕm, där ϕ m är fasmarginalen uttryckt i radianer/tidsenhet Vi definierar f ( ω) = ϕ Lω arctan( Tω) + arctan( Tω) r n N i i= i= n+ vilket innebär att vi vill lösa ekvationen f ( ω ) = 0. En iterativ lösning enligt formeln ωk+ = ωk + α f ( ωk) i i 8-32
8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system konvergerar då om α väljes så att 2 < α f ( ω ) < 0, där k n N k i i L 2 2 k i= + Ti k i= n+ + Ti k d f( ω ) T T f ( ωk ) = + dω ( ω ) ( ω ) Av problemets natur följer att f ( ω) > 0 i närheten av lösningen till f ( ω ) = 0. Om vi som startlösning gissar ett ω 0 sådant att f ( ω ) > 0, kan vi på goda grunder välja 0 α = f ( ω ) Enklast är att starta iterationen från ω 0 = 0 om f (0) > 0. Vi fördubblar dock α :s värde och väljer n N α = 2 L+ Ti Ti i= i= n+ Det finns dock ingen garanti för att detta ger snabb konvergens. Man kan försöka förbättra konvergensen genom att t.ex. fördubbla α :s värde dock med risk för att det börjar divergera. Om systemet har komplexa poler eller nollställen uppträder dessa alltid som komplexkonjugerade sådana. Vi har då också i uttrycken ovan två komplexkonjugerade tidskonstanter T j och T j +, som satisfierar uttrycket 0 2 2 2 j+ ζωn ωn ωn ( Ts+ )( T s+ ) = ( s + 2 s+ )/ j där ζ och ω n är de två polernas/nollställenas relativa dämpning respektive naturliga egenfrekvens. Vi har Tj + Tj+ = 2 ζ / ωn och 2ζωnω arctan( Tjω) + arctan( Tj+ ω) = arctan 2 2 ωn ω som kan substitueras i uttrycken ovan. 8-33
8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Amplitudekvationen Om vi vill bestämma systemets fasmarginal med en given regulator behöver vi överkorsningsfrekvensen ω g, som satisfierar ekvationen Gk( ω g) =, där G k är kretsöverföringen, dvs det oreglerade systemet kopplat i serie med regulatorn. Ofta är regulatorn i detta skeda en P-regulator, men vi skall här också beakta att vi kan ha en regulator med integrerande verkan. Vi skriver kretsöverföringen i formen G () s = G () s G() s k där Gs ( ) har samma allmänna form som för fasekvationen. Om det finns en regulator med integrationstiden T i > 0 är GI() s = / Ts i, annars är GI () s =. Resten av regulatorns överföringsfunktion ingår i Gs. ( ) Amplitud- (eller förstärknings- eller belopps-) kurvan är Gk(j ω) = GI(j ω) G(j ω) där G (j ω) = / Tω Vi definierar G(j ω) = K I I n+ i 2 2 TNω 2 2 Tnω [ + ( T ω) ] [ + ( ) ] [ + ( Tω) ] [ + ( ) ] g( ω) = G(j ω) G (j ω) vilket innebär att vi vill lösa ekvationen g( ω ) = 0 för att finna lösningen till Gk( ω g) =. En iterativ lösning enligt formeln ωk+ = ωk + βg( ωk) konvergerar då om β väljes så att 2 < β g ( ωk ) < 0. Här är g (0) = 0 då G I () s =, vilket innebär att β = g ( ω0) är ett olämpligt val om man har för avsikt att starta iterationen från ω 0 = 0. Ett bättre startvärde torde ω0 = ωc vara, som ofta är I 8-34
8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system känd, eller kan beräknas, när man vill beräkna ω g. Här föreslås dock n N β = 2 T0 + Ti { T Ti, i om I-verkan T 0 = i= i= n+ 0 annars dvs samma typ av val som vid lösning av fasekvationen. Märk att det finns en tidskonstant Ti = T0, i> n, om regulatorn är en PI- eller PID-regulator, vilket innebär att T 0 då i själva verket förkortas bort från β. Precis som ovan torde detta garantera konvergens om systemet inte har mycket speciella egenskaper, men snabb konvergens kan inte garanteras. Man har full frihet att t.ex. fördubbla β för att förbättra konvergensen. Liksom i fallet med fasekvationen, utgör komplexa poler eller nollställen inget problem. Ifall T j och T j + är komplexkonjugerade, vet vi redan hur summan Tj + T j + beräknas i uttrycket för β. I uttrycket för G(j ω ) fås 2 2 2 2 2 2ζ 2 2ζ 4 Tj+ 2 2 ωn ωn [ + ( Tjω) ][ + ( ω) ] = + 2 ω + ω Övning 8.6 Bestäm K c,max för nedanstående system med frekvensanalys. r G c G v G p y G m G =, G =, G =, G = K 5s+ 2s+ s+ p v m c c 8-35
8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet I detta avsnitt skall vi visa hur PI-, PD- och PID-regulatorer kan dimensioneras så att givna frekvensplansbaserade stabilitets- och prestandakriterier uppfylls. De använda stabilitetskriterierna är förstärkningsmarginalen A m och fasmarginalen ϕ m. För väl inställda regulatorer gäller ofta A m 2 och ϕm 45 Överkorsningsfrekvensen ω g är ett prestandarelaterat mått ju högre överkorsningsfrekvens, desto snabbare reglering. Ofta anses att ωg 0,3ωc, där ω c är kritiska frekvensen när systemet regleras med en P-regulator, är ett bra värde. 8.4. Dimensionering av PI-regulatorer Överföringsfunktionen för en PI-regulator är + Ts i GPI() s = Kc + = Kc Ts i Ts i Integrationstiden Ti 5/ ωg är ofta ett lämpligt val för en PIregulator. Som Bodediagrammet för PI-regulatorn visar (på nästa sida), ger detta ca 0 fasförskjutning vid frekvensen ω = ω g. (Ekvation (8.28) ger det exaktare värdet,3º.) Man kan utnyttja detta för att t.ex. dimensionera en PI-regulator så att det reglerade systemet får en önskad fasmarginal ϕ. Tillvägagångssättet är följande: m. Beräkna ω g som den frekvens där fasmarginalen är ϕ m + ca. 0 extra som integreringen kommer att bidra med. 2. Bestäm regulatorförstärkningen K c så att AR( ω g) =. 3. Integrationstiden är Ti = 5/ ωg. 8-36
8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Bode-diagrammet för en PI-regulator: G lag 0 2 GPI K c 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 ωt i ω/t i argg PI 0 20 G lag 40 60 80 00 0 2 0 0 0 0 0 2 ω/t i ωt i Exempel 8.7. Designa en PI-regulator för systemet som beskrivs av överföringsfunktionen s e Gs () = 0s + som ger a) ϕ m = 30 b) ϕ m = 60. Beräkna även regulatorinställningar enligt några metoder i avsnitt 7.4 och 7.5. 8-37
8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet a) ϕ m = 30 innebär att vi skall beräkna ω g för fasförskjutningen ϕ = 80 + 30 + 0 = 40 = 7 π / 9. Enligt den iterativa lösningsmetoden har vi f ( ω) = 7 π / 9 ω arctan(0 ω) och α = 2 / ( + 0) 0,2. Lösning enligt ωk+ = ωk + α f ( ωk) med startlösningen ω 0 = 0 ger efter ganska många iterationer ω g = 0,975. Konvergensen är långsam, men man kan på vägen göra bättre gissningar av ω k när man ser ungefär vart man är på väg. Regulatorförstärkningen K c fås enligt sambandet 2 c r g g K = A ( ω ) = + (0 ω ) 9,8 och integrationstiden T i enligt T = 5/ ω 5,3 b) Löses på analogt sätt. Resultaten finns sammanställda i tabellen. 30 Z-N ITAE konst. i g CHR 0% konst. CHR 20% konst. K c 9,80 9,00 8,5 6,00 7,0 T i 5,3 3,33 3,0 4,00 2,30 60 ITAE följe CHR 0% följe CHR 20% följe K c 5,43 4,83 3,50 6,00 T i 9,36 9,87 2,0 0,0 8-38
8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet.8.6.4.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 20 Figur: Stegsvar med PI-regulatorer med a) ϕ m = 30 (heldragen), b) ϕ m = 60 (streckad). Vi kan även testa approximativa samband:, 4 6 stigtiden t s och insvängningstiden t 5% ω g ωgtan( ϕm). a) Formel: t s, 4 ; t 5% 0,7 Ur figur: t s 2,9 2, = 0,8; t 5%,5 = 0,5 b) Formel: t s 2,6; t 5% 6,5 Ur figur: t s 3,6 2,2 =, 4 ; t 5% 6,2 = 5,2 8-39
8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Det är enkelt att göra PI-regulatordimensionering med hjälp av ett Bodediagram. För systemet i exempel 8.7 fås: G 0 0 G 0 argg G 0 2 50 00 50 0 2 0 0 0 0 0 200 0 2 0 0 0 0 Man kan även kontrollera den erhållna slutna kretsen genom att rita Bodediagram för kretsöverföringen Gk = GPIG: G k G L 0 4 0 2 0 0 argg k G L 0 2 50 00 50 0 2 0 0 0 0 0 200 0 2 0 0 0 0 8-40
8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet 8.4.2 Dimensionering av PD-regulatorer En realiserbar PD-regulator med ett lågpassfilter har överföringsfunktionen GPDf () s = Kc ( + Td s) + Ts f PD-regulator lågpassfilter PDf-regulatorns fasförskjutning ges av ( Td Tf) ω arg GPDf (j ω) = arctan( Tdω) arctan( Tf ω) = arctan 2 + TT d fω Detta ger en positiv fasförskjutning då T d > T f. Man kan visa att maximal fasförskjutning fås vid frekvensen ω = ω, där ω max = ( TT) d f Den maximala fasförskjutningen är ϕ /2 T T = d f max arctan 2( /2 TT d f ) PDf-regulatorns amplitudförhållande är 2 + ( Tdω ) PDf ω = Kc 2 + ( Tf ω) G (j ) Vid ω = 0 (dvs stationärtillstånd) är GPDf (0) = Kc och när ω, GPDf (j ω) Kc Td / Tf. Vid frekvensen ω max fås G (j ω ) = K ( T / T ) PDf max c d f Med parameterdefinitionen b= Td / Tf fås ω = b / T, ϕ max = arctan[( b ) / (2 b)] max d GPDf (j ω max ) = b Kc, GPDf (j ) = b Kc /2 max 8-4
8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Bodediagrammet för PDf-regulatorn: GPDf G lead K c b b / b b T /T d b/t d b/t d d argg G lead PDf ϕ max G lead,max 0 o ω Dimensioneringen av en PDf-regulator utgår ifrån att man önskar en given överkorsningsfrekvens ω g och en given fasmarginal ϕ m. Man vill med andra ord kombinera prestanda och robusthet. Det blir aktuellt att använda en PDf-regulator om det visar sig att önskad fasmarginal inte uppnås vid den önskade överkorsningsfrekvensen med en P- eller PI-regulator. I denna situation vet man hur stort faslyft som behövs för att nå den önskade fasmarginalen. Idén är att placera PDf-regulatorns maximala faslyft, lika med det behövliga faslyftet, vid frekvensen ω g. 8-42
8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet För att göra detta, behöver man bl.a. bestämma parametern b utgående från ett önskat faslyft ϕ max. Ett sätt att uttrycka formeln som kan härledas är + sinϕmax b =, 0 ϕmax < 90 sinϕ max Sambandet finns också uppritat i nedanstående figur. 70 60 50 G lead,max ϕ max 40 30 20 0 0 0 5 0 5 20 25 b Dimensioneringen går till på följande sätt:. Kontrollera utgående från det oreglerade systemet G (dvs G k utan regulator) om önskad fasmarginal uppnås vid överkorsningsfrekvensen ω g. 2. Om inte, beräknas behövligt faslyft enligt ϕ = ϕ arg G( j ω ) π max m g 3. Parametern b beräknas eller avläses från figuren ovan. 8-43
8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet 4. Deriveringstiden Td = b / ωg beräknas. 5. Filtertidkonstanten T f = T d / b beräknas. 6. Regulatorförstärkningen Kc = sgn G(0) / ( b G(j ωg) ) beräknas. Det bör noteras att ovannämnda förfarande inte garanterar att designspecifikationerna nås exakt, eftersom PDf-regulatorn kommer att påverka den kritiska frekvensen ω c för kretsöverföringen Gk(j ω) = G(j ω) GPDf(j ω). Fasmarginalen för G k (j ω ) bör därför kontrolleras. Om det visar sig att den inte är tillräcklig, höjs ϕ max ytterligare och designen upprepas. Ytterligare bör noteras att stora värden på parametern b ger kraftig derivering. Detta medför bl.a. stora variationer i styrsignalen, vilket normalt inte är önskvärt. För robusthet räcker det inte att fasmarginalen är tillräcklig även förstärkningsmarginalen bör vara tillräcklig. Exempel 8.8. Designa en filtrerande PD-regulator för systemet som beskrivs av överföringsfunktionen s e Gs () = 0s + så att fasmarginalen ϕ m = 60 erhålles vid överkorsningsfrekvensen ω g = rad/tidsenhet. Vi har ϕω ( g) = ωg arctan(0 ωg) = 2, 47 = 42, men eftersom vi önskar ϕω ( ) = 20, skall fasen höjas med 22. g Vi väljer ϕ max = 25 för att ha litet extra marginal. Detta kräver b = 2,5, som ger T d =, 6 och T f = 0,63. Slutligen fås K c = + (0 ω ) / b = 6,3. g 2 8-44
8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet 8.4.3 Dimensionering av PID-regulatorer Även om vi med en PD regulator kan erhålla snabbhet ( högt ω g i jämförelse med ω c) och önskad fasmarginal ( ϕ m ), kommer vi att få regleravvikelse då integrerande verkan saknas. Det är därför ändamålsenligt att inkludera också integrerande verkan. Enklast görs detta med serieformen av en PIDregulator, dvs en regulator där PI-delen och PD-delen seriekopplas som i blockschemat nedan. Dessa kan dimensioneras enligt principerna i de två föregående avsnittet. r G G u y + - PD PI G p Serieformen av PID-regulatorn med ett filter på derivatadelen har överföringsfunktionen + Ts i ( + Ts d ) GPIPDf () s = GPI() s GPDf () s = Kc Ts i + Tfs Dess amplitudkurva ges av och faskurvan av 2 2 + Tiω + Tdω PIPDf ω = Kc 2 + ( Tf ω) G (j ) [ ( ) ][ ( ) ] PIPDf = i d + f arg G (j ω) arctan[( Tω) ] arctan( T ω) arctan( Tω) Följande figur visar amplitudkurvans principiella ( asymptotiska ) utseende. 8-45
8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Amplitudkurvan för serieformen av en PID-regulator med derivatafilter: GPIPDf K c G PID b b K c K c / b /T i =0.2ω g /T d b/t d =ω g b/t d b = ωg T d Vi kan dimensionera PID-regulatorn enligt följande principer utgående från en önskad överkorsningsfrekvens ω g och fasmarginal ϕ m :. Beräkna integrationstiden enligt Ti = 5/ ωg. 2. Beräkna fasförskjutningen ϕ( ωg) = arg G( j ω) + arg GPI( j ω) eller uppskatta den enligt ϕ( ωg) arg G(j ω) + π /8, där G är det oreglerade systemets överföringsfunktion. 3. Beräkna behövligt faslyft enligt ϕmax = ϕm arg G( j ωg ) π. 4. Beräkna deriveringstiden Td = b / ωg. 5. Beräkna filtertidkonstanten T f = T d / b. 6. Beräkna Kc = sgn G(0) / ( b GPI(j ωg) G(j ωg) ). 8-46
8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet PIPDf-regulatorn kan också representeras på standardformen av en PID-regulator med filtrerad D-verkan, dvs τ ds GPIDf () s = κ + + τis + τfs Omräkningssambanden är τi TT i d τ = T + T T, κ = K, τ = T, τ = T T τ i i d f d f f f i i Exempel 8.8. En process har överföringsfunktionen 3 Gs () = 4/( + s). Bestäm en PID-regulator som ger ω g = 2 rad/s och fasmarginalen 35. 0 4 De olika stegen i ett Bodediagram: 0 2 0 0 0 2 0 4 0 6 0 2 0 0 0 0 0 2 0 50 00 50 200 250 300 0 2 0 0 0 0 0 2 8-47