1 Matematik som verktyg Antag att vi har en funktion som är en rät linje, y = 1 3x. Eftersom relationen mellan x och y är linjär räcker det med att vi hittar två punkter (två talpar) på linjen för att kunna rita den. Vi väljer exempelvis x = 2 och x = 2. Det ger oss y-värdena y = 7 och y = 5. Därefter drar vi en linje med linjal mellan punkterna. y 7 X y 2 7 5 2 5 3 2 1 1-1 1 2 x -3-5 y = 1 3x Observera att alla funktioner kan ritas, men endast linjära funktioner blir räta linjer. 1.4.3 Bestäm ekvationen för en rät linje Riktningskoefficienten b bestäms av koordinaterna (x 1, y 1 ) och (x 2, y 2 ) för två punkter på linjen med formeln Δy y2 y1 b = = Δx x x då x 1 x 2. 2 1 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna (1, 5) och (4, 14). Lösning: Vi använder formeln för b. Δy 14 5 9 b = = = = 3 Δx 4 1 3 33
1 Matematik som verktyg Vid slutet av år 1980 hade Sverige 8 317 937 invånare. Vid samma tid år 2011 var invånarantalet 9 482 855. Med hur många procent hade invånarantalet ökat från år 1980 till år 2011? Lösning: Invånarantalet år 1980 är x 1 och invånarantalet år 2011 är x 2. Vi använder formeln ovan och stoppar in våra tal. 9 482 855 8 317 937 % Δx = 8 317 937 100 14 % Under början av ett år är invånarantalet i Skövde kommun 49 210. Man räknar med att det kommer 10 % nya invånare under året och bosätter sig i kommunen. Hur många bor det i kommunen vid årets slut? Lösning: Om vi skriver 10 % som en andel av 100 (minns att procent betyder hundradel), så blir det 10/100. 10 = = 100 49 210 1 49 210 4 921 10 Så antalet invånare ökar med 4 921 invånare och i slutet av året har kommunen 49 210 + 4 921 = 54 131 invånare. Vi kan också beräkna invånarantalet genom: 1,10 49 210 = 54 131 1.30 Beräkna a) 15 % av 12 b) 98 % av 18 c) 150 % av 310 d) 75 % av 2,90 e) 10 % av 1 250 f) 25 % av 625 68
2 Efterfrågan, utbud och elasticitet Q D = 100 0,5 80 = 60 Q S = 20 + 0,5 80 = 20 Det kommer att efterfrågas en större kvantitet än vad som bjuds ut på marknaden. Efterfrågeöverskottet blir 40 enheter (60 20 = 40). å sikt kommer prisnivån att röra sig mot jämviktsnivån eftersom producenterna märker att de kan sälja en större kvantitet till ett högre pris. c) Här kan inte jämvikten återställas och företagen bjuder endast ut 20 enheter på marknaden. I sådana här situationer kan en svart marknad uppstå där produkten säljs vidare i andra hand till ett högre pris. d) Den nya marknadsjämvikten sker där den nya utbudskurvan skär efterfrågekurvan. Q D = Q S 100 0,5 = 40 + 0,5 = 140 200 = 140 placeras i Q D (eller Q S ) och vi erhåller Q = 30. S' S 180 160 140 120 100 80 60 40 20 D 0 0 20 40 60 80 100 Q 90
4 roduktion, kostnader och utbud Isokvanten q = 9 800 kan alltså skrivas: 70 3 K = 2,5 + L L 2 När vi ritar isokvanten i ett diagram gör vi det lättast för oss om vi sätter K på y-axeln och L på x-axeln. Detta eftersom vi skrev K som en funktion av L när vi formulerade om produktionsfunktionen ovan. Lutningen på isokvanten Först tar vi framlutningen på isokvanten (även kallad den marginella tekniska substitutionskvoten MRTS). Vi deriverar med avseende på L. dk 70 3 MRTS = = + 2 dl L 2 Lutningen på isokosten Vidare tar vi fram lutningen på isokosten. Det är densamma som prisrelationen med ett minustecken framför. Vi får L dividerat med K eftersom vi satte K på den lodräta axeln. L = 672 42 = 16 K Ställ upp kostnadsminimeringsvillkoret och lös ekvationen. MRTS = L K 70 3 + = 16 L 2 2 L = ±2 Vi får två svar, L = 2 och L = 2. Den negativa lösningen är inte den vi söker. Nu stoppar vi in L = 2 i isokvanten och beräknar hur mycket kapital företaget ska hyra in för att kostnadsminimera produktionen av 9 800 enheter: 133
Teori- och formelsamling Kapitel 1 Matematik som verktyg otenslagar Logaritmlagar 1. a b a c = a b+c 1. log a (c d) = log a c + log a d b a 2. = a c a b c c 2. loga = logac loga d d 3. (a b ) c = a bc 3. c log a d = log a d c 4. log a a = l Regler för produkter av parenteser (a + b)(a b) = a 2 b 2 (a + b)(a + b) = a 2 + b 2 + 2ab (a b)(a b) = a 2 + b 2 2ab Räta linjens ekvation y = a + bx Riktningskoefficienten b bestäms av koordinaterna (x 1, y 1 ) och (x 2, y 2 ) för två punkter på linjen med formeln Δy y y b = = Δx x x 2 1 2 1 217
Teori- och formelsamling Kapitel 2 Efterfrågan, utbud och elasticitet pris Q marknadens kvantitet q ett företags kvantitet eller en konsuments efterfrågade kvantitet D efterfrågan S utbud Y inkomst Δ förändring ε efterfrågans priselasticitet ε x,y korspriselasticitet mellan varorna x och y ε Y efterfrågans inkomstelasticitet Marknadsjämvikt Q D = Q S Efterfrågans priselasticitet (ε ) 1 %Δ Q ε = ( ) %Δ = 1 dq d Q ε ( ) ε = fullständigt elastiskt 1 < ε < elastiskt ε = 1 enhetselastiskt 0 < ε < 1 oelastiskt ε = 0 fullständigt oelastiskt 219