Linjär algebra. Kompletterande kompendium. Ulf Janfalk Matematiska institutionen Linköpings universitet

Linjär algebra Kompletterande kompendium Ulf Janfalk Matematiska institutionen Linköpings uniersitet

Innehåll Analytisk geometri i planet och rummet. Vektorer......................................... Multiplikation a ektor med reellt tal och ektoraddition........ Bas och koordinater................................ 5. Ortsektorer, punkter och koordinatsystem....................4 Skalär- och ektorprodukt..............................4. Skalärprodukt................................ 4.4. Ortogonal projektion............................ 5.4. Vektorprodukt............................... 0.5 ON-baser och beräkning a skalär- och ektorprodukt..............6 Area och olym................................... 7.7 Linjer och plan................................... 9.7. Linjer.................................... 9.7. Linjer i planet................................7. Plan..................................... 5

Kapitel Analytisk geometri i planet och rummet Det från författarens syninkel såraste med att skria ett kapitel som detta är att komma igång. Hur skall man börja? Hur grundligt skall de inledande begreppen beskrias och definieras? Hur mycket hänsyn skall tas till läsarens geometriska intuition, eller brist på densamma, i de grundläggande definitionerna? Vissa grundläggande geometriska egenskaper kommer att tas för gina, t ex att i kan mäta längden a sträckan mellan tå punkter samt inkeln mellan tå sträckor, d s sådana saker som du skulle acceptera utan inändning om inte jag hade börjat skria om dem. Några geometriska objekt tas också för gina, exempelis kommer linjer i planet/rummet och plan i rummet inte att definieras strikt. I dessa fall litar i till intuitionen. Vad menas då med planet respektie rummet. Dessa kommer ej att definieras strikt i matematisk mening. Tänk på planet som bestående a alla punkter som ligger i en obegränsad plan yta och att denna plana yta är det enda som finns! Någon höjd oanför denna plana yta finns inte då i diskuterar plana problem. Äen rummet skall ses som en obegränsad punktmängd. Tänk på din omgiande erklighet. Det isar sig olämpligt att försöka definiera räknesätt för punkter. Vad skulle man i så fall mena med att tå punkter adderas? Vilken punkt skulle ara nollpunkt? Vi skall istället räkna med objekt som har riktning och längd, så kallade ektorer. Dessa behös i de flesta tillämpningar. Exempelis är kraft, hastighet, acceleration, elektriska fält, etc... begrepp som behöer både storlek och riktning för att kunna beskrias ordentligt.. Vektorer Vad är då en ektor? Låt P och Q ara tå punkter i planet eller rummet. Sträckan mellan P och Q, riktad från P mot Q betecknas P Q och representeras med en pil utgående från P och med spetsen i Q (se figur.(a) nedan). Tag en tredje punkt P och låt pilen som representerar P Q glida längs linjen genom P och P utan att ändra på are sig pilens längd eller riktning. Pilen utgår nu från P och slutar i Q (se figur.(b)) och representerar nu istället den riktade sträckan P Q. Vi anänder alltså samma pil att representera tå olika riktade sträckor. Vi kan därmed se sträckorna P Q och P Q ekialenta i den meningen att de representeras a samma pil. Det är denna egenskap i tar fasta på id nedanstående definition a begreppet ektor.

KAPITEL. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET (a) Q P Q (b) Q P Q Q P Q P P P Figur.: (a) Riktade sträckan från P till Q. (b) Parallellförflyttning a pilen mellan P och Q. Vi kommer också att behöa en ektornolla. För att kunna definiera en sådan kan i tänka på en sträcka som börjar och slutar i samma punkt, P P, kallad nollsträcka. En sådan har längd 0 och obestämd riktning. För de kommande definitionerna spelar det mestadels inte någon roll om i är i planet eller rummet. I fortsättningen påpekas detta endast då det är a betydelse för sammanhanget. Definition.. Nollektorn definieras som mängden a alla nollsträckor. En (nollskild) ektor är mängden a alla riktade sträckor med samma (nollskilda) längd och riktning. Med längden a en ektor menas längden a ett a dess element. De riktade sträckorna P Q och P Q oan är alltså element i samma ektor. Figur.: Riktade sträckor tillhörande samma ektor. Ur tidigare resonemang framgår också att man med fördel kan tänka på ektorn som själa pilen, d s som en riktad sträcka som får parallellförflyttas (figur.). Vi kommer att anända tå typer a beteckningar för ektorer: (a) små latinska bokstäer i fetstil, t ex u, kommer att ara den anligast förekommande, (b) den tidigare beteckningen för riktad sträcka, t ex P Q.

.. VEKTORER I issa situationer är det mer praktiskt att utnyttja ett isst element i ektorn u, en representant för u. Det är i sådana lägen i anänder skrisättet i (b). Obserera att P Q, formellt sett, inte är en ektor (se definition..), den är ju en specifik riktad sträcka. Detta bör dock inte ålla några problem. Enda skillnaden mellan P Q och den ektor den är representant för är ju att P Q inte får parallellförflyttas. Det är ju också denna egenskap som gör att i anänder oss a beteckningen P Q. Vi kommer därför att tillåta oss att skria ektorn P Q och med detta mena den ektor som har P Q som representant. Längden eller (absolut)beloppet a u skris u i analogi med den geometriska tolkningen a absolutbeloppet a ett reellt tal. Vi skall nu införa räkneoperationer på mängden a ektorer i planet/rummet... Multiplikation a ektor med reellt tal och ektoraddition. Definition.. Låt u ara en ektor och λ ett reellt tal. Vi definierar först 0u = 0 och λ0 = 0. För λ 0 och u 0 definierar i ektorn λu att ara den ektor för ilket följande gäller: (a) längden a λu är λu = λ u, (b) (i) om λ > 0 så har u och λu samma riktning, (ii) om λ < 0 så har u och λu motsatt riktning. u u u u u Figur.: Multiplikation med tal påerkar alltså endast längden och pilspetsens placering. A notationstekniska skäl sätter i ( )u = u. I grundläggande euklidisk plangeometri är parallellitet en egenskap hos linjer; tå linjer i planet är parallella om de aldrig skär arann. Vi öerför detta till ektorer enligt följande: låt u och ara tå ektorer skilda från 0. Tänk dig att du utsträcker ar och en a dem till en linje. Det blir då rimligt att säga att u och är parallella om de tå linjerna är parallella. Vi formaliserar detta med hjälp a multiplikation med tal. Definition.. Tå nollskilda ektorer u och är parallella om det finns ett tal λ R så att = λu. Den oanstående liknelsen stämmer äl in i denna definition. Då 0 inte täcks a definition.. och då 0 = 0u oasett ilken ektor u som anänds har i som konention att 0 är parallell med alla ektorer. Vidare är alla ektorerna i figur. parallella. Vi öergår nu till addition a tå ektorer. Definition..4 Låt u och ara tå ektorer och låt AB ara en representant för u och BC en representant för. Vektorn u+, summan a u och, är den ektor som har sträckan AC som representant.

4 KAPITEL. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET Lite förenklat kan man säga att u + är den ektor som fås då man placerar (representanter för) u och spets mot ända och förbinder ledig ända med ledig spets, spetsen på u + hamnar id den lediga spetsen. C u + A u B Figur.4: Vektoraddition Som en omedelbar konsekens a definitionerna oan får i ett antal räknelagar. Sats..5 Låt u, och w ara ektorer och låt λ och µ ara reella tal. Då gäller: ADD. u + = + u ADD. u + ( + w) = (u + ) + w (Kommutatia lagen) (Associatia lagen) ADD. u + 0 = u ADD 4. u + = 0 = u MULT. u = u MULT. λ(µu) = (λµ)u MULT. (λ + µ)u = λu + µu MULT 4. λ(u + ) = λu + λ (Distributi lag) (Distributi lag) Beis: Reglerna ADD, ADD 4, MULT, MULT och MULT följer direkt ur respektie definitioner. Om någon a de inblandade ektorerna är 0 så blir alla räknereglerna triiala. Vi antar därför att samtliga inblandade ektorer är 0. Nedanstående figurer torde förklara ADD och ADD då de angina additionerna i respektie figur resulterar i samma ektor. u b w a + w u + u Figur.5: a = u + = + u u Figur.6: b = (u + ) + w = u + ( + w) Figur.6 fungerar både i planet och rummet. I rumsfallet kan du tänka dig att u pekar ut ur medan pekar in i papperets plan och w ligger i det.

.. BAS OCH KOORDINATER 5 Återstår att isa MULT 4. Studera figur.7 och.8 nedan. Hur ser man att figur.8 är felaktig? u + λ(u + ) λ FEL!! u + λ(u + ) λ u λu Figur.7: λ(u + ) = λu + λ u λu Figur.8: λu + λ Vi skall isa det genom att utnyttja likformiga trianglar. Låt u och respektie λu och λ ara sidor i ar sin triangel. Då u och λu respektie och λ är parallella och λu λ = λ u λ = u följer det att trianglarna är likformiga. Följaktligen är de återstående kantektorerna, u + och λu + λ, parallella, d s λu + λ = k(u + ). Likformigheten ger att k = λ så att λu + λ = λ(u + ). Figur.8 är alltså felaktig. Figur.9 illustrerar konstruktionen a differensen u som summan u + ( ). Differensektorn u täpper till luckan mellan spetsarna på u och. Var spetsen hamnar framgår a figur.0. u + ( ) u u u = + (u ) u Figur.9: Konstruktion a u = u + ( ) Figur.0: u. Bas och koordinater Det säger sig själ att i måste hitta på ett sätt att representera ektorer för att kunna räkna med dem i praktiska sammanhang. Ett sätt är att älja ut ett fåtal ektorer och sedan försöka uttrycka alla andra med hjälp a den utalda skaran. Om u, u, u är de utalda och en ektor, hitta tal x, x, x så att = x u + x u + x u. Ett uttryck a formen x u + x u + x u kallas en linjärkombination a u, u och u. Vi har härmed indirekt ställt ett antal frågor som måste besaras:

6 KAPITEL. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET I. Går det att uttrycka alla ektorer i planet respektie rummet som linjärkombinationer a ett fåtal gina? Om saret på fråga I är ja: II. Vad måste i ställa för kra på de utalda för att det skall gå? III. Vad måste i ställa för kra på de utalda för att det skall gå att göra detta på precis ett sätt? u P O u Figur.: = + = x u + x u Vi behandlar fråga I och II samtidigt och börjar med planet. Klart är att i måste älja minst tå ektorer som inte är parallella. Låt u och u ara tå sådana icke-parallella ektorer och låt ara ilken som helst ektor i planet. Placera dessa tre ektorer ända mot ända i någon punkt O i planet (se figur.). Drag en linje genom spetsen på parallell med u och en linje genom u, d s genom O och parallell med u. Då u och u inte är parallella följer att linjerna skär arann i en punkt P. Låt ara ektorn från O till P och ektorn från P till spetsen på. Härmed fås att kan skrias = + där är parallell med u och med u (se figur.). Därmed finns, enligt definition a parallellitet, tal x och x så att = x u och = x u, d s = x u + x u. Det räcker alltså med tå icke-parallella ektorer för att arje annan ektor i planet skall kunna skrias som linjärkombination a dessa. Öer till rumsfallet. Lägg tå pennor på golet och låt dessa representera tå icke-parallella ektorer i rummet. Enligt ad som isats oan kan alla ektorer (som har representanter) som kan läggas på golet skrias som linjärkombinationer a dessa tå. När i säger att en ektor ligger i ett plan menas alltså att ektorn har en representant som kan läggas i det aktuella planet. Vi säger därför att att tå icke-parallella ektorer i rummet med gemensam utgångspunkt spänner upp ett plan genom den gemensamma utgångspunkten. För att på samma sätt som i det plana fallet representera en ektor i rummet, gör enligt följande: låt u, u och u ara tre ektorer som inte ligger i samma plan och låt ara ilken som helst ektor i rummet. Placera dessa fyra ektorer ända mot ända i någon punkt

.. BAS OCH KOORDINATER 7 O i rummet (se figur.). Drag sedan, genom spetsen på, en linje parallell med u. Denna skär då planet som spänns upp a u och u i en punkt P. Låt ara ektorn från O till P och ektorn från P till spetsen på (se figur.). u u P x u O u x u Figur.: = + = x u + x u + x u Då ligger i planet som spänns upp a u och u finns enligt tidigare resonemang tal x och x så att = x u + x u. Vidare, eftersom och u är parallella finns ett tal x så att = x u och följaktligen är = + = x u + x u + x u Därmed är saret på fråga I ja och på fråga II att det i planet räcker med tå icke-parallella ektorer och i rummet med tre som ej ligger i samma plan. Återstår fråga III. Låt, som tidigare, u och u ara tå icke-parallella ektorer i planet och antag att ektorn kan skrias på tå sätt som linjärkombination a u och u, d s = x u + x u = y u + y u (x y )u + (x y )u = 0 (x y )u = (x y )u. (..) A detta följer att x y = x y = 0, d s x = y och x = y ty annars skulle u ara parallell med u ilket inte är fallet. Följaktligen, om u och u är tå icke-parallella ektorer i planet så kan arje annan ektor i planet skrias som linjärkombination a dessa på precis ett sätt.

8 KAPITEL. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET I rumsfallet, låt u, u och u ara tre ektorer som inte ligger i samma plan och antag att = x u + x u + x u = y u + y u + y u. Då fås (x y )u + (x y )u + (x y )u = 0 (x y )u + (x y )u = (x y )u. (..) Äen här följer att x y = x y = x y = 0 ty om inte skulle u ligga i samma plan som u och u. Nästföljande definition kan erka onödig när i just utrett precis ad som kräs för att på ett entydigt sätt skria ektorer som linjärkombinationer a ett fåtal gina. Anledningen är att denna formulering passar bättre för kommande mer abstrakta situationer. Definition.. En ordnad uppsättning ektorer i planet (rummet) kallas en bas om arje ektor i planet (rummet) kan skrias som linjärkombination a de gina på precis ett sätt. Anmärkning: Ordet ordnad i definitionen oan innebär att hänsyn skall tas till den ordning i ilken i skrier upp basektorerna, t ex är u, u och u, u olika som baser trots att de består a samma ektorer. Vi har i princip också isat följande sats: Sats.. (a) Varje bas i planet består a tå icke-parallella ektorer. (b) Varje bas i rummet består a tre ektorer som ej ligger i samma plan. Beis: Den tidigare diskussionen isar att tå icke-parallella ektorer i planet respektie tre ektorer som ej ligger i samma plan är en bas för planet respektie rummet. Det återstår endast att förtydliga att dessa är de enda alternatien. Låt u, u och u ara tre ickeparallella ektorer i planet. Varje ektor i planet kan förstås skrias som linjärkombination a dessa, det som går förlorat är entydigheten. Då u och u är icke-parallella finns tal a och b så att u = au + bu au + bu u = 0. Följaktligen, om = x u + x u och t ett tal så är äen = x u + x u = x u + x u + t0 = x u + x u + t(au + bu u ) = = (x + at)u + (x + bt)u tu, (..) d s genom att ariera t kan uttryckas på ett oändligt antal olika sätt som linjärkombination a u, u och u. Resonemanget i rumsfallet är identiskt. Det som gör att entydigheten går förlorad då i har för många ektorer är termen t0 = t(au +bu u ) som läggs till i (..) utan att summan ändras. Entydig representation har i därför om och endast om 0u + 0u respektie 0u + 0u + 0u är det enda sättet att skria 0 i planet respektie rummet som linjärkombination a de gina. Definition.. (a) Låt u, u ara en bas för planet och = x u + x u. Då kallas talparet x, x för :s koordinater i basen u, u.

.. BAS OCH KOORDINATER 9 (b) Låt u, u, u ara en bas för rummet och = x u +x u +x u. Då kallas taltrippeln x, x, x för :s koordinater i basen u, u, u. För att underlätta kalkylen med ektorer inför i följande beteckningar: u, u (, u ) kommer fortsättningsis att ara en bas i planet (rummet). u = radmatrisen a basektorer, d s u = (u u ) i planet, u = (u u u ) i rummet. Koordinater( skris ) alltid som kolonnmatriser, d s om = x u + x u så kallas kolonnmatrisen X = för koordinaterna till i basen u, u. Slutligen definierar i (i x enlighet x med definitionen a matrisprodukt som kommer senare) produkten mellan en radmatris a ektorer och en kolonnmatris a reella tal som x (u u u ) x = x u + x u + x u. x För att öerensstämma med kommande definitioner måste radmatrisen stå till änster om kolonnmatrisen. Detta ger oss nu ett kompakt skrisätt att utnyttja id ektorkalkyl, ty om = x u + x u + x u kan i enligt oan skria x = x u + x u + x u = (u u u ) x = u X. x Vi kommer också att utnyttja beteckningen u som förkortning och skria... basen u... istället för... basen u, u.... u 4e u u e u e Figur.: 5e Exempel..4 Betrakta figur.. Där har i tå olika baser, u, u och e, e. I figuren ser i att kan skrias ( ) ( ) = u + u = (u u ) = u

0 KAPITEL. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET d s har koordinaterna ( 5 och = 5e + 4e = (e e ) 4 ( ) ( ) 5 i basen u och i basen e. 4 ) ( ) 5 = e, 4 Exempel..5 I praktiken är det förstås enklast att anända sig a basektorer som är a samma längd och inkelräta mot arann, t ex som basen e i figur.. Ur den är det lätt att se att Det är inte så lätt att se att ( ) u = e + e = e e = 7 u 7 u = e ( ) /7 /7 och och ( ) u = e + e = e. e = 7 u + ( ) /7 7 u = e. /7 Öning..6 Tag fram linjalen och mät dig fram till koordinaterna för i figur. i den utritade basen u, u. Med det aktuella beteckningssystemet blir det både ( enkelt ) och naturligt ( ) att räkna med x y ektorer. Låt e = (e e ) ara en bas för planet, u = e och = e ektorer och λ ett reellt tal. Då gäller ( ) ( ) x y u + = e + e = (x x y e + x e ) + (y e + y e ) = [ ] ( ) ADD, ADD, x + y = = (x + y )e + (x + y )e = e, MULT x + y ( ) [ ] ( x λx λu = λ e = λ(x x e + x e ) = MULT 4 = λx e + λx e = e λx x y (..4) ), (..5) d s i adderar tå ektorer genom att addera deras koordinater och i multiplicerar med tal genom att multiplicera koordinaterna med talet. Detta gäller naturligtis också för ektorer i rummet. I ljuset a (..4) och (..5) blir det naturligt att för kolonnmatriser definiera addition och multiplikation med tal enligt nedan: ( ) ( ) ( ) x y x + y + = (..6) x y ( x λ x x + y ) ( λx = λx ). (..7) Exempel..7 Vi exemplifierar genom att återanända ektorerna i figur.. Från exempel..4 och..5 har i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (..5) 6 (..4) 6 = u = u + u = e + e = e + e = e = + ( ) 5 = e = 5e 4 + 4e ilket är precis det som sades i exempel..4.

.. ORTSVEKTORER, PUNKTER OCH KOORDINATSYSTEM Exempel..8 I exempel..5 tog i fram koordinaterna för u och u i basen e, e och omänt. Men ad får, t ex e och e för koordinater i basen e, e? Då arje ektor bara kan ha en uppsättning koordinater följer det att ( ) ( ) 0 e = e + 0 e = e, e 0 = 0 e + e = e, ( ) ( ) 0 d s med sig själa som bas har e koordinaterna och e 0 koordinaterna. Detta gäller förstås ( för) alla plana ( baser, ) d s med sig själa som bas blir koordinaterna för den första 0 basektorn och för den andra. 0 Hur blir det för en bas i rummet? Exempel..9 I exempel..5 påstods att e = 7 u 7 u. Vi kan nu ia koordinaterna erifiera att detta stämmer. Med u och u i koordinatform i basen e fås 7 u 7 u = ( ) 7 e ( 7 e ) = 7 e ( 6 ( ) ) MULT, (..5) = = 7 e ( 7 0 ) ( 6 7 e (..5) = e ) ( 7 e ) ( 0 = e ilket förstås öerensstämmer med ad som just isades i exempel..8. Genomför själ motsarande kalkyl för e.. Ortsektorer, punkter och koordinatsystem ) MULT 4,..4,..5 = Äen om i inte infört några räkneoperationer för punkter så behöer i ett smidigt och entydigt sätt att representera dem. Anledningen är att många geometriska problem formuleras i termer a punkter och inte med ektorer. Problemlösaren får då själ införa lämpliga ektorer för att lösa problemet. Ett problem med att representera punkter är att det inte finns någon själklar nollpunkt. Vi får därför själa älja en referenspunkt. Den punkt som äljs kallas origo och betecknas O. Hur skall då en punkt representeras? Vi börjar med att införa ett koordinatsystem. Processen är densamma i både planet och rummet. Till detta behöer i referenspunkten O och en bas e. Fäst basektorerna med ändan i origo och drag en linje genom respektie basektor. Dessa linjer kallas koordinataxlar och graderas med längden a respektie basektor som längdenhet. Ett koordinatsystem bestäms alltså a referenspunkt och bas, O och e. Det i särklass anligaste är ett rätinkligt koordinatsystem med samma gradering på koordinataxlarna, d s basektorerna är inkelräta mot arann och lika långa. I stället för att säga att tå ektorer är inkelräta mot arann kommer i i fortsättningen säga att de är ortogonala och i stället för rätinkligt koordinatsystem säger i ortogonalsystem. Låt P ara en punkt i planet (eller rummet) och O, e ett koordinatsystem. Betrakta den ektor som går från O till P, OP. Denna ektor OP kallas P :s ortsektor. Eftersom OP är en ektor har den koordinater i basen e och i gör följande definition: Definition.. Koordinaterna för en punkt P i koordinatsystemet O, e är de samma som koordinaterna för dess ortsektor OP i den gina basen e.

KAPITEL. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET När i sedan räknar är det iktigt att skilja på punkt och ektor. Detta görs genom att i anänder olika beteckningar. Vektorer skris antingen på formen basmatris koordinatmatris eller som en linjärkombination x e +.... Punkter i planet skris alltid som talpar och punkter i rummet alltid som taltrippler. Så om ektorn OP i planet har koordinaterna x och x i basen e så har äen P koordinaterna x och x men i skrier ( ) x OP = e eller x e + x e och P = (x, x ). x Sättet att skria punkter är troligen det sätt på ilket du från tidigare studier är an att skria punkter i ett rätinkligt koordinatsystem. Exempel.. Låt O, e ara ett rätinkligt koordinatsystem i planet med e = e =. Låt P = (, ) och Q = (4, ). Bestäm kordinaterna för P Q samt aståndet mellan P och Q. Lösning: A figuren framgår att OQ = OP + P Q (..) ( 4 P Q = OQ OP = e ) e ( ) ( ) = e. Pythagoras sats ger att aståndet är + = 5 = P Q. Se (..) oan som alternatia resägar till samma mål, punkten Q; åk antingen raka spåret från O till Q, d s längs OQ eller först från O till P, sedan från P till Q. Båda ägarna ger samma slutmål Q, d s resulterar i samma ektor. 4 e O e P =(, ) OP P Q Q=(4, ) OQ 4 Figur.4: Exempel.. Låt O, u ara ett koordinatsystem i rummet, ej nödändigtis rätinkligt. Låt P = (,, ) och Q = (4,, ). Bestäm koordinaterna för P Q samt aståndet mellan P och Q. Lösning: A figuren framgår att P =(,, ) OQ = OP + P Q OP P Q P Q = OQ OP = u 4 u = u. Vi kan ej beräkna aståndet mellan P och Q då i inte et hur långa basektorerna är eller ilka inklar dessa bildar med arann. O Figur.5: OQ Q=(4,, ) Obserera likheterna mellan exempel.. och... Inte bara kalkylen är så gott som identisk. Om i tar bort koordinataxlarna och basektorerna ur figur.4 så får i figur.5. Dessa tå exempel får också illustrera en anändbar princip när det gäller figurer: i planet, rita alltid figurer i så god öerensstämmelse som möjligt med de aktuella koordinaterna. I rummet, bry dig aldrig om koordinaterna när du ritar din figur. Skall du lyckas illustrera en situation i

.4. SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT rummet i enlighet med de gina koordinaterna genom att rita i planet (ritpapperets plan) måste du ara konstnärligt lagd. Illustrera istället den geometriska situationen utan att ta hänsyn till koordinaterna. x e e e e x e x e Figur.6: = x e + x e + x e A exempel.. framgår att det är enkelt att beräkna längden a en ektor i planet då basektorerna är en längdenhet långa och ortogonala. Det blir inte direkt sårare, bara opraktiskt, att anända ortogonala basektorer a olika längd. Detta illustreras i figur.6. Där skris ektorn först som = + x e och i kan tänka på som hypotenusa och respektie x e som kateter i en rätinklig triangel. Pythagoras sats ger då att = + x e = + x e. Därefter kan i se som hypotenusa och x e respektie x e som kateter i en annan rätinklig triangel (se figur.6) arid = x e + x e = x e + x e. Följaktligen blir = + x e = x e + x e + x e..4 Skalär- och ektorprodukt Vi skall nu införa tå nya räkneoperationer på ektorer, skalärprodukt och ektorprodukt. De benämns produkt då de räknelagar som isar sig gälla för dem för tankarna till anlig produkt mellan tal. Ordet skalär är synonymt med tal. Operationen skalärprodukt heter så därför att resultatet a en skalärprodukt mellan tå ektorer är just en skalär, ett tal. Namnet

4 KAPITEL. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET ektorprodukt kommer a samma skäl då resultatet a en ektorprodukt mellan tå ektorer är en ektor. Det finns flera anledningar till att i inför skalärprodukten. Via skalärprodukten kan i enkelt beskria begrepp som ortogonalitet, inkel (indirekt) och längd på ett beräkningsmässigt anändbart sätt och utan koppling till en specifik bas. Detta är en stor fördel när i skall beisa satser och lösa konkreta problem. Vektorprodukten är mer ett erktyg och den är endast definierad i rummet..4. Skalärprodukt Vad är då en skalärprodukt? Definition.4. Låt u och ara tå nollskilda ektorer i planet eller rummet. Skalärprodukten mellan u och definieras som (u ) = u cos θ där θ är inkeln mellan u och. Om u = 0 eller = 0 definieras (u ) som 0. Hur inkeln θ mellan u och definieras framgår a figur.7 nedan. Hära följer att 0 θ π. A definitionen följer att om θ är trubbig, d s π < θ π så är (u ) < 0 ty cos θ < 0. På samma sätt fås att (u ) > 0 om θ är spetsig. Det följer också att (u ) = 0 om och endast om θ = π eller u = 0 eller = 0. (a) (c) (u ) < 0 (b) (u ) = 0 (u ) > 0 θ u u Figur.7: Skalärproduktens tecken. θ u Notera också att (u u) = u u cos 0 = u. Exempel.4. Om u =, = och θ = π så är (u ) = cos π ( = ) =. Tanken är inte att i skall rita och mäta för att beräkna skalärprodukter. Lite senare skall i se hur man kan beräkna skalärprodukten med hjälp a ektorernas koordinater. När detta är gjort ger oanstående diskussion att skalärprodukten blir både linjal, inkelhake och gradskia, allt i ett. Vi aslutar med räknelagarna för skalärprodukt.

.4. SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT 5 Sats.4. För alla ektorer u, och w och skalärer λ gäller ( u ) = ( u) (Kommutatia lagen) (.4.) (u + w) = (u ) + (u w) (Distributia lagen) (.4.) (λu ) = λ (u ) (.4.) (u u) = u (.4.4) (u u) = 0 u = 0 (.4.5) Alla utom (.4.) följer direkt ur definitionen. Vi skjuter på beiset a (.4.) till nästa asnitt..4. Ortogonal projektion Vi skall här beskria ad skalärprodukten egentligen mäter. Detta blir också ett a de för fortsättningen iktigaste anändningsområdena för skalärprodukt, ortogonal projektion. Låt u och ara tå ektorer. Hur stor del a pekar i u:s riktning? Denna fråga är lite agt ställd och behöer preciseras. Det i skall göra är en så kallad komposantuppdelning a i tå ortogonala komposanter, d s uttrycka som = u + u där u är parallell med u och u ortogonal mot u. Då det endast är u:s riktning som är a betydelse för u anänder i en enhetsektor û med samma riktning som u. En sådan är enkelt ordnad då den tidigare definitionen a multiplikation med tal (se definition.. (a), s. ) ger u u = u = = û = u u u. Att på detta sätt skapa en enhetsektor med samma riktning som en gien kallas att normera ektorn. Symbolen ˆ oanför en ektor kommer i fortsättningen betyda att ektorn är en enhetsektor. Antag att ( u) > 0 (som i figur.7 (c)). Studera figur.8 nedan. Definitionen a cosinus ger att ] u = cos θ = [ û = = û cos θ = ( û). (.4.6) Då u och û har samma riktning finns ett tal λ > 0 så att u = λû (se definition.., s. ). Då û = och λ > 0 följer det att (.4.6) u = λû = λ û = λ = ( û) (.4.7) så att u = λû = ( û) û = = ( u) u u [ û = ] ( ) u u = u u u u (.4.) = ( u) u u u MULT = (.4.8)

6 KAPITEL. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET u θ û u u Figur.8: Ortogonalprojektion. Öning.4.4 Beisa att u = nedanstående: (a) Vad har cos θ för tecken? ( u) u u då ( u) < 0 och ( u) = 0. Genom att följa (b) Hur ändras (.4.6)? (c) Hur ändras (.4.7)? (d) Sätt in dina resultat i (.4.8). Vektorn u kallas den ortogonala projektionen a på u. Sats.4.5 (Projektionsformeln) Den ortogonala projektionen a på u, u ges a ( u) u = u. (.4.9) u Anmärkning: Det kan synas märkligt att den ortogonala projektionen a på u är parallell med u. Det beror på att ordet ortogonal inte syftar på ektorn som är resultatet a operationen utan på projektionsriktningen. Enligt Nationalencyklopedin har ordet projektion flera olika betydelser ara tå är a intresse och citeras nedan. projektion [-Són] subst. en er ORDLED: pro-jekt-ion-en. (geometrisk) återgining i ett plan (eller på en linje) a tredimensionell (eller tådimensionell) företeelse arid abildningen ger en ganska god uppfattning om förlagans utseende: projektionsritning; projektionsyta; parallellprojektion KONSTR.: (a ngt) (på ngt) HIST.: sedan 78; a lat. projectio framkastande ; till projicera

.4. SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT 7. återgining och förstoring a diabilder på en duk e.d., med hjälp a projektor: projektionsduk KONSTR.: (a ngt) (på ngt) HIST.: sedan 97; se projektion Tänk på ortogonalprojektionen som en kombination a båda fast där projektorn inte förstorar. Den utsänder parallella ljusstrålar och strålarna är ortogonala mot projektionslinjen (duken). Det är detta som åsyftas i ortogonal projektion. Den ortogonala projektionen u kan ses som skuggan a på projektionslinjen/duken (se figur.9 respektie figur.0). û u Figur.9: Ortogonalprojektion på ektor (linje). Figur.0: Ortogonalprojektion på plan. Med ledning a projektionstanken kan i nu beisa distributia lagen för skalärprodukt

8 KAPITEL. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET ((.4.) i sats.4., s. 5). Antag att u 0 (annars är påståendet triialt). Ur figur. ser i att ( + w) u = u + w u ( + w) u ( u + w u ) = 0 Projektionsformeln ger då ( + w) u = u + w u = ( + w u) u u ( u) (w u) ( u) + (w u) u + u = u u u u ) ( + w u) ( u) + (w u) 0 = ( + w) u ( u + w u = u u u u = = (( + w u) ( u) (w u))u ( + w u) = ( u) + (w u) u där den sista ekialensen följer ur definitionen a multiplikation med tal, s, eftersom u 0. + w w u u w u u w u ( + w) u Figur.: Distributia lagen för skalärprodukt. Exempel.4.6 Låt u, och w ara tre ektorer i planet sådana att u = 5, = 7, w = och där u, inkeln mellan u och w är π och inkeln mellan och w är π 6. Bestäm koordinaterna för w i basen u,. Lösning: Beräkna orogonalprojektionen a w på u respektie.

.4. SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT 9 w u = (w u) u w u cos θ u = u u = = 5 5 cos π u = 0 u w w = w u + w w w = (w ) w cos θ = = = 7 7 cos π 6 = 4 w u u Figur.: Följaktligen är w = 0 u + 4 = 70 ( 7u + 5 ) = (u ) ( ) 7 70 5 d s w har koordinaterna ( ) 7 50 5 i basen u,. (.4.0) Koordinaterna kan förstås skrias på oändligt många olika sätt (se (..7)). Här aldes att bryta ut minsta gemensam nämnare och så många gemensamma faktorer som möjligt. Vilket som är bäst bestäms a ad de skall anändas till. Exempel.4.7 Samma förutsättningar som föregående exempel men bestäm istället koordinaterna för u i basen, w. Lösning: Enligt (.4.0) oan är w = 70 ( 7u + 5 ) 7u = 5 70 d s u har koordinaterna ( 5 /7 0/ w u = 5 ) i basen, w. 7 0 w = ( w) ( 5 /7 0/ Exempel.4.8 Ett älkänt resultat från triangelgeometrin är cosinus-satsen. Den säger att om en triangel har sidlängderna a, b, c och den mot inkeln θ stående sidan är den med längd c så gäller c = a + b ab cos θ. Denna kan enkelt beisas med hjälp a ektorräkning. Inför ektorer som figur. isar. Då är c = u och, t ex a = u och b =. Från räknelagarna för skalärprodukt fås ), c = u (.4.4) = (u u ) (.4.) = = (u u) + (u ) + ( u) + ( ) (.4.),(.4.) = = u + (u ) = u + u cos θ = = a + b ab cos θ θ u u u u ilket skulle isas. Figur.:

0 KAPITEL. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET Exempel.4.9 Aslutningsis skall i titta på triangelolikheten. Den säger att längden a en sida i en triangel alltid är kortare än den sammanlagda längden a de andra tå sidorna. Att så är fallet är intuitit själklart (raka ägen är alltid närmast) men måste likäl beisas inom de ramar som ställts a de definitioner som gjorts. I ektortermer är påståendet följande: för alla ektorer u och gäller u + u +. Vi kan återanända figur. om i där byter ut u mot u så att den ektor som i figuren är u blir u +. Obserera att (u ) = u cos θ u. Då kan också kalkylen i exempel.4.8 återanändas och i får på exakt samma sätt u + = u + + (u ) u + + u = ( u + ) u + u +..4. Vektorprodukt Som sades i inledningen är ektorprodukten endast definierad i rummet och resultatet a den är en ny ektor. Det är alltså tre ektorer inblandade, de tå som i beräknar ektorprodukten a samt den ektor som blir resultatet. Innan i går in på definitionen a ektorprodukt måste i göra ytterligare en definition. w w u Figur.4: u, och w är ett högersystem. Figur.5: u, och w är ett änstersystem. u Definition.4.0 Låt u, och w ara tre ektorer i rummet som ej ligger i samma plan. Vi säger att u, och w (ordningen är iktig!) är ett högersystem (positit orienterade) om den minsta ridning som öerför u till :s riktning ses moturs från spetsen a w. Om den minsta ridningen sker medurs säger i att u, och w är ett änstersystem. Definitionen är enklare att förstå om i ser på nedanstående figurer. Tänk att du står på spetsen a w och tittar nedåt. En mer handfast illustration a ett högersystem kan du göra själ: låt högerhandens tumme representera u och högerhandens pekfinger. Då skall du kunna representera w (på ett ungefär) med långfingret utan att bryta a det. Proa. Definition.4. Låt u och ara tå icke-parallella ektorer i rummet och θ inkeln mellan dem. Vektorprodukten a u a u och är en ny ektor sådan att (a) u är ortogonal mot både u och, (b) u = u sin θ, (c) u, och u är ett högersystem. Om u och är parallella definierar i u = 0.

.4. SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT Då tecknet för ektorprodukt är kallas ektorprodukt också för kryssprodukt. Vi skall nu gå igenom definitionen, punkt för punkt, och isa att det alltid finns exakt en ektor som uppfyller kraen. Antag alltså att u och är tå icke-parallella ektorer i rummet. Betrakta figur.6. I samtliga figurer nedan har i antagit att u >. Det mörkare planet kallas u:s normalplan och karakteriseras a att arje ektor i detta plan är ortogonal mot u. Det ljusare planet är det som spänns upp a u och. Vi söker nu först och främst en riktning ortogonal mot u och (illkor (a) i definitionen), d s en riktning ortogonal mot det ljusare planet i figur.6. En sådan finns alltid eftersom det till arje plan hör en normalriktning. Därmed finns det tå ektorer med rätt riktning som har den i illkor (b) specificerade längden. Dels den ektor som är u samt den som är lika lång men motsatt riktad. Slutligen ger illkor (c) att u är den ektor som isas i figur.6. Tittar du från spetsen a denna ektor sker den minsta ridning som öerför u i moturs. Till arje par a ektorer i rummet finns alltså precis en ektor som uppfyller kraen i definition.4.. u u u Figur.6: Illustration a ektorprodukt. Sats.4. För alla ektorer u, och w och skalärer λ gäller u = u (Anti-kommutatia lagen) (.4.) u ( + w) = u + u w (Distributia lagen) (.4.) (λu) = λ(u ) (.4.) För att beisa dessa räknelagar behöer i stycka upp ektorprodukten i ett antal enklare operationer. Betrakta figur.7. I princip är det figur.6 som gjorts lite mer detaljerad. Vi börjar med att projicera ortogonalt i u:s normalplan. Då fås ektorn u (titta på figur.8, s 6 och rid papperet 90 moturs så ser du det). Vektorerna u och u kan ses som kateter i en rätinklig triangel där är hypotenusa. Följaktligen ger definitionen a sin θ att u = sin θ. Låt w ara den ektor som fås då u rids 90 moturs sett från spetsen

KAPITEL. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET a u. Då en ridning inte ändrar längden a ektorn följer det att w = u = sin θ. Vidare, w uppfyller illkor (a) och (c) i definitionen a ektorprodukt. Det enda som återstår är att justera längden ilket i gör genom att multiplicera w med u. u u θ θ u w u Figur.7: Konstruktion a u som projektion följt a ridning och sist sträckning. Vi kan alltså konstruera ektorprodukten i tre steg: projektion på u:s normalplan följt a ridning 90 moturs i detta plan och slutligen en sträckning faktorn u. u w + w u ( + w) u w u u Figur.8:

.5. ON-BASER OCH BERÄKNING AV SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT Beis a räknelagarna för ektorprodukt: (.4.): Ur definitionen a ektorprodukt tillsammans med tidigare illustrationer framgår att u och u är lika långa och parallella Eftersom u,, u och, u, u är högersystem enligt definitionen a ektorprodukt medan, u, u är ett änstersystem (se figur.4 och.5) följer det att u = u. (.4.): Betrakta figur.8 och tänk dig att w, och därmed också + w, pekar ut från planet som spänns upp a u och. I figur.8 har i gjort det första a de tre stegen (ortogonalprojektionen) på de inblandade ektorerna, w och + w. Byt sedan utsiktspunkt och tänk dig att du ser på figuren från toppen a u. Då ser du den mindre triangeln till höger i figur.9. I figuren antas u >. Därefter gör i ridningen 90 moturs och får den mindre a de tå likformiga trianglarna. Därefter görs sträckningen med faktorn u och i får den större a de tå likformiga trianglarna. (se också figur.7). Hur hade figur.9 sett ut om u <? u u w u ( + w) ( + w) u w u Figur.9: (.4.): Rita först själ en kopia a figur.7 och rita in λ(u ) för något λ > 0. Rita sedan in λu och gå igenom de tre stegen för konstruktion a (λu). Vilket λ > 0 som alts spelar ingen roll för de första tå stegen, projektionen och ridningen, där får du samma ektor w som i den ursprungliga figuren,.7. Endast det sista steget, sträckningen, påerkas. Då det för λ > 0 gäller att λu = λ u följer det att w skall sträckas med denna faktor för att (λu) skall erhållas. Om i först sträcker w faktorn u och sedan faktorn λ fås först u och därefter λ(u ). Totalt sett har w sträckts med samma faktor i båda fallen arför (λu) = λ(u ). Om λ < 0 blir u och λu motsatt riktade. Projektionen blir densamma men ridningen går åt motsatt håll. De ektorer i får efter ridning och projektion blir därför motsatt riktade (se figur.6) men fortfarande lika långa. Påståendet följer då det för λ < 0 gäller att λu = λ u. u.5 ON-baser och beräkning a skalär- och ektorprodukt I några a de tidigare exemplen såg i att det ar förhållandeis enkelt att bestämma koordinaterna för en ektor med aseende på en bas där basektorerna ar lika långa och paris ortogonala. Äen längden a en ektor ble lätt att beräkna utifrån koordinaterna i en sådan bas. För att befästa dessa egenskaper gör i följande definition. Definition.5. En bas i planet/rummet kallas OrtoNormerad (ON) om

4 KAPITEL. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET (a) basektorerna är paris ortogonala, (Orto) (b) basektorerna är enhetsektorer, d s har längd. (Normerad ) I fortsättningen kommer i, om inget annat sägs, att anända oss a en ON-bas som också är ett högersystem. För planet innbär detta att om första basektorn pekar som timisaren klockan så pekar den andra som timisaren klockan, d s koordinatsystemet O, e, e blir det som du är an id. Vi skall nu demonstrera hur skalärprodukten kan beräknas med hjälp a ektorernas koordinater i en ON-bas e. Vi börjar med planet. Då e, e är en ON-bas gäller e = (e e ) =, e = (e e ) =, (e e ) = 0 ( ) ( ) x y Låt u = e och = e. Då gäller att (u ) = x ( x ( e x ) ( y e y y )) = x y (e e ) +x } {{ } y (e e ) + } {{ } = =0 + x y (e e ) +x } {{ } y (e e ) = x } {{ } y + x y. =0 = = (x e + x e y e + y e ) (.4.),(.4.) = (.5.) I rumsfallet blir kalkylen densamma sånär som på att i får fler termer. Då e, e, e är en ON-bas gäller Låt u = e e = (e e ) =, e = (e e ) =, e = (e e ) =, x x x x (u ) = e x x (e e ) = (e e ) = (e e ) = 0 y och = e y. Då gäller att e y y y y = (x e + x e + x e y e + y e + y e ) = = x y (e e ) +x } {{ } y (e e ) +x } {{ } y (e e ) + } {{ } = =0 =0 + x y (e e ) +x } {{ } y (e e ) +x } {{ } y (e e ) + } {{ } =0 = =0 + x y (e e ) +x y (e e ) = } {{ } =0 = x y + x y + x y. } {{ } =0 +x y (e e ) } {{ } = (.5.) För att få en bild a hur i räknar ut skalärprodukten kan i sammanfatta (.5.) och (.5.) som ( ( ) ( )) x x y x e e = y + y x y + respektie e x x y + x y x e y = + x y + y + x y.

.5. ON-BASER OCH BERÄKNING AV SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT 5 Exempel.5. Låt u = e och = e. Vi skall räkna ut inkeln mellan u och genom att beräkna (u ) på tå sätt, dels ia koordinaterna och dels direkt ia definitionen. På detta sätt får i en ekation för cos θ. Först beräknar i längden a u respektie. u = (u u) = e e = ( ) + ( ) + = 6 u = 6, = ( ) = e e = + + = 6 = 6, u cos θ = 6 6 cos θ = 6 cos θ (u ) = e e cos θ = = ( ) + ( ) + = 6 =, d s θ = π eftersom 0 θ π. Kraet att ON-basen är ett högersystem spelar ingen roll för beräkning a skalärprodukten. Vad gäller ektorprodukten är det äsentligt att i et att i har ett högersystem. Vi börjar med att undersöka ektorprodukterna mellan basektorerna. Från definitionen a ektorprodukt och det faktum att e, e, e är en höger ON-bas följer det att e e = e. Håll med änsterhanden tre pennor som ett ungefärligt ON-system. Anänd sedan högerhandsregeln (tumme pek = lång) för att illustrera de andra ektorprodukterna mellan basektorerna så inser du att e e = e och att e e = e. Vad gäller inklar så är moturs = positi riktning och nedanstående figur är anändbar för att komma ihåg dessa samband. Figuren håller också reda på ad som händer om i går medurs, d s i negati riktning. Exempelis är (.4.) e e = e e = e. Sammanfattningsis har i följande ad gäller ektorprodukter mellan basektorerna i en högerorienterad ON-bas: e Moturs Medurs e e = e, e e = e = e e = e, e e = e e e e = e, e e = e e e e = e e = e e = 0 Vi kan nu göra precis som för skalärprodukten (jämför (.5.)) x u = e x e x y y = (x e + x e + x e ) (y e + y e + y e ) = y = x y (e e ) +x } {{ } y (e e ) +x } {{ } y (e e ) } {{ } =0 =e = e +

6 KAPITEL. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET + x y (e e ) } {{ } +x y (e e ) } {{ } = e =0 +x y (e e ) + } {{ } =e + x y (e e ) +x } {{ } y (e e ) +x } {{ } y (e e ) } {{ } =e = e = (x y x y )e + (x y x y )e + (x y x y )e = e =0 = x y x y x y x y x y x y Denna formel är lite äl komplicerad för att försöka lära sig utantill. Här behös en minnesregel för att komma ihåg strukturen. Nedan illustreras en (a många), se (.5.): skri upp ektorerna på koordinatform, skri :a och :a koordinaten under respektie koordinatmatris, börja på mitten och betrakta det första korsande pilparet, multiplicera ihop elementen som förbinds a pilen riktad snett nedåt höger, gör detsamma med elementen som förbinds a pilen riktad snett uppåt höger, beräkna skillnaden mellan dessa produkter (tänk att pilen snett uppåt höger ger ett minustecken) och i har fått första koordinaten i ektorprodukten. Gör likadant med de andra tå pilparen. e x x x x x e y y y y y = e x y x y x y x y x y x y (.5.) 4 Exempel.5. Låt u = e och = e 5. För att illustrera några a de grundläggande 6 egenskaperna hos skalär- och ektorprodukten samt hur ektorprodukten beräknas skall i först räkna ut u och sedan ia skalärprodukterna isa att u är ortogonal mot u och. 4 6 5 u = e e 5 = e 4 6 = e 6, 6 5 4 4 5 (u u ) = e e 6 = ( ) + 6 + ( ) = + 9 = 0, 4 ( u ) = e 5 6 e 6 = 4 ( ) + 5 6 + 6 ( ) = + 0 8 = 0. Då bägge skalärprodukterna är 0 följer det att u u,. Exempel.5.4 Vi fortsätter med samma ektorer som i exempel.5. och erifierar att u har den längd som anges i definitionen. Vinkeln θ mellan u och går i detta fall ej att ange exakt. Det behös heller inte, det räcker att i kan bestämma sin θ. Vi gör som i

.6. AREA OCH VOLYM 7 exempel.5. och beräknar cos θ. Då 0 θ π kan i sedan med hjälp a trigonometriska ettan beräkna sin θ. Allra först räknar i ut längden a u, respektie u. u = (u u) = e e = + + = 4 u = 4, 4 4 = ( ) = e 5 6 e 5 = 4 + 5 + 6 = 77 = 77, 6 u = (u u ) = e 6 e 6 = ( ) + 6 + ( ) = 54 = 9 6 u = 6, (.5.4) u cos θ = 4 77 cos θ = 7 cos θ (u ) = 4 e e cos θ = 5 = 4 + 0 + 8 = 7. 6 Då 0 θ π är 0 sin θ = cos θ = 54 7 = 7 = ilket ger 7 u = u sin θ = 4 77 7 = 7 7 = = 6 ilket ar precis ad i räknade fram i (.5.4)..6 Area och olym Via ektor- och skalärprodukt får i enkla metoder att räkna ut arean a parallellogrammer, trianglar och parallellepipeder. På köpet får i också ett enkelt kriterium för att agöra om tre gina ektorer i rummet är ett högersystem. Studera figur.0. Där har i en parallellogram med kantektorer u, och höjd h. Från definitionen a sin θ följer det att h = sin θ. Arean a en parallellogram är bas höjd och basen är i detta fall u. Dära följer det att arean h A a parallellogrammen blir θ A = u sin θ = u. Trots att ektorprodukten endast är definierad i u Figur.0: u rummet går det att anända detta äen i planet. Vi kan ju flytta öer problemet till rummet genom att lägga till en tredje koordinat som sätts till 0. Exempel.6. Vi skall beräkna arean a den parallellogram som har hörn i origo, (7, 0), (9, 4) och (, 4). Figur.0 stämmer äl öerens. Från koordinaterna ser i att basen är 7 och

8 KAPITEL. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET höjden 4 så arean är 8. Vi skall isa att detta är ad som fås då i anänder kryssprodukten. Vi lyfter öer problemet till rummet. Hörnen får då koordinater (0, 0, 0), (7, 0, 0), (9, 4, 0) och (, 4, 0) så att 7 7 u = e 0, = e 4 = u = e 0 e 4 0 0 0 0 7 0 4 0 d s u = e 0 8 = 8. 0 = e 0, 7 4 En parallellepiped är en kropp uppbyggd a tre paris lika parallellogrammer, se figur.. Välj och namnge kantektorer enligt figur.. Som det är gjort i figuren är u,, w ett högersystem. u α w α h u Figur.: Volymen a en parallellepiped ges a basyta höjd. Ur den tidigare diskussionen följer att basytan = u och ur definitionen a cosinus följer att höjden h = w cos α. Följaktligen fås olymen som V = u w cos α = (u w). Härledningen oan är starkt beroende a att i et att u,, w är ett högersystem. Giet tre ektorer så är det inte så lätt att se hur de skall ordnas för att bli ett högersystem. För att se hur härledningen påerkas, byt plats på u och i figur.. Då skulle u få motsatt riktning och inkeln α mellan u och w skulle bli trubbig och därmed cos α < 0. cos α är dock fortfarande detsamma så att V = (u w). (.6.) Ur oanstående resonemang får i det kriterium som nämndes i inledningen: Sats.6. Om u,, w är tre ektorer som ej ligger i samma plan så gäller: ( u w) > 0 u,, w är ett högersystem ( u w) < 0 u,, w är ett änstersystem Exempel.6. (a) Beräkna arean a den parallellogram som har ett hörn i (,, ) och de tå närliggande hörnen i (,, ) och (4,, ).

.7. LINJER OCH PLAN 9 (b) Beräkna olymen a en parallellepiped som har parallellogrammen i (a) som en sidoyta och ett a de andra hörnen i (,, ). Lösning: (a) Sätt P = (,, ), P = (,, ) och P = (,, ). Då fås P P = OP OP = e e 4 P P = OP OP = e e P P P P = e e = e = e = e 4 =, = A = P P P P = ( ) + 4 + ( ) = 9 (b) Flera olika parallellepipeder passar in i förutsättningarna. Äen om de är olika så har de alla samma olym. För att se detta, älj w i figur. som rymddiagonalen eller en a sidoytediagonalerna (dock ej basytans diagonal) istället för den återstående kantektorn. Vinkeln α ändras men höjden är oförändrad, d s w sin α blir samma tal oasett ilken a de nämnda ektorerna som tas som w. Sätt P 4 = (,, ). Vi får P P 4 = OP 4 OP = e e = e = 0 = V = ( ) P P P P P P 4 = e 4 e = 4 4 = 8 0.7 Linjer och plan Så gott som alla människor i årt land et ad en rät linje är. De allra flesta et också ad en plan yta är. Den matematiska beskriningen a en linje eller ett plan skiljer sig inte nämnärt från den ardagliga. Man brukar dock slopa ordet rät i samband med linjer. Hur ser en linje ut som inte är rät? Vi skall här ägna oss åt att matematiskt beskria linjer i planet och rummet samt plan i rummet. Vi börjar med linjer och det som är gemensamt för linjer i både planet och rummet..7. Linjer Vad behöer i eta för att en linje skall ara entydigt bestämd? Giet tå punkter i planet eller rummet så finns en och endast en linje som går genom dessa punkter. Det blir dock inte så enkelt att hitta andra punkter på linjen om i bara beskrier

0 KAPITEL. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET linjen ia dessa tå punkter. Däremot ger ektorn mellan dessa tå punkter en riktning som linjen följer. För att eta ilken linje som ases räcker det inte med bara riktningen, i måste också känna till en punkt på linjen. Annars får i en hel skara a parallella linjer. Följaktligen, giet en punkt på linjen och en ektor som beskrier ilken riktning linjen följer, linjens riktningsektor, så finns en och endast en linje som går genom den gina punkten och följer den gina riktningen. Detta skall i nu utnyttja till att, ia ektorräkning, beskria ortsektorn för en punkt på linjen. L P t OP = OP 0 + t P 0 OP 0 O Figur.: Studera figur.. Låt P 0 ara den kända punkten på linjen och linjens riktningsektor. Vi tänker oss att i står i origo och i skall ta oss till en punkt P på linjen. Om i först går till punkten P 0 kan i sedan fortsätta längs linjen till P. Då P 0 P och är parallella finns ett tal t R så att P 0 P = t. Vad i gjort kan på ektorform beskrias som att en punkt P tillhör linjen om dess ortsektor OP = OP 0 + t för något reellt tal t. Talet t kallas parameter. 4 L OP 0 + 4 P 0 OP 0 + OP 0 OP 0 O Figur.: Ortsektorer för punkter på linjen då t = /, 0,, 4.

.7. LINJER OCH PLAN När koordinaterna för P 0 och är kända skrier i ( ) ( ) ( ) x x0 a L: e = e + t e y y 0 b respektie x e y = e z x 0 y 0 z 0 + t e a b c i planet respektie rummet. Detta sätt att skria linjen kallas parameterform alternatit ektorform. I figur. illustreras oanstående genom insättning a några konkreta t-ärden. Obserera att riktningsektorns längd saknar betydelse. Vill man gå långt med en kort riktningsektor är det bara att ta ett stort t-ärde. Vilken startpunkt som anänds spelar heller ingen roll, det enda som betyder något är att den ligger på linjen. Exempel.7. Linjen L går genom punkterna (0, 4, 6) och (4,, 5). Ange en ekation på parameterform för L. Lösning: Sätt P = (0, 4, 6) och P = (4,, 5). Då är linjens riktningsektor P P. 4 0 6 P P = OP OP = e e 4 = e = e 5 6 7 Det spelar ingen roll ilken a P och P i tar som startpunkt ej heller längden a riktningsektorn. Vi äljer P som startpunkt och = P P. Då kan linjen skrias x L: e y = e z 4 +t e 5. (.7.) 7 Insättning a t = ger att punkten (, 0, ) ligger på linjen och i kan, om i ill, älja den som utgångspunkt. En praktisk tumregel är att alltid älja riktningsektor och startpunkt så att deras koordinater är så små heltal (om möjligt) som möjligt. Exempel.7. Låt L ara linjen i exempel.7.. Bestäm den punkt Q på L som ligger närmast P = (,, ) samt aståndet mellan P och Q. Lösning: Figur.4 beskrier situationen. Vi ser där att Q måste ara sådan att QP. Detta följer a att triangeln med hörn i P 0, Q och P är rätinklig, sidan med hörn i Q och P är en katet medan sidan med hörn i P 0 och P är hypotenusa och hypotenusan är alltid längre än en katet. Samma sak gäller om i byter ut P 0 mot ilken som helst annan punkt på linjen. Följaktligen är QP = P 0 P det sökta aståndet och OQ = OP 0 + P 0 P men också OP P 0 P, älj själ ilken du anänder. Obserera också att i inte behöer räkna ut Q för att bestämma aståndet. Låt P 0 = (, 0, ). Då fås 0 P 0 P = OP OP 0 = e e 0 = e = ( P0 P ) = P 0 P = = 0 e 54 e e = 6 54 e = e 7 7 7. 7