Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 Kapitel 5.1 5101, 510 Eempel som löses i boken 510 a) Rektangelns omkrets = (b + h) Rektangelns area = b h b = 6, 4 cm h =,5 cm Omkretsen är ( b+ h) = (6, 4 +,5) cm = 19,8 cm Arean är b h= 6, 4,5 cm =, 4 cm Svar: Rektangelns omkrets är 19,8 cm och area är cm 6,4,5 (cm) b) Triangelns omkrets = summan av sidlängderna bh Triangelns area = a = 4, cm b = 7,0 cm c = 6, cm h =,8 cm Omkretsen är (4, + 6, + 7, 0) cm = 17, 6 cm bh 7,0,8 Arean är = cm = 1, cm Svar: Triangelns omkrets är 17,6 cm och area är 1 cm a h b (cm) Höjden h och basen b måste vara vinkelräta c för att areaformeln bh A = skall gälla 5104 a) Omkretsen är (,5 + 1,5 + 18,0) cm = 54,0 cm, bh 18,0 1,5 arean är = cm = 11,5 cm 1 cm b) Omkretsen är (,5 +,0 +,) cm = 7,8 cm, bh, 1,9 arean är = cm =,185 cm, cm 5105 a) Omkretsen är (4,1 + 5,6) cm = 19,4 cm, arean är bh = 5,6,6 cm = 0,16 cm 0 cm b) Omkretsen är (4,0 + 5, + 4,1 + 8,0) cm = 1, cm, ha ( + b),8(5,+ 8, 0) arean är = cm = 5,08 cm 5 cm NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 5106 a) Omkretsen är 4 1,9 cm = 7,6 cm, arean är 1,9 1,9 cm =,61 cm,6 cm b) Omkretsen är (4,8+9,7) cm = 9 cm, arean är 4,8 9,7 cm = 46,56 cm 47 cm 5107 a) Omkretsen är (4, +,4 + 4,9) cm = 1,6 cm, bh 4,9,9 arean är = cm =,755 cm,8 cm b) Omkretsen är (,6 + 7,4 + 5,) cm = 16, cm, bh 5,, arean är = cm = 8,58 cm 8,6 cm 5108 Omkretsen är (,1 + 5,5) cm = 17, cm, arean är bh = 5,5,8 cm = 15,4 cm 15 cm 5109 Omkretsen är (7,1 + 1,0 + 6,4 + 18,0) cm = 4,5 cm, ha ( + b) 6,0(1,0 + 18,0) arean är = cm = 90 cm 90 cm 5110 Se facit 5111 Se facit. Kontakta din lärare om du vill diskutera din lösning. 511 Gräsmattan är kvadratisk Alla fyra sidor är lika långa och alla hörn är vinkelräta. Omkretsen är 7 m. Arean är b b b 4b= 7 b= 18 bb = 18 18 = 4 0 Svar: Gräsmattans area är 0 m b 511 Beräkna arean för den murade rektangeln och arean av den streckade triangeln var för sig. Husgavelns totala area är summan av rektangelns area och triangelns area. Rektangelns area: 8,,7 m = 0,4 m Triangelns area: 1. triangelns höjd h är (7,8,7) m = 4,1 m bh 8, 4,1. Arean A = = m = 16,81 m Totala arean: 0,4 m + 16,81 m = 47,15 m 47 m. Svar: Husgavelns area är 47 m 5114 Tak: 1,9, m = 1,16 m Sidor:,0,8 m = 5,1 m,1,1 Gavlar:,0,8 m + m= 8,64 m Totalarea: (1,16 + 5,1 + 8,64) m = 5,9 m 6 m Svar: Den minsta mängden tyg är 6 m. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 5115 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5116 Se facit. 5117 Tomtens area: 7 6 m = 96 m Husets area: 15 6 m + 5,5 5 m = 117,5 m Huset upptar 117, 5 = 1% av tomten. 96 0,1 Svar: 1% av tomten upptas av huset 5118 Flaggans längd L = (60 + 4 + 108) cm = 19 cm Flaggans höjd H = (48 + 4 + 48) cm = 10 cm Flaggans totala area A = 19 10 cm = 040 cm Korsets area är ( 4 10 + 4 19 4 4) cm = 691 cm (Kan räknas ut på fler sätt) Korset upptar 691 0,0 040 = Svar: Korset upptar 0% av flaggans area. 5119, 510 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 511, 51, Se facit. 51, 514 Det är bra att kunna göra enhetsomvandling själv på det sätt som visas i eemplet på sidan 1. 515 Omvandla så att det blir samma enhet på de areor som skall jämföras med varandra. 516 Omvandla så att det blir samma enhet på de areor som skall multipliceras med varandra. a) 0 m = 000 cm Arean = 000 cm cm = 4000 cm b) cm = 0,0 m Arean = m 0,0 m = 0,04 m 517 a) 1 ha = 100 m 100 m = 10000 m b) Skogsområdet är 1500 m 50 m = 55000 m = 55000 10000 ha = 5,5 ha 518 Eempel som löses i boken 519 Cirkelns omkrets är π d där d är cirkelns diameter. OBS! I många formelsamlingar finns formeln π r där r är cirkelns radie Cirkelns area är A= π r där r är cirkelns radie. a) Omkretsen är 8π cm 5 cm Arean är π r = π4 cm = 16π cm 50 cm b) Omkretsen är 10π cm 1 cm Arean är π r = π5 cm = 5π cm 79 cm NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 510 a) Arean är hälften av cirkelns area r 0 cm 00 cm 68 cm A = π = π = π 60 cm Omkretsen är halva cirkelns omkrets plus diametern π d + d = πr+ d = 0 π cm + 40 cm 10 cm Svar: Omkretsen är 10 cm och arean är 60 cm. b) Arean är 1 av cirkelns area 4 r 5 cm 156, 5 cm 491 cm A = π = π = π 490 cm 4 4 Omkretsen är en fjärdedel av cirkelns omkrets plus diametern d r 5 π + d = π + r = π cm + 5 cm 89 cm 4 Svar: Omkretsen är 89 cm och arean är 490 cm. 511 Se facit. Cirkeln omkrets kan också beräknas med formeln π r. 51 Cirkelns omkrets är π d där d är cirkelns diameter. OBS! I många formelsamlingar finns formeln π r där r är cirkelns radie Cirkelns area är A= π r där r är cirkelns radie. a) Omkretsen är 10π cm 1 cm Arean är π r = π5 cm = 5π cm 79 cm b) Omkretsen är 1,5π cm 9,4 cm Arean är r = 1, 5 cm =, 5 cm 7,1 cm π π π 51 Räkna på samma sätt som 510 a). 514 Skivan kostar 40 kr/m. Skivans area är πr = 0,6 π m 1,076 m. Skivan kostar 1,076 40 kr 89,8 kr 90 kr Svar: Skivan kostar 90 kr. 515 Cykelhjulet är 8 tum i diameter. 1 tum är,54 cm Cykelhjulets diameter är 8,54π cm,4 cm 1 km = 1000 m = 100000 cm Cykel hjulet snurrar 100000 varv 447,57 varv på 1 km., 4 Svar: Cykelhjulet surrar 448 varv på 1 km. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 516 Gräsmattans ursprungliga area: A= bh= 18 1 m = 16 m Area för en rabatt: A= π r A = π m = 9 π m r = d /= 6,0/ m=,0 m Rabatternas totala area: 18 π m Rabatterna upptar 18 π 0, 6 = 6 % av ytan. 16 Svar: Rabatterna upptar 6% av gräsmattans ursprungliga area 517 a) Kvadratens omkrets: 4 4, cm = 16,8 cm Cirkelns omkrets: 5 π cm 15, 7 cm Svar: Kvadraten har den största omkretsen b) Kvadratens area: 4, 4, cm = 17,64 cm Cirkelns area:,5 π cm 19, 6 cm Svar: Cirkeln har den största arean. 518 Området kan delas in i flera delområden. Den totala arean är summan av de ingående delarnas areor. Området delas enklast in i en rektangel,,6 cm,6 cm, och två halvcirklar med radien 1, cm. Rektangelns area är,6,6 cm = 9,6 cm π r Arean för två halvcirklar är = πr = π 1, cm 5,09 cm Sammanlagda arean är 9,6 cm + 5,09 cm 14,67 cm 15 cm Svar: Områdets area är 15 cm 519, 5140, 5141 Se bokens ledning samt lösningen i facit Kapitel 5. 501 Eempel som löses i boken 50 a) Kubens sidlängd är a. Kubens volym är a = 6,0 cm = 16 cm 0 cm Kuben area är 6 a = 6 6,0 cm = 16 cm 0 cm b) Rätblockets sidlängder är a, b och c. Rätblockets volym är abc = 4,5, 4,6 cm = 9,78 cm 40 cm Rätblockets area är ( ab + ac + bc) (4,5, 4 + 4,5, 6 +, 4,6) cm = 71,68 cm 7 cm NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 50 a) V = πr h= π,0 7,0 cm 198 cm 00 cm b) A rh dh mantel = π = π = π 6,0 7,0 cm 11,9 cm 10 cm c) Totala arean är mantelytans area plus bottenytan plus toppen. A = A = πr = π,0 cm 8, 7 cm 0 cm A botten topp total = + + = (4π 9, 0π 9, 0 π) cm 60 π cm 188 cm 190 cm 504 a) I Kubens bottenarea är 8, 0 cm = 64 cm II Rätblockets bottenarea är 9,0 6,8 cm = 61, cm 61 cm b) I Kubens volym är 8,0 cm = 51 cm 510 cm II Rätblockets volym är 9,0 6,8 5, cm = 18, 4 cm 0 cm 505 I Kuben area är 6 8,0 cm = 84 cm 80 cm II Rätblockets area är (9,0 6,8 + 9,0 5, + 6,8 5, ) cm = 86,7 cm 90 cm 506 a) Basytans area är πr = π 0 cm 156 cm 100 cm b) V = πr h= π 0 70 cm 87964 cm 88000 cm 507 a) Amantel = πrh= πdh= π 40 70 cm 8796 cm 8800 cm b) Totala arean är mantelytans area plus bottenytan plus toppen. A = A = πr = π 0 cm 8, 7 cm 0 cm A botten topp total = + + = (800π 400π 400 π) cm 600 π cm 1109, 7 cm 11000 cm 508 509 V = πr h= π 0,15 180 m 1, 7 m 1 m Svar: Röret tar upp 1 m. V = πr h= π 6,4,6 m 46, m 460 m Svar: Brunnen innehåller 460 m gödsel. 510 Mjölkförpackningen har samma form som ett rätblock. Arean är (9,5 6, 4 + 9,5 16, 4 + 6, 4 16, 4) cm = 64,1 cm 640 cm 511 Rummets mått: 19 m 1 m 5,0 m Luftens densitet är 1, kg/m. Rummets volym (tomt) är 19 1 5,0 m = 945 m Luften väger 945 m 1, kg/m = 88,5 kg 800 kg Svar: Luften i lagerlokalen väger 800 kg. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 51 Låt till eempel den lilla lådan ha måtten a = 1 cm, b = cm och c = cm. Eftersom alla motsvarande sidor på den stora lådan är dubbelt så långa har du A = cm, B = 4 cm, C = 6 cm. c a b a) Lilla lådans area är ( ab + ac + bc) = (1 + 1 + ) cm B = ( + + 6) cm = cm Stora lådans area är ( AB + AC + BC) = ( 4 + 6 + 4 6) cm = (8 + 1 + 4) cm = 88 cm Svar: Den stora lådans area är fyra gånger så stor som den lilla lådans area. b) Lilla lådans volym är abc = 1 cm = 6 cm Stora lådans volym är ABC = 4 6 cm = 48 cm Svar: Den stora lådans volym är åtta gånger så stor som den lilla lådans volym. C A Vill man visa detta på ett mer generellt sätt gör man så här: Låt den lilla lådans sidlängder vara a, b, och c VL = abc, A L = ( ab + ac + bc) Stora lådans sidlängder är då a, b och c AS = (a b+ a c+ b c) = 4 ( ab+ ac+ bc) = 4 AL VS = a b c= 8abc= 8VL a) Den stora lådans area är fyra gånger så stor som den lilla lådans area. b) Den stora lådans volym är åtta gånger så stor som den lilla lådans volym. 51 Låt cylinder A t e ha följande mått: r = 4 cm h = 5 cm Volymen blir då V = πr h= π 4 5 cm = 80 π cm Svar: Cylinder B har mindre volym än cylinder B. Då får cylinder B ha följande mått: r = cm h = 10 cm Volymen blir då V = πr h= π 10 cm = 40 π cm Vill du visa det generellt gör du så här: Cylinder A har radien r och höjden h. Cylinder B har då radien r/ och höjden h. Volymen för cylinder A är V = π r h. A A Volymen för cylinder B är V r πr h πr h V B = π = = = h 4. Cylinder B har hälften så stor volym som cylinder A. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 514 Den yta som skall målas är mantelarean ( väggen ) och toppen (taket). Cisternen är 5 m hög och har en radie på 5 m. 1 liter färg täcker 10 m, man skall måla två lager. Den yta som skall målas är Avägg + Atak = πrh+ πr = (π 5 5 + π 5 ) m 5890,5 m Eftersom ytan skall målas två gånger måste detta svar fördubblas 11781 m Färgen skall alltså räcka till 11781 m 11781 liter = 1187,1 liter 100 liter. 10 Svar: Man behöver 100 liter färg. 515 a h=? c b a = 6,5 cm b =,0 cm r c = 15,4 cm r = 9,0 cm V LÅDA = abc = 6,5,0 15, 4 cm = 0, cm VCYL = π r h= π 9,0 h= 81πh För att vattnet skall rymmas i cylindern måste V LÅDA = V CYL, det vill säga 81π h = 0, cm 0, h = cm 1,98 cm 1 cm 81π Svar: Cylinderns höjd måste vara minst 1 cm hög. 516 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 517 Stapelns längd är 18 m och dess bredd är,0 m. Stapelns medelhöjd är 1,51+ 1,70 + 1,49 + 1,6 + 1,7+ 1,68 + 1,56 + 1,57 + 1,4+ 1,59 m 1,588 m 10 Stapelns volym är 18,0 1,588 m 85,75 m 86 m Svar: Vedstapelns volym är ca 86 m. 518, 519 Se bokens ledning samt lösningen i facit 50, 51 Se facit. 5, 5 Det är bra att kunna göra enhetsomvandling själv på det sätt som visas i eemplet på sidan 1. 54 Omvandla så att alla volymerna har samma enhet, t e dm 600 liter = 600 dm, 0,45 m = 450 dm, 500 000 ml = 500 liter = 500 dm Svar: 0,45 m, 500 000ml, 560 dm, 600 liter NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 55 Tankens mått är 16 0 50 cm = 1,6,0 5,0 dm = 16 dm = 16 liter Svar: Tanken rymmer 16 liter 56 Tanken rymmer, m = 00 liter. Förbrukningen är 0 liter per dygn. 00 l Innehållet räcker 160 dygn 0 l/dygn = Svar: Tankens innehåll räcker 160 dygn. 57 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 58, 59 Eempel som löses i boken. 50 a) Konens basarea är π r I r =,0 cm πr = π,0 cm 8 cm II r = 48 cm πr = π 48 cm 78 cm 700 cm π rh b) Konens volym är I r =,0 cm, h= 6,0 cm πr h/ = π,0 6,0/ cm 57 cm II r = 48 cm, h= 90 cm πr h/ = π 48 90/ cm 17147 cm 51 r = 1 cm 4π r Klotets volym beräknas med formeln V = Klotets area beräknas med formeln A= 4π r 10000 cm 4π 1 cm 90,8 cm 900 cm 9, dm V = = A = 4π 1 cm 1, 7 cm 100 cm = 1 cm Svar: Klotets volym är 900 cm och klotets area är 100 cm. 5 r = 16 cm Halvklotets area är hälften av klotets area + basytan (den plana ytan). A klot 4π r A= + Acirkel = + πr = πr = π 16 cm 41 cm 4 dm Svar: Halvklotets area är ca 4 dm. 5 Se facit. 54 a) Konens basarea är π r I r = 8,0 cm πr = π 8,0 cm 01 cm 00 cm II r = 0 mm πr = π 0 mm 87 mm 8 cm NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 π rh b) Konens volym är I r = 8,0 cm, h= 8,0 cm πr h/ = π 8,0 / cm 56 cm 540 cm II r = 0 mm, h=60 mm πr h/ = π 0 60/ mm 56549 mm 57 cm 55 r = 8,0 cm a) Hälften av klotets volym V = = = b) Arean för en cirkel A= πr = π 8,0 cm 01 cm 00 cm 4πr πr π 8,0 cm 107 cm 4π r c) Hälften av klotets area A= = πr = π 8, 0 cm 40 cm 400 cm d) Summan av areorna i b) och c) A= πr + πr = πr = π 8, 0 cm 600 cm 56 r = 67 mil Jordklotets area beräknas med formeln A= 4π r A = 4π 67 mil 5099044 mil 5100000 mil = 5,10 10 mil 6 Svar: Jordens area är ca 5,10 miljoner mil. (OBS! Fel enhet i bokens facit) 57 Diametern ä 8,4 cm r = 4, cm 4π r Apelsinens volym beräknas med formeln V = 4π 4, cm 10 cm V = Svar: Klotets volym är 900 cm och klotets area är 100 cm. 58 r = 5, cm Stålets densitet är 7,8 ton 7,8 1000 kg 7,8 1000000 g = = = 7,8 g/cm m 1000000 cm 1000000 cm 4π r Kulans volym beräknas med formeln V = 4π 5, cm 588,997 cm V = Multiplicera volymen med densiteten för att beräkna hur mycket kulan väger. 7,8 4π r 7,8 588,997 g 4594 g 4,6 kg Svar: Kulan väger 4,6 kg π rh 59 Konens volym är πrh π 4, 0 6,0 r = 4,0 cm, h= 6,0 cm = cm 101 cm = 101 ml 10 cl Svar: Glaset rymmer 10 cl. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 540 r =,0 cm, h= 10 cm Glassen är sammansatt av en kon och ett halvt klot πrh π, 0 10 Konens volym är = cm 94, 5 cm 4πr πr π,0 Hälften av klotets volym V = = = cm 56,55 cm Totala volymen blir (94,5 + 56,55) cm 150,80 cm 150 cm. Svar: Glassens volym är 150 cm. 541 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 54 Eempel som löses i boken. 54 Tips: Det är oftast enklast att göra enhetsomvandlingarna före man beräkningarna. Cylinderns mått omvandlas till mm för att få samma volymsenhet som droppen. 1. Cylinderns volym r r = 4 mm h = 6 mm V CYL = π = π r h 4 6 = 076 π mm. Droppens volym r = 1,5 mm Droppens volym 4π 1,5 V = mm = 4,5 π mm 076π 076 Cylindern rymmer droppar = droppar = 4608 droppar 4600 droppar 4,5π 4,5 Svar: Cylindern rymmer 4600 droppar. 544 Se bokens ledning samt lösningen i facit. h 545 Rymdkapseln är sammansatt av en kon och ett halvt klot Halvklotets diameter är 4,0 m radien är,0 m den koniska delen är (5,0,0) m =,0 m lång. r =,0 m, h=,0 m πrh π, 0,0 1π Konens volym är = m = m = 4 π m 1,566 m 4πr πr π,0 16π Hälften av klotets volym V = = = m = m 1π 16π 8π Totala volymen blir ( ( + ) m = m 9, m 0 m Svar: Rymdkapselns volym är 0 m. 16,755 m NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 546 Konens radie är 60 mm och höjden 90 mm. πrh π Konens volym är 60 = 90 mm = 108000 π mm. Droppens radie är 1,5 mm 4π 1,5 mm 4,5 mm = π Volymen för en droppe är 108000π 108000 Konen rymmer droppar = droppar = 4000 droppar 4,5π 4,5 Svar: Konen rymmer 4000 droppar. 547, 548, 549 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 550 Eempel som löses i boken. 551 a) Prismats basyta är 5,6 4,0/ cm = 11, cm Prismats höjd är 4,8 cm Prismats volym är 11, 4,8 cm = 5,76 cm 54 cm Svar: Prismats volym är 54 cm. b) Pyramidens basyta är 15 16/ cm = 10 cm Pyramidens höjd är 18 cm Pyramidens volym är 10 18/ cm = 70 cm Svar: Pyramidenss volym är 54 cm. 55 a) Prismats basyta är en triangel med längden,6 cm och höjden,0 cm. Prismats basyta är, 6, 0/ cm =, 6 cm Svar: Prismats basyta är,6 cm. b) Prismats höjd är 4,0 cm Prismats volym är,6 4,0 cm = 14, 4 cm 14 cm Svar: Prismats volym är 14 cm. 55 a) Pyramidens basyta är en rektangel med längden 16 cm och höjden 8 cm. Pyramidens basyta är 16 8 cm = 18 cm 10 cm Svar: Pyramidens basyta är 10 cm. b) Höjden är 9 cm Pyramidens volym är 18 9/ cm = 84 cm 80 cm Svar: Pyramidens volym är 190 cm. 554 Se figuren i facit. Bh Tältets volym är V =, där B är basarean och h är höjden. B =,80,80 m,80 1,80 m 4,7 m V = h = 1,80 m Svar: Tältets volym är 4,7 m. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 Bh 555 Toppens volym är V TOPP =, där B är basarean och h är höjden. B = 1, 4 1, 4 dm 1, 4 1,15 dm VTOPP = h = 1,15 dm Lådans volym är V LÅDA = 1, 4 1, 4 1, 6 m Holkens totala volym är 1,4 1,4 1,6 dm + 1,4 1,15/ dm,9 dm =,9 liter Svar: Holken rymmer (tom),9 liter luft (om givna mått är innermått). 556, 557 Se bokens ledning samt lösningen i facit. Kapitel 5. 501 Eempel som löses i boken 50 Vinkelsumman i en triangel är 180. a) V inkel C = 180 80 40 = 60 b) Vinkel E = 180 10 5 = 5 50 Vinkelsumman i en rektangel är 60 a) V inkel A = 60 106 6 = 10 b) Vinkel M = 60 100 70 110 = 80 504 a) 108 + 0 = 18 b) Vinkel B = 180 18 = 4 eller v inkel B = 180 108 0 = 4 505 a) 114 + 44 = 7 b) Vinkel D = 60 7 = 88 eller v 506 = 180 55 7 = 98 Svar: Man ser sträckan AB under synvinkeln 98. 507 Vinkelsumman i en rektangel är 60 Vinkel A = 60 84 118 = 40 Svar: Vinkeln vid drakens svans är 40. 508 Ta kontakt med din lärare om du vill diskutera din lösning. inkel D = 60 114 44 = 88 509 En trubbig vinkel är större än 90. Det betyder att summan av två trubbiga vinklar blir större än 180. Eftersom en triangel har vinkelsumman 180 kan det bara finnas en trubbig vinkel i en triangel. En rektangel kan ha två trubbiga vinklar, se t e figurerna i uppgift 50. 510 Se bokens ledning samt lösningen i facit NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 511 Eempel som löses i boken. Vinkeln u ligger utanför triangeln. En vinkel som ligger på detta sätt har en speciell benämning: yttervinkel. Yttervinkeln u är alltid lika stor som summan av vinklarna z och w. w u = z + w z u 51 a) v = 8 + = 50 b) v = 105 60 = 45 51 a) v = + 49 = 8 b) v = 17 5 = 11 514 = 47 18 = 9 Svar: Båten syns från fönstret under höjdvinkeln 9 OBS! I bilden står det, därför tas inte gradtecknet med i uträkningen 515, 516 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 517 Eempel som löses i boken. 518 Vinkelsumman i en triangel är 180. a) V inkel A = 180 70 = 40 180 8 b) Vinkel E = Vinkel F = = 71 519 Vinkelsumman i en triangel är 180. Vinkel M = Vinkel L= 8 Vinkel K = 180 8 = 104 50 Vinkelsumman i en triangel är 180. a) V inkel C = 180 90 = 67 b) Vinkel K = 180 90 59, = 0, 7 51 En rätvinklig triangel är likbent om de två andra vinklarna är 180 90 = 45 5 Om vinkeln A är rät i en triangel ABC är vinkelsumman för vinklarna B och C 90 a) 4 + 66 = 100 90 c) 4,5 + 48,5 = 91 90 Svar: Triangeln är inte rätvinklig Svar: Triangeln är inte rätvinklig b) 17 + 7 = 90 d) 9,1 + 80,9 = 90 Svar: Triangeln är rätvinklig Svar: Triangeln är rätvinklig NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 5 Vinkelsumman i en triangel är 180 högst en trubbig vinkel i triangeln. a) 5 + 10 = 180 Svar: Triangeln är likbent c) 5 + 115 = 185 180 Svar: Triangeln är inte likbent b) 45 + 80 = 170 180 80 + 45 = 05 180 Svar: Triangeln kan inte vara likbent. d) 8 + 104 = 180 Svar: Triangeln är likbent 54 a) Basvinklarna är 180 4 = 78 b) Basvinklarna minskar med totalt 6. För att triangeln skall fortsätta vara likbent måste ändringen vara lika stor för båda vinklarna, dvs 6 / = c) Om de två basvinklarna ökar 6 vardera blir den totala ökningen 1. Därför måste toppvinkeln minska 1 eftersom triangelns vinkelsumma är konstant. 55 Se facit. 56 Vinkelsumman i en triangel är 180. Låt vinkeln vid triangelns spetsvara u. En basvinkel är då u + 9 Vi har alltså u+ ( u+ 9) = 180 u + 18 = 180 u = 54 u+ 9 = 6 Svar: Triangelns vinklar är 54, 6 och 6 57 Vinkelsumman i en triangel är 180. a) Basvinkeln är 180 115 = 65 = 180 65 = 50 Svar: Vinkeln är 50 b) Med hjälp vad vi vet om yttervinkeln från detta facit till uppgift 511 ser vi att = 110 = 55 Svar: Vinkeln är 55 58, 59 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 50 Eempel som löses i boken. 51 Ett halvt varv är 180. a) + = 180 = 180 = 60 = 10 Svar: Vinklarna är 60 och 10 b) + + 4 = 180 = 18 = 69 + 4 = 111 Svar: Vinklarna är 69 och 111 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 5 Vinkelsumman i en triangel är 180. a) + + 16 + 58 = 180 = 180 58 16 = 5 + 16 = 69 Svar: Vinklarna är 5, 58 och 69 b) + + = 180 5 = 180 = 6 = 7 Svar: Vinklarna är 6, 7 och 7 5 Vinkelsumman i en rektangel är 60 a) 100 + 108 + = 60 = 15 = 76 Svar: 76, 76, 100 och 108 54 Ett halvt varv är 180. a) + 4= 180 5 = 180 = 6 4 = 144 Svar: Vinklarna är 6 och 144 b) 80 + 70 + 0 + 90 = 60 = 00 = 150 80 = 70 och 0 = 10 Svar: 70, 70, 90 och 10 b) + + 6 = 180 + 6 = 180 = 77 + 6 = 10 Svar: Vinklarna är 77 och 10 55 Vinkelsumman i en triangel är 180. a) + 80 + 45 = 180 = 180 15 = 55 Svar: Vinkeln är 55 b) + 90 + 5 = 180 = 180 15 = 55 Svar: Vinkeln är 55 56 Vinkelsumman i en triangel är 180. a) + + 0 + 50 = 180 = 180 50 0 = 55 + 0 = 75 Svar: Vinklarna är 50, 55 och 75 b) + + 9 = 180 = 180 9 = 87 = 9 = 58 Svar: Vinklarna är 9, 58 och 9 57 Vinkelsumman i en rektangel är 60 a) + 105 + 115 + + 10 = 60 = 60 0 = 10 = 65 Svar: 65, 75, 105 och 115 b) + 8 + + 58 = 60 = 60 8 58 = 0 = 110 Svar: 58, 8, 110 och 110 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 58 Vinkelsumman i en triangel är 180. Se även uppgift 511 a) + + + 15 = 180 5 = 180 15 = 165 = Svar: Vinkeln är b) + = 14 = 14 = 6 Svar: Vinkeln är 6 59 Vinkelsumman i en triangel är 180. Se även uppgift 511 a) Vinkel B är. + = 75 = 75 = 5 = 50 b) Vinkel B är. 94 + = = 94 = 47 Svar: Vinkeln B är 50 Svar: Vinkeln B är 47 540 Låt den vinkeln vid triangelns topp vara. Basvinkeln är då. + + = 180 5 = 180 = 6 = 7 Svar: Triangeln vinklar är 6, 7 och 7. Se figuren i facit. 541 4+ 5+ 6= 180 15 = 180 = 1 4 = 48 Svar: Triangelns minsta vinkel är 48. Se figuren i facit. 54, 54 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 544 a) + 40 = 110 = 50 b) + 0 = = 0 = 15 545 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 546 Eempel som löses i boken. 547 Bågen är 50 = 5 av omkretsen., omkretsen är π r, r =,5 cm 60 6 5 10π r 5π Bågens längd är π r = = cm,18 cm. 6 6 6 Svar: Bågens längd är, cm NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 b) Sektorn är 50 5 = av arean., arean är A= π r, r =,5 cm 60 6 Sektorns area är 5 5,5 π c π r m = m,7 c. 6 6 Svar: Sektorns area är,8 cm. 548 Sektorn är 7 = 1 av hela cirkeln., 60 5 Omkretsen för en cirkel är π r, Arean för en cirkel är A= π r, r = 1 cm Bågens längd är 1 π r 4 π πr = = cm = 4,8 π cm 15,08 cm. 5 5 5 Sektorns omkrets är (1 + 1 + 4,8 π ) cm 9, 08 cm 9 cm 1 π 1 cm π r 90,48 cm =. Sektorns area är 5 5 Svar: Sektorns omkrets är 9 cm och sektorns area är 90 cm. 549 a) Bågen är 8 60 av omkretsen., omkretsen är π r, r = 6, cm 8 76π r 76π 6, Bågens längd är π r = = cm 4,11 cm. 60 60 60 Svar: Bågens längd är 4,1 cm b) Sektorn är 8 60 av arean., arean är A= π r, r = 6, cm 8 8π 6, cm Sektorns area är π r = 1,75 cm. 60 60 Svar: Sektorns area är 1 cm. 550 a) b) v π r = 4,5 4,5 60 60 v = 5 π 5,0 r = 5, 0 Svar: Medelpunktsvinkeln är 5 160 v = 10π 4,5r A = 11 cm v A= π r 60 Svar: Cirkelsektorns area är 11 cm. 551, 55, 55 Se bokens ledning samt lösningen i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 Kapitel 5.4 5401, 540, 540 Eempel som löses i boken 5404 Se facit. a) Eempel: Skalan uttrycks som bild : verklighet Ett föremål som är 1 cm i verkligheten är 1 1 cm = 0,0 cm = 0, mm på bilden. 50 Ett föremål som är 0 m i verkligheten är 1 0 m = 0, 4 m på bilden. 50 b) Eempel: Ett föremål som är 1 cm i verkligheten är 8 1cm på bilden. Ett föremål som är 5 mm i verkligheten är 8 5 mm = 416 mm 4 cm på bilden. 5405 Se facit. : y kan tolkas y om > y förstoring om < y förminskning 5406 a) Eiffeltornsmodellen blir 1 00 m m 100 = hög. b) Eiffeltornsmodellen blir 1 00 m 0,6 m 500 = hög. 5407 Skottkärremodellen är 1 av verklighetens skottkärra, 40 dvs den riktiga skottkärran är 40 gånger större än modellen. 40 4,5 cm = 180 cm = 1,8 m Svar: Skottkärran är 1,8 m i verkligheten 5408 Se facit och uppgift 5405. 5409 Racketen är 17 gånger större i verkligheten än på bilden a) 17 4 cm b) 17 4 cm = 68 cm Svar: Racketen är 68 cm i verkligheten. 5410 Se facit. 5411 Skala :1 betyder att bilden är gånger större än verkligheten. Verklighetens tärning är hälften så stor som bildens, dvs 1,5 cm/ = 0,75 cm. Svar: Tärningssidan är i verkligheten 0,75 cm. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 541 Skala 1:5 betyder att bildens längd är 1 5 av verklighetens längd. Verklighetens boll är fem gånger så stor som bildens, dvs 5 4,9 cm = 4,5 cm. Svar: Bollens diameter är i verkligheten 4,5 cm. 541 Se facit. 5414, 5415 Eempel som löses i boken. 5416 Längd i verkligheten: 4 mm Skala är bild : verklighet a) Längd i bild: 1 mm 1 1 1:4= = = 1: 4 Svar: Skalan är 1: Till skalor används endast heltal b) Längd i bild: 48 mm 48 48: 4 = = = :1 4 1 Svar: Skalan är :1 5417 Längd i verkligheten: 8,5 mm Skala är bild : verklighet a) Längd i bild: 4 mm 4 4 4 :8,5 = = = 4 :1 8,5 1 Svar: Skalan är 4:1 5418 Skala är bild : verklighet Längd i bild: 5 cm Längd i verkligheten: 175 cm 5 1 5:175 = = = 1: 5 175 5 Svar: Skalan är 1:5. b) Längd i bild: 1,7 mm 1, 7 1 1, 7 : 8, 5 = = = 1: 5 8,5 5 Svar: Skalan är 1:5 Det måste vara samma längdenhet för bilden och verkligheten för att man skall få rätt skala. 5419 Skala är bild : verklighet Längd i bild: 76 mm Längd i verkligheten: 19 mil = 190 km = 190 000 m = 190 000 000 mm 76 1 76 :190 000 000 = = = 1: 500 000 190 000 000 500 000 Svar: Skalan är 1: 500 000 540, 541 Eempel som löses i boken. 54 50000 5 mm = 1750000 mm = 1750 m = 1, 75 km 1,8 km Svar: Det är 1,8 km mellan Björkudden och Granbo. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 54 1 400 m 0,048 m 4,8 cm 50000 = = Svar: På kartan är det 4,8 cm mellan Enbacken och Granbo. 544 00000 6,5 cm = 100000 cm = 1000 m = 1 km Svar: Dagsetappen var 1 km. 545 I verkligheten är detaljen 7 mm = 16 mm. På den andra ritningen är detaljen 1 16 mm 54 mm 4 = Svar: Detaljen är 54 mm på en ritning i skala 1:4. 546 Höjden mäts på bilden till 5 mm. Skalan är 1:0. Räcket skall vara minst 1000 mm högt i verkligheten. I verkligheten är räcket 0 5 mm = 750 mm 750 mm < 1000 mm Svar: Räcket är inte tillräckligt högt eftersom det är lägre än 1000 mm. 547 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 548 Eempel som löses i boken. 549 a) Sidan DE c) Sidan EF b) 8 4 = Svar: gångers förstoring. d) = = 4 540 a) 6 = = 15 9 15 = = 10 Svar: = 10 b) 0 5 = = 1 18 51 = = 0 Svar: = 0 c) 5 = 8 4 58 = = 10 4 Svar: = 10 541 a) 10 5 = = 1 8 4 51 = = 15 4 Svar: Sidan är 15 cm. b) 0 5 = = 18 4 4 518 = =,5 4 Svar: Sidan är,5 cm. 54 0 y 0 = = = = 15 0 17 0 15 17 = = 10 y = = 5,5 6 Svar: Sidan = 10 cm och sidan y 6 cm. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 54 1,1 = 0, 7 0,8 1,1 0,7 = 18 0,8 Svar: Flaggstången är 18 m hög. 544, 545 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 546, 547 Eempel som löses i boken. Till skalor används heltal 548 a) längdskalan är : (bild : verklighet) b) areaskalan = längdskalan 4 = 4:9 = = 9 Areaskalan är 4:9 c) volymskalan = längdskalan 8 = 8:7 = = 7 Volymskalan är 8:7 549 a) Den stora triangelns bas är 1,0 = gånger större än den lilla triangelns bas, 4,0 det vill säga längdskalan är :1 areaskalan = längdskalan 9 = = = 9:1 1 1 Arean i den stora triangeln är 95,0 cm = 45 cm Svar: Den stora triangelns area är 45 cm. b) Den lilla rektangelns bas är,0 = 0, 4 av den lilla triangelns bas, 5,0 det vill säga längdskalan är :5 areaskalan = längdskalan 4 = = = 0,16 5 5 Arean i den lilla rektangeln är 0,16 10,0 cm = 1,6 cm Svar: Den lilla rektangelns area är 1,6 cm. 5440 Samma typ av uppgift 549a). T är avbildningen. Den längsta sidan i T är 15/45 = 1/ av motsvarande sida i T 1. Längdskalan är 1: areaskalan är 1:9 Arean för T är 756 cm /9 = 84 cm. Svar: Arean av T är 84 cm. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 5441 a) Det stora rätblockets kant är 8,0 = gånger större än det lilla rätblockets 4,0 motsvarande kant, det vill säga längdskalan är :1 volymskalan = längdskalan = = = 8:1 1 111 Volymen för det stora rätblocket är 8 0,0 cm = 160 cm Svar: Det stora rätblockets volym är 160 cm. b) Det lilla prismats kant är, 0 = 1, 0 = 0, 5 av det stora prismats 1,0 4,0 motsvarande kant, det vill säga längdskalan är 1:4 volymskalan = längdskalan 1 111 = = = 1:64 4 444 1 Volymen för det stora prismat är 0,0 cm 5,0 cm 64 = Svar: Det stora prismats volym är 5,0 cm. 544 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 544 Det stora prismats kant är 1 = 4 gånger så stort det lilla prismats 9 motsvarande kant, det vill säga längdskalan är 4: volymskalan = längdskalan 4 4 4 4 = = = 64 : 7 Volymen för det stora kärlet är 64 1,08 liter,56 liter,6 liter 7 = Svar: Det stora kärlets volym är,6 liter. 5444 Se bokens ledning samt lösningen i facit. Kapitel 5.5 5501, 550 Eempel som löses i boken. Om du har en miniräknare med -knapp trycker du 5,7 för att beräkna 5,7 550 a) kvadraten på 5,7 skrivs 5,7. Beräkningen är 5,7 5,7. 5,7 =, 49 b) kvadraten på 0,41 skrivs 0,41. Beräkningen som skall göras är 0,41 0,41. 0, 41 = 0,1681 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 5504 a) 5 + 46 = (15 + 116) = 41 c) 94 När du räknar med miniräknare behöver du inte ta med det led som står inom parentes. 7 = (886 79) = 8107 b) 86 + 57 = 10645 d) 45 5505 Hypotenusan i kvadrat är 50 = 500 Summan av kvadraterna på kateterna är 48 + 14 = 500 145 = 98000 Eftersom hypotenusan i kvadrat är lika med summan av kvadraterna på kateterna stämmer Pythagoras sats. 5506 Hypotenusan i kvadrat är 10 =100 Summan av kvadraterna på kateterna är 8 Pythagoras sats stämmer. + 6 = 100 5507 a) 5 + 6 = 61 61 64 8 = 64 Triangeln är inte rätvinklig. b) 5 + 1 = 169 169 169 = 1 = 169 Triangeln är rätvinklig. 5508 a) 5 = 5 5= 5 c) 1,5 = 1,5 1,5 = 156, 5 b) 7, 1 = 7,1 7,1 = 50, 41 d) 5509 a) 17 = 17 17 = 89 b) 1 = 1 1 = 169 c) 17 + 1 = 89 + 169 = 458 0,55 = 0,55 0,55 = 0,05 5510 Se facit och lösningen till uppgift 5504. Kontakta din lärare om du behöver hjälp. 5511 a) 11 + 5 = 746 9 = 841 746 < 841 c) 15 + 8 = 1009 41 = 1681 1009 < 1681 b) 96 70 = 416 = 1 64 416 > 64 d) 14 9 = 1645 10 = 14400 1645 > 14400 551 a) Hypotenusan i kvadrat är 15 = 5. Summan av kvadraterna på kateterna är 9 + 1 = 5. Pythagoras sats stämmer. c) Hypotenusan i kvadrat är 9 = 841. Summan av kvadraterna på kateterna är 0 + 1 = 841. Pythagoras sats stämmer. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 b) Hypotenusan i kvadrat är 1,5 = 156, 5. Summan av kvadraterna på kateterna är 1, 0 +,5 = 156, 5. Pythagoras sats stämmer. d) Hypotenusan i kvadrat är 0,8 = 4, 64. Summan av kvadraterna på kateterna är 19, + 8,0 = 4,64. Pythagoras sats stämmer. 551 a) 7 + 19 = 410 410 441 1 = 441 Triangeln är inte rätvinklig. c) 9 + 40 = 1681 1681 1681 = 41 = 1681 Triangeln är rätvinklig. b) 1 + 16 = 400 400 400 = 0 = 400 Triangeln är rätvinklig. d) + = 8 8 9 = 9 inte rätvinklig. Triangeln är 5514 Triangeln är rätvinklig. Det betyder att Pythagoras sats gäller. Hypotenusan i kvadrat är 160 = 5600 Lisas resultat ger 101 + 18 = 6585 Tommys resultat ger 94 + 18 = 50 Anns resultat ger 96 + 18 = 5600 vilket är lika med hypotenusan i kvadrat. Svar: Ann har bestämt avståndet korrekt. 5515 Detta kan även visas generellt. Triangeln är rätvinklig, då gäller att a + b = c. I uppgiften är a= 4, b= och c= 5. Kvadraten på hypotenusan är c = (5 ) = 5 5= 5. a c Summan av kvadraterna på kateterna är a b + = (4 ) + ( ) = 16 + 9 = 5. Vi har alltså att 5 5 =. Det är sant för alla värden på. b 5516, 5517 Eempel som löses i boken. 5518, 5519, 550, 551 Se eemplen 5516 och 5517. 55, 55, 554, 555 Kontakta din lärare om du 556, 557, 558 behöver mer hjälp med detta. På de flesta moderna miniräknare trycker man först -knappen, sedan matar man in det tal man skall bestämma kvadratroten till. 559 a) + 8= 17 = 17 8 = 9 = = 9 b) 4 = 5 = 5 + 4 = 49 = 7 = 49 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 550 a) 15 = 10 = 15 + 10 = 5 = 5 = 5 551 a) = 6 + 8 = 6 + 64 = 100 = 10 = 100 b) 100 = + 64 = 100 64 = 6 = 6 = 6 b) 17 = 8 + = 17 8 = 5 = 15 = 5 55 Se facit. 55 a) 1= 49 = 49 + 1 = 50 = 50 7,07 b) 86 = 4 = 86 + 4 = 90 = 90 9, 47 554 a) Kvadrater på följande heltal ligger mellan 100 och 00: 11 ( 11 = 11), 1 ( 1 = 144), 1 ( 1 = 169) och 14 (14 = 196). b) Kvadratrötterna av följande heltal ligger mellan 10 och 0: 11, 144, 169, 196, 5, 56, 89, 4 och 61. 555 Löses enklast med miniräknare men man kan lösa det genom lite tankearbete. Eftersom 8 8 = 64 < 7 och 9 9 = 81 > 7 måste roten ur 7 vara större än 8 men mindre än 9. Svar: 7 ligger mellan 8 och 9. 556 Sätt in värdet på i formeln för y. y = 14 y = 14 1 77,95 78 = 1 Svar: Bilens hastighet var 78 km/h. 557 a) Arean är cm. = 47,5 6,89 Svar: Sidan är 6,89 cm lång. b) Omkretsen är 4 cm. 4 = 4 47,5 7,57 Svar: Omkretsen är 7,6 cm. Arean 47,5 cm 558, 559, 5540 Se bokens ledning samt lösningen i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 5541, 554 Eempel som löses i boken. 554 Trianglarna är rätvinkliga. Därför kan Pythagoras sats användas för att lösa uppgifterna. a) = 0 + 15 c) =,1 + 9, 7 = 400 + 5 = 65 = 65 = 5 10, = 9,61+ 94,09 = 10,7 = 10,7 b) = 1,0 + 1,0 = 144 + 168 = 1 = 1 d) 17,7 14,4 = 10, + 10, = 104, 04 + 104, 04 = 08, 08 = 08, 08 5544 Se facit. 5545 = 0,0 + 1,0 = 400 + 441 = 841 = 841 = 9 Svar: Hypotenusan är 9 m lång. 5546 a) d = 150 + 80 = 500 + 1600 = 8900 = 8900 = 170 Svar: Diagonalen är 170 cm lång. b) = 4,1 + 6, 7 = 16,81+ 44,89 = 61, 70 = 61,70 7,854 Svar: Diagonalen är 7,9 dm lång. 5547 Se facit. Man går 7 rutor (motsvarar 7 cm) i sidled och rutor vinkelrätt i höjdled för att komma från A till B. 5548 Det är 90 vinkel mellan rakt norrut och rakt österut. Avståndet mellan Britta och Anders är m. = 85 + 9 = 15689 = 15689 15 Svar: Avståndet mellan Britta och Anders är 15 m. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 5549 Fågelvägen är det m till toppen. = 150 + 40 = 178900 = 178900 118, 7 10 Svar: Fågelvägen till toppen är 10 m. 5550 Eempel som löses i boken Det sparar tid och knapptryckningar på miniräknaren att direkt kunna beräkna till eempel 7,5, 7 utan att först räkna ut vad 7,5,7 är. För att det skall bli rätt räknat behövs parenteser runt uttrycket under rottecknet Tryck alltså ( 7,5,7 ) 5551 a) + 4 = 5 = 5 4 = 5 4 = Svar: Kateten är cm. c) + 1 = 1 = 1 1 = 1 1 = 5 Svar: Kateten är 5 cm. b) + 6 = 10 = 10 6 = 10 6 = 8 Svar: Kateten är 8 mm. d) + 4 = 5 = 5 4 = 5 4 = 7 Svar: Kateten är m. 555 Sträckan BC är m. + 70 = 840 = 840 70 = 840 70 4, 7 40 Svar: Det är 40 m mellan B och C. 555 Se facit. I en rätvinklig triangel måste det finnas en vinkel som är 90. 5554 Den okända kateten är cm. + 10 = 6 = 6 10 = 4 Svar: Kateten är 4 cm. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 5555 Kortaste vägen mellan två punkter (i ett plan) är en rät linje (fågelvägen), i detta fall hypotenusan i en rätvinklig triangel med katetlängderna 10 m respektive 40 m. Tillbakavägen är m. Totalt simmar hon (10 + 40 +) m. = 10 + 40 = + + + 17 Svar: Ingrid simmar 90 m. 10 40 10 40 87 90 5556 Se bokens ledning samt lösningen i facit 5557 Den del av stammen fällts motsvaras av hypotenusan i en rätvinklig triangel med katetlängderna 1,4 m respektive 14,5 m. Denna del av stammen är m lång. Trädet totala höjd var (1,4 + ) m. = 1, 4 + 14,5 = + + 14,57 1, 4 14,5 1, 4 14,57 16 Svar: Trädet var 16 m högt. 5558, 5559, 5560 Se bokens ledning samt lösningen i facit. Kapitel 5.6 Att ha en bra strategi för att lösa problem är viktigt och det gäller inte bara inom matematikens område. Tag för vana att använda denna stegmetod i så stor utsträckning som möjligt, det vinner du på i längden. 1. Förstå problemet. Gör upp en plan. Följ din plan Kontrollera ditt svar (är det orimligt börjar du om vid steg ) 5601 Eempel som löses i boken. 560 Förstå problemet: Vad frågar man efter? Vilka fakta finns? Uppskatta burkens volym: Burkens volym efterfrågas. Burkens höjd och burkens rymddiagonal. 0 cm hög och 4 cm rymddiagonal är som en liten hink, ca 5-8 liter NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 Gör upp en plan: Tänk: Skriv: Rita: Det finns en formel för en cylinders volymv = π r h. Volymen V:? cm Eftersom burkens radie inte finns given i problemet måste den bestämmas på något sätt. Höjden h: 0,0 cm Diagonalen D: 4,0 cm Diametern d:? cm D h Med hjälp av Pythagoras sats kan diametern räknas ut och därmed även radien (som ju är hälften av diametern). D = d + h d = D h d D h r = = d När radien har räknats ut kan volymen beräknas. Följ din plan: Beräkna radien: 4 0 r = cm = 8 cm Beräkna volymen: V = πr h= π 8 0 cm 60 cm 6,0 dm Kontrollera svaret: Volymen uppskattades till mellan 5 och 8 liter och beräknades till 6,0 liter. Eftersom det var god överensstämmelse mellan det uppskattade (förväntade) resultatet och det beräknade är vi nöjda och behöver inte göra någon ny plan. 560 Förstå problemet: Områdets area skall beräknas. Uppskatta svaret: Halvcirkeln ser ut att vara något mindre än triangeln. Totalarean bör därför vara mer än för en triangel men mindre än arean för två trianglar. Gör upp en plan: Området kan delas in i två delar: en triangel och en halvcirkel. bh π r ATOTAL = ATRIANGEL + AHALVCIRKEL där ATRIANGEL = och AHALVCIRKEL = För att använda formlerna för triangelns area måste man veta basens och höjdens längd, för att använda formel för halvcirkelns area måste man veta radien eller diametern. Triangelns höjd h är lika med halvcirkelns diameter, fås med hjälp av Pythagoras sats. Följ din plan: bh 15 8 A TRIANGEL = = cm = 60 cm h = 17 15 cm = 8 cm πr π 4 A HALVCIRKEL = = cm 5 cm A = A + A 85 cm TOTAL TRIANGEL HALVCIRKEL NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 Kontrollera ditt svar: Den beräknade arean ligger i intervallet 60-10 cm som vi förväntade oss. 5604 Förstå problemet: Beräkna totala arean. Arean kan delas in enligt figuren till höger. Resultatuppskattning: Arean är mellan 15h och 5h. Gör upp en plan: Det finns en formel för parallelltrapetsets area. ( a+ b) h A = där a = 15 cm och b = 5 cm (5+15+5)cm Höjden h cm kan beräknas med Pythagoras sats. 1 h 5 h 1 5 = + = Följ din plan: h = = 1 5 cm 1 cm (15 + 5) 1 A = cm = 40 cm Kontrollera ditt svar: 15h = 180 < 40 < 5h = 00. Svaret ligger i det intervall vi förväntade oss. 1 h 15 5 15 5 1 (cm) 5605 Förstå problemet: Räkna ut hur lång tid det tar att gå runt fältet. Camilla går med hastigheten 75 m/min. Uppskattning av resultatet: Omkretsen är ca 1 km vilket tar ca en kvart 150 405 h Gör upp en plan: 1. Räkna ut den sneda sidan med hjälp av Pythagoras sats.. Räkna ut figurens omkrets (summan av sidlängderna). s. Räkna ut tiden med formeln t = v där t är tid, s är sträcka och v är hastigheten. 5 (m) Följ din plan: 1. Överhänget på fältets övre kant = triangelns bas = 80 m. = 150 + 80 = 150 + 80 = 170.. Omkretsen är ( 150 + 405 + 170 + 5) m = 1050 m.. s 1050 t = = min = 14 min v 75 Kontrollera ditt svar: Svaret 14 min stämmer väl med uppskattningen. 5606 Se bokens ledning samt lösningen i facit NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 5607 Sökt: Burkens volym Känt: d =,00 dm Mantelarea = 18,0 dm Användbara formler: AMANTEL = πrh= πdh π dh VCYLINDER = π r h= 4 Kombinera ihop formlerna ovan AMANTELd 18,0,00 V CYLINDER = = dm = 1,5 dm 4 4 Svar: Burkens volym är 1,5 dm. d h 5608 Den höga, smala burken har radien r och höjden h V HÖG = πr h= πr h. Den låga, breda burken har radien r och höjden h V = π( r) h= 4πr h. LÅG 4π rh är dubbelt så mycket som π rhdet vill säga den låga burken rymmer dubbelt så mycket sylt som den höga burken. 5609, 5610 Se förklaringen i bokens facit. Kontakta din lärare om du vill ha mer hjälp. 5611, 561, 561, 5614, Se bokens ledning samt lösningen i facit 5615, 5616, 5617 Kapitel 5.7 5701 Eempel som löses i boken 570, 570, 5704, 5705, 5706, Se facit. Kontakta din lärare om du behöver hjälp. 5707 a) H, M, O, T, U, V, W, X, Y, Å, Ä, Ö (och A) b) C, D, E, H, I, K, X (och B) 5708, 5709, 5710, 5711, 571, 571, 5714 Se facit. Kontakta din lärare om du behöver hjälp. 5715 a) 47,615 1 c) 55 0,618 89 b) 68 0,88 77 d) 89 1,618 55 5716 I en gyllene rektangel är förhållandet mellan långsidan och kortsidan 1,618:1 Förhållandet mellan Parthenons långsida och kortsida är 9,6 1,618 = 1,618:1. 18, 1 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 5717 a) BC 15 1,5 1, 5 :1 AB = 1 = 1 = Ej gyllene rektangel b) BC 55 1,618 1,618:1 AB = 4 1 = Gyllene rektangel c) BC 9 1,899 :1 AB = 49 Ej gyllene rektangel d) BC 144 1,618:1 AB = 89 Gyllene rektangel 5718 AB är 1,0 längdenhet. BM = MF som är 0,5 längdenhet MP är lika lång som MC A P D Triangeln MFP är rätvinklig, därför kan Pythagoras sats användas r = 1,0 + 0,5 = 1, 5 B M F C r = 1, 5 Sträckan MC är 1, 5 längdenheter. Sträckan BC är 0,5 + 1, 5 längdenheter BC 0,5 + 1, 5 = 1, 618 :1 AB 1 dvs det gyllene snittets proportioner. 5719 Förhållandet mellan ett A4-arks långsida och kortsida är 97 1,414 :1 10. För att få förhållandet 1,618:1 måste kortsidan bli mindre (eftersom långsidan inte kan öka i detta fall). Antag att kortsidan skall vara mm. Då får vi följande ekvation att lösa 97 1,618 1,618 184 = 1 = 97 Eftersom kortsidan är 10 mm från början måste man klippa bort (10 184) mm = 6 mm längs med långsidan. 570, 571 Se facit. Kontakta din lärare om du vill diskutera dina resultat. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 Tema: Trigonometri Vinklar kan mätas med olika enheter. I denna kurs används bara den enhet som innebär att det är 60 på ett varv. Den typ av miniräknare som används när man räknar trigonometri kan ställas in för att kunna användas för olika vinkelenheter. För att få rätt svar när du räknar de följande uppgifterna är det viktigt att din räknare är rätt inställd. Du kan testa detta genom att undersöka vad sin 90 blir. Får du resultatet sin 90 = 1 är din räknare rätt inställd. 1 a) b) c) motstående katet 5 sin v = = 0,574 hypotenusa 61 närliggande katet 50 cosv = = 0,80 hypotenusa 61 motstående katet 5 tan v = = = 0,70 närliggande katet 50 Se facit. På de flesta moderna miniräknare beräknas sin 5 genom att man 1. först trycker på [sin]-knappen,. sedan matar man in 5,. därefter trycker man 4. [EXE] (Casio) eller [ENTER] (Teas) eller [=]. Vinkeln v och närliggande katet AB är kända och man frågar efter höjden BC som är en motstående katet. Problemet löses med hjälp av tangens (tan). motstående katet BC tan v= = BC = AB tan v= 18, tan 40 15, närliggande katet AB Svar: Flaggstången är 15, m hög. 4 Vinkeln v och hypotenusan AB är kända och man frågar efter avståndet AC som är en närliggande katet. Problemet löses med hjälp av cosinus (cos). närliggande katet AC cos v = = hypotenusan AB AC = AB cos v = 65 cos 7 557 Svar: Avståndet över viken är 557 m. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel 5 5 Vinkeln v och hypotenusan AB är kända och man frågar efter avståndet BC som är en motståendende katet. Problemet löses med hjälp av sinus (sin). motstående katet BC sin v = = hypotenusan AB BC = AB sin v = 9 sin 15 Svar: Masten är 15 m hög. 6 7 Se facit Om du skall bestämma vinkeln v är då tan v = 1 19 gör du så här Casio (de flesta nya modeller): Tryck [SHIFT][tan](1/19)[EXE] Teas (de flesta nya modeller): Tryck [nd][tan](1/19)[enter] 8 Vill man beräkna hur stor en vinkel v är och man vet hur lång den motstående kateten och närliggande katet används inversfunktionen arctan v. På miniräknaren betecknas detta tan -1, hur man gör beskrivs ovan. motstående katet 1,8 tan v= = v= arctan (1,8 / 4,7) 1 ` närliggande katet 4,7 Svar: Vinkeln v är 1 9 a) Ledning: sin v = 56 / 70 b) Ledning: ta n v = 45/ 7 10 a) Ledning: tan v = 0 / b) Ledning: cos v = 8 / 6 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00