Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska och numeriska metoder. Målet med detta projekt är att du skall kunna behandla olika aspekter av ett och samma problemområde inom samma projekt. Projektet är ett konkret eempel på hur kurserna Matematik, Beräkningsvetenskap och Elektromagnetiskm bidrar till en helhetslösning av ett givet problem. Inledning Strömmen genom en cirkulär spole genererar ett magnetfält. Ovanför spolen har man placerat en kvadratisk spole som kan rotera kring en ael vinkelrätt mot den cirkulärs spolens ael. Rotationen hos den kvadratiska spolen gör att det induceras en en spänning som kommer att variera med tiden, se gur 3. Detta är en kort sammanfattning av den problemställning som ligger till grund för de olika delarna i detta projekt med slutmålet att du bland annat ska beräkna den inducerade spänningen den kvadratiska spolen. För att kunna behandla problemet behöver du behärska analytisk och numerisk integrering samt känna till den fysikaliska och matematiska modell som ligger till grund för problemet. I matematikdelen av projektet kommer du att utgå från en generell matematisk modell vars lösning beskriver magnetfältet från en strömförande ledare. Du ska anpassa modellen till det aktuella problemet. För att göra detta, kommer du att arbeta med integration längs en kurva där integralen går att bestämma analytiskt endast för vissa specialfall. I beräkningsvetenskapsdelen kommer du att behandla det generalla fallet där det inte går att bestämma integralen analytiskt. Du kommer att ta fram en algoritm för en numerisk lösning av integralen samt studera lösningens noggrannhet. Du kommer även att lära dig hur man kan visualisera lösningen. Den sista delen av det här projektet handlar om att ställa upp den matematiska modellen för hela problemet. Med hjälp av den kunskap du har fått i de tidigare delarna tillsammans med kunskap från elektromagnetismen ska du nu kunna beräkna och visualisera magnetfält, beräkna den inducerade spänningen i spolen samt ha kontroll på noggrannheten i dina beräkningar. Fysikalisk bakgrund Vi börjar med att betrakta en strömförande ledare (av generell form) med längden S och strömmen I. Denna ledare är upphov till ett magnetisk fält, B(), i
punkten, på avståndet r från ledaren, enligt Biot-Savarts lag B = 0 ds r 4 ZS I (1) r 3 där 0 är den magnetiska konstanten, (permeabiliteten). Magnetfältet, B = (B ; B y ; B z ), är en vektorvärd storhet med 3 komponenter, en i -riktningen, en i y-riktningen och en i z-riktningen. Vektorn mellan en punkt på ledaren, 0 = ( 0 ; y 0 ; z 0 ), och en punkt i rummet, = (; y; z), betecknas med r som då ges av r = 0 och dess längd är r = p ( 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2. Se gur 1. S r ds 0 Figur 1: En strömförande ledare med längden S genererar ett magnetfält i punkten enligt Biot-Savarts lag. Matematik Vi har nu en cirkulär ledare med radien R som ligger i y-planet med centrum i origo. Se gur 2. Genom ledaren går en ström, I. A) Din uppgift är nu att utgående från Biot-Savarts lag, (1), ställa upp uttryck för de tre komponenterna av det magnetiska fältet i en generell punkt. Parametrisera den cirkulära ledaren med hjälp av polära koordinater och ta fram ett uttryck för ds = (ds ; ds y ; ds z ) och r = 0 där är en godtycklig
punkt i rummet. Kryssprodukten mellan två vektorer a = (a ; a y ; a z ) och b = (b ; b y ; b z ) denieras som a b = (a y b z a z b y ; a z b a b z ; a b y a y b ): Uttrycken för de tre komponenterna av magnetfältet, d v s B ; B y och B z ges i form av linje-integraler längs ledaren. B) För vissa punkter kan integralerna beräknas analytiskt. Te när i) = (0; 0; 0) och ii) = (0; 0; z p ), där z p är en godtycklig punkt längs z-aeln. Utför integrationen och visa vad magnetfältet blir de två fallen i) och ii)? y ds 0 φ Figur 2: En strömförande circulär ledare med radien R. Ledaren ligger i ; y- planet och z-aeln kommer upp ut papperet.
Beräkningsvetenskap Inledning Din uppgift är att skriva ett program i MATLAB, som beräknar magnetfältet från den cirkulära ledaren, som studerades i matematikdelen av projektet, i godtyckliga punkter i det tredimensionella rummet. För att komma igång med MATLAB-funktionen quad, som kan beräkna denna integral, och förstå hur den arbetar och vilken kvalitet på resultaten man får, så görs några inledande beräkningar i speciella punkter. Magnetfältet är generellt en vektor med tre komponenter. Funktionen quad kan bara beräkna en skalär integral, så man får beräkna varje vektorkomponent för sig, dvs. tre stycken separata integraler. Dock vet man för speciella punkter i rummet att vissa av komponenterna kommer att bli 0, och alltså inte behöver beräknas med en integral. Du får i de olika fallen nedan avgöra vilka komponenter som alltid blir lika med 0. Integralen Den integral som ligger till grund för beräkningen av magnetfältet i en punkt är B = 0 ds r 4 ZS I r 3 där integreringen sker längs ledaren S. Om ledaren är cirkulär med radie R och ligger i -y-planet centrerad kring origo, blir detta en integral över B = 0 4 I Z 2 0 t() r() r() 3 Punkten 0, som betecknar integrationspunkten som löper längs ledaren blir i dessa koordinater (R cos ; R sin ; 0), och tangentvektorn t, som är strömmens riktning där, blir ( R sin ; R cos ; 0). Vektorn r är vektorn från integreringspunkten till, den punkt där magnetfältet ska beräknas. Det är viktigt att du för de olika fallen skriver upp hur vektorn r ser ut och skriver MATLAB-funktioner för de aktuella komponenterna av t r. d Fall 1 Beräkna magnetfältet i några punkter på z-aeln, t.e (0; 0; 1) och (0; 0; 2:5). Använd värdena 0 = 1, I = 1 och R = 1. Vilken är den enda komponent som blir nollskild? Använd quad för att beräkna den. Begär olika noggrannhet, t.e. 10 4, 10 5 och 10 6. Jämför med det värdet som erhålls med analytisk integrering. Varför stämmer det oväntat bra? Fall 2 Beräkna magnetfältet i en serie punkter på -aeln, dvs. ( p ; 0; 0), där p går från 1.05 till 3 med steget 0.05. Här kan inte magnetfältet beräknas analytiskt på något enkelt sätt, utan numerisk integration är enda möjligheten. Begär
noggrannheten 10 6. Tänk efter vilken komponent av magnetfältet som är den enda som är nollskild. Gör en plot över denna komponent av magnetfältet som funktion av p. Ur beräkningsvetenskaplig synpunkt är det intressant att se hur antalet funktionsberäkningar varierar med p. Begär att quad redovisar antal funktionsberäkningar. Använd kommandot subplot for att rakt under grafen över B( p ) lägga in en plot över det använda antalet funktionsberäkningar. Funktionen quad fungerar som en svart låda, som beräknar integralen med önskad noggrannhet. Den använder olika steglängder i olika delar av integrationsintervallet, (den är vad man kallar adaptiv). Undersök nu vilket resultat man får med trapetsformeln på denna integral, t.e. för p = 1:2. Börja med att använda ett antal punkter som svarar mot antalet funktionsberäkningar som quad rapporterat för detta p -värde, och se hur mycket trapetsformelns resultat skiljer sig från det man ck av quad. Prova sedan att öka antalet indelningsintervall tills det erhållna värdet på integralen skiljer sig med mindre än 10 6 från det som quad gav. Här måste man själv räkna ut integrandens värden i jämnt fördelade punkter längs integrationsintervallet och använda trapetsformeln. MATLAB har en inbyggd funktion trapz, som kan användas. Fall 3 Slutligen ska du göra en visualisering av magnetfältet i ett givet plan, förslagsvis ett plan där y = 0 och som ligger inne i spolen, t.e. 0:2 0:8; y = 0; 0:2 z 0:4. För att göra detta behöver ditt program räkna ut magnetfältets komponenter för en uppsättning punkter i det valda planet. Om du är van programmerare kan du skriva en egen algoritm med utgångspunkt från ditt tidigare program. Uttrycken för magnetfältets komponenter i en godtycklig punkt har du tagit fram i matematikdelen. För att visualisera magnetfältet kan du använda quiver i Matlab. Gör help quiver i Matlab för att se hur quiver fungerar. För dig som inte är så van att programmera kan du ta hjälp av Matlab-progammet plotb.m som nns att ladda ner från kurshemsidan. plotb ger strukturen på beräkningarna, men du måste själv komplettera det med de anrop till quad som behövs för att beräkna de komponenter av magnetfältet som är nollskilda, och dessa kan vara två eller tre stycken, beroende på hur planet ligger. I programmet nns även ett eempel på hur man använder quiver.
Elektromagnetism Vi har nu en cirkulär spole med 150 varv. Ovanför spolen har vi placerat en kvadratisk spole som kan rotera kring en ael vinkelrätt mot den cirkulära spolens ael, se guren nedan. Den kvadratiska spolens aeln ligger 12 cm ovanför den cirkulära spolens plan. Radien på den cirkulär spolen är R = 15 cm och strömmen i spolen är 1A. A) Börja med att visualisera magnetfältet från den cirkulära spolen i några väl valda plan. Här kan du använda dig av ditt matlabprogram från beräkningsvetenskapsdelen. B) Beräkna den inducerade spänningen som funktion av tiden, U(t), om den kvadratiska spolen har 10 varv och roterar med 10 varv/s. Måtten på den kvadratiska spolen är 10 10 cm. Den inducerade spänningen ges av U(t) = d dt = Z Z där B(r; t)ddy y där ddy är ett ytelement på den roterande spolen. Tips: dela in den kvadratiska spolen i te 11 11 punkter ( = 1 cm, y = 1 cm) och beräkna magnetfältet i punkterna. Även här kan du återanvända ditt program från beräkningsvetenskapsdelen. Beräkna sedan det totala ödet genom spolen genom att numerisk integrera magnetfältet över den roterande spolens yta. Förslag på algoritm för att numerisk integration in 2D. y=linspace(-5,5,10)'; =linspace(-5,5,10)'; [XX,YY]=ndgrid(,y); f=... Iy=trapz(y,f,2); I=trapz(,Iy); % f definierar integranden i punkterna % som finns lagrade i XX och YY; % Trapetsformeln först i y-led % sedan i -led Ett alternativt sätt att beräkna ödet genom den kvadratiska spolen är att beräkna magnetfältet i varje rutas mitt, B, multiplicera med ytelementet y och sedan summera alla bidrag. Detta är ekvivalent med att använda en mittpunktsregel för numerisk integration. Kom ihåg att kontrollera noggrannheten av din lösning innan du presenterar dina resultat.
Figur 3: En cirkulär spole med en roterande kvadratisk spole.