Något om (ODE) och Mathematica

HH/ITE/BN Ordinära differentialekvationer och Mathematica 1 Något om (ODE) och Mathematica Bertil Nilsson 2016-01-01

2 Ordinära differentialekvationer och Mathematica HH/ITE/BN Förord På följande sidor presenteras en elementär "streetwise guide" till ordinära differentialekvationer med flitig användning av Mathematica. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska exempel ges. Introduktion och terminologi En differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller en okänd (sökt) funktion och dess derivator. Uppgiften är att bestämma funktionen så att (DE) uppfylls. Naturligtvis kan man också ha system av differentialekvationer, där man söker flera obekanta funktioner likt variabler i ett vanligt ekvationssystem. Många frågeställningar inom naturvetenskap och teknik leder naturligt till modeller som innehåller differentialekvationer. Utan dessa skulle man behöva genomföra mängder med laboratorieförsök och all slags planering och förutsägelser bli tids- och arbetskrävande. För att kunna planera behöver vi kunna förutsäga saker och ting. I vissa fall är det omöjligt att vänta. Exempel på en fråga som inte kan vänta till imorgon är; Hur blir vädret imorgon? Att använda (DE) som redskap för att härma verkliga förlopp brukar kallas simulering och därmed tillhör de ett av de allra viktigaste matematiska hjälpmedlen för en ingenjör och för produktutvecklande företag handlar det om avgörande konkurrenskraft. Därför är det viktigt att lära sig ställa upp en differentialekvation som modell för en fysikalisk situation, finna analytiska lösningar till några vanliga enkla typer av differentialekvationer, använda Mathematica för att bestämma analytiska lösningar och numeriska lösningar då differentialekvationen är för svår eller omöjlig att lösa analytiskt. Det sistnämnda är naturligtvis det som är vanligast i verkliga livet, tolka och utvärdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga fysikaliska situationen. Om yx är den sökta funktionen i en (DE) kallas x för den oberoende variabeln. Ofta används tiden t som oberoende variabel eftersom många (DE) gestaltar hastighetsförlopp och då är ju derivator med avseende på tiden inblandade. Beror y av endast en variabel säges (DE) vara en ordinär differentialekvation (ODE). I problemformuleringar brukar man friskt blanda de olika skrivsätten för derivator. Likaså brukar det inte heller vålla någon förvirring att utelämna den oberoende variabeln. Exempel: Samma (ODE) i olika skepnader y' xyxx, y' y x, Vi söker funktionen yx där x är den oberoende variabeln. y x y x Om y beror av flera variabler säges (DE) vara en partiell differentialekvation (PDE). Dessa är mycket vanliga i ingenjörstillämpningar, t.ex. hållfasthetsberäkningar med den så kallade Finita elementmetoden. Som namnet (PDE) antyder har vi att göra med partiella derivator. De faller helt utanför ramen för denna kurs. Exempel: Vi söker utböjningen u hos en vibrerande sträng på en gitarreller harpa. Uppenbarligen varierar den både med läget x längs strängen och tiden t, alltså ux, t. Den klassiska PDE som beskriver strängens rörelse i rummet och tiden kallas för vågekvationen 2 u t 2 c2 2 u x 2 där c är en positiv konstant som bär karakteristiska data för strängen, så som längd, diameter och elasticitet. En (DE) säges vara av ordning n om n:te derivatan är den högsta förekommande derivatan av y. Man talar om första, andra osv. ordningens differentialekvation. Exempel: Vi har exempelvis att y' xyx x är en första ordningens ODE y'' xyxx är en andra ordningens ODE y n xy'' xsinx är en n:te ordningens ODE En (ODE) säges vara linjär om den kan skrivas på formen n i0 c i x y i x f x c 0 x yxc 1 x y' xc n x y n x f x där c i x och f x är funktioner av x. Annars kallas den olinjär. Då f x0 säger vi att (ODE) är homogen annars inhomogen.

HH/ITE/BN Ordinära differentialekvationer och Mathematica 3 Exempel: Tydligen är x 2 y'' xsinx y' xtanx en linjär (ODE) av andra ordningen. Även de tre differentialekvationerna i c 2 x c 1 x f x föregående exempel är linjära. Exempel: Vi ser att y' xy 2 x x är en första ordningens olinjär ODE y'' x yxyxx är en andra ordningens olinjär ODE y'' xsinyx 0 är en homogen andra ordningens olinjär ODE Derivator med avseende på tiden är mycket vanliga i fysik. Ofta skrivs de med "prickar", t.ex. Newtons accelerationslag mx F som är en andra ordningens (ODE). Här är x läget eller koordinaten för kroppen med massan m som utsätts för kraften F i positiv x- riktning. Med definition av hastighet och acceleration har vi prickbeteckningarna x x t ("x-prickprick") för accelerationen. ("x-prick") för hastigheten och x x 2 x t t 2 Om en funktion satisfierar en differentialekvation kallas den för en lösning eller partikulärlösning. Exempelvis ser vi efter insättning att yxx 3 är en partikulärlösning till y' x3 x 2. Men även yxx 3 3 och yxx 3 7 eller yxx 3 C 1, där C 1 är en godtycklig konstant. Mängden av alla partikulärlösningar kallas för den allmänna lösningen eller lösningsskaran. Att lösa en differentialekvation är att finna den allmänna lösningen. I detta fall är alltså yxx 3 C 1 den allmänna lösningen till den linjära ordinära differentialekvationen y' x3 x 2 och representerar genom olika val av C 1 ett oändligt antal partikulärlösningar. I figuren nedan ses några av dem. yx 30 20 x 3 20 x 3 15 I den allmänna lösningen till en differentialekvation 10 x 3 10 ingår alltid lika många godtyckliga konstanter C i som x 3 5 x 3 differentialekvationen har ordning. 3 2 1 x 3 5 1 2 3 10 x 3 10 x 3 15 20 x 3 20 x Ibland har vi också en så kallad trivial lösning yx0. Exempelvis har differentialekvationen y' xyx0 den triviala och (oftast) för ingenjörer ointressanta lösningen yx0, vid sidan om den mer intressanta yxc 1 x. Att båda är lösninger inses efter insättning. 30 Begynnelsevärde och randvillkor För att få den speciella lösning som motsvarar lösningen till ett fysikaliskt problem måste vi fixera samtliga konstanter C i genom att vid någon känd ögonblicksbild applicera så kallade begynnelsevärden (BV) eller begynnelsevillkor. Namnet kommer sig av att man oftast känner tillståndet då man börjar studera systemet, det vill säga i begynnelsen. För entydighet måste vi ange lika många begynnelsevärden som vi har ordning. En uppsättning ODEBV kallas för ett begynnelsevärdesproblem (BVP). Ibland fixeras konstanterna vid olika lägen eller tidpunkter, då talar man om randvärden (RV) och randvärdesproblem (RVP). Ofta ser man en kombination av dem och ibland innehåller (ODE) ytterligare konstanter som ska fixeras med hjälp av kända tillstånd under resans gång. I brist på fantasi kallas även dessa tillstånd lite vanvördigt för (RV). Exempel: En bil påverkas av en konstant framdrivande kraft F d, luftmotståndet som är proportionellt mot farten i kvadrat F a cx 2 och rullmotståndet som är proportionellt mot farten F r kx. Sök det begynnelsevärdesproblem BVP som bestämmer bilens läge som funktion av tiden, det vill säga xt. F r m F a F d x Lösningsförslag: Skådespelet vi söker beskrivs av Newtons accelerationslag mx F, där xt är läget i ett jordfast koordinatsystem, x x hastigheten, 2 x x accelerationen och F summan av de krafter som verkar i koordinatriktningen x. Eftersom det är en andra t t 2 ordningens differentialekvation så vi behöver två (BV) för entydig lösning. Antag därför att bilen startar från vila och att vi rullar ut måttbandet samtidigt som vi startar klockan. Då får vi mx F d cx 2 kx ODE BVP x00 x. BV 00

4 Ordinära differentialekvationer och Mathematica HH/ITE/BN Vi återkommer med mer konkreta exempel på hur C i bestäms med hjälp av (BV) och (RV) under varje avsnitt längre fram. Notera att begynnelsevärden (BV) och randvillkor (RV) skall appliceras på den allmänna lösningen till en differentialekvation. För att få en entydig lösning behövs det lika många BVRV som vi har C i, det vill säga lika många som differentialekvationen har ordning. Man börjar alltså med att bestämma den allmänna lösningen till (ODE) därefter appliceras BVRV. Ordinära differentialekvationer och Mathematica En stor klass av ingenjörsproblem kan modelleras av så kallade separabla första ordningens (ODE), linjära första ordningens (ODE) eller linjära andra ordningens (ODE) med konstanta koefficienter. Men innan vi ger oss i kast med dessa och en uppsjö exempel kan det vara läge att se vad en av våra bästa vänner Mathematica har att säga i ärendet. Vi börjar med en enkel första ordningens differentialekvation y'xyx0 och dess lösning. DSolvey'xyx 0, yx, x yxc 1 x I Mathematica används funktionen DSolve för att lösa en stor klass av differentialekvationer, allt från enkla separabla och linjära av godtycklig ordning till mycket komplicerade olinjära. Den löser även system av differentialekvationer och är mycket lättanvänd. Strängt taget handlar det om att skriva av rätt! Lägg märke till att Mathematica förstår den vanliga nomenklaturen med ' när vi menar derivata. Notera de nödvändiga []-parenteserna eftersom yx ska vara en funktion av x! För övrigt kan man naturligtvis använda vilka namn man vill. Observera dubbla likhetstecken eftersom det är en ekvation! Det är inte bara namnet som antyder släktskap med Solve, utan även hantering av indata och resultat. Som vanligt gäller att när man väl förstått filosofin bakom Mathematica är det mesta självklart! Här kommer några till. Notera speciellt, som sig bör, att vi får lika många obestämda konstanter c i, vilka vi kallar C i vid handräkning, som vi har ordning. Det är ordning på Mathematica DSolvey'xyx Sinx, yx, x yxc 1 x 1 2 sinxcosx DSolve1 x 2 y'x2xyx 1 x 2 ArcTanx, yx, x yxc 1 x 2 1 1 2 x2 1 tan 1 x 2 DSolvex''t4x't4xt 2t,xt, t xtc 2 2 t t c 1 2 t 1 2 2 t t 2 Man kan givetvis ta med begynnelsevärden eller randvärden för att få konstanterna bestämda. Dessa paketeras då tillsammans med differentialekvationen i en lista. Tänk på att även begynnelsevärdena ska anges som ekvationer, det vill säga med två likhetstecken. Så begynnelsevärdesproblemet y'xyxsinx ODE BVP y02 BV är bara att skicka rakt in i Mathematica och piggar sedan upp oss med en bild över situationen. yavx DSolvey'xyx Sinx, y0 2, yx, xsimplify Plotyx. yavx, x, 0, 5, PlotStyle Red, AxesLabel "x", "y A x" yx 1 2 5 x sinxcosx y A x 2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1 2 3 4 5 x

HH/ITE/BN Ordinära differentialekvationer och Mathematica 5 Då varken vi eller Mathematica kan finna en analytisk lösning finns funktionen NDSolve till vår hjälp för att göra en ren numerisk lösning. Utdata från denna är en InterpolatingFunction som kan verka lite märkvärdig innan man blivit vän med den. Den fungerar dock som vilken annan funktion som helst. För övrigt är den ett kraftfullt redskap om man vill göra interpolation i t.ex. mätdata. Som exempel kör vi en repris på begynnelsevärdesproblemet ovan. Det enda som skiljer i menyn som serveras jämfört med DSolve är att man, likt Plot, måste ange i vilket intervall man vill att spektaklet ska utspela sig. NyAvx NDSolvey'xyx Sinx, y0 2, yx, x, 0, 5 yxinterpolatingfunction Domain: 0. 5. Output: scalar x Plotyx. NyAvx, x, 0, 5, PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y N x" y N x 2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1 2 3 4 5 x Den triviala lösningen yx0 levereras normalt inte av Mathematica. Exempelvis det inledande exemplet i repris DSolvey'xyx 0, yx, x yxc 1 x Notera dock att om vi med (BV) startar någonstans på x-axeln, det vill säga yx 0 0, så är vi dömda att stanna kvar där enligt den triviala lösningen. Så återigen, olika (BV) kan ge helt olika lösningskurvor. Detta inser naturligtvis Mathematica. DSolvey'xyx 0, y17 0, yx, x yx0 Riktningsfält En första ordningens (ODE) kan alltid skrivas på den generella implicita formen I många fall kan vi lösa ut y' explicit och skriva den på formen gx, y, y'0 y' f x, y Lösningarna till denna (ODE) kommer att utgöras av kurvor i xy-planet, en för varje konstant C 1. Vi vet ingenting om deras utseende men vi kan dra följande slutsats. Om en lösningskurva går genom en viss punkt x 0, y 0 så måste kurvans tangent i den punkten ha riktningskoefficienten f x 0, y 0. Detta betyder att om vi i ett antal xy-punkter, oftast ett rutnät, markerar lösningskurvans lutning i dessa punkter får vi ett så kallat riktningsfält. Detta ger ofta en kvalitativt god bild över situationen. Man kan skissa den lösningskurva man får för givna (BV) och man kan studera dramatiken i omgivningen. Ibland gäller nämligen att små störningar i (BV) ger en helt ny lösningskurva, så kallat kaotiskt beteende. Kanske har du hört talas om "butterfly"-effekt som utgör en av flera svårigheter med att göra långa väderleksprognoser. Vi lättar upp stämningen med ett Exempel: Rita riktningsfält och lösningskurva till BVP Lösningsförslag: Först lösningen till (BVP) y' xy y0 1 2 ODE. BV yavx DSolvey'x xyx, y0 1,yx, x 2 x 2 yx 2 2

6 Ordinära differentialekvationer och Mathematica HH/ITE/BN Sedan ritar vi in denna tillsammans med riktningsfältet som är färglagt efter riktningskoefficientens storlek. ShowPlotyx. yavx, x, 0, 1.05, VectorPlot1, x y, x, 0, 1, y, 0, 1, VectorColorFunction Hue, AspectRatio Automatic, AxesLabel "x", "y" y 0.8 0.7 0.6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x Separabel första ordningens (ODE) En (ODE) kallas separabel om den kan skrivas på formen gy y x f x där gy och f x är kända och kontinuerliga funktioner i var sitt intervall. Då har de primitiva funktioner Gy respektive Fx i dessa intervall. Med definition av primitiv funktion och kedjeregeln i färskt minne får vi så den allmänna lösningen på följande sätt gy y y Gy y f xgy f x0 x x y x KR: Gy x Fx x 0 x GyFx 0 GyFxC 1 Namnet separabel kommer sig av att om vi även betraktar måtten x och y som variabler så kommer x och y att separeras av likhetstecknet gy y f xgyy f xx x Eftersom Gy gyy och Fx f xx får vi i praktiken den allmänna lösningen genom att först separera variablerna och sedan "hänga på två integraltecken och en konstant i högerledet" gyy f xx C 1 Samma svar kommer vi fram till genom att formellt integrera båda sidor av gy y f x med avseende på x och sedan betrakta det x som variabelsubstitution i vänsterledet gy y x x f xx C 1 gyy f xx C 1 Strängt taget får vi en integrationskonstant för varje obestämd integral. Men dessa kan bakas samman till en enda, vilket ju också är behovet med tanke på att vi har att göra med en första ordningens (ODE). Vi ser också att lösa en separabel (ODE) faller tillbaka på att kunna integrera. Mot bakrund av hur lösningsmetoden är uppbyggd kommer den allmänna lösningen naturligt ut på implicit form hx, y0. Vid handräkning brukar man nöja sig med detta svar huruvida det inte är uppenbart att kunna lösa ut yx explicit, medan Mathematica däremot tycker om att späka sig till det yttersta för att i varje läge försöka leverera explicit form, inte sällan med hjälp av diverse exotiska funktioner. Det kan därför ibland vara svårt att jämföra lösningarna. Vi sammanfattar En separabel differentialekvation gy y f x har allmänna lösningen x gyy f xx C 1 Exempel: Lös differentialekvationen y' 4 x x 2 0. Lösningsförslag: Separabel y 4 x x 2 x y 2 x 2 1 3 x3 C 1. För den här typen av enkla separabla brukar man säga att de "integreras direkt". DSolvey'x4x x 2 0, yx, x yxc 1 x3 3 2 x2

HH/ITE/BN Ordinära differentialekvationer och Mathematica 7 Exempel: Lös differentialekvationen y' 12 x 2 8 x 3 0 med begynnelsevillkoret (BV) y12. Lösningsförslag: Vi har ett (BVP) och börjar alltid med att lösa (ODE) som är separabel y 12 x 2 8 x 3 x y 12 1 3 x3 8 1 4 x4 C 1 4 x 3 2 x 4 C 1. För den här typen av enkla separabla brukar man säga att de "integreras direkt". Konstanten C 1 fixeras sedan av (BV) y12: 2 41 3 21 4 C 1 C 1 4. Så lösningen till (BVP) är y 4 x 3 2 x 4 4. DSolvey'x12 x 2 8x 3 0, y1 2, yx, x yx2 x 4 2 x 3 2 Exempel: Lös differentialekvationen y' 5 x 2 cos3x. Lösningsförslag: Separabel eller "direkt integration" y 5x 2 cos3xx y 5 3 x3 1 sin3xc 3 1. DSolvey'x 5x 2 Cos3 x, yx, x yxc 1 5 x3 3 1 sin3 x 3 Exempel: Lös differentialekvationen y' x y. Lösningsförslag: Separabel y' x y y y x x 1 2 y2 1 2 x2 C 1 x 2 y 2 C 2 1. Att döpa om konstanter eller att ge 2 dem ny innebörd, i detta fall 2C 1 C 1 är ett mycket vanligt hyss i branschen. Vi har ju att göra med en godtycklig konstant. Om det är ett (BVP) vi löser kommer det att bli rätt till slut ändå. Mathematica levererar lösningen på explicit form. x DSolvey'x,yx, x yx yx 2 c 1 x 2, yx 2 c 1 x 2 Geometriskt betyder den implicita formen x 2 y 2 C 1 2 cirklar med centrum i origo och valfri radie C 1. y x Exempel: Lös differentialekvationen y' x y. Lösningsförslag: Separabel y' x y y y x x 1 2 y2 1 2 x2 C 1 x 2 y 2 C 1. Geometriskt betyder den implicita formen en hyperbel där orienteringen bestäms av tecknet på C 1. Fallet C 1 0 ger strålarna y x som också är hyperbelns asymptoter, se nedan. Mathematica levererar lösningen på explicit form. DSolvey'x x,yx, x yx yx 2 c 1 x 2, yx 2 c 1 x 2 y y y x x x C 1 0 C 1 0 C 1 0

8 Ordinära differentialekvationer och Mathematica HH/ITE/BN Exempel: Lös differentialekvationen x 3 2y. y' Lösningsförslag: Separabel x 3 2 y y' 1 y' 2 y 1 y x 3 2 y 1 x 1 1 lny C x 3 2 2 x 2 1 lny 1 2 C x 2 1 y x2 2 C 1 y 2 C 1 x 2 2 C 1 C1 y C 1 x2. DSolvex 3 2yx,yx, x y'x yxc 1 1 x 2 Exempel: Lös differentialekvationen y' 2 x xy. Lösningsförslag: Separabel y' 2 x xy DSolvey'x2x xyx, yx, x y' y2 x 1 y2 y x x lny 2 1 2 x2 C 1 y C 1 x2 2 2. x 2 yxc 1 2 2 Exempel: Lös differentialekvationen yy' x y'. Lösningsförslag: Separabel yy' x y' y 1 y' x y 1 y x x 1 2 y2 y 1 2 x2 C 1 y 2 2 y x 2 C 1. Implicit form räcker gott! Men med kvadratkomplettering av y får vi y 2 2 y 1 2 1 2 x 2 C 1 x 2 y 1 2 C 1 1 x 2 y 1 2 2 C 1 vilket vi identifierar med cirkelns ekvation x x 0 2 y y 0 2 r 2, det vill säga lösningskurvorna är cirklar med centrum i 0, 1, se nedan. Mathematica levererar lösningen på explicit form. DSolveyx y'xx y'x, yx, x yx1 x 2 2 c 1 1, yx x 2 2 c 1 1 1 y 2.0 1.5 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 x Exempel: Lös differentialekvationen y' x xy. Lösningsförslag: Separabel, ty vi har y' x xy y' xy x y' x y 1 y 1 y 1 y 1 y x x y x x u 1 y osv.ln1 y x C 1 ln1 y x C 1. Implicit form räcker! Mathematica levererar lösningen på explicit form. DSolvey'x x xyx,yx, xsimplify yxlog1 c1x Exempel: Lös differentialekvationen x y' cosysiny0. Lösningsförslag: Separabel, ty vi har att xy' cosysiny0 xy' cosysiny cosy y siny 1 x x u siny osv.lnsiny lnxc 1 C 1 lnc 1 sinyc 1 x. Implicit form räcker! Mathematica levererar lösningen på explicit form. DSolvex y'x Cosyx Sinyx 0, yx, x yxsin 1 c1 x

HH/ITE/BN Ordinära differentialekvationer och Mathematica 9 Exempel: Lös differentialekvationen x 2 1 y' xy. Lösningsförslag: Separabel, eftersom x 2 1 y' xy 1 y x y x u x 2 1 x2 1 osv.lny 1 2 lnx2 1C 1 2 C 1 lnc 1 ln y2 lnc 1 y2 C x 2 1 x 2 1 y 2 C 1 x 2 1, Geometriskt betyder detta en kurvskara i xy-planet där varje 1 bestämt värde på C 1 ger en medlem av denna kurvskara. För C 1 0 fås hyperbler, C 1 0 ellipser och för C 1 0 linjen y 0. Mathematica levererar lösningen på explicit form. DSolvex 2 1 y'x xyx, yx, x yxc 1 x 2 1 Exempel: Lös BVP x y' 4 y03 ODE. BV Lösningsförslag: Separabel, ty x y' 4 y' 4 x y 4 x C 1. Till slut fixeras så konstanten C 1 av (BV) y03: 3 4 0 C 1 C 1 7. Så lösningen till (BVP) y 4 x 7. DSolve x y'x 4, y0 3, yx, xsimplify yx7 4 x För att applicera (BV) har vi i detta och tidigare exempel använt oss av obestämd integral. Man bör även bemästra att genomföra kalkylen med bestämd integral. Egentligen är det samma sak man gör men de olika betraktelsesätten är en fråga om smak och de dyker upp i diverse olika framställningar. Vi tar dem parallellt BV med obestämd integral x y' 4 Separera y 4 x x Integrera y 4 x C 1 y03:34 0 C 1 C 1 7 y 4 x 7 BV Lösningen till BVP x y' 4 y x 3 y 0 4 x x BV med bestämd integral Separera Integrera med BV direkt Gränserna är ögonblicksbilder Känd respektive allmän y y 3 4 x x 0 Insättningstecken, döljer C 1. y 3 4 x 0 Nu är det bara att hyfsa y 3 4 x 4 y 4 x 7 Lösningen till BVP Exempel: Lös BVP 1 x 3 y' x 2 y y12 ODE. BV Lösningsförslag: Innan vi exercerar våra nyvunna kunskaper ännu en gång, kontrollerar vi facit med lösningen på explicit form. DSolve1 x 3 y'x x 2 yx, y1 2, yx, x yx2 23 3 x 3 1 BV med obestämd integral 1 x 3 y' x 2 y Separera x 2 1 y y x Integrera 3 1x u 1 x 3 osv. lny 1 ln1 3 x3 C 1 3lny ln1 x 3 3 C 1 lna b b lna, lnablnalnb 3 C 1 lnc 1 y 3 C 1 1 x 3 y12:2 3 C 1 1 1 3 BV C 1 4 y 3 4 1 x 3 Lösningen till BVP 1 x 3 y' x 2 y BV med bestämd integral Separera y 1 y x x 2 y 2 1 x Integrera med BV direkt 3 1x Gränserna är ögonblicksbilder Känd respektive allmän y 1 lny 2 ln1 3 x3 x 1 Insättningstecken, döljer C 1. lny ln2 1 ln1 3 x3 ln1 1 3 Nu är det bara att hyfsa 3lny3ln2 ln1 x 3 ln2 lny 3 ln1 x 3 ln2 2 y 3 4 1 x 3 Lösningen till BVP

10 Ordinära differentialekvationer och Mathematica HH/ITE/BN Linjär första ordningens (ODE) Enligt definition ovan kan en första ordningens linjär (ODE) skrivas på formen y' px y qx där px och qx är kända och kontinuerliga funktioner. Som lösningsstrategi ska vi välja att multiplicera båda sidor i differentialekvationen med en funktion f x och sedan jämföra vänsterledet med derivatan av produkten f x y. Vi får då f x y' f xpx y f x qx Lika om f ' x f xpx f x y f x y' f ' x y x Vi ser att om vi väljer f x så att f ' x f x px blir f x y f x qx. Detta är en separabel (ODE) vars allmänna lösning är x yx 1 f x f x qxx C 1 Frågan är bara om det finns ett f x så att f ' x f x px? Men visst! Detta är också en separabel (ODE) med lösningen f ' x f x px f f x pxx ln f x pxx C 1 f x px xc 1 Att lösa en linjär första ordningens (ODE) på detta sätt kallas för metoden med integrerande faktor, just på grund av det lämpliga faktorvalet som gör att lösningen fås efter en integration. Med detta val kallas f för integrerande faktor och vi benämner den med IF. Vanligtvis väljer man i IF att sätta integrationskonstanten C 1 0 eftersom den ändå kan divideras bort, ty IFx px xc 1 px x C 1 px x A med A 0 pxx Ay' px y pxx AqxFörkorta bort A 0 px x y' px y px x qx Däremot får man aldrig glömma C 1 i den allmänna lösningen. Liksom i det separabla fallet gäller det att vara en smidig integrator! Vi sammanfattar. En linjär första ordningens differentialekvation y' px y qx har integrerande faktorn IFx px x. Då är y' px y qx 1 IFx yifx qx med allmänna lösningen yx x IFx IFx qxx C 1. Lär er inte formeln utan metoden! Glöm inte att multiplicera högerledet qx med IFx före separation! Exempel: Lös differentialekvationen y' y 1. Lösningsförslag: Separabel eller linjär, här väljer vi det senare. Genomför gärna det förstnämnda! Då blir integrerande faktorn IF 1 x x, och därmed x x y x 1 Separabel x y x x Som vanligt är x y x C 1 y 1 C 1 x. DSolvey'xyx 1, yx, x yxc 1 x 1 Exempel: Lös differentialekvationen y' y x. Lösningsförslag: Linjär (ODE) med IF 1 x x, så x x y x x Separabel x y 2 x x x y 1 2 2 x C 1 y 1 2 x C 1 x. DSolvey'xyx x,yx, x yxc 1 x x 2 Exempel: Lös differentialekvationen y' 5 y x. Lösningsförslag: Ej separabel men linjär. Jämför med prototypen y' px y qxy' 5 y x. Så IF 5 x 5 x och x 5 x y 5 x x Separabel 5 x y 4 x x 5 x y 1 4 4 x C 1 y 1 4 x C 1 5 x.

HH/ITE/BN Ordinära differentialekvationer och Mathematica 11 DSolvey'x5yx x,yx, x yxc 1 5 x x 4 Exempel: Lös differentialekvationen y' 2 y 3. Lösningsförslag: Separabel eller linjär, som omväxling väljer vi det senare. Då blir integrerande faktorn IF 2 x 2 x, så x 2 x y 2 x 3 Separabel 2 x y 3 2 x x 2 x y 3 2 2 x C 1 y 3 2 C 1 2 x. DSolvey'x2yx 3, yx, x yxc 1 2 x 3 2 Exempel: Lös BVP xy' 2 y 3 x 1 ODE. y21 BV Lösningsförslag: Efter division med x får vi en linjär (ODE), y' 2 y 3 1, och därmed är vi i välkänd terräng. Vi får här x x IF 2 x x 2lnx lnx2 x 2, så att x x2 yx 2 3 1 x Separabelx2 y x 3 1 2 x2 C 1 y x 1 C 1. Slutligen med 2 2 x (BV) y21: 1 2 1 C 1 C 2 2 2 1 2. DSolvex y'x2yx 3x 1, y2 1, yx, xsimplify yx 2 x 2 x 1 2 Linjär andra ordningens (ODE) med konstanta koefficienter Vi ska studera en i ingenjörssammanhang vanligt förekommande variant av andra ordningens linjära (ODE), nämligen då koefficienterna framför y'', y' och y är reella konstanter. Då så inte är fallet har vi i allmänhet stora bekymmer att vänta och överlåter verksamheten till Mathematica. Alltså y'' ay' by f x där a och b är reella konstanter. Den allmänna lösningen till denna (ODE) består av två delar yxy h xy p x där homogena lösningen y h x är lösningen till motsvarande homogena differentialekvation y'' ay' by 0 och y p x är en partikulärlösning till den orörda y'' ay' by f x. Man börjar alltid med den homogena lösningen eftersom den behövs för att göra en korrekt ansats av partikulärlösningen. Homogena lösningen y h x Studera den homogena differentialekvationen y'' ay' by 0 och byt y mot r och derivator mot potenser, så får vi en vanlig andragradsekvation i r som kallas för den karakteristiska ekvationen. Denna har alltid två rötter som bestäms med välkänd formel y'' ay' by 0 r 2 ar 1 br 0 0 r 2 ar b 0 r 1,2 a 2 a 2 2 b Den homogena lösningen beror nu på de två rötterna r 1 och r 2. Vi sammanfattar

12 Ordinära differentialekvationer och Mathematica HH/ITE/BN Till den homogena differentialekvationen y'' ay' by 0 hör karakteristiska ekvationen r 2 ar b 0 med rötterna r 1,2 a 2 a 2 2 b. Den homogena lösningen y h x får vi då som ett av de tre fallen Fall 1: r 1 r 2 reella y h xc 1 r 1x C 2 r 2x Fall 2: r 1 r 2 reella y h xc 1 x C 2 r 1x Fall 3: r 1,2 ΑΒ, Β0 komplexkonjugerade y h x Α x C 1 cosβxc 2 sinβx Lär dessa utantill! Vi ser att det är den homogena lösningen som bär de två konstanterna C 1 och C 2. För att övertyga sig om riktigheten i de tre fallen och att det inte finns några andra kan vi argumentera på följande sätt. Gör variabelsubstitutionen yxzx r 2x. Derivera produkten en och två gånger. Efter hyfsning har vi y' x r2x z' xr 2 zx y'' x r2x z'' x2 r 2 z' xr 2 2 zx Insättning i y'' ay' by 0 ger r 2x z'' x2 r 2 a z' xr 2 2 ar 2 b zx 0 Eftersom r 2x 0 för alla x och r 2 är rot till karakteristiska ekvationen kan vi tillsammans med sambandet r 1 r 2 a mellan rötter och koefficienter i en andragradsekvation förenkla r 2x 0 till en linjär (ODE) av första ordningen i z' x. Denna har då enligt tidigare avsnitt lösningen som är separabel. Om nu r 1 r 2 får vi z'' x2 r 2 a z' xr 2 2 ar 2 b zx 0 r 2 r 1 0 z' x' r 2 r 1 z' x0 z' xc 1 r 1r 2 x zx C 1 r 1 r 2 r 1r 2 x C 2 Substituera tillbaka yxzx r 2x C 1 r 1 r 2 r 1r 2 x C 2 r 2x C 1 r 1 r 2 C 1 C 1 r 1x C 2 r 2x vilket är fall 1. Om däremot r 1 r 2 blir z' xc 1 och efter separation zxc 1 x C 2 varav yxzx r 1x C 1 x C 2 r 1x som är fall 2. Fall 3 är något mer komplicerat men utveckling av fall 1 med hjälp av Eulers identitet ger yx C 1 r 1 x C 2 r 2 x C 1 Α Βx C 2 Α Βx Eulers identitet Αx C 1 cosβxsinβx C 2 cosβxsinβx Αx C 1 C 2 cosβxc 1 C 2 sinβx Αx AcosΒxBsinΒx där vi infört nya komplexa konstanter A C 1 C 2 och B C 1 C 2. Eftersom reella lösningar är de enda fysikaliskt relevanta bör dessa väljas rent reella och fall 3 skall användas då vi har komplexkonjugerade rötter till karakteristiska ekvationen. De tre möjliga fallen av homogena lösningar illustreras kvalitativt i följande figurer. Vokabuläret är hämtat från mekanikens studium av svängningsproblem

HH/ITE/BN Ordinära differentialekvationer och Mathematica 13 yx yx yx x Fall1: Överkritisk dämpning. Inte så vanligt förekommande i ingenjörssammanhang. x Fall 2: Kritisk dämpning. Lösningskurvan skär xaxeln högst en gång. Typiskt utseende för en ny hjulupphängning på en bil. x Fall3: Underkritisk dämpning. Mycket vanligt insvängningsförlopp. Typiskt utseende för en gammal hjulupphängning på en bil. Exempel: Sök homogena lösningen till y'' 4 y' 5 y 0. Lösningsförslag: Vi får karakteristiska ekvationen och dess två rötter r 2 4 r 5 0 r 1,2 4 2 4 2 2 5 2 3 r 1 5 r 2 1 Solver 2 4r 5 0 r 1, r 5 Två olika reella rötter, så Fall 1 ger direkt y h xc 1 5 x C 2 x. Detta upptäcker naturligtvis även Mathematica. DSolvey''x4y'x5yx 0, yx, x yxc 1 x c 2 5 x Exempel: Sök homogena lösningen till y'' 4 y' 4 y 0. Lösningsförslag: Vi får karakteristiska ekvationen och dess två rötter Solver 2 4r 4 0 r 2, r 2 r 2 4 r 4 0 r 1,2 4 2 4 2 2 4 2 0 r 1 2 r 2 2 Reell dubbelrot, så Fall 2 ger direkt y h xc 1 x C 2 2 x. Detta upptäcker naturligtvis även Mathematica. DSolvey''x4y'x4yx 0, yx, xsimplify yx 2 x c 2 x c 1 Exempel: Sök homogena lösningen till y'' 4 y' 13 y 0. Lösningsförslag: Vi får karakteristiska ekvationen och dess två rötter Solver 2 4r 13 0 r 2 3, r 2 3 r 2 4 r 13 0 r 1,2 4 2 4 2 2 13 2 3 r 1 2 3 r 2 2 3 Komplexkonjugerade rötter, så Fall 3 ger direkt y h x 2 x C 1 cos3xc 2 sin3x. Detta upptäcker naturligtvis även Mathematica. DSolvey''x4y'x13 yx 0, yx, xsimplify yx 2 x c 1 sin3 xc 2 cos3 x

14 Ordinära differentialekvationer och Mathematica HH/ITE/BN Partikulärlösningen y p x Studera nu den ursprungliga inhomogena differentialekvationen y'' ay' by f x där den homogena lösningen y h x är bestämd enligt föregående avsnitt. Vi ska nu bestämma en partikulärlösning y p x som beror av högerledet. Det räcker att hitta en och för enkelhets skull nöjer vi oss här med att behandla några enkla och i praktiken vanligt förekommande funktioner f x. Övriga (i praktiken alla) fall överlåter vi till Mathematica. Vi sammanfattar resan i en kokbok och illustrerar sedan med några exempel. Steg 0: Innan man börjar så kan man dra lite nytta av lineariteten hos (ODE) för att bespara sig alltför volymiösa handräkningar. Nämligen om f x f 1 x f 2 x där f i x är funktioner som vi befattar oss med enligt Steg 1 nedan, så gäller f x f 1 x f 2 x y p xy p1 xy p2 x Man kan alltså genomföra Steg 1-3 nedan för varje f i x och sedan lägga samman y pi x till den slutliga y p x som motsvarar f x. Steg 1: Vi väljer att behandla högerled f x enligt kolonn ett. Ansätt y p x enligt kolonn två med okända koefficienter A, B, som sedan kommer att bestämmas i Steg 3. f x y p x polynom av grad n Ansätt ett fullt polynom av samma gradtal n, det vill säga ett som innehåller alla potenser upp till och med n: A Bx Cx 2 Nx n k Α x k cosωx k sinωx k 1 cosωxk 2 sinωx Ansätt A Α x Ansätt A cosωxb sinωx Ansätt A cosωxb sinωx Ansätt A cosωxb sinωx Exempel: Typiska enkla fall som man bör klara för hand. Redan detta är på gränsen f x9 y p xa fx3 2 x y p xa 2 x f x5 x 2 y p xa Bx fx5 cos4x y p xa cos4xb sin4x f x7 x 2 3 y p xa Bx Cx 2 f x12 sin4x y p xa cos4xb sin4x f xx 3 4 x y p xa Bx Cx 2 Dx 3 f x3 cos4x8 sin4x y p xa cos4xb sin4x Steg 2: Kontrollera om någon term i y p x finns med som en term i y h x, i så fall tillför y p x inte någon ny information. Korrigera genom att multiplicera y p x med x. Om y p x fortfarande finns i y h x så multiplicera med x igen, å igen Detta problem uppkommer bara när vi har en exponentialfunktion eller trigonometriskt uttryck i högerledet. Exempel: Ansätt y p x beroende på f x. Undersök sedan om y p x finns med som termer i y h x och korrigera vid behov. Det är ok om y p x finns med i y h x som en faktor med annan funktion gx. y h xc 1 5 x C 2 2 x & f x3 2 x y p xa 2 x y h x y p xax 2 x y h x y h xc 1 x C 2 2 x & f x3 2 x y p xa 2 x y h x y p xax 2 x y h x y p xax 2 2 x y h x y h x 2 x C 1 cos4xc 2 sin4x & f x3 2 x y p xa 2 x y h x y h x 2 x C 1 cos4xc 2 sin4x & f x3 cos4x y p xa cos4xb sin4xy h x y h x 0 x C 1 cos4xc 2 sin4x & f x3 cos4x y p xa cos4xb sin4xy h x y p xxa cos4xb sin4x y h x

HH/ITE/BN Ordinära differentialekvationer och Mathematica 15 Steg 3: Sätt in ansatsen y p x i (ODE) och bestäm de okända koefficienterna A, B, genom att identifiera koefficienter. Detta innebär att bestämma A, B, så att vi har lika många "äpplen och päron" på båda sidor om likhetstecknet. Det vill säga för att en likhet skall gälla för alla värden på den oberoende variabeln måste vi ha exakt samma antal av varje förekommande funktion på båda sidor om likhetstecknet. Exempel: Sök y p x då y'' 6 y' 13 y 5 x 2 är given. Lösningsförslag: Först bestämmer vi den homogena lösningen med hjälp av karakteristiska ekvationen r 2 6 r 13 0 r 1,2 6 2 6 2 2 13 3 2 Fall 3 y h x 3 x C 1 cos2 xc 2 sin2 x Solver 2 6r 13 0 r 3 2, r 3 2 Sedan en partikulärlösning. Steg 1: Vi har f x5 x 2 så ansätt enligt tabell y p xa Bx. Steg 2: Vi ser att y p xy h x. Steg 3: Identifiera koefficienter. Först bäddar vi upp med derivator Insättning i differentialekvationen y p xa Bx y p ' xb y p '' x0 0 6 B13 A Bx5 x 2 och identifiering av koefficienter framför varje funktionstyp (FT) i vänsterledet (VL) och högerledet (HL) FT VL HL x 1 13 B 5 x 0 6 B 13 A 2 Detta linjära ekvationssystem ska alltid ge en entydig lösning. Om inte så är ansatsen av y p x felaktig eller felräkning på vägen! Gå i så fall tillbaka till Steg 1! Här får vi Solve13 B 5, 6 B 13 A 2 A 56 169, B 5 13 Så y p x 56 5 x varav allmänna lösningen som summan av den homogena lösningen och partikulärlösningen 169 13 Med Mathematica har vi direkt yxy h xy p x 3 x C 1 cos2 xc 2 sin2 x 56 169 5 13 x DSolvey''x6y'x13 yx 5x 2, yx, xsimplify yxc 1 3 x sin2 xc 2 3 x cos2 x 5 x 13 56 169 Exempel: Sök y p x då y'' 2 y' 3 y 2 x 2 5 är given. Lösningsförslag: Först bestämmer vi den homogena lösningen med hjälp av karakteristiska ekvationen r 2 2 r 3 0 r 1,2 2 2 2 2 2 3 1 2 r 1 3 r 2 1 Fall 1 y h xc 1 3 x C 2 x

16 Ordinära differentialekvationer och Mathematica HH/ITE/BN Solver 2 2r 3 0 r 1, r 3 Sedan en partikulärlösning. Steg 1: Vi har f x2 x 2 5 så ansätt enligt tabell y p xa Bx Cx 2. Steg 2: Vi ser att y p xy h x. Steg 3: Identifiera koefficienter. Först bäddar vi upp med derivator Insättning i differentialekvationen y p xa Bx Cx 2 y p ' xb 2 Cx y p '' x2 C 2 C 2 B 2 Cx3 A Bx Cx 2 2 x 2 5 och identifiering av koefficienter framför varje funktionstyp (FT) i vänsterledet (VL) och högerledet (HL) FT VL HL x 2 3 C 2 x 1 4 C 3 B 0 x 0 2 C 2 B 3 A 5 Detta linjära ekvationssystem ska alltid ge en entydig lösning. Om inte så är ansatsen av y p x felaktig eller felräkning på vägen! Gå i så fall tillbaka till Steg 1! Här får vi Solve3 C 2, 4 C 3B 0, 2 C 2B 3A5 A 17 27, B 8 9, C 2 3 Så y p x 17 27 8 9 x 2 3 x2 varav allmänna lösningen som summan av den homogena lösningen och partikulärlösningen Med Mathematica har vi direkt yxy h xy p xc 1 3 x C 2 x 17 27 8 9 x 2 3 x2 yavx DSolvey''x2y'x3yx 2x 2 5, yx, xsimplify yxc 1 x c 2 3 x 2 x2 3 8 x 9 17 27 Mathematica har ingen funktion som levererar partikulärlösningen ensam. Detta är av visst intresse ibland, se vidare exempel i avsnittet "Blandade exempel för resten". Enklaste sättet är i så fall att bestämma allmänna lösningen till (ODE) och sedan släcka ner den homogena lösningen genom att sätta c 1 och c 2 till noll. yavx. C1 0, C2 0 yx 2 x2 3 8 x 9 17 27 Även då man räknar för hand kan man ha nytta av Mathematica för att kontrollera att man följer kokboken. ode y''x2y'x3yx 2x 2 5 y x2 y x3 yx2 x 2 5 yx A Bx Cx 2 A Bx Cx 2 ode 3 A Bx Cx 2 2 B 2 Cx2 C 2 x 2 5

HH/ITE/BN Ordinära differentialekvationer och Mathematica 17 id CoefficientList, x & ode 3 A 2 B 2 C, 3 B 4 C, 3 C5, 0, 2 Solveid A 17 27, B 8 9, C 2 3 Exempel: Sök y p x då y'' 6 y' 5 y 9 4 x är given. Lösningsförslag: Först bestämmer vi den homogena lösningen med hjälp av karakteristiska ekvationen r 2 6 r 5 0 Solver 2 6r 5 0 r 1, r 5 Sedan en partikulärlösning. r 1,2 6 2 6 2 2 5 3 2 r 1 5 r 2 1 Fall 1 y h xc 1 5 x C 2 x Steg 1: Vi har f x9 4 x så ansätt enligt tabell y p xa 4 x. Steg 2: Vi ser att y p xy h x. Steg 3: Identifiera koefficienter. Först bäddar vi upp med derivator y p xa 4 x y p ' x4 A 4 x y p '' x16 A 4 x Insättning i differentialekvationen 16 A 4 x 6 4 A 4 x 5 A 4 x 9 4 x och identifiering av koefficienter framför varje funktionstyp (FT) i vänsterledet (VL) och högerledet (HL) FT VL HL 4 x 16 A 24 A 5 A 9 Detta linjära ekvationssystem ska alltid ge en entydig lösning. Om inte så är ansatsen av y p x felaktig eller felräkning på vägen! Gå i så fall tillbaka till Steg 1! Här får vi Solve16 A 24 A 5A 9 A 1 5 Så y p x 1 5 4 x varav allmänna lösningen som summan av den homogena lösningen och partikulärlösningen yxy h xy p xc 1 5 x C 2 x 1 5 4 x Med Mathematica har vi direkt DSolvey''x6y'x5yx 9 4x,yx, x yxc 1 x c 2 5 x 4 x 5 Exempel: Sök y p x då y'' 4 y' 13 y 2 cos4x8 sin4x är given. Lösningsförslag: Först bestämmer vi den homogena lösningen med hjälp av karakteristiska ekvationen r 2 4 r 13 0 r 1,2 4 2 4 2 2 13 2 3 Fall 3 y h x 2 x C 1 cos3xc 2 sin3x

18 Ordinära differentialekvationer och Mathematica HH/ITE/BN Solver 2 4r 13 0 r 2 3, r 2 3 Sedan en partikulärlösning. Steg 1: Vi har f x2 cos4x8 sin4x så ansätt enligt tabell y p xa cos4xb sin4x. Steg 2: Vi ser att y p xy h x. Steg 3: Identifiera koefficienter. Först bäddar vi upp med derivator Insättning i differentialekvationen y p xa cos4xb sin4x y p ' x4 A sin4x4 B cos4x y p '' x16 A cos4x16 B sin4x 16 A cos4x16 B sin4x4 4 A sin4x4 B cos4x 13 A cos4xb sin4x 2 cos4x8 sin4x och identifiering av koefficienter framför varje funktionstyp (FT) i vänsterledet (VL) och högerledet (HL) FT VL HL cos4x 16 A 16 B 13 A 2 sin4x 16 B 16 A 13 B 8 Detta linjära ekvationssystem ska alltid ge en entydig lösning. Om inte så är ansatsen av y p x felaktig eller felräkning på vägen! Gå i så fall tillbaka till Steg 1! Här får vi Solve16 A 16 B 13 A 2, 16 B 16 A 13 B 8 A 122 265, B 56 265 Så y p x 122 56 cos4 x sin4 x varav allmänna lösningen som summan av den homogena lösningen och partikulärlösningen 265 265 Med Mathematica har vi direkt yxy h xy p x 2 x C 1 cos3x C 2 sin3x 122 56 cos4x sin4x 265 265 DSolvey''x4y'x13 yx 2 Cos4 x8 Sin4 x, yx, xsimplify yxc 1 2 x sin3 xc 2 2 x cos3 x 56 122 sin4 x cos4 x 265 265 Exempel: Sök y p x då y'' 6 y' 9 y 5 3 x är given. Lösningsförslag: Först bestämmer vi den homogena lösningen med hjälp av karakteristiska ekvationen r 2 6 r 9 0 r 1,2 6 2 6 2 2 9 2 0 Solver 2 6r 9 0 r 3, r 3 Sedan en partikulärlösning. Steg 1: Vi har f x5 3 x så ansätt enligt tabell y p xa 3 x. Fall 2 y h xc 1 x C 2 3 x Steg 2: Vi ser att y p xa 3 x y h xy p xax 3 x y h xy p xax 2 3 x y h x. Steg 3: Identifiera koefficienter. Först bäddar vi upp med derivator av en produkt

HH/ITE/BN Ordinära differentialekvationer och Mathematica 19 y p xax 2 3 x y p ' xa 2 x 3 x x 2 3 x 3 A 3 x 2 2 x 3 x y p '' xa 32 x 2 3 x 3 x 2 2 x 3 x 3 A 9 x 2 12 x 2 3 x Insättning i differentialekvationen A 9 x 2 12 x 2 3 x 6 A 3 x 2 2 x 3 x 9 Ax 2 3 x 5 3 x och identifiering av koefficienter framför varje funktionstyp (FT) i vänsterledet (VL) och högerledet (HL) FT VL HL x 2 3 x 9 A 18 A 9 A 0 x 3 x 12 A 12 A 0 3 x 2 A 5 Detta linjära ekvationssystem ska alltid ge en entydig lösning. Om inte så är ansatsen av y p x felaktig eller felräkning på vägen! Gå i så fall tillbaka till Steg 1! När vi har korrigerat y p x genom multiplikation med x får vi lika många urartade ekvationer 0 0 som antal korrigeringar. Bra kontroll! Här är det de två första. Solve9 A 18 A 9A 0, 12 A 12 A 0, 2 A 5 A 5 2 Så y p x 5 2 x2 3 x varav allmänna lösningen som summan av den homogena lösningen och partikulärlösningen yxy h xy p xc 1 x C 2 3 x 5 2 x2 3 x Mathematica noterar naturligtvis att både 3 x och x 3 x ingår i homogena lösningen och korrigerar ansatsen till partikulärlösningen därefter. DSolvey''x6y'x9yx 5 3x,yx, x yxc 2 3 x x c 1 3 x 5 2 3 x x 2 Exempel: Lös BVP y'' 2 y' 3 y x 2 y01 y' 00 ODE. BV Lösningsförslag: Först bestämmer vi den homogena lösningen med hjälp av karakteristiska ekvationen r 2 2 r 3 0 r 1,2 2 2 2 2 2 3 1 2 r 1 3 r 2 1 Fall 1 y h xc 1 3 x C 2 x Solver 2 2r 3 0 r 3, r 1 Sedan en partikulärlösning. Steg 1: Vi har f xx 2 så ansätt enligt tabell y p xa Bx Cx 2. Steg 2: Vi ser att y p xy h x. Steg 3: Identifiera koefficienter. Först bäddar vi upp med derivator y p xa Bx Cx 2 y p ' xb 2 Cx y p '' x2 C Insättning i differentialekvationen 2 C 2 B 2 Cx3 A Bx Cx 2 x 2

20 Ordinära differentialekvationer och Mathematica HH/ITE/BN och identifiering av koefficienter framför varje funktionstyp (FT) i vänsterledet (VL) och högerledet (HL) FT VL HL x 2 3 C 1 x 1 4 C 3 B 0 x 0 2 C 2 B 3 A 0 Detta linjära ekvationssystem ska alltid ge en entydig lösning. Om inte så är ansatsen av y p x felaktig eller felräkning på vägen! Gå i så fall tillbaka till Steg 1! Här får vi Solve3 C 1, 4 C 3B 0, 2 C 2B 3A 0 A 14 27, B 4 9, C 1 3 Så y p x 14 27 4 9 x 1 3 x2 varav allmänna lösningen som summan av den homogena lösningen och partikulärlösningen yxy h xy p xc 1 3 x C 2 x 14 27 4 9 x 1 3 x2 y01 Nu är det dax att bestämma C 1 och C 2 med hjälp av BV y' 00. Frestas inte att sätta in (BV) redan i y hx! Det blir enklare räkningar men garanterat fel! (BV) gäller ju för lösningen till (ODE) inte dess homogena variant. Så först derivatan av yx sedan de efterlängtade y' x3 C 1 3 x C 2 x 4 9 2 3 x BV y01 y' 00 : C 1 30 C 2 0 14 4 0 1 27 9 3 02 1 3 C 1 30 C 2 0 4 2 0 0 9 3 C 1 C 2 41 27 3 C 1 C 2 4 9 C 1 29 108 C 2 5 4 Med Mathematica har vi direkt DSolvey''x2y'x3yx x 2,y0 1, y'0 0, yx, xexpand yx x2 3 4 x 9 29 3 x 108 5 x 4 14 27 Notera ännu en gång att begynnelsevärden (BV) och randvillkor (RV) skall appliceras på den allmänna lösningen yx inte på den homogena lösningen y h x!

HH/ITE/BN Ordinära differentialekvationer och Mathematica 21 Modellering av (ODE) för tillämpningar - några spridda tips och exempel Att modellera verkliga problem med hjälp av matematik kräver erfarenhet och ett öppet sinnelag. Till sin natur är denna verksamhet oftast helt skild från den matematikundervisning man möter i skolan och upplevs av naturliga skäl som svår. Inte minst på grund av att man ska hämta kunskap och inspiration från flera grundläggande ämnen, inte bara matematik även om detta kommer att bli själva språket. Det gäller att "se" på verkligheten genom glasögon som identifierar och tydliggör fenomen som kan kläs med matematiska begrepp som derivata, integral och differentialekvation. Med detta betraktelsesätt tillägnar sig en modern ingenjör en klar konkurrensfördel eftersom modellering och simulering är ett absolut krav för att klara de allt kortare ledtider som krävs för att utveckla nya produkter. Detta må vara allt från bilar, mobiltelefoner, medicinsk utrustning och läkemedel till schemaläggning av flygplan och kommer att accentueras alltmer i framtiden. Se vidare i e-boken "Något om Matematisk modellering och Mathematica". Vi börjar med några modelleringstips och avslutar med typiska fysikaliska fenomen som modelleras med (ODE). För fler exempel och även mera avancerade sådana hänvisas till det senare avsnittet "Blandade exempel för resten". Den för ingenjörer så vanliga Newtons accelerationslag behandlas utförligt med exempel i e-boken "Något om Mekanik-Dynamik och Mathematica". Läsa spelet Ofta gäller det att kunna dechiffrera en verbal beskrivning till en matematisk beskrivning. Vid differentialekvationer gäller det att först bestämma vad som är den oberoende variabeln, i många praktiska tillämpningar är det tiden t, sedan den beroende variabeln, det vill säga den sökta funktionen, säg yt. Det viktiga är att formuleringen av en (ODE) ska göras och gälla för en godtycklig tidpunkt t i det intervall där man är intresserad av att studera systemet, exempelvis t 0. Begynnelsevärden (BV) fixerar sedan alla C i. Som hjälp vid dechiffreringen är det bra att känna igen vanliga formuleringar som skall tolkas som derivata av den sökta funktionen Ändring av y per tidsenhet y eller y' t. t Ändringshastigheten av y y eller y' t. t När det sedan gäller att formulera själva (ODE):n är i en uppsjö av tillämpningar olika typer av proportionalitet inblandade. Vissa ord, eller kombinationer av ord, kan också direkt associeras med matematiska krumelurer, exempelvis Ändring av yt per tidsenhet yt:s hastighet y' t y' t yt är proportionell mot t ytkt. k yt är omvänt proportionell mot t yt k. t Ändring av yt per tidsenhet y' t Ändring av yt per tidsenhet y' t är proportionell mot k är proportionell mot k k är proportionell mot yt y' tkyt. k är proportionell mot k yt och t y' tkytt. yt och skillnaden mellan m och yt y' tkytm yt. myt yt och omvänt proportionell mot skillnaden mellan m och yt k myt y' t kyt myt. Efter man löst (ODE) och bestämt alla C i med hjälp av (BV) återstår avslutningsvis att fixera proportionalitetskonstanten k och kanske andra konstanter med hjälp av några i problemtexten beskrivna ögonblicksbilder (RV) under resan. Fysikaliska principer Ofta kommer någon fysikalisk lag eller princip till användning, exempelvis Newtons accelerationslag: m 2 y F eller my F. Förmodligen den viktigaste ekvationen för en ingenjör. Se vidare "Blandade t 2 exempel för resten" och speciellt i e-boken "Något om Mekanik-Dynamik med Mathematica" som helt tillägnas denna ekvation. Vid handräkning brukar det vara populärt att med kedjeregeln skriva om y y y y för att få en första ordningens def t y y KR t y (ODE) i y y, inte sällan separabel. Gör inte det! Stanna i ursprungliga (BVP) med yt! Enklare och rikare lösning med t. y

22 Ordinära differentialekvationer och Mathematica HH/ITE/BN Energins bevarande massans oförstörbarhet. Massa volym densitet (eller koncentration). Arkimedes princip: Då en kropp nedsänkes i en vätska påverkas denna av en lyftkraft som är lika stor som den undanträngda vätskans tyngd. SI-enheter Håll koll på alla enheter. Räkna alltid i SI-enheter! Se vidare i e-boken "Något om SI-enheter och Mathematica". Dimensionsanalys Se till att det är lika många "äpplen" och "päron" på båda sidor om tecknet i (ODE):n! Dimensionsanalys är ett utmärkt stöd vid modellering och ett studium av de storheter som ingår i problemet ger nästan alltid direkta tips som leder till målet. Se vidare i e- boken "Något om Dimensionsanalys och Mathematica". Radioaktivt sönderfall, bakteriekultur, kapitalisering av pengar Väldigt många problem beskrivs med den enkla proportionalitetsmodellen att tillväxthastigheten vid varje tidpunkt är proportionell mot aktuell mängd. Detta brukar ibland kallas Malthus lag. Om vi som exempel tar radioaktivt sönderfall och låter aktuell mängd vid tiden t vara mt får vi direkt BVP m' tkmt ODE m0m BV Detta är en separabel (ODE) m m k t 1 m m k t C 1 lnmkt C 1 mt ktc 1 mt C 1 kt mtc 1 kt. Men den är också en linjär första ordningens (ODE) m' tkmt0 med med integrerande faktorn IF k t kt, så t kt mt kt 0 {Separabel} kt mt 0 t kt mtc 1 mtc 1 k t. Eller med Mathematica mavt DSolvem't kmt, mt, tfirst mtc 1 kt Sedan bestäms C 1 av (BV) m0m : M C 1 k0 C 1 M. Eller hela resan med Mathematica mavt DSolvem't kmt, m0 M, mt, tfirst mtm kt Vid radioaktivt sönderfall brukar proportionalitetskonstanten k fixeras antingen av en ögonblicksbild, t.ex. mτ m Τ, eller kopplas till halveringstiden H. ekv mt M 2. mavt. t H M Hk M 2 kvärde Solveekv, k, Reals First k log2 H Vi ser att k 0 som sig bör eftersom mängden minskar (sönderfaller). Man kunde naturligtvis lika gärna satt "k" i (ODE):n ovan. I problemtexter brukar halveringstiden vara given och k bestäms som ovan, eller så är k given och halveringstiden söks. Proportionalitetskonstanten k avgör hur snabbt det radioaktiva ämnet klingar av. Ju rödare kurvan är i figuren nedan ju större är k och ju fortare går det!

HH/ITE/BN Ordinära differentialekvationer och Mathematica 23 PlotEvaluateTable kt, k, 10, t, 0, 5, PlotRange All, PlotStyle Hue Range0.1, 1, 0.1, AxesLabel "t", "mt" mt 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 t Fler exempel ges under det senare avsnittet "Blandade exempel för resten". Newtons avsvalningslag Kroppar, exempelvis kaffe, kaka från ugnen eller metallstycke, som ställs till avsvalning eller för all del uppvärmning följer den enkla lagen att temperaturändringen per tidsenhet är proportionell mot skillnaden mellan omgivande temperatur och aktuell temperatur i kroppen. Omgivningen anses vara så stor att dess temperatur är konstant under resans gång. Detta samband kallas Newtons avsvalningslag. Lösningsförslag: Om vi antar att temperaturen i kroppen är Tt vid tiden t får vi direkt BVP T ' tkt omg Tt T0T 0 ODE BV T Detta är en separabel (ODE); k t, som har lösningen 1 T omg T T T omg T k t C 1 lnt omg Tkt C 1 T omg T k tc 1 TtTomg k tc 1 TtTomg C 1 k t. Men också en linjär första ordningens (ODE); T ' tkttkt omg med IF k t kt, så t kt Tt kt kt omg Separabel kt Tt kt kt omg t kt TtkT omg 1 k kt C 1 TtT omg C 1 k t. Slutligen återstår bara att fixera C 1 med hjälp av (BV) T0T 0 : T 0 T omg C 1 k0 C 1 T 0 T omg, och att meka in den i allmänna lösningen Tt ovan så har vi lösningen till (BVP) TtT omg T 0 T omg kt. Typiskt för alla lösningskurvor är att de alla startar i T 0 och närmar sig asymptotiskt T omg ju längre tiden lider. Gäller både avsvalning och uppvärmning! Detta inses av (ODE) med k 0, ty T omg TtT ' t0 ger avsvalning men då TtT omg T ' t0 så T omg är en asymptot. På analogt sätt T omg TtT ' t0 har vi uppvärmning mot T omg. Som vanligt avgör k hur snabbt processen förlöper. Avsvalning av kaffe i rumstemeratur eller uppvärmning av drink på stranden. BVP T ' tk25 Tt T085 ODE BV respektive T ' tk20 Tt T07 ODE BV Tk DSolveT't k 25 Tt, T0 85, Tt, tsimplify Tt60 kt 25 Td DSolveT't k 20 Tt, T0 7, Tt, tsimplify Tt20 13 kt Ju rödare kurvan är i figuren nedan ju större är k och ju fortare går processerna! PlotEvaluateTableTt. Tk, Td, k, 10, t, 0, 1, PlotRange 0, 100, PlotStyle Hue Range0.1, 1, 0.1, AxesLabel "t", "Tt C"

24 Ordinära differentialekvationer och Mathematica HH/ITE/BN TtC 100 80 60 40 20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t Fler exempel ges under det senare avsnittet "Blandade exempel för resten". Torricellis lag Hastigheten som en vätska strömmar ut genom ett hål i en tank är v 2gh, där g är tyngdaccelerationen och h vattendjupet vid hålet. Detta sammband kallas Torricellis lag. Så om hålets area är A har vi flödet q Av. I praktiken har vi energiförluster vid hålet så det teoretiska uttrycket för v måste korrigeras med en faktor Η1 som beror på hålets utseende. För ett cirkulärt hål är Η0.6 om det strömmar rakt ut i luften. Så med ord har vi Torricellis lag: Då en vätska strömmar med flödet q ur en tank gäller att detta i varje ögonblick är proportionellt mot kvadratroten ur vattendjupet h. Eftersom flöde är volymändring per tidsenhet kan vi sammanfatta i en (ODE) q V t k h Där V Vt är aktuell vätskevolym. Vattendjupet ht ska betraktas som en koordinat för vattenytans läge, enligt figur. Lagen brukar ibland formuleras med minustecken framför proportionalitetskonstanten k, för att redan vid modelleringen återspegla det faktum att volymen minskar i tanken. Speciellt viktigt är det naturligtvis att det blir rätt tecken om k är given numeriskt. Problemet är i allmänhet att för givet utseende på tanken beskriva V Vh varav sedan V V h med kedjeregeln eller implicit derivering ger t h t en (ODE) som bestämmer ht. Proportionalitetskonstanten k fixeras ofta med en ögonblicksbild någon gång under tömningen. Exempel: En tank i form av en stående cylinder är helt fylld med vatten. Så öppnas en kran i botten så att vattnet strömmar ut med en hastighet som i varje ögonblick är proportionell mot kvadratroten ur vattendjupet, Torricellis lag. Hur lång tid tar det att tömma tanken om den efter T s är tömd till hälften? Lösningsförslag: Om R är tankens radie och h en koordinat för vattendjupet räknat från botten har vi t ΠR2 hk h. Det vill säga ΠR 2 h' tk ht h' t k ΠR 2 ht h' tk ht, med sedvanlig omdöpning av konstanter. Antag att tanken har höjden H så kan vi sammanfatta BVP h' tk ht ODE h0h BV ht H 2 RV Vi börjar med handräkningsversionen och obestämda intergraler för en separabel (ODE). Den är inte linjär och vi börjar som vanligt med allmänna lösningen h' tk ht h 12 h k t C 1 1 121 h121 kt C 1 ht 1 4 kt C 1 2 Nu återstår att bestämma konstanten C 1 med hjälp av (BV) h0h: H 1 4 k 0 C 1 2 C 1 2 H. Sedan fixerar vi k med hjälp