Kopletterande lösningsförslag och ledningar, Mateatik 3000 kurs B, kapitel 4 Kapitel 4.1 4101 Eepel so löses i boken. 410 Triangelns vinkelsua är 180º. a) 40º + 80º + = 180º b) 3º + 90º + = 180º = 180º 10º = 180º 113º = 60º = 67º 4103 a) 180º 105º = 75º (Sidovinklar) 75º + 80º + = 180º (Triangelns vinkelsua) = 180º 155º = 5º b) 110º + 110º + = 360º (Fyrhörningens vinkelsua) = 360º 0º = 140º = 70º 4104 Triangelns vinkelsua är 180º. a) + 45º + 80º = 180º b) + 35º + 90º = 180º = 180º 15º = 180º 15º = 55º = 55º 4105 Fyrhörningens vinkelsua är 360º. a) + 100º + 70º + 110º = 360º b) + 58º + 87º + 75º = 360º = 360º 80º = 360º 0º = 80º = 140º 4106 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 4107 a) + 3 + + 15º = 180º (Triangelns vinkelsua) 5 = 165º = 33º b) 180º 76º = 104º (Sidovinklar) + + 4º + º + 104º = 360º 4 + 86º = 360º 4 = 74º = 68,5º (Fyrhörningens vinkelsua) 4108 Ibland räcker det inte att ange vinkeln ed bara en bokstav. När det finns öjlighet till issförstånd skriver an vinkeln so den väg an går geno vinkeln. I figuren är vinkeln A saa sak so vinkeln DAB (eller BAD) A = DAB Vi ser också att ADB = 69,3º och BDC = 106,5º 69,3º NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 003
Kopletterande lösningsförslag och ledningar, Mateatik 3000 kurs B, kapitel 4 Vi bestäer först A ed hjälp av vinkelsuan i triangeln ADB. ( ADB) A + 69,3º + 44,1º = 180º A = 180º 113,4º A = 66,6º B kan bestäas på saa sätt eller ed hjälp av fyrhörningens vinkelsua. B + 66,6º + 106,5º + 114,3º = 360º (Fyrhörningens vinkelsua) B + 87,4º = 360º B = 360º 87,4º B = 7,6º Svar: A är 66,6º och B är 7,6º 4109 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 4110 Kontakta läraren. 4111 Kontakta läraren. 411 Kontakta läraren. 4113 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 4114 Eepel so löses i boken. 4115 Yttervinkelsatsen ger: a) = 45º + 85º b) + 40º = 110º = 130º = 70º 4116 Yttervinkelsatsen ger: a) = 14º b) + 50º = 3 = 6º = 50º = 5º 4117 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 4118 V = 8º + 90º (Yttervinkelsatsen) V = 98º 4119 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 410 Kontakta läraren. 411 Kontakta läraren. 41 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 413 Eepel so löses i boken. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 003
Kopletterande lösningsförslag och ledningar, Mateatik 3000 kurs B, kapitel 4 414 Randvinkelsatsen ger: a) = 10º b) = 54 º = 51º = 108º 415 Randvinkelsatsen ger: a) = 60º b) = 00º = 30º = 100º 416 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 417 Kontakta läraren. 418 Kontakta läraren. 419 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 4130 Kontakta läraren. Kapitel 4. 401 Eepel so löses i boken. 40 Se facit. O rektanglarna ska vara likforiga åste förhållandet ellan otsvarande sidor vara lika. Rita första rektangeln. Gör sedan andra rektangelns sidor t e 1,5 gånger så långa so sidorna i första rektangeln. 403 Vi jäför förhållandet ellan längden hos otsvarande sidor för de olika raarna och börjar ed att jäföra de övriga raarna ed den första. Ra jäfört ed ra 1: 5 35 = 1,5 och = 1,4 0 5 Ej likforiga Ra 3 jäfört ed ra 1: 40 50 = och = 0 5 Likforiga Ra 4 jäfört ed ra 1: 50 75 =,5 och = 3 0 5 Ej likforiga Ra 5 jäfört ed ra 1: 60 75 = 3 och = 3 0 5 Likforiga Raarna 1, 3 och 5 är likforiga ed varandra. Är raarna och 4 likforiga? Nej, vi ser direkt av kvoterna ovan att de inte är det. (Men vi kan förstås också kontrollera det på otsvarande sätt so ovan) Svar: Raarna so är 0 5 c, 40 50 c och 60 75 c är likforiga NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 003
Kopletterande lösningsförslag och ledningar, Mateatik 3000 kurs B, kapitel 4 404 = 16 0,8 4,0 0,8 16 = 4,0 = 3, Svar: är 3, c Alternativt kan vi beräkna geno att använda skala. Ur figuren ser vi att 16,0 är 4 gånger så lång so 4,0. Alltså åste vara 4 gånger så lång so 0,8. O du använder ekvation sätt alltid i täljaren, så får du enklare uträkningar. 405 = 110º (Motsvarande vinklar) y 0 = 6 15 y = 60 15 y = 8 Svar: är 110º och y är 8 c 406 = 50 5 75 5 50 = 75 = 150 Svar: är 150 c 407 3 = 1 18 1 3 = 18 = 64 = 1 1 1 3 3 Svar: är 1 c 408 5 y 5 z = = = 5 18 30 1 30 4 30 = 18 5 1 5 4 5 y = z = 30 30 30 = 15 y = 17,5 z = 0 Svar: är 15 c, y är 17,5 c och z är 0 c 409 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 410 y 16 z = 30 1 5 30 16 y = z = 1 = 16 1 5 16 1 y = 40 z = 100 1 Svar: y är 40 c och z är 33 c = 33 33 3 3 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 003
Kopletterande lösningsförslag och ledningar, Mateatik 3000 kurs B, kapitel 4 411, 41 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 413, 414 Eepel so löses i boken. 415 60 y 60 a) = = 30 40 0 40 30 60 0 60 = y = 40 40 = 45 y = 30 Svar: är 45 c och y är 30 c y 0 b) = = 15 1 15 4 0 1 0 4 15 y = = 15 0 y = 16 = 18 Svar: y är 16 c och är 18 c y 100 10 c) = = 96 10 60 100 96 100 60 10 y = = 10 100 y = 80 = 7 Svar: y är 80 c och är 7 c 1 y 1 d) = = 40 8 36 8 40 1 36 1 = y = 8 8 = 30 y = 7 Svar: är 30 c och y är 7 c 416 a) 8 = 9 1 = 98 b) 1 = 16 8 16 1 = 1 = 6 = 1 Svar: är 6 c Svar: är 1 c 8 417 Trianglarna är likforiga o två av vinklarna är lika stora Vi beräknar först storleken på den tredje vinkeln i a) och jäför sedan de övriga trianglarna ed den. a) Tredje vinkeln är 180º 83º 41º = 56º Vinklarna är 83º, 41º och 56º b) Likforig ed a) efterso två vinklar är lika c) Tredje vinkeln är 180º 57º 83º = 40º Vinklarna är 83º, 40º och 57º NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 003
Kopletterande lösningsförslag och ledningar, Mateatik 3000 kurs B, kapitel 4 d) Likforig ed a) efterso två vinklar är lika Svar: Trianglarna a), b) och d) är likforiga 418 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 419 40 8 = 1 14 = 1 = 4 Svar: är 4 c = 44,0 Titta på vinklarna för att se vilka sidor so otsvarar varandra,0 0,0,0 44,0 = 0,0 = 48,4 Svar: är 48,4 41 Eepel so löses i boken. 4 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 43 Kontakta läraren. 44 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 45 Kontakta läraren. 46 Kontakta läraren. 47 Eepel so löses i boken. 48 Vi utnyttjar transversalsatsen. a) 0 z 18 = b) = 16 10 10 1 = 16 z = 10 1,5 = 3 Svar: är 3 c z = 15 Svar: z är 15 c 49 Vi utnyttjar topptriangelsatsen. Trianglarna är likforiga. a) 3, 0 + 6, 0 = b) = 8,0 8,0 6,0 4,0 5, 0 8,0 9,0 4,0 8,0 = = 6,0 5, 0 = 1,0 Svar: är 1,0 c = 6,4 Svar: är 6,4 c NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 003
Kopletterande lösningsförslag och ledningar, Mateatik 3000 kurs B, kapitel 4 430 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 431 Kontakta läraren. 43 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 433, 434 Eepel so löses i boken. 435 Vi har foreln c = a + b där c är hypotenusan och a och b är kateter a) c = 30 + 16 = 1156 b) c = 48,1 +,1 = 80, 0 c = 1156 = 34 c = 80,0 5,934 Svar: Hypotenusan är 34 Svar: Hypotenusan är 5,9 436 Svar: Andra sidan är 30 c Rektangelns andra sida är katet i en rätvinklig triangel och vi använder Pythagoras sats: a +16 = a = a= 34 34 16 = 900 900 = 30 437 Vi undersöker o a + b = c I så fall är triangeln rätvinklig. a) a + b = 1 + 35 = 1369 b) a + b = + 4 = 1060 c = 37 = 1369 c = 34 = 1156 Svar: Triangeln är rätvinklig Svar: Triangeln är inte rätvinklig 438 c = a + b där c är hypotenusan och a och b är kateter a) c = 0 + 15 = 65 c) c = 10, + 10, = 08,08 c = 65 = 5 c = 08,08 14,45 Svar: Hypotenusan är 5 Svar: Hypotenusan är 14,4 b) c = 3, 1 + 9, 7 = 103, 7 d) c = 9, 07 + 13,11 = 54,137 c = 103,7 10,183 c = 54,137 15,9417 Svar: Hypotenusan är 10, Svar: Hypotenusan är 15,94 439 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 003
Kopletterande lösningsförslag och ledningar, Mateatik 3000 kurs B, kapitel 4 440 O a + b = c så är triangeln rätvinklig. a) a + b = 45 + 4 = 601 c) a + b = 49 + 168 = 3065 c = 51 = 601 c = 175 = 3065 Svar: Triangeln är rätvinklig Svar: Triangeln är rätvinklig b) a + b = 55 + 13 = 0449 d) a + b = 135 + 7 = 3409 c = 153 = 3409 c = 151 = 801 Svar: Triangeln är inte rätvinklig Svar: Triangeln är inte rätvinklig 441 a) + 7,3 = 30,5 b) 44 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 443 Vi sätter längden av halva basen so och använder Pythagoras sats: + 6,3 = 15, = 5,3 + 13, = 30,5 7,3 = 5,3 + 13, = 13,6 8,5 Rita figur till lästal även o det finns i boken. Figuren gör det enklare att lösa uppgiften och det är indre risk att du tänker krokigt. Lös hellre färre uppgifter, en gör de ordentligt. = 15, 6,3 Då halva basen är 13,833 är hela basen = 15, 6,3 13,833 = 7, 666 7,7 13,833 Svar: Basen är 7,7 Spar siffrorna i iniräknaren! 444,4 h h Halva basen är 1,1. Pythagoras sats ger: 1, 1 + h =, 4 h =, 4 1,1 h,133, Svar: Höjden är,1 445 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 003
Kopletterande lösningsförslag och ledningar, Mateatik 3000 kurs B, kapitel 4 446 40 c 56 c c Vi beräknar längden på diagonalen ed Pythagoras sats: = 40 + 56 = 40 + 56 68,8 Spar siffrorna i iniräknaren! Diagonalen är 68,8 c = 68,8 tu 7,094 tu 7 tu,54 Svar: TV-apparaten har storleken 7 tu 447 Kontakta läraren. 448 Kontakta läraren. 449, 4350 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 451 Eepel so löses i boken. 45 Pythagoras sats ger: a) + 30 = ( + 18) kvadreringsregeln b) + ( 7) = + 900 = + 36 + 34 inus 36 = 900 34 = 16 97 + 14+ 49 = 9409 allt till vänster 14 9360 = 0 dela ed 7 4680 = 0 använd foreln Svar: Sidan är 16 = 7 ± 49 + 4680 4 = 7 ± 137 1 = 7 ( = 65) Svar: Sidan är 7 c 453 Pythagoras sats ger: ( ) a) 60 + 50 = ( ) b) + 41 = 85 3600 + 100+ 500 = + 8+ 1681 = 75 100 = 6100 8 5544 = 0 = 61 41 77 = 0 Svar: Sidan är 61 = 41 ± 1681 + 77 4 41 113 = ± 1 = 77 ( = 36) Svar: Sidan är 77 c NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 003
Kopletterande lösningsförslag och ledningar, Mateatik 3000 kurs B, kapitel 4 454, 455 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. Kapitel 4.3 4301 Eepel so löses i boken. Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 430, 4303 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 4304 Kontakta läraren. 4305, 4306, 4307, 4308 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 4309 Kontakta läraren. 4310 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 4311, 431 Eepel so löses i boken. 4313, 4314 Se lösningsförslag i facit. 4315 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 4316, 4317 Se lösningsförslag i facit. 4318 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 4319 Se lösningsförslag i facit. 430 Kontakta läraren. 431 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. Kapitel 4.4 4401 Eepel so löses i boken. 440 Avståndet d = ( ) + ( y y ) 1 1 a) Avståndet ellan (, 3) och (10, 9) = ( ) ( ) 10 + 9 3 = 8 + 6 = 64 + 36 = 100 = 10 Det spelar ateatiskt sett ingen roll vilken av punkterna du kallar 1 och vilken du kallar, en i fråga o grafer brukar det kännas logiskt att tänka från vänster till höger. b) Avståndet ellan (, 7 ) och (7, 5) = ( ) ( ( )) 7 + 5 7 = 5 + 1 = 5 + 144 = 169 = 13 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 003
Kopletterande lösningsförslag och ledningar, Mateatik 3000 kurs B, kapitel 4 c) Avståndet ellan (, 0) och (1, 4) = ( ( )) ( ) 1 + 4 0 = 3 + 4 = 9+ 16 = 5 =5 d) Avståndet ellan ( 10, 0 ) och (, 5 ) = ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) 10 + 5 0 = + 10 + 5 + 0 = 8 + 15 = 89 = 17 4403 Vi beräknar längden av alla fyra sidorna: Svar: Alla sidor är lika långa. Figuren är en rob, VSB 4404 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 4405 Kontakta läraren. 4406 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 4407 Kontakta läraren. 4408 Kontakta läraren. 4409 Eepel so löses i boken. 4410 -koordinaten för ittpunkten är enligt ittpunktsforeln: = ( + ) y-koordinaten för ittpunkten är enligt ittpunktsforeln: y = ( y + y ) a) = ( + 7 )/= 4,5 ( ) y = 3+ 15 /= 9 Svar: Mittpunkten har koordinaterna (4,5; 9) 1 6 / 3,5 y = 6+ 6 /= 0 b) = ( + ) = ( ) Svar: Mittpunkten har koordinaterna (3,5; 0) c) = ( 1+ )/= 0,5 ( ) y = 0+ 4 /= Svar: Mittpunkten har koordinaterna (0,5; ) d) = ( 5+ 7 )/= 1 ( ) y = + 8 /= 3 Svar: Mittpunkten har koordinaterna (1, 3) ( ( )) ( ) AB = 6 1 + 5 3 = 7 + = 49+ 4 = 53 ( ( )) ( ( )) BC = 1 3 + 3 4 = + 7 = 4+ 49 = 53 ( ( )) ( ( )) CD = 4 3 + 4 = 7 + = 49+ 4 = 53 ( ) ( ( )) DA = 6 4 + 5 = + 7 = 4+ 49 = 53 1 / 1 / NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 003
Kopletterande lösningsförslag och ledningar, Mateatik 3000 kurs B, kapitel 4 4411 Se lösningsförslag i facit. 441 Vi bestäer först koordinaterna för ittpunkten på sträckan ( 3, ) och (11, 14) och sedan koordinaterna för ittpunkten på varje halva. För hela sträckan är = ( 3+ 11 ) /= 4 och y = ( + 14 ) /= 8 Mitt eellan ( 3, ) och (4, 8) är = ( 3+ 4 ) /= 0,5 och ( ) Mitt eellan (4, 8) och (11,14) är = ( 4+ 11 ) /= 7,5 och ( ) y = + 8 /= 5 y = 8+ 14 /= 11 Svar: Delningspunkterna har koordinaterna (0,5; 5), (4, 8) och (7,5; 11) 4413 Kontakta läraren. 4414 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 4415 Kontakta läraren. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 003