Maxwells ekvatione EMB: FDTD sammanfattning Mats Gustafsson Elekto- och infomationsteknik, Lunds Univesitet ET6, HT, 8 tidsdomänen används fämst Faadas och Ampèes laga D H J t B t + E dä konstitutiva elatione som D ɛe och B µh elle allmänna dispesiva bi-anisotopa modelle används. Divegensekvationena D ρ och B ska vaa uppfllda som begnnelseväden. Konstitutiva elatione Ledningsfömåga, Debe- och Loentzmodelle implementeas enkelt i FDTD. Debemodellen ges av D ɛ E + P med P t + P τ ɛ αe Maxwells ekvatione genealiseas till ɛ E t H + ɛ αe P τ µ H t + E P t +P τ ɛ αe Appoximea med centaldiffeense. Anisotopa mateial modelle kan också anpassas till FDTD. Centaldiffeense Appoximea deivatona med centaldiffeense f(z + ) f(z) f (z + /) + 4 f (z + /) +...+ evalueade på ett ekvidistant beäkningsnät f n p,q, f(p x, q,, n) dä E-fältet evalueas i n och H-fältet i (n + /) med n,,,....
Yee-cell ummet använde vi Yee-cellen (intoducead av K. Lee 966) dä E-fälten associeas med kantena och H-fälten med sidona av beäkningscellena. x z + E z q q+ {{ q+ + {{ p E x E H x H z H p+ p+ {{ FDTD i 3D Appoximationen med centaldiffeense ge och E x n+ E p+ x n ɛ,q, p+,q, H x n+ p,q+ µ,+ x n p,q+,+ H z n+ p+,q+, z n+ p+,q, H n+ p+,q,+ n+ p+,q, E n p,q+,+ E n p,q+, E z n p,q+,+ E z n p,q,+ och motsvaande fö E, E z, H, H z. E x n+ E p+ x n ɛ,q, p+,q, E n+ E p,q+ n ɛ, p,q+, E z n+ E p,q,+ ɛ z n p,q,+ och H x n+ p,q+ µ,+ x n p,q+,+ H n+ p+ µ,q,+ n p+,q,+ H z n+ p+ z n µ,q+, p+,q+, Explicit uppdateing i n ge FDTD. H z n+ p+ z n+,q+ H, p+,q, n+ p+,q,+ n+ p+,q, H x n+ p,q+,+ x n+ H p,q+, z n+ p+ z n+,q+, x p,q+, H n+ p+,q,+ n+ H p,q,+, x n+ p,q+,+ x n+ p,q,+ x E n p,q+,+ E n p,q+, E z n p,q+,+ E z n p,q,+ E z n E p+,q,+ z n E p,q,+ x n p+,q,+ E x n p+,q, x E x n p+,q+, E x n p+,q, E n p+,q+, E n p,q+, x FDTD i D Med E E x (t, z)ˆx och H H (t, z)ŷ ɛ E x n+ E x n H n+ + µ n + H n+ + n+ E x n + E x n Explicit uppdateing ge FDTD-schemat E x n+ E x n ɛ H n+ + H n + µ ( H n+ + n+ ( Ex n + E x n ) )
Matlab med andvillko FDTD: Yee cell i D nt/ t nt/ t fo n :Nt; % Update H fom n*dt-dt/ to n*dt+dt/ in the main gid 3 fo :Nz.5 H() H() - (Dt/mu/Dz) * (Ex(+)-Ex()); end.5 % Update E fom n*dt to (n+)*dt in the main gid except at the bounda end fo :Nz Ex() Ex() - (Dt/eps/Dz) * (H()-H(-)); end Numeisk dispesion 4 3.5 E x H.5.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 z/ z 4 3.5 E x H 3.5.5.5.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Beäkningsnät Begnnelseväden: E x och H.5 kända Beäkning av E x Beäkning av E x Beäkning av E x 3 Beäkning av E x 4 E x och H.5 kända Beäkning av H x.5.5 Beäkning av H x.5.5 Beäkning av H x.5.5 Beäkning av H x.5 3.5 Beäkning av H x.5 4.5 E x och H.5 kända E x och H.5 kända E x och H.5 kända E x 3 och H.5 kända E x 3 och H 3.5 kända E x 4 och H 3.5 kända z/ z Dispesionselationen fö FDTD schemat i 3D beäknas som i D fallet med den tidshamoniska planvågen E(, t) E e j(ωtk ) E e j(nωpkx xqkkz), dä k k x x + k + k z z. Dispesionselationen ä a) b)! z c 3.5.5.5...3.4.5.6.7.8.9 R R.9 R.77 R.577 R k z ¼.99.98.97.96.95.94 fashastighet,!/k/c R R.9 R.77 R.577 R 5 5 5 3 punkte pe våglängd sin (ω/) (c) sin (k x x/) x + sin (k /) + sin (k z /) (a) Dispesionselationen fö olika väden på R c /. (b) Nomalisead fashastighet (ω/k/c) som funktion av antal sampelpunkte pe våglängd (λ/ π/(k)) fö olika väden på R.
Stabilitet llustatione av numeisk dispesion fö en Gaussisk och en ektangulä puls. Fomen på pulsena föändas då R <. E x.. -. -. E x.6.5.4.3.. -. t5ns R.58 z/m 3 4 R t.7ns R.9 R z/m FDTD schemat ä stabilt om sin (ω/) fö alla vågvektoe k. Högeledet maximeas av en vågvekto med komponente k x x π, k π och k z π. Obsevea att k x x π motsvaa två punkte pe våglängd (jämfö med Nquist samplingsteoem). Stabilitetsvillkoet ä ( c x + + ) / som föenklas till x c 3.57 x c fö ett kubiskt beäkningsnät x. Lax-Richtmes ekvivalenssats time is 4.885ns llustatione av stabilitet fö en Gaussisk och en ektangulä puls med R.. Efield Efield.6.4...4.6.5.5.5 3 3.5 4 z/m time is.3369ns.6.4...4.6.5.5 z/m Hu kan man veta att den numeiska lösningen, hä med FDTD, appoximea den den iktiga lösningen? Dispesionselationen visa att FDTD-appoximationen ä konsistent med den patiella diffeentialekvationen (Maxwells ekvatione). (Med konsistent menas att FDTD-appoximationen appoximea den patiella diffeentialekvationen fö långsamt vaieande fält, k och ω.) Dispesionselationen visa också att FDTD appoximationen ä stabil om tidssteget väljs lämpligt. Med stabilt menas att lösningen inte växe okontolleat.
Lax-Richtmes ekvivalenssats Tappstegsappoximation Vi kan använda Lax-Richtmes ekvivalenssats fö att visa att den numeiska lösningen konvegea mot den iktiga lösningen. Theoem (Lax-Richtmes ekvivalenssats) Ett konsistent finita diffeensschema fö en välställd patiell diffeentialekvation ä konvegent om och endast om schemat ä stabilt. Vad betde detta i paktiken? Lösningen komme att näma sig den iktiga lösningen nä beäkningsnätet föfinas,. Det betde att man bö studea hu lösningen föändas nä man föfina beäkningsnätet. Ett stot poblemet i FDTD ä modelleing av komplexa geometie då de måste appoximeas i det använda beäkningsnätet. Det ge ett fel på cika en halv beäkningscell i objektens stolek och placeing. 8 7 6 5 4 3 q/4 tappstegsappoximation objekt 3 4 5 6 7 8 Det ä mcket svåt att ge någa allmänna feluppskattninga utan man ä ofta hänvisad till konvegensstudie fö att få en uppfattning om felens stolek och dämed möjlighet att lita på de numeiska beäkningana. px/4x Föfinat beäkningsnät Signalfome Ett ekvidistant beäkningsnät ä ba fö att modellea vågutbedning men ofta dåligt på att beskiva komplexa geometie. Det ä födelaktigt att kunna föfina beäkningsnätet lokalt. Enklast (och vanligast) med ektangulät nät med vaieande x,,. Finita volme och finita integations metoden. Tidsdomän FEM elle hbide mellan FDTD och FEM..5.5.5.5 tid i ns.5.5 4 6 8 tid i ns.3.5..5..5.8.6.4. 3 4 fekvens i GHz 3 4 fekvens i GHz Källo i tids och fekvensdomän. Bedbandig signal i öve aden och smalbandig signal i nede aden.
Geometi fö antenn- och spidningspoblem Nä- till fjäfältstansfom a) b) stålande antenn PML nä till fjäfältsta ta med infallande fält Tansfomea näfältet till fjäfältet i fekvensdomänen F (k, ˆ) jk 4π ˆ ( M(k, ) + η ˆ J(k, ) ) e jkˆ ds V infallande fält mateial totalt fält spitt fält dä ω kc, M ˆn E, J ˆn H samt E(k, ) ejk F (k, ˆ) + O( ) (a) Vanlig spidningsgeometi. (b) Beäkningsgeometi som appoximea spidningsgeometin. och E(k, ) E(t, )e jktc dt PML Pota Det ä vanligt att använda pefekt matchade lage (PML) fö att modellea fimd. dén med PML ä bädda in beäkningsnätet i ett icke fsikaliskt mateial som absobea men inte eflektea infallande vågo. Béenges PML med en elektisk, σ, och en magnetisk, σ σµ /ɛ, ledningsfömåga och en uppdelning av fältkomponentena e.g., E x E x + E xz. An-isotopa mateial paameta (i fekvensdomän) + σ/(jωɛ ) ɛ µ + σ/(jωɛ ) ( + σ/(jωɛ )) Pota används fö att modellea tansmissionsledninga (tex koaxialkabla) och vågledae. Det ä vanliga i antennsimuleinga dä matningen ä viktig. Ett fåtal popageande mode. Ofta analtiska uttck fö modena. Använde modena fö att definiea eflektionskoefficiente. 6 till celle äcke ofta.
Peiodiska andvillko Fö och nackdela med FDTD Det ä enkelt att implementea peiodiska andvillko, tex i FDTD. E(t, ) E(t, + L x ˆx) och E(t, ) E(t, + L ŷ) Vanligt fö stoa guppantenne, fekvensselektiva stuktue (FSS) och fotoniska bandgap. Ett fåtal popageande (Floquet) mode. Använde modena fö att definiea eflektions- och tansmissionskoefficiente. + Enkel att implementea + Klaa kompliceade mateialmodelle + Enkel anals + Bedbandig - Tappstegsappoximation - Numeisk dispesion Histoik Beäkningskomplexitet 98 Leap-fog och CFL villko 947 von Neumann stabilitetsanals 966 Yee algoitmen 97 Randvillkosteoi, Gustafsson,Keiss,Sundstöm 977 ABC, Engquist och Majda 994 PML, Beenge 997 PWT, (FDTD+MoM) FDTD+FEM, Rlande och Bondeson Stolek i våglängde minst till 5 punkte pe våglängd Geometi Antal tidssteg (lång tid vid esonans)
Tådlös kommunikation med pacemake Ex. Tådlös kommunikation med pacemake Hu ska man designa antenne och kommunikationssstem? Det finns fädiga modelle av människokoppen. Ex. Tådlös kommunikation med pacemake Ex. Tansmission av ljus genom blod Fekvens? f 4 45 MHz Pemittivitet ɛ 64 Ledningsfömåga σ.94 S/m Våglängd? λ c f c f ɛ 3 8 m.9 m 4 6 8 Geometi? m 3 m 3 Sampling? λ/5.6 m Antal obekanta? 6 55 (.6 3 6 ) Finae nät fö att modellea antenn och ogan. Undesöka hu ljus spids mot blod samt enstaka blodkoppa fö olika fämst mättekniska fågeställninga med medicinska tillämpninga.
Ex. Spidning mot en blodcell Våglängd (fimd) λ.63 µm Btningsindex: plasma np.345 Btningsindex: cell nc.4 Minimum(våglängd)? µm λ λnc.63.45 µm.4 Diamete 7.76 µm 7λ Höjd.5 µm 6λ Geometi? 8 3 nm3 9 µm3 Sampling? λ/5.45 5 µm.3 µm Antal obekanta? 9 6 (.3 3) Guppantenne Designa övegången mellan en bedbandig guppantenn och ett skov. Finae nät fö att modellea cellmemban. Vanligt med 3 3 till antennelement. Föenkla med peiodiska andvillko. a) E Ei µ µi E k Ei µ µi z k 4 x ².5 6. mm 7.3 mm feed b) esistive sheet, `4a z x a 7. mm Ex. Radom a) Ei E Höjd λ Längd λ Geometi?.5 λ3 λ3 Sampling? λ/4 µ µi E k Ei µ µi k Undesök hu vågo utbede sig längs en fekvensselektiv adom. En adom (ada & dome) ä ett skdd fö (ada) antenne. z x ².5 6. mm 7.3 mm feed b) esistive sheet, `4a a 7. mm elements 8 elements 8 elements with edge tape dbm d E in - dbm -4 dbm 8GHz 9± -9± ± dbm E in dbm B Bm -9± x z ± Antal obekanta? λ3 6 6 (λ/4) 3 8 6 Bedd λ/ Antennelement på högst λmin / avstånd. Ex. RCS fö en antennkant dbm - dbm -4 dbm GHz 9± Elementavstånd på högst λmin /. Vanligt med minst element på en kökt ta. Föenkla med peiodiska andvillko. db TM TE - - -3 6 f/ghz 7 8 9
Ex. Metamateial Metamateial ä ett slags kompositmateial med egenskape som inte finns i vanliga mateial. Unde de senaste åen ha de studeats intensivt och det spekuleas om tillämpninga som pefekta plana linse, miniatiseing av antenne och cloaking (ett sätt att dölja objekt). Elementavstånd på λmin / till λmin /4. Föenklas ofta med peiodiska andvillko. Efield (www.efield.se) Tidsdomän: FDTD, FDTD+FEM och fekvensdomän: integalekvatione (MoM), PO Mikovågstomogafi Light as Light souce Kan använda FDTD fö lösa vissa invesa poblem (som inom Mikovågstomogafi) iteativt. a) Kan komma ne till omåden på (. m)3 till (. m)3. 8. db db e) ² 5 ²5 ²78 b) 3.4 ¾3.4 d) 78.m ¼4.4 3.8 ¾.8 ¾.. c) 4 db db.9 5.8.7.6.5 Behöve ofta lösas gg. Efield (www.cst.com) Tidsdomän, fekvensdomän, integalekvatione..4.3 n 5 5 5 5 db db