Umeå universitet Dugga i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik IE, ÖI, Stat. och Frist. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare) Resonemang och uträkningar skall vara tydliga och lätta att följa. Svar skall anges och förenklas så långt som möjligt! 1. Ange de intervall där f(x) växer respektive avtar, hitta de lokala extremvärdena och bestäm konkavitetsområdena till funktionen f(x) = x 2 e x, 2 x 4 Använd sedan informationen för att skissa grafen av f 2. Kan man definiera f(0) så att f blir kontinuerlig för x = 0 om: a) f(x) = 3. Låt f(x) = { 4x+9 3 x, x < 0 x+2 3, x > 0 (1p) b) f(x) = { x 3 +6x 2 +8x, x < 0 x 2 +3x, x > 0 (e 2x 1)(cos(3x) 1) sin 3 (2x) sin( πx 2 ) 1 + x 2 och låt l beteckna den tangent till f(x) som går genom punkten (1, 1 2 ) Bestäm den punkt där tangenten skär x-axeln. (2p) 4. Bestäm 3 med två korrekta decimaler genom att använda Newtons metod på lämplig funktion. (Tips: 3 löser ekvationen x 2 = 3) 5. Approximera arctan(1.02) genom att använda Taylorpolynomet av grad två till lämplig funktion funktion tagen i en lämplig punkt. Uppskatta vad felet kan bli som mest. 6. Man skall tillverka en ask utan lock med så stor volym som möjligt av ett rektangulärt kartongark som har längden 150 cm och bredden 70 cm. Man skall skära bort lika stora kvadrater från de fyra hörnen och sedan böja upp de lösa vingarna. Vad blir den maximala volymen av en sådan ask? 7. a) Formulera medelvärdessatsen med angivande av alla förutsättningar (1p) b) Formulera Rolles sats med angivande av alla förutsättningar (1p) c) Bevisa medelvärdessatsen. (Rolles sats får användas utan bevis) (1p) 8. Antag att lim x a f(x) = L, där L < Bevisa att då finns ett reellt tal K och ett δ > 0 så att 0 < x a < δ = f(x) < K
Umeå universitet Tentamen i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik IE, ÖI, Frist. och Stat. Jan Gelfgren Datum: Lördag 14/1 2012 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare) Resonemang och uträkningar skall vara tydliga och lätta att följa. Varje uppgift skall avslutas med ett svar men enbart svar ger ingen poäng! 1. Ange de intervall där f(x) = 4x 1 x 2 växer respektive avtar, ange de lokala extremvärdena + 1 och eventuella asymptoter. Använd sedan informationen för att skissa grafen av f 2. a) Bestäm ekvationen för tangenten till f(x) = x 2 arcsin(2x 1) då x = 1 4 (2p) sin( πx 2 ) b) Bestäm ekvationen för tangenten till g(x) = 3. Låt f(x) = { sin 2 (3x) 1 cos(2x), x < 0 e 3x 1 ln(1+4x), x > 0 2x + cos( πx 2 Kan man definiera f(0) så att f(x) blir kontinuerlig för x = 0 ) då x = 1 (2p) 4. a)visa att funktionen f(x) = x 3 3x 2 9x + 16 är inverterbar på intervallet 1 < x < 3 (1p) b) Beräkna värdet av (f 1 ) ( 6) (1p) 5. Två positiva reella tal har summan 60. Bestäm vilka talen är om man vet att produkten av det ena med kvadraten av det andra är maximal. 6. En man som är 2m lång promenerar med hastigheten 0,75m/s längs en rak stig. Det finns en lyktstolpe 1,5m på sidan av stigen och en lampa som sitter 5m upp på stolpen kastar mannens skugga på marken. Hur fort förändras längden av skuggan när mannen befinner sig 3,6 m från den punkt på stigen som är närmast lyktstolpen? 7. a) Formulera hyperboliska ettan. (1p) b) Bevisa hyperboliska ettan. (1p) c) Använ derivatans definition för att beräkna d dx ( 1 x ) (1p) sin(x) 8. Bevisa, med hjälp av enhetscirkeln, att lim = 1 x 0 x
Umeå universitet Tentamen i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik Datum: Onsdag 11/4, 2012 Jan Gelfgren, Per Åhag Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare) Resonemang och uträkningar skall vara tydliga och lätta att följa. Svar skall anges och förenklas så långt som möjligt! 1. Ange de intervall där f(x) växer respektive avtar, hitta de lokala extremvärdena och eventuella asymptoter till funktionen f(x) = x2 5x + 5 2 2x + 3 Använd sedan informationen för att skissa grafen av f πx cos( 2 2. Låt f(x) = ) och låt l beteckna den tangent till f(x) som går genom punkten (1, 0) 1 + x2 Bestäm koordinaten för den punkt där tangenten l skär y-axeln. 3. Uppskatta värdet av e 0.2 genom att använda Taylorpolynomet av grad 2 till en lämplig funktion funktion tagen i en lämplig punkt. Gör även en feluppkattning. 4. a) Använd Newtons metod för att, med två korrekta decimaler, bestämma den rot till ekvationen x 3 + 2x 1 = 0 som ligger närmast origo. (2p) b) Ge en rimlig motivering till att du har rätt rot och att du har två korrekta decimaler. (1p) 5. Kan man definiera a så att f blir kontinuerlig för x = 0 om: { x 2 sin(4x) f(x) = (e x2 1)(cos(2, x > 0 x) 1) a x 0 6. En punkt rör sig åt höger längs den del av kurvan x 2 y 3 = 72 som ligger i första kvadranten. När punkten har koordinaterna (3, 2) är dess horisontella hastighet 2 enheter/s. Vad är dess vertikala hastighet just då? 7. a) Formulera medelvärdessatsen med angivande av alla förutsättningar (1p) b) Formulera Rolles sats med angivande av alla förutsättningar (1p) c) Bevisa medelvärdessatsen. (Rolles sats får användas utan bevis) (1p) 8. Bevisa att om m x > 0 gäller d dx ln(x) = 1 x