Grundläggningens effekt på höga betongbyggnaders globala stabilitet

Examensarbete, 5 högskolepoäng Grundläggningens effekt på höga betongbyggnaders globala stabilitet -En jämförelse mellan grundläggning på pålar kontra berg- Lisa Wilén Byggingenjörsprogrammet, 80 högskolepoäng Örebro vårterminen 207 Examinator: Mats Persson The foundations effect on the global stability of tall buildings Örebro universitet Institutionen för naturvetenskap och teknik 70 82 Örebro Örebro University School of Science and Technology SE-70 82 Örebro, Sweden

Sammanfattning Idag byggs allt fler höga byggnader på mark som ofta kräver pålgrundläggning. Byggnader som har en grundläggning på pålar får en konstruktiv höjd som omfattar både pålarnas längd och byggnadens höjd. Byggnaden kan då inte antags vara fast inspänd i mark utan grundläggningens elasticitet måste beaktas. Syftet i rapporten är att ta reda på hur knäcksäkerheter för höga byggnader med olika stabiliserande stomsystem varierar med valet av grundläggning. Även hur övergripande geometrin för stomsystemet påverkar konstruktionens knäcksäkerhet. Tre fall utvärderas med olika stomsystem, ett med ett stabiliserande torn i byggnadens kärna, ett med två stabiliserande torn och ett med tre stabiliserande väggar i byggnadens fasad. En parametrisk studie för två av fallen med analytiska beräkningar och FEM erhåller värden för knäcksäkerheter med hänsyn till elasticiteten i grunden. En FEM-modell från tidigare använd systemhandling betraktas i ett av fallen där relevanta deformationsegenskaper kan beräknas för att få fram knäcksäkerheten. Knäcksäkerheten minskar till en faktor 0,7 för en byggnad med en grundläggning som har en styvhet på ungefär,4 av ovanliggande konstruktion jämfört med samma byggnad grundlagd på berg. Enligt den parametriska studien skulle grundläggning med en styvhetsfaktor för byggnaden kontra grundläggningen på 0,25 och en längdfaktor på 0,2 av ovanliggande konstruktion sänka knäcksäkerheten till 0,25 av samma byggnad grundlagd på berg. Detta tyder på att grundläggningens elasticitet måste beaktas för att erhålla relevanta värden på systemets globala knäcksäkerheter. Vid utformning av stabiliserande system kan i tidigt skede, med enkla analytiska beräkningar, utvärderas vad som är lämpligt utförande för beräkning av knäcklasten. Nyckelord: höga hus, knäcksäkerhet, grundläggning, stomstabilisering

Abstract High-rise buildings are becoming more common today and the soil properties that are available, often demands pile foundation. Buildings that are established on piles acquires a constructive height that comprises both the height of the building and the length of the piles. When established on piles the building cannot count as rigid but the elasticity in the ground conditions must be considered. The purpose of this report is to evaluate how the lateral and rotational buckling safety varies for tall buildings with different frame systems and on different foundations. The report also evaluates how the overall geometry of the frame affects the buckling safety. Three cases with different frame designs are studied. A parametric study where analytical calculations and finite element method used to obtain values for the buckling safety with consideration of the elasticity in the foundations. A FEM model from an earlier designed project contemplates where relevant deformations were computed to obtain the buckling safety. It is shown that when a building is founded on piles the buckling safety reduces to a factor 0,7 of the same building founded on rock when the foundation has a bending stiffness about,4 of the overlying construction. According to the parametric study, a foundation with a stiffness parameter 0,25 and a relative length 0,2 of the overlying construction is reducing the buckling safety to a factor 0,25 of the same building founded on mountain. This indicates that the elasticity of the foundation must be considered to obtain relevant values for the systems global buckling safety. When deciding the layout of the stabilizing frame system, it is possible that with simple analytical calculations determine suitable layouts fulfilling the required buckling safety. Key words: Tall buildings, Buckling safety, foundation, framework stabilization

Förord Detta examensarbete är utfört som ett avslutande moment av högskoleingenjörsutbildning med inriktning byggteknik vid Örebro Universitet. Arbetet omfattar 5 högskolepoäng och har utförts på WSP Byggprojektering i Stockholm. Jag vill tacka min handledare på WSP, Teknisk Dr. Kent Arvidsson som initierat detta ämne till mig och väglett mig under arbetets gång. Jag vill även tacka min handledare på Örebro Universitet, universitetsadjunkt Anders Lindén för allt stöd. Stockholm, Maj 207 Lisa Wilén

Innehållsförteckning INLEDNING.... Företaget....2 Projektet....2. Syfte....2.2 Avgränsningar... 2 BAKGRUND... 2 2. Problemet... 2 2.2 Vad har gjorts tidigare?... 2 3 METOD... 3 3. Metoder för genomförande... 3 3.. Analytiska beräkningar... 3 3..2 FE-Analys... 3 3..3 Validitet och reliabilitet... 4 3..4 Metodkritik... 4 4 TEORI... 5 4. Vridningsformer... 5 4.2 Knäckningsformer... 6 4.2. Vridknäckning... 6 4.2.2 Böjknäckning... 7 4.2.3 Hål och öppningars inverkan på konstruktionen... 8 4.3 Elastisk inspänning... 8 4.4 Bestämning av karakteristiskt tröghetsmoment... 9 4.4. Byggnad med två stabiliserande torn... 9 4.4.2 Byggnad med tre stabiliserande väggar... 0 5 GENOMFÖRANDE OCH BERÄKNINGSGÅNG... 2 5. Fall... 2 5.. Förutsättningar... 2 5..2 Lastfall... 3 5..3 Beräkning av knäcksäkerhet... 4 5.2 Parametrisk studie... 5 5.2. Förutsättningar... 5 5.2.2 Analytisk beräkning av knäcksäkerhet... 5 5.2.3 FE-analys... 6 6 RESULTAT... 7 6. Fall kvadratisk byggnad med ett stabiliserande torn... 7 6.. Böjknäckning... 7 6..2 Vridknäckning... 8 6.2 Fall 2 rektangulär byggnad med två stabiliserande torn... 9 6.3 Fall 3 rektangulär byggnad med 3 stabiliserande väggar... 20 6.4 Parametrisk studie... 2

7 DISKUSSION... 25 7. Värdering av resultat... 25 7.. Fall verklig modell från tidigare systemhandling... 25 7..2 Fall 2 Fiktiv byggnad stabiliserad av två symmetriskt placerade torn... 25 7..3 Fall 3 Fiktiv byggnad stabiliserad av tre skivor placerade i fasad... 25 7..4 Parametrisk studie... 26 7.2 Fortsatt arbete... 26 8 SLUTSATSER... 27 9 REFERENSER... 28 BILAGOR A: Härledning modformernas betydelse B: Grundläggningens styvhetsfaktor för fall C: Tabell FEM-Design lastens utbrednings påverkan på knäcksäkerheten D: Härledning formler för utböjning samt vinkeländring E: Mathcad beräkningar

Teckenförklaringar A E EI G GKv I Ip Ix Iy Iω = Kw Kv Kφ L L M Mv Pkn Pkst Pkvl Q Sk Bjälklagsarea Elasticitetsmodul Böjstyvhet Skjuvmodul Vridstyvhet Tröghetsmoment Polärt tröghetsmoment Tröghetsmoment kring axel parallell med x-axeln för stabiliserande byggnadsdel Tröghetsmoment kring axel parallell med y-axeln för stabiliserande byggnadsdel Välvstyvhetens tvärsnittsfaktor Vridstyvhetens tvärsnittsfaktor Rotationsstyvhet baserad på grundplattans vinkeländring Byggnadens konstruktiva höjd Byggnadens höjd över grundläggningen Moment Vridmoment i topp Knäckningslast S:t Venantsk knäckningslast Vlasovs knäckningslast Total vertikallast Knäcksäkerhet a b c e f h k mv n q qm xt yt Bjälklagslängd Bjälklagsbredd Karakteristiskt tröghetsmoment Excentricitet Avstånd från masscentrum till torns vridcentrum höjd Koefficient som beror på antal våningar, våningshöjder, styvhetsvariation och lastfördelning. vridande moment per längdenhet antal våningar Yttre utbredd last Yttre utbredd momentlast x-koordinat för tyngdpunkt y-koordinat för tyngdpunkt

α α γ φ Koefficient för bestämning av grundläggningens relativa styvhet koefficient för förhållandet mellan S:t Venantsk och Vlasovsk vridning vinkeländringen för stabiliserande konstruktionsdel av ett enhetsmoment Förvridning

Inledning. Företaget WSP är ett globalt analys- och teknikkonsultbolag och är framstående inom sitt område. Företaget erbjuder tjänster inom flertalet olika sektorer, bland annat industri, bostäder, väg, järnväg och energi. WSP bildades i London 969 under namnet William Sale Partnership. Den svenska verksamheten etablerades 938 under namnet Jacobson & Widmark som 200 förvärvades av WSP. I Sverige har företaget 3700 anställda med en omsättning på 4 miljarder kronor. [] På WSP byggprojektering Stockholm finns kunskaper inom projektering med 3D-verktyg, byggnadsteknik, byggkontroll och andra tekniska utredningar [2]. Avdelningen behandlar områden från husbyggnad till industrikonstruktioner..2 Projektet Genom att utföra parametriska studier för ett antal stomsystem för 30-vånings byggnader jämföra grundläggning på pålar kontra berg..2. Syfte Målsättning är primärt att kunna avgöra vad den elastiska grundläggningen betyder för stommens globala knäcksäkerhet. Examensarbetets avsikt är även att i tidigt skede kunna avgöra vad som är lämpliga och olämpliga stomsystem..2.2 Avgränsningar För att begränsa studiens omfattning sätts betongens E-modul till givet värde, lika i alla våningar och i alla stabiliserande element. Kopplade skivor behandlas inte utan alla skivor/väggar är homogena utan hål. (28)

2 Bakgrund 2. Problemet Idag byggs allt fler höga byggnader med fler än 5 våningar. Den mark som står till förfogande kräver ofta att pålgrundläggning väljs. Pålarnas längd kan variera till över 25 meter. En 45 meter hög byggnad skulle med 25 meters pålar få en konstruktiv höjd på 70 meter. Detta innebär att de globala knäcksäkerheterna minskar och grundläggningens elasticitet måste beaktas om relevanta och motiverade värden ska erhållas. Utformningens inverkan på globala knäcksäkerheter kan vara av betydelse, genom att utvärdera placering av stabiliserande moment och plangeometrins förhållande kan knäckningslast för rotation försummas [3]. Antalet våningar hos en byggnad påverkar byggnadsstommens utformning. Det stomsystem som används till lägre byggnader är inte längre tillräckligt när byggnadshöjden ökar. Samtidigt som stommens stabilitet blir en avgörande faktor i utformningen är det även önskvärt att hålla det flexibelt och minimera dess platsbehov [4]. 2.2 Vad har gjorts tidigare? Problemet som studerats är relativt outforskat vad avser systematiska studier och tillämpas inte i större utsträckning trots att underlag för beräkning av elasticiteten togs fram av företaget 969 av teknisk Dr. K.I. Carlsson enligt teknisk Dr. Kent Arvidsson, WSP (207-04-20). I ett examensarbete från CTH har höga hus bärande system studerats. I rapporten konstateras att för grundläggning av höga hus krävs att de stora vertikala laster som skapas beaktas. Vertikala laster från konstruktionen blir punktlaster i grunden vilket kan ge upphov till ojämn horisontalfördelning av lasterna. Här spelar utformningen av fundament och pelare en viktig roll för hur lasterna ska föras ner vertikalt till grunden. Grundläggningen måste stabilisera byggnaden och föra ner de vertikala och horisontella lasterna till den fasta grunden med acceptabla deformationer. För höga byggnader är toleranser för utböjning relativt låg då den ökar kraftigt med höjden. [5] Vid beräkning av knäckningslast för enstaka pelare används lämpligen Eulers knäckningsfall, detta är inte tillämpningsbart för beräkning av stabilisering av hela byggnader. För beräkning av systemknäckning hos höga byggnader erfordras oftast datorberäkningar då processen är komplicerad. Det finns få förenklade beräkningsmodeller som kan tillämpas för analytiska beräkningar av systemknäckningen som beaktar rotationsknäckning [5]. En metod som utvecklats förutsätter [3]: - konstant tröghetsmoment för byggnadsdelarna som ska vara fast inspända i botten - Lika utformade våningsplan - Bjälklag som betraktas som stela skivor med ledat infästade pelare 2 (28)

3 Metod 3. Metoder för genomförande Examensarbetet utfördes genom en förstudie för att granska frekventa statiska system och deras fördelning i plan. Tre fall med olika plangeometri och statiska system valdes ut för vidare studier av dess knäcksäkerheter: - Fall : kvadratisk planform med ett stabiliserande torn i byggnadens kärna - Fall 2: rektangulär planform med två stabiliserande torn - Fall 3: rektangulär planform med tre stabiliserande väggar För vidare analysering av de olika fallens knäcksäkerheter genomfördes en parametrisk studie med analytiska beräkningar och FE-analys. Alla fall räknas som 00 meter höga byggnader á 30 våningar med varierande konstruktiv höjd och relativ längd på pålarna. 3.. Analytiska beräkningar För beräkning av fall 2 och 3 genomfördes en parametrisk studie med analytiska beräkningar över hur knäcksäkerheten kan variera för en byggnad då pålarnas längd samt grundläggningens styvhet antar olika värden. Beräkningarna har framtagits med hjälp av programvaran Mathcad för att kunna ändra parametrar på ett snabbt och enkelt sätt. För den parametriska studien av fall 2 och 3 valdes ett rimligt värde för knäcksäkerheten för en byggnad grundlagd på berg. Plangeometrin för byggnaden är en rektangulär form med förhållandet längd/bredd=2/. Vid grundläggning på pålar varierade två faktorer, pållängd samt pålarnas styvhet i förhållande till överliggande konstruktionens styvhet. Pålarnas längd sattes till 5, 0 och 20 meter medan grundens böjstyvhet angavs som en faktor α av ovanliggande konstruktions böjstyvhet. α sattes till, 0.5 och 0.25. Dessa faktorer påverkar grundens elasticitet som gav ett tillämpligt värde på globala knäcksäkerheter för de aktuella fallen. 3..2 FE-Analys Finita elementmetoden är en numerisk metod som används till att lösa komplicerade problem. Genom att dela upp hela konstruktioner i ändligt många element blir FEM applicerbart på invecklade strukturer [6]. FEM-Design är ett avancerat modelleringsverktyg som används till finita element analyser och utformning av lastbärande betong, stål och träkonstruktioner enligt Eurokod [7]. För analys av stomsystemens globala knäcksäkerheter gjordes FE-analys i programvaran FEM-Design för fall. En färdig modell från tidigare utförd systemhandling valdes med pålgrundläggning för att få ett realistiskt exempel på hur det kan se ut i verkligheten. För att verifiera den parametriska studiens vederhäftighet gjordes mätningar av en ren konsol i programvaran FEM-Design. Mätningarna gjordes av olika parametrar för pålarnas längd samt styvhet. Lastens utbredning jämfördes då den sträcker sig längs hela konstruktiva höjden inklusive pålar och då den sträcker sig till den tänkta marknivån. 3 (28)

3..3 Validitet och reliabilitet Med både en parametrisk studie och beräkning av existerande modell får metoden två angreppssätt som kan höja dess reliabilitet. För både analytiska beräkningar samt för datorberäkningar kan mänskliga faktorn spela in. Avläsningens noggrannhet i programvara eller diagram, felberäkningar och värdesinmatning kan påverka resultatet. Genom användning av Mathcad minskar risken för felberäkningar. 3..4 Metodkritik Metoden ger en relevant uppfattning av grundläggningens betydelse för framtagning av knäcksäkerheten. Den är anpassad för att få en uppfattning över hur det kan se ut, det är en fallstudie specifikt för de valda fallen och resultaten kan inte tillämpas direkt på andra exempel. 4 (28)

4 Teori I detta kapitel behandlas en utvald del av den teori som ligger till grund för examenarbetet som är till för att ge en grundförståelse i ämnet. 4. Vridningsformer En konsol som påverkas av ett vridande moment Mv med en konstant tvärsektion kommer att vrida sig runt dess vridcentrum. Vridmoment som påverkas av en punktlast P med en excentricitet e beräknas enligt ekvation (4-). Mv = P e (4-) För vridning påverkas snittytorna av vridningen så att i de flesta fall blir tvärsnitt välvda medan för vissa fall förblir tvärsnitten plana. Välvning påverkar exempelvis inte cirkulära tvärsnitt och har obetydlig påverkan på massiva rektangulära tvärsnitt. I figur 4. visas hur olika profiler påverkas av välvning. Vid välvning kommer således det element som påverkas av vridningen deformeras i sin längdriktning. [8] Figur 4. Välvning för olika tvärsnitt [8] Fri vridning, då välvning kan ske oförhindrat, kallas S:t Venantsk vridning. Vid S:t Venantsk vridning uppstår endast skjuvspänningar och vridningsformen benämns ibland som ren vridning. Ren vridning uppträder endast då Vlasovsk vridning kan försummas på grund av dess tvärsnitt eller att vridningen blir likformig på grund av randvillkoren och lastens utförande. [9] Vridning i ett stomsystem är oftast s.k. blandad vridning där vridningen fördelas mellan S:t Venantsk- och Vlasovsk vridning. Tvärsnittsrotationen för konsol med jämnt fördelat vridande moment uttrycks för S:t Venantsk- och Vlasovsk vridning enligt ekvation (4-2) respektive (4-3). [9] φ st = q m h 2 2 GK v (4-2) Där qm = Yttre vridande moment (knm/m) h = Lastens utbredning (m) G = Skjuvmodul (kn/m 2 ) Kv = Vridstyvhetens tvärsnittsfaktor (m 4 ) GKv = Vridstyvhet (S:t Venantsk) (knm 2 ) 5 (28)

φ vl = q h4 8 EK w (4-3) Där q = yttre vridande moment (knm/m) h = lastens utbredning (m) E = Elasticitetsmodul (kn/m 2 ) Kw = Välvstyvhetens tvärsnittsfaktor (Kw=Iω) (m 6 ) EKw = Vridstyvhet (Vlasovsk) (knm 4 ) Förvridningens storlek mellan de två vridmoderna beror av ekvation (4-4). Detta innebär att fördelningen mellan moderna är beroende av konstruktionens höjd/längd. α = GK v h 2 4 EK w (4-4) 4.2 Knäckningsformer I detta avsnitt behandlas knäckningsformer som kan tillämpas för stabiliserande stomsystem för hela byggnader. Vid stomsystem som endast stabiliseras av ett torn kan tre knäckningsformer ge upphov till stabilitetsbrott, böjknäckning, vridknäckning eller en kombination av de båda. I denna rapport behandlas två av dessa, ren vridning och ren böjning. [3] Vid stomsystem som stabiliseras av två eller flera byggnadsdelar kommer alltid böjknäckning kunna ge upphov till stabilitetsbrott. De stabiliserande byggnadsdelarnas placering och utformning kommer att avgöra om det blir planknäckning eller rotationsknäckning som blir dimensionerande. [3] 4.2. Vridknäckning Vridknäckning innebär att byggnaden knäcker genom rotation kring vridningsaxel för stabiliserande byggnadsdel [3]. Vid vridning kan modformen för utknäckningen se ut på olika sätt. Moden kan vara ren S:t Venantsk vridmod, en ren Vlasovsk böjmod eller en kombination av de båda. I figur 4.2 redovisas hur de två rena modformena kan se ut. Vid bestämning av modform väljs ren S:t Venantsk mod för att få en enkel lösning och för att vara på säkra sidan enligt ekvation (4-5). Detta gäller för torn utan hålrader högre än ca. 0 våningar, för torn med hålrader blir moden en blandning av S:t Venantsk och Vlasovsk vridning. Detta enligt internt kursmaterial (207-05-09) Härledning till ekvationen återges i bilaga A. 6 (28)

φ φ2 m m h EI GKv = h GKv EI = Vlasovsk vridmod S:t Venantsk vridmod Figur 4.2 Modformers utseende P kst = 0,54 P kvl (4-5) Där Pkst = Knäcklasten vid S:t Venantsk mod (kn), beräknas enligt ekvation (4-6) Pkvl = Knäcklasten vis Vlasovsk mod (kn), beräknas enligt ekvation (4-7) P kst = GK v A I p (4-6) Där GKv = Stabiliserande byggnadsdels vridstyvhet (knm 2 ) A = Bjälklagsarea (m 2 ) Ip = Stabiliserande byggnadsdelens polära tröghetsmoment på enskilt bjälklag med avseende på dess vridningscentrum (m 4 ) 4.2.2 Böjknäckning Böjknäckning innebär att byggnaden böjer ut i en riktning kring någon av huvudtröghetsaxlarna planknäckning, eller roterar kring vridcentrum rotationsknäckning. För att räkna ut knäcklasten vid plan knäckning fordras att byggnaden studeras i 2D då byggnaden böjer ut i en riktning. Böjknäckningen beror på stabiliserande tornets böjstyvhet EI där E är elasticitetsmodulen samt I är tröghetsmoment kring axeln som är vinkelrät mot utböjningen i fallet med en stabiliserande beståndsdel. I benämns c för fall med fler än en stabiliserande beståndsdel. c är en koefficient för bestämning av knäckningslast, även kallat karakteristiskt tröghetsmoment [3]. Formeln för beräkning av knäcklasten formuleras enligt ekvation (4-7). P kn = k E c L 2 (4-7) Där k = Koefficient som beror på antal våningar, våningshöjder, styvhetsvariation och 7 (28)

lastfördelning. Denna hämtas ur diagram där n är antalet våningar, se figur 4.3. Ec = Stabiliserande byggnadsdels böjstyvhet (knm 2 ) (EI för vid byggnad med ett stabiliserande torn) L = Stabiliserande byggnadsdels konstruktiva höjd (m) När all last angriper pelarna gäller kurva A för figur 4.3 och när all last direkt angriper stabiliserande byggnadsdel gäller kurva B. För flervåningsbyggnader har det ingen betydelse. Figur 4.3 Diagram som bestämmer koefficienten k då bjälklagen betraktas som stela skivor Vid beräkning av knäcklasten för byggnad vars stabiliserande byggnadsdel består av torn då rotationsknäckning är dimensionerande måste modformen beaktas vilket innebär att för en enkel konservativ lösning väljs ren S:t Venantsk mod. Enligt ekvation (4-5) kan antagas att det karakteristiska tröghetsmomentet c för S:t Venantsk mod reduceras till 0,54 av c för Vlasovsk mod. 4.2.3 Hål och öppningars inverkan på konstruktionen När hål och öppningar förekommer i stabiliserande byggnadsdel påverkas deformationerna genom att tvärkraften ökar och tröghetsmomentet minskar. När tröghetsmomentet minskar påverkar det även styvheten i konstruktionen och därmed minskar knäckningslasten. [4] 4.3 Elastisk inspänning Ekvation (4-5) bygger på att byggnaden är fast inspänd i mark vilket är berättigat då stabiliserande konstruktionsdel är grundlagd på berg. Är byggnaden däremot grundlagd på 8 (28)

pålar kan grundläggningens elasticitet behöva komma att beaktas. Elasticiteten beror på vinkeländringen γ för stabiliserande konstruktionsdel av ett enhetsmoment [4]. Vinkeländring fås av en rotationsstyvhet i grunden enligt ekvation (4-8). γ = K φ (4-8) Vid elastisk inspänning kan tröghetsmomentet divideras med ekvation (4-9). [3] + +n 2n + k EI γ L Där n = antalet våningar L = höjd över grundläggningen (m) (4-9) 4.4 Bestämning av karakteristiskt tröghetsmoment Värdet för det karakteristiska tröghetsmomentet c fås av ekvation (4-0). Vid symmetrisk plangeometri där skjuvcentrum och masscentrum sammanfaller blir xt =yt=0 vilket ger tre rena moder, planknäckning i två riktningar samt rotationsknäckning. Vid osymmetrisk plangeometri där skjuvcentrum och masscentrum inte sammanfaller, fås en tredjegradsekvation med tre moder. Den lägsta moden är alltid lägre än den lägsta rena moden vid fallet xt =yt=0. Det finns specialfall, två av dem tas upp längre ner i avsnittet. [3] [Σ(I x ) c ][Σ(I y ) c ] [ I ω A I p c ] I p A = c 2 x T 2 [Σ(I y ) c ] + c 2 y T 2 [Σ(I x ) c ] (4-0) 4.4. Byggnad med två stabiliserande torn När byggnadens stabiliserande system består av två symmetriska torn blir högerledet av ekvationen lika med noll. I det fallet fås de tre rötterna till c av plan knäckning i y-led, plan knäckning i x-led eller rotationsknäckning som redovisas i ekvationerna (4-), (4-2) respektive (4-3) där den lägsta roten är dimensionerande. [3] c = 2I x (4-) c = 2I y c = I ω A I p (4-2) (4-3) Avståndet mellan tornens vridcentrum avgör om byggnaden utsätts för planknäckning eller rotationsknäckning enligt figur 4.4. Vid placering av tornen så att de motverkar rotationsknäckning och horisontell förskjutning beaktas endast fallet plan knäckning. I detta fall är vanligtvis inte ett torn lämpligt. Är avståndet mellan de två symmetriska tornens vridningscentrum tillräckligt stort blir inte rotationsknäckning dimensionerande enligt ekvation (4-4). [3] 9 (28)

2f b a Figur 4.4 Statiskt system av två stabiliserande torn med sammanfallande tyngdpunkt och rotationscentrum 2f a2 +b 2 3 (4-4) 4.4.2 Byggnad med tre stabiliserande väggar Då byggnadens stabiliserande system består av väggar erfordras åtminstone tre. Väggarna placeras lämpligt i fasad enligt figur 4.5. Rötterna till c fastställs av ekvation (4-5) där den lägsta roten är dimensionerande. [3] Ix I x b I y a Figur 4.5 Statiskt system av tre stabiliserande väggar placerade i fasad (2I x c ) (I y c ) (I x a2 c 2 a2 +4b 2 ) = c 2 b 2 (2I 2 4 x c ) (4-5) Lägsta roten erhålls av ekvation (4-6) då plan knäckning är dimensionerande och (4-7) då rotationsknäckning är dimensionerande. c = 2I x (4-6) 0 (28)

c = I y(a 2 +4b 2 )+6I x a 2 2(a 2 +b 2 ) [ I y (a2 +4b 2 )+6I x a 2 ] 2 6I yi x a 2 (4-7) 2(a 2 +b 2 ) a 2 +b 2 Lösningen till ekvation (4-5) återges även av diagram i figur 4.6 där plangeometrins förhållande a/b samt tröghetsmomenten för väggarna Iy/Ix ger det lägsta värdet för c/iy. Figur 4.6 Diagram för bestämning av k när bjälklagen betraktas som styva skivor (28)

5 Genomförande och beräkningsgång I detta avsnitt behandlas hur de olika fallen utvecklas för att få fram relevanta knäcksäkerheter. 5. Fall 5.. Förutsättningar För detta fall har FEM-modell från tidigare använda systemhandlingar valts att studera. Byggnaden är 00 meter hög bestående av både raka och sneda pålar med längden 5 meter. Plangeometrin består av bjälklag som betraktas som styva skivor 24,5x24,5m samt stabiliserande torn i byggnadens kärna 9x0m enligt figur 5.3. Effekt av håltagningar är i det här fallet med i modellen. Modellen användes i två upplagor, en med pålar och en utan pålar, vilande på fast berg enligt figur 5. och 5.2. Figur 5. Byggnad med grundläggning på berg Figur 5.2 byggnad med grundläggning på pålar 2 (28)

24,5m 24,5m Figur 5.3 Plangeometri för kvadratisk byggnad 5..2 Lastfall Som tidigare nämnts ska för byggnaden, då den består av ett stabiliserande torn, både vridning och böjning beaktas. Byggnaden fungerar som en konsol där lastfallen ser ut enligt figur 5.4 och 5.5. q =36,75kN/m q =0,8kN/m 2 q2 =0,7kN/m 2 h Figur 5.4 Vindlast som bildar böjmoment 3 (28)

mv = 63,9kNm/m P=0kN P=0kN Figur 5.5 Excentriska punktlaster som bildar vridmoment 5..3 Beräkning av knäcksäkerhet För beräkning av knäcklasten vid böjning tillämpas ekvation (5-). P kn = k EI L 2 (5-) k läses av ur diagram i figur 4.6 för 30 våningar vilket ger värdet 7,4. För beräkning av styvheten tillämpas formeln för utböjning av konsolbalk enligt ekvation (5-2) [0]. Utböjningen fås av beräkningar i FEM-modell. EI = q L4 8 y (5-2) Där q = utbredd last (kn/m) L = konstruktiv höjd (m) y = utböjning i topp (mm) För beräkning av knäcklasten vid vridning tillämpas ekvation (5-3) P kn = GK v A I p (5-3) Skjuvstyvheten GKv fås av ekvation (5-4) där vridningen utläses från modell. GK v = m v L 2 2 φ (5-4) Där mv = Yttre vridande moment (knm/m) L = konstruktiv höjd (m) φ = vridning (rad) 4 (28)

Den globala knäcksäkerheten Sk erhålls av ekvation (5-5). S k = P kn Q (5-5) Där Q = total vertikal last, hämtas från modell (kn) 5.2 Parametrisk studie 5.2. Förutsättningar Den parametriska studien är tillämpad på fall 2 och 3 då knäcklasten formuleras enligt ekvation (4-7) som tas upp i teoridelen för böjknäckning. Studien är begränsad till en 00 meter hög byggnad á 30 våningar med en plangeometri på 42x2 meter. Värdet på karakteristiska tröghetsmomentet c väljs till ett värde som ger en realistisk knäcksäkerhet runt 5. Elasticitetsmodulen väljs till Ecm=37GPa för betongen. I den verkliga konstruktionen blir den dimensionerande E-modulen lägre ca. 20GPa. 5.2.2 Analytisk beräkning av knäcksäkerhet Knäcksäkerheten när byggnaden beräknas som fast inspänd i berg, där parametrarna anpassas till ett lämpligt värde, erhålls av ekvation (5-6). P kn = k E c L 2 (5-6) För vidare studie då grundläggningen väljs till pålar har byggnaden räknats som elastiskt inspänd i grund enligt ekvation (5-7). P kn = k E c L 2 + +n 2n +k EI γ L (5-7) Vinkeländringen som bestämmer grundens fjädring fås av ekvation (5-8). I fallet då momentet väljs till blir φ = γ. φ = M h Ec (5-8) Där M = Böjande moment (knm) h = Pålarnas längd (m) α = Faktor som bestämmer grundens styvhet i förhållande till ovanliggande konstruktion E = Elasticitetsmodul (GPa) c = Tröghetsmoment (m 4 ) Den globala knäcksäkerheten erhålles sedan av ekvation (5-5), om vi antar att dimensionerande vertikallast är 5kN/m 2 beräknas Q approximativt enligt ekvation (5-9). Q = n A 5 (5-9) 5 (28)

5.2.3 FE-analys För verifiering av analytiska beräkningar betraktas en ren konsol i FEM-design där längden varierar med värden på pålarnas längd som motsvarar 0, 0.05, 0., 0.2, 0.3 och 0.5 av byggnadshöjden. Grundläggningens styvhet varierar även med samma värden som vid analytiska beräkningar på,0.5 och 0.25 av ovanliggande konstruktions styvhet. I FEM-Design jämfördes även hur knäcksäkerheten påverkades av lastens utbredning. I verkligt fall slutar lasten vid marknivå med analytiska beräkningar breder lasten ut sig över hela konstruktionen. 6 (28)

Relativ knäcksäkerhet 6 Resultat 6. Fall kvadratisk byggnad med ett stabiliserande torn Både böjning och vridning har studerats där det för detta fall kan konstateras att böjknäckning är dimensionerande. I figur 6. redovisas hur knäcksäkerheten för böjknäckning och vridknäckning förhåller sig till varandra. Böjknäckningens knäcksäkerhet motsvarar 43% av vridknäckningens. 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0,43 böjning vridning Knäckningsform Figur 6. Diagram över knäcksäkerheters förhållande till varandra 6.. Böjknäckning Resultatet för första fallet när byggnaden stabiliseras av ett torn visar att om byggnaden är grundlagd på pålar blir utböjningen av byggnaden större i förhållande till när byggnaden är grundlagd på berg. Knäcksäkerheten för byggnaden med pålgrundläggning motsvarar 70% av samma byggnad grundlagd på berg som redovisas i figur 6.2 nedan. I detta fall är pållängden 3% av totala konstruktionshöjden. 7 (28)

Relativ knäcksäkerhet 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 berg Grundläggning 0,70 Pålar Figur 6.2 Grundläggningens inverkan på böjknäcksäkerheten Vid beräkning av knäcksäkerheten med hänsyn till grundens elasticitet fås ett värde som är jämförbart med det som erhålles vid beräkning av knäcksäkerhet då pålar är inkluderat. I tabell redovisas resultat av knäcksäkerheternas värden. Tabell Beräknade knäcksäkerheter för fall Beräkningsfall Knäcksäkerhet Fast inspänd i pålarna - FEM 6,706 Fast inspänd i grundplatta på berg - FEM 24,055 Elastiskt inspänd i grundplattan 6,843 analytiska beräkningar Böjstyvheten för byggnaden ser ut enligt tabell 2. Tabell 2 Beräknade styvheter för fall Utbredning Böjstyvhet [0⁹ knm²] byggnad på berg 5,6 totalt över hela konstruktionen inkl. pålar 6,5 I detta fall är följaktligen grundläggningen styvare än ovanliggande stabiliserande byggdel. Genom analytiska beräkningar fås att grundläggningens styvhet blir en faktor,429 av tornets. Detta skulle således ge grundläggningen en styvhet på 8,0*0 9 knm 2. Förklaringen till detta är att inre hävarmen är ca. 24 meter för pålarna, för tornet ca. 0 meter. Härledning av beräkningar för styvhetsfaktorn återges i bilaga B. 6..2 Vridknäckning I figur 6.3 redovisas hur knäcksäkerheten för vridning förhåller sig till grundläggningen. Vridknäcksäkerhet för byggnad med grundläggning på pålar motsvarar 95% av samma byggnad med grundläggning på berg. Pållängden är 0,3 av totala konstruktionshöjden. 8 (28)

Relativ knäcksäkerhet 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0,95 berg Pålar Grundläggning Figur 6.3 Grundläggningens inverkan vridknäcksäkerheten Den faktiska modformen för vridningen visas i figur 6.4 och vridmoden är en blandning av S:t Venantsk vridning och Vlasovsk välvning. Figur 6.4 Faktisk modform FEM-Design 6.2 Fall 2 rektangulär byggnad med två stabiliserande torn För en byggnad stabiliserad med två torn ska rotationsknäckning beaktas om avståndet mellan tornens vridcentrum överstiger de värden som redovisas i tabell 3. Tabellen är utformad för en byggnad med bredden 2 meter enligt figur 6.5. 9 (28)

Relativt tröghetsmoment 2f 2m a Figur 6.5 Plangeometri för byggnad stabiliserad av två torn Tabell 3 Avstånd mellan torn som krävs i förhållande till byggnadens geometri förhållande a/b 2f 2f/a 7,46 0,86 2 27, 0,646 3 38,34 0,609 4 49,99 0,595 6.3 Fall 3 rektangulär byggnad med 3 stabiliserande väggar Vid bestämning av knäcklasten för en byggnad som stabiliseras av tre väggar beror faktorn c på geometrins förhållande samt tröghetsmomenten Iy och Ix. I figur 6.6, 6.7 och 6.8 redovisas hur rotationsknäckning och planknäckning förhåller sig till varandra vid olika Iy/Ix. c-r är kurvan för rotationsknäckning över plangeometrin och 2Ix är kurvan för plan knäckning. Iy/Ix = 2 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 c-r 2Ix 2 3 4 5 Förhållande geometri a/b Figur 6.6 Kurvor för hur plan- och rotationsknäckning med förhållandet Iy/Ix=2 påverkas av geometrin 20 (28)

Relativt tröghetsmoment Relativt tröghetsmoment Iy/Ix = 2,5 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 c-r 2Ix 2 3 4 5 Förhållande geometri a/b Figur 6.7 Kurvor för hur plan- och rotationsknäckning med förhållandet Iy/Ix=2,5 påverkas av geometrin Iy/Ix = 3 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 c-r 2Ix 2 3 4 5 Förhållande geometri a/b Figur 6.8 Kurvor för hur plan- och rotationsknäckning med förhållandet Iy/Ix=3 påverkas av geometrin 6.4 Parametrisk studie I figur 6.9 och 6.0 visas hur relativa knäcksäkerheter kan se ut för en byggnad där står för byggnadens knäcksäkerhet då den placeras på berg. I figur 6.9 är diagrammet utformat utifrån analytiska beräkningar med ekvivalenta indatavärden för de parametrar som inte redovisas i figuren. Byggnadens har en plangeometri med förhållandet 2/ och en styvhet i grunden α gånger ovanliggande stommes styvhet. 2 (28)

Relativ knäcksäkerhet 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0 0,05 0, 0,2 Relativ pållängd lp/l α = α = 0,5 α = 0,25 Figur 6.9 Pållängders samt grundläggningens styvhets inverkan på knäcksäkerheten I Figur 6.0 är diagrammet baserat på mätningar i FEM-Design där knäcksäkerheten Sk redovisas för fem olika pållängder. De linjer som representerar att lasten breder ut sig längs hela konstruktiva höjden inklusive pålarna skiljer sig så lite att de knappt syns bakom de som har en last som slutar vid marknivå. I diagrammet visas hur den relativa knäcksäkerheten sjunker med pålarnas relativa längd och styvhet. I normalfallet är α< och kan vara påtagligt mindre än. 22 (28)

Relativ knäcksäkerhet Knäcksäkerhet 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0 0,05 0, 0,2 0,3 0,5 Relativ pållängd Sk last hela vägen Sk last hela vägen 0,5EI Sk last hela vägen 0,25 EI Sk last till mark Sk last till mark 0,5EI Sk last till mark 0,25EI Figur 6.0 Pållängders samt grundläggningens styvhets inverkan på knäcksäkerheten, jämförelse av lastens utbredning I figur 6., 6.2 och 6.3 visas en jämförelse mellan den analytiska beräkningen som återges i figur 6.9 och den datorberäknade i FEM-Design som återges i figur 6.0. α = 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,05 0, 0,2 Relativ pållängd Analytisk beräkning FEM-design Figur 6. Jämförelse av analytiska beräkningar och datorberäkningar för en grundläggning som är 23 (28)

Relativ knäcksäkerhet Relativ knäcksäkerhet jämnstyv med stabiliserande stomme α = 0,5 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,05 0, 0,2 Relativ pållängd Analytisk beräkning FEM-design Figur 6.2 Jämförelse av analytiska beräkningar och datorberäkningar för en grundläggning med en styvhet 0,5 av stabiliserande stomme α = 0,25 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,05 0, 0,2 Relativ pållängd Analytisk beräkning FEM-design Figur 6.3 Jämförelse av analytiska beräkningar och datorberäkningar för en grundläggning med en styvhet 0,25 av stabiliserande stomme 24 (28)

7 Diskussion 7. Värdering av resultat 7.. Fall verklig modell från tidigare systemhandling I resultatet för det första fallet där en modell plockats från en tidigare verklig systemhandling kan fastställas att böjning är dimensionerande då knäcksäkerheten enligt figur 6. uppmättes till 43% av knäcksäkerheten för vridning. Detta då knäcksäkerheten för vridning räknas som en ren S:t Venantsk mod, i verkligheten är knäcksäkerheten högre då modformen är blandad enligt figur 6.4. I figur 6.2 redovisas hur den globala knäcksäkerheten har minskat till en faktor 0,7 när byggnadens grundläggning för en byggnad på 00 meter förändras från fast inspänning i berg till 5 meters pålar. För beräkning där grundens elasticitet beaktas genom att dividera tröghetsmomentet i ekvation (4-9) fås ett resultat likartat till det som fås då pålar räknas in i konstruktionshöjden. Detta indikerar att formeln för elastisk inspänning i grundplattan är tämligen korrekt. I tabell 2 visas konstruktionens effektiva böjstyvheter för grundläggning på berg kontra pålar. I detta fall är konstruktionen som helhet styvare då den placeras på pålar vilket innebär att pålgrundläggningen är styvare än ovanliggande konstruktion. Detta kan motiveras genom att byggnaden har stor hävarm i förhållande till stabiliserande tornets bredd med en grundläggning av högt antal pålar, både sneda och raka. Den parametriska studiens utförs på byggnader som är stabiliserade av fler än en byggnadsdel och motsvarande värden på faktorn α som då är lägre än ovanliggande stomme är således inte obefogade. Ytterligare verifiering av att grundläggningen är styvare än ovanliggande konstruktion fås av ekvation (7-) där utböjningen för byggnad med konstant styvhet beräknas. Utböjningen blir större i fallet med konstant styvhet än i verkliga fallet. y = 82 54 = 43,4mm > 25mm (7-) 004 7..2 Fall 2 Fiktiv byggnad stabiliserad av två symmetriskt placerade torn För fall 2 påverkas tornens relativa avstånd av bjälklagens geometri. Med en kvadratisk byggnad pekar resultatet på att avståndet uppgår till nästan 82% av sidans längd för att motverka att rotationsknäckning blir dimensionerande. För en 2 meter bred byggnad skulle följaktligen tornens vridcentrum kräva ett avstånd på ca. 7, meter vilket kan vara svårt att åstadkomma. Det indikerar att genom beaktning av knäckningsmod redan i ett tidigt skede så kan de fortsatta beräkningarna underlättas. Rotationsknäckning erfordrar en knäcksäkerhet då S:t Venantsk vridning måste beaktas och således fås ett lägre värde. I detta fall har vi en symmetrisk byggnad där rotationscentrum och tyngdpunkt sammanfaller. Rotationsstyvheten erhålls av de två tornen och är beroende av avståndet mellan dem. 7..3 Fall 3 Fiktiv byggnad stabiliserad av tre skivor placerade i fasad I diagrammen från resultatdelen utläses att rotationsknäckning alltid är dimensionerande då Iy/Ix är mindre eller lika med 2. En långsträckt byggnad med två av skivorna placerade i gavlarna ger upphov till större sannolikhet för att plan knäckning ska bli dimensionerande. 25 (28)

Med analytiska beräkningar genom användning av framlagda uttryck och diagram går det snabbt och enkelt att utvärdera hur plangeometrin och stabiliserande stomme kan utformas för optimala förhållanden. 7..4 Parametrisk studie Den parametriska studien som utförts ger ett resultat som tyder på att en byggnads globala knäcksäkerheter påverkas av grundläggningen. Det som studien indikerar är att knäcksäkerheten varierar med pålarnas längd och pållayouten i förhållande till överliggande konstruktions styvhet. I figur 6.8 där analytiska beräkning genomförts visas att en byggnad grundlagd på pålar med längden 0,2 av höjden och en styvhetsfaktor α på 0,25 av stommens styvhet blir knäcksäkerheten 0,25 av samma byggnad grundlagd på berg. En sådan skillnad kan vara avgörande för att byggnadens globala knäcksäkerhet är tillfredsställande. De analytiska beräkningarna utförs med en horisontell last jämnt utbredd längs hela konstruktionen, i realiteten slutar horisontallasten vid marken. Det kan antas vara i det närmaste korrekt som redovisas i figur 6.9, där skillnaden är obetydlig. I samma figur redovisas hur knäcksäkerheterna ser ut för en ren konsol modellerad i FEM-design med samma längdförhållanden som för den analytiska beräkningen. Jämförelsen av de två beräkningsgångarna en analytisk för hand och en datorberäkning som återges i figur 6.0, 6. och 6.2, validerar de utförda beräkningarna. Överbyggnad och grundläggning beaktas som två rena böjmoder. I verkliga fallet är moderna blandade både för överbyggnaden och grundläggningen enligt figur 7.. Rotationsknäckning Plan knäckning EI GKv EI GA αei βgk v αei βga Figur 7. styvheter för grundläggning och överbyggnad 7.2 Fortsatt arbete För fortsatta studier skulle det vara intressant att belysa olika varianter på pållayouter för några renodlade stomsystem, t.ex. fall 2 och fall 3. En sådan studie skulle kunna ytterligare klarlägga förhållande mellan S:t Venantsk och Vlasovsk mod för pålgrundläggning där förutom pålningens planlayout även graden av snedpålning och pålarnas lutning belyses. Grundläggningens styvhet i förhållande till ovanliggande stommes styvhet skulle kunna utvärderas för fler relevanta stomkonstruktioner. 26 (28)

8 Slutsatser - Vid grundläggning på pålar måste grundläggningens styvhet utvärderas för att få relevanta värden för knäcksäkerheten. - Man syftar till att få hög symmetri i stommen med tre icke kopplade moder, två plana moder och en rotationsmod. I de flesta fall uppnås inte full symmetri och för dessa fall erhålls en blandad mod av planknäckningsmoderna och rotationsknäckningsmoden. I praktiken bör det eftersträvas att rotationsknäcksäkerheten är större än planknäcksäkerheten. - Beräkning sker normalt i FEM men denna ska verifieras. De analytiska beräkningsmetoderna är värdefulla när resultatet ska verifieras. - I tidiga skeden när olika stomsystem/koncept ska utvärderas är de analytiska metoderna till stor hjälp. De analytiska beräkningarna är av stor betydelse när den övergripande geometrin för stomsystemet ska utvärderas. 27 (28)

9 Referenser [] WSP i korthet, Hemsida för WSP Sverige AB. Hämtad 207-05-0 URL: http://www.wsp-pb.com/sv/wsp-sverige/vilka-vi-ar/the-wsp-way/snabbfakta/ [2] Byggprojektering, Hemsida för WSP Sverige AB. Hämtad 207-05-0 URL: http://www.wsp-pb.com/sv/wsp-sverige/vad-vi-gor/vara-tjanster/tjanster-a- O/Byggprojektering/ [3] Carlsson, K. I. Konstruktionshandbok Stomelementhus, stabilisering. Stockholm: Jacobsson & Widmark; 969. Utg. [4] Lorentsen, M. Stabilisering av byggnader. Stockholm: Kungliga Tekniska Högskolan; 985. [5] Samuelsson E, Svensson I. Konceptuell utformning av bärande system i höghus. Göteborg: Chalmers Tekniska Högskola; 2007. Hämtad 207-04-28 URL: http://publications.lib.chalmers.se/records/fulltext/69555.pdf [6] Jonsson I, Öhrn R. Dimensionering av momentskärmstativ analys med finita elementmetoden: Linköpings Universitet; 203. Hämtad 207-05-02 URL: http://liu.diva-portal.org/smash/get/diva2:635884/fulltext0.pdf [7] FEM-Design, Hemsida för StruSoft AB. Hämtad 207-05-02 URL: http://www.strusoft.com/products/fem-design [8] Åkesson B.Å m.fl. Allmänna grunder Bygg. Stockholm: AB byggmästarens förlag; 96. Utg 3. [9] Wahlström, B m.fl. Allmänna grunder Bygg Huvuddel A. Stockholm: AB byggmästarens förlag; 97. [0] Johannesson P, Vretblad B. Byggformler och tabeller. uppl. Stockholm: Liber AB; 20. 28 (28)

Bilaga A: Härledning modformernas betydelse Knäcklasten för de olika moderna beräknas enligt ekvation () respektive (2) P kvl = k E c h 2 Vlasovsk böjmod () P kst = GK v A I p S:t Venantsk vridmod (2) Karakteristiskt tröghetsmoment då rotationsknäckning råder återges i ekvation (3). c = I ω A I p Rotationsknäckning (3) Vinkeländringen i toppen är densamma oavsett modform, ekvation (4) och (5) visar hur de fås fram för respektive mod. φ vl = m v h 4 8 EI ω Vinkeländring vlasovsk (4) φ st = m v h 2 2 GK v Vinkeländring S:t Venantsk (5) φ vl = φ st m v h 4 8 EI ω = m v h 2 GK 2 GK v = 4 E I ω (6),(7) v h 2 G = 0,4 E K v = 0 I ω h 2 (8),(9) Vid insättning av ekvation (8) och (9) i ekvation (2) samt ekvation (3) i ekvation () fås ekvation (0) och () P kst = 4 E I ω A h 2 I p (0) P kvl = 7,4 E I ω A h 2 I p () P kst = 4 = 0,54 (2) P kvl 7,4 P kst = 0,54 P kvl (3)

Bilaga B: Grundläggningens styvhetsfaktor för fall Indata aktuellt fall I0/m I 0 /n I 0 l = 5m a = 00m d c a c = 0 d = 5m l Figur 9. fast inspänd konsolbalk med varierande styvhet över längden Utböjningen för figur beräknas enligt ekvation (). y = (A + B n + C m) q l4 8 EI 0 () Beräkning av konstanterna A, B och C redovisas i ekvation (2), (3) respektive (4) A = a4 l 4 (2) B = (a+c)4 l 4 C = (a+d)4 l 4 a4 l 4 = 0 (3) a4 l 4 (4) Med ekvationerna för A,B och C insatta fås värdet på y enligt ekvation (5) y = ( a4 + l 4 ((a+d)4 l 4 a4 q l4 l4 ) m) (5) 8 EI 0 För beräkning tas förhållandet mellan utböjningen för endast I0 då byggnaden står på berg och utböjningen då byggnaden står på pålar, utböjning hämtas från modell. y = 25mm y 2 = 82mm Vid beräkning av förhållandet mellan utböjningen vid grundläggning på berg och grundläggning på pålar formuleras enligt ekvation (6)

q l y = ( a4 + y 2 l 4 ((a+d)4 a4 ) m) l 4 l 4 q l 4 2 4 8 EI0 8 EI0 (6) y = ( a4 + ( (a+d)4 a4 ) m) l 4 y 2 l 4 l 4 l 4 4 l 2 Med värden insatta fås värdet på m 25 82 = (004 5 4 + (54 5 4 004 54 54) m) 00 4 m = 0,7 α = m = 0,7 =,429 Utifrån utvärdering av ren konsol i FEM-design redovisas i tabell värdet för α där passning tillämpats för att få rätt utböjning. Tröghetsmoment [0 9 mm 4 ] α = Igrund/Istabiliserande torn Utböjning [mm] 5,208 43 7,626,464 24 7,352,42 25 7,086,36 27 α =,42

Bilaga C: Tabell FEM-Design lastens utbrednings påverkan på knäcksäkerheten Byggnadens höjd över grundläggningen är 0 meter. α = Böjstyvhet grundläggning Böjstyvhet stomme Grundläggning Sk last längs hela konstruktionen Sk last till marknivå 0m 206,82 206,82 0,5m (α=) 044,528 044,538 m (α=) 90,574 90,686 2m (α=) 704,406 705,376 3m (α=) 554,082 557,3 5m (α=) 36,547 369,585 0,5m (α=0,5) 96,732 96,759 m (α=0,5) 720,03 720,336 2m (α=0,5) 48,784 483,077 3m (α=0,5) 344,87 347,903 5m (α=0,5) 203,939 209,823 0,5m (α=0,25) 727,885 727,942 m (α=0,25) 498,97 499,292 2m (α=0,25) 290,809 29,97 3m (α=0,25) 94,293 96,559 5m (α=0,25) 08,473 2,034

Bilaga D: Härledning formler för utböjning samt vinkeländring h x EI φ M y = M EI y = M x EI + C y (0) = 0 C = 0 y = h 0 φ = y (h) = y dx = M h M x2 2 EI + C 2 y(0) = 0 C 2 = 0 y = M h2 2 EI EI

Bilaga E: Mathcad beräkningar Fall - böjning Kvadratisk byggnad med ett stabiliserande torn grundlagt grunlagt på på pålar Byggnadens bredd b := ( 24.5)m Vindlast på byggnad qv :=.5 kn m 2 horisontell last per meter längs bjälklagen q := b qv = 36.75 kn m Utböjning mätt i modell y := 23mm y := 26mm 2 ym := ( y + y 2 ) 2 = 0.25 m Byggnadens konstruktiva höjd l := 5m Byggnadens totala böjstyvhet EI := ql 4 8ym = 6.5 0 9 kn m 2 k hämtad ur diagram k := 7.4

Vertikal last f rån modell Knäcklast Pkn := k EI 6 kn = 3.6 0 l 2 Q := 265kN Knäcksäkerheten Pkn Sk := = 6.706 Q Kvadratisk byggnad med ett stabiliserande torn grundlagt på berg Byggnadens bredd b := ( 24.5)m Vindlast på byggnad qv :=.5 kn m 2 horisontell last per meter längs bjälklagen q := bqv = 36.75 kn m Utböjning mätt i modell y := 8mm y := 83mm 2 ym := ( y + y 2 ) 2 = 0.082 m Byggnadens konstruktiva höjd l := 00m Byggnadens totala böjstyvhet EI := ql 4 8ym = 5.6 0 9 kn m 2 k hämtad ur diagram k := 7.4

Knäcklast vid fast inspänning Pkn := k EI 6 kn l 2 = 4.46 0 Vertikal last från modell Q := 72338kN Knäcksäkerheten Pkn Sk := Q = 24.055

Antalet våningar n:= 30 Höjd h:= 00m Moment i grunden M := qh2 2 =.838 0 5 kn m Höjdskillnad i grundplattan mätt i modell h:= 9mm Grundplattans bredd L2 := 24.5m Vinkeländringen := h = 3.673 0-4 rad L2 Vridstyvheten K := M 8 = 5.002 0 rad kn m Vinkeländringen av enhetsmoment := K 9.999 0 - rad = kn m Knäcklast vid elastisk inspänning Pkn := k EI l 2 = 2.903 0 6 kn k EI + n + 2n l Vertikal last f rån modell Q := 72338kN Knäcksäkerheten Pkn Sk := = 6.843 Q

Fall - vridning Kvadratisk byggnad med ett stabiliserande torn grunlagt grundlagt på pålar pålar konstruktiv höjd antal våningar h:= 5m n:= 30 Excentrisk last uppskattad till 0kN per våning P:= 0kN n = 300 kn Bjälklagets bredd l := 24.5m Vridande m oment i toppen Jämnt utbrett vridmoment Mv := P l = 7.35 0 3 kn m mv := Mv h = 63.93 kn Vinkeländring i toppen mätt i modell := 7 + 24500 = 3.265 0-4 rad Vridstyvhet GKv := mv h 2 2 =.294 0 9 kn m 2 Bjälklagets mått a:= 24.5m b := 24.5m Polärt tröghetsmoment Ip := ab 3 2 ba 3 + = 6.005 0 4 m 4 2

Bjälklagsarea A := ab = 600.25 m 2 Vertikal last f rån modell Beräkning av knäcklast, S:t Venatsk mod Pkn := GKv A Ip =.294 0 7 kn Q := 336978kN Knäcksäkerhet Pkn Sk := = 38.393 Q

Kvadratisk byggnad med ett stabiliserande torn grundlagt på berg Kvadratisk byggnad med ett stabiliserande torn grunlagt på berg Konstruktiv höjd h := 00m Excentrisk last uppskattad till 0kN per våning P := 0kN n = 300 kn Bjälklagets bredd l := 24.5m Vridande m oment i toppen Jämnt utbrett vridmoment Mv := Pl = 7.35 0 3 kn m mv := Mv h = 73.5 kn Vinkeländring i toppen mätt i modell := 5 + 2 24500 = 2.857 0-4 Vridstyvhet GKv := mv h 2 2 =.286 0 9 kn m 2 Bjälklagets mått a := 24.5m b := 24.5m Polärt tröghetsmoment Ip := ab 3 2 ba 3 + = 6.005 0 4 m 4 2

Bjälklagsarea A := ab = 600.25 m 2 Beräkning av knäcklast, S:t Venatsk mod Vertikal last f rån modell Pkn := GKv A Ip =.286 0 7 kn Q := 37040kN Knäcksäkerhet Pkn Sk := Q = 40.554

Parametrisk studide studie för fall 2 och 3 Rektangulär byggnad med två torn på berg, h = 00m Bjälklagets geometri a:= 42m b := 2m Antaget karaktäristiskt tröghetsmoment c := 27m 4 Koefficient från diagram gäller för våningsantal större än 5 k := 7.4 Konstruktiv höjd L := 00m Elasticitetsmodul för betong, antas lika för alla våningar E := 37 GPa Beräkning av knäcklast Ec Pkn := k L 2 = 5.94 0 6 kn Ec = 8.029 0 9 kn m 2 Vertikal last Knäcksäkerhet Q := 396900kN sk := Pkn Q = 4.97

Indata Plangeometri a:= 42m b := 2m Antal våningar n:= 30 Vertikal last Q := 396900kN Byggnadens höjd L := 00m Karaktäristiskt tröghetsmoment c := 27m 4 Elasticitetsmodul betong E := 37GPa Moment M := kn m

Fall pållängd h:= 5m faktor, pålarnas styvhet i förhållande till stabiliserande elements styvhet := Vinkeländring := Mh E c = 6.227 0-0 rad rotationsstyvhet K := M 9 =.606 0 rad kn m Vinkeländring av enhetsmoment := K 0 6.227 0 - rad = kn m Knäcklast Pkn := 7.4E c L 2 = 4.988 0 6 kn 7.4 E c + n + 2n L Knäcksäkerhet Pkn sk := Q = 2.567

Fall 2 pållängd h := 0m faktor, pålarnas styvhet i förhållande till stabiliserande elements styvhet := Vinkeländring := Mh E c =.245 0-9 rad rotationsstyvhet K := M 8 = 8.029 0 rad kn m Vinkeländring av enhetsmoment := K 9.245 0 - rad = kn m Knäcklast Pkn2 := 7.4E c L 2 = 4.298 0 6 kn 7.4 E c + n + 2n L Knäcksäkerhet Pkn2 sk := Q = 0.829