Tentamen i Tillämpad matematisk statistik LMA5 för EPI och MI den dec Tentamen består av åtta uppgifter om totalt 5 poäng. Det krävs minst poäng för betyg 3, minst 3 poäng för och minst poäng för 5. Eaminator: Ulla Blomqvist, ankn 5886 Hjälpmedel: Chalmersgodkänd miniräknare, Matematisk statistik, Ulla Dahlbom och Håkan Blomqvists formelsamling. Formelsamlingen och boken får inte innehålla egna anteckningar. Lycka till! Uppgift : Anta att vi har två urnor, U och U. Urna U innehåller vita och 3 svarta kulor medan urna U innehåller vita och 6 svarta kulor. En symmetrisk tärning kastas. Om man får upp ett udda antal ögon så flyttas en slumpmässigt vald kula från urna U till urna U. Om man får upp ett jämnt antal ögon så flyttas en slumpmässigt vald kula från urna U till urna U. Vad är sannolikheten att man efter kast har vita kulor i urna U? Uppgift : Ur ett parti med CD-skivor packat i lådor väljer man slumpmässigt ut lådor för kontroll. a) Hur stor är sannolikheten att man i de utvalda lådorna hittar några repiga CDskivor om hela partiet består av lådor, varav innehåller repiga CD-skivor? b) Anta att man upprepar denna kontroll varje gång ett sådant parti köps in. Anta också att kvaliteten är samma varje gång d.v.s. av lådor innehåller repiga CD-skivor. Under en månad genomförs 5 sådana kontroller. Vad är sannolikheten att man vid minst ett tillfälle finner repiga CD-skivor? Uppgift 3: En dator uppgraderas med ett nytt operativsystem. Ändringen av tiden, i sekunder, att koppla upp sig mot Internet kan beskrivas av nedanstående frekvensfunktion: f() = c e c < a) Bestäm konstanten c. b) Bestäm fördelningsfunktionen c) Vad är sannolikheten att uppkopplingstiden med hjälp av den nya systemet förändras med minst en halv sekund? (8 poäng)
Uppgift : Anta att du spelar ett spel där du kan vinna eller förlora kr varje gång med sannolikheten.5 för vardera alternativet. Anta att du spelar detta spel gånger. Vad är sannolikheten att du vinner minst kr totalt? Uppgift 5: Ett återkommande problem är att returfjädern i fartreglaget på låglyftande truckar går av. Vid inspektion av fjädrar som gått av har det visat sig att dessa har saknat fett. Man beslöt vid ett tillfälle att genomföra ett faktorförsök för att undersöka vilka faktorer som var kritiska för livslängden. Önskvärt vore om man kunde få fram en fjäder med tillfredsställande livslängd, även utan infettning. De faktorer respektive nivåer som användes var: + A: Bockningsradie 3 mm 6 mm B: Material Vanlig fjädertråd Rostfri tråd C: Smörjmedel Ej infettat Infettat Som resultatvariabel valdes antal cykler till brott i tusental. Provet avbröts vid 3 miljoner cykler, vilket motsvarar minst 5 års normaldrift. Följande resultat erhölls: fjäder fjäder fjäder fjäder fjäder Medel- Standard- A B C nr nr nr 3 nr nr 5 värde avvikelse - - - 3 3 3 5 3 875 5. + - - 5 65 3 3 56 635 333. - + - 5 5 5 5 5 5. + + - 5 3 5 5 5 65 3.6 - - + 3 3 3 3 3 3. + - + 3 3 3 3 3 3. - + + 3 766 3 56 38 9 36.8 + + + 56 3 3 3 3 5 9.3 Följande effekter beräknades l A = 86.5 l B = 85.5 l AB = 6.5 l ABC = 78.75 a) Använd ovanstående för att bestämma de resterande effekterna. b) Beräkna ett 99%-igt referensintervall för effekterna. c) Ange en matematisk modell för ovanstående situation där enbart signifikanta effekter ingår. (8 poäng) Uppgift 6: Anta att du skall genomföra ett 5- -faktorförsök. a) Hur många faktorer kommer att undersökas? b) Hur många försök krävs? c) Hur många generatorer används? d) Hur många definierande relationer finns? ( poäng)
Uppgift 7: Anta att man vill bestämma en lämplig provtagningsplan som går genom punkterna (p =., L(p ) =.95) och (p =.5, L(p ) =.) på OC-kurvan. a) Bestäm en enkel provtagningsplan som uppfyller detta villkor genom att använda det bifogade binomialfördelningsnomogrammet. b) Bestäm en dubbel provtagningsplan som uppfyller detta villkor. Uppgift 8: För en process som är under statistisk kontroll är p = 3%. Man tar dagligen enheter för kontroll och använder ett p-diagram med 3-sigma-gränser. a) Vad är genomsnittligt antal inprickade punkter i kontrolldiagrammet fram till ett falsklarm, ARL? b) Vad är sannolikheten att en plötslig ändring till p = 6% upptäcks ) vid första provgruppen efter ändringen? ) vid någon av de tre första provgrupperna efter ändringen?
Lösningar till Tillämpad matematisk statistik den /- Uppgift : Det finns olika situationer som kan uppstå när man kastar tärningen: (udda, udda) (udda, jämn) (jämn, udda) (jämn, jämn) Vart och ett av fallen inträffar med sannolikheten Situation : (udda, udda) I denna situation flyttas en kula från uran U efter både första och andra kastet. Det betyder att kulorna som flyttas båda måste vara svarta. P(svart efter kast svart efter kast ) = 3 = 7 6 7 Situation : (udda, jämn) I denna situation flyttas en kula från uran U efter första kastet och en kula från urna U efter andra kastet. Nu kan situationer uppkomma: (svart, svart) eller (vit, vit) P(svart efter kast svart efter kast ) + P(vit efter kast vit efter kast ) = = 3 7 5 + = 7 7 77 Situation 3: (jämn, udda) I denna situation flyttas en kula från uran U efter första kastet och en kula från urna U efter andra kastet. Även här kan situationer uppkomma: (svart, svart) eller (vit, vit) P(svart efter kast svart efter kast ) + P(vit efter kast vit efter kast ) = = 6 5 + = 8 8 Situation : (jämn, jämn) I denna situation flyttas en kula från uran U efter både första och andra kastet. Det betyder att kulorna som flyttas båda måste vara svarta. P(svart efter kast svart efter kast ) = 6 5 = 9 3 7 P( vita i urna U efter kast) = ( + + + ) =. 3897 7 77 3 88
Uppgift ξ = antal lådor med repiga CD-skivor i urvalet ξ = Hyp(N, Np, n) = Hyp(,, ) a) P(ξ > ) = P(ξ = ) = 8 = 8 7 6 5 9 8 7 = 3 = 3 b) η = antal tillfällen man finner repiga CD-skivor i urvalet η = Bin(n, p) = Bin(5, 3 ) P(η > ) = P(η = ) = 5 3 3 5. =.99588 Uppgift 3: e a) f ()d = c d + c e d = c + c = 6 = c + c ( ) = c ñ c =.5 6 6 b) : F() = f (t)dt = < < : t F() = f(t)dt = dt +.5 ( t )dt =.5 =.5 ( + ) =.75( + ) : F() = 6t f (t)dt = dt +.5 ( t)dt +.5 e dt = 6t t e e = + 6.5 +.5 =.5( + ) +.5( + ) =.5e + 6 6 6 fortsättning uppgift 3b på nästa sida
fortsättning uppgift 3b Fördelningsfunktionen: F() =.75(.5e + ) + för för < < för c) P(.5 < ξ) + P(ξ <.5) = P(ξ <.5) + P(ξ <.5) = = [.5e + ] =.5 + [.75( + ) ] =. 5 =.5 e -3 +.565 º.579 Uppgift : ξ i = vinsten efter ett spel ξ = P(ξ = ) -.5.5 E(ξ) =.5 +.5 = Var(ξ) = ( ).5 +.5 = η = total vinst efter spel där η = ξ + ξ +.. + ξ E(η) = E(ξ) = Var(η) = Var(ξ) = = n 3. använd normalapproimation (centrala gränsvärdessatsen) P(η > ) = P(η < ) = P(Z < ) = P(Z <.3).655 =.375 Uppgift 5: 3 + 3 + 9 + 5 875 + 635 + 5 + 65 a) l C = = 657.5 875 + 5 + 3 + 5 635 + 65 + 3 + 9 l AC = = 98.75 875 + 635 + 9 + 5 5 + 65 + 3 + 3 l BC = =.5
b) σ är okänd använd t-fördelningen med 5 8 8 = 3 df Eftersom N = > 3 kan man välja om man vill göra beräkningen eakt eller om man vill använda centrala gränsvärdessatsen och använda normalfördelningen. s = [(5 ) 5. 333. 3. + 5 8 8 p 6 + ( 5 ) 36.8 9.3 ] = 8967.53 ± t s p N ±. 75 8967.53 ± 8.59 c) Faktorerna B och C ger signifikanta effekter ŷ l B l C = l M + B + C 85.5 ŷ = 78.875 B 657.5 + C där l M = 875 + 635 + 5 + 65 + 3 + 3 + 9 + 5 8 = 78.875 Uppgift 6: a) 5 faktorer, A, B, C, D och E b) 8 försök c) generatorer, t.e. D = AB och E = AC d) 3 definierande relationer. Av ovanstående generatorer erhålls I = ABD I = ACE I 3 = I I = ABD ACE = BCDE Uppgift 7: a) Från binomialfördelningsnomogrammet fås ungefär n = c= 3 p.5 b) = = 5 Välj provtagningsplan 5 där n = n p. Tabellen ger c = c = och n p = n ÿ. =.77 ñ n = 77 En lämplig dubbel provtagningsplan blir n = 77 n = 5 c = c = r =r = 5
Uppgift 8: Kontrolldiagrammets styrgränser blir p ( p).3.97 S ö = p + 3 =.3 + 3 =. 56 p ( p).3.97 S u = p 3 =.3 3 =. a) ARL = L(p) L(p) = P(. < pˆ <.56) = P(pˆ <.56) P(pˆ <.) =.56.3..3 = P(Z < ) P(Z < ) = P(Z < 3.5) P(Z < 3.5) =.3.97.3.97 = P(Z < 3.) ( P(Z < 3.)) = P(Z < 3.) = ÿ.9987 =.997 ARL = = 38.6.997 b) p-värdet ändras till.6 P(. < pˆ <.56) = P(pˆ <.56) P(pˆ <.) =.56.6..6 = P(Z < ) P(Z < ) = P(Z <.3) P(Z <.7) =.6.9.6.9 = P(Z <.3). =.633 =.3669 ) P(upptäckt i första provgruppen efter ändring) =.633 ) P(upptäckt i någon av de tre första provgrupperna efter ändring) = P(upptäckt i första provgruppen) + P(upptäckt i andra provgruppen) + P(upptäckt i tredje provgruppen) = =.633 +.3669 ÿ.633 +.3669 ÿ.3669 ÿ.633 =.956