Bestamning av lyftkraft pa en symmetrisk vingprol. printed: October 19, 2001 last modied: October 19, 2001 1 Laborationens innehall Laborationen avser en undersokning av stromningen kring en tva-dimensionell vingprol vid olika anfallsvinklar. Genom att bestamma tryckfordelningen kan lyftkraften pa prolen beraknas. Trycket pa vingprolens yta erhalles fran ett antal statiska tryckhal som ar placerade utmed prolens yta, och avlases pa en lutande multimanometer. Lyftkraften beraknas for en rad olika anfallsvinklar, bade da stromningen ar anliggande och da den ar avlost. Stromningen narmast ytan visualiseras med "tufts" dvs sma tunna tradstumpar som ar fastsatta pa ytanoch som tydligt visar var stromningen ar avlost. Lyftkraften bestams med tva olika metoder: 1) berakning av kraften utifran tryckfordelningen som uppmats under laborationen, 2) berakning av cirkulationen kring vingen genom att approximera den med en linjevirvel, och mata trycket vid vindtunnelns vaggar under och over vingens tryckcentrum. De uppmatta resultaten jamfors sedan med olika berakningsmodeller. 2 Grundlaggande begrepp Vi ska har ga igenom nagra grundlaggande begrepp som behovs for att bestamma lyftkraften pa en vingprol. Vi koncentrerar oss har pa tvadimensionella proler, dvs en kroppar dar geometrin inte varierar i spannviddsled. 2.1 Aerodynamiska krafter Nar en kropp ror sig relativt en uid (gas eller vatska) paverkas den av aerodynamiska krafter. For en kropp med given geometri beror dessa krafter dels pa kroppens hastighet och orientering relativt den ostorda uiden, dels pa uidens densitet och viskositet. Pa t ex ett ygplan delas kraften som verkar pa kroppen upp i tvakomponenter, dels en som ar vinkelrat mot rorelseriktningen och som kallas lyftkraft (L), dels en som ar parallell med rorelseriktningen och som kallas motstand (D) 1. Den resulterande kraften kan vi kalla for R. En principskiss visas i gur 1. Har ar U 1, fristromshastigheten, den relativa hastigheten mellan kroppen och det strommande mediet langt uppstroms kroppen. Vinkeln mellan fristromshastighetens riktning och den rata linje som gar fran framkanten till bakkanten pa prolen, kordan, kallas anfallsvinkeln () och denieras positiv som i gur 1. Kordans langd ar c. 1 Beteckningen kommer fran engelskans \lift" respektive \drag". 1
Mekanik, KTH 2 L N R α U T D c Figure 1: Denition av krafter pa vingprol Den aerodynamiska kraften kan alternativt delas upp i en normalkraft (N) och en tangentialkraft (T ) vinkelrat mot respektive parallell med kordan. Den resulterande kraften R erhalles genom att bidragen fran dessa bada integreras over hela kroppens yta. Det ar oftast enklast att forst berakna N och T och sedan transformera dessa resultat till de mer intressanta kraftkomponenterna L och D. Ur gur 1 ar det latt att nna de geometriska relationer som galler mellan de tva olika uppsattningarna av kraftkomponenter: 2.1.1 Berakning av normal- och tangentialkrafterna L = N cos ; T sin (1) D = N sin + T cos (2) De satt som det strommande mediet (i det har fallet luften) kan overfora krafter till en kropp ar genom a) tryckfordelningen p pa kroppen b) skjuvspanningsfordelningen pa kroppen Bada har dimensionen kraft per ytenhet. Trycket verkar alltid vinkelratt mot en yta medan skjuvspanningen verkar parallellt med ytan. Vi skall nu mer i detalj undersoka hur man fran integration av tryck och skjuvspannings-fordelning bestammer de aerodynamiska krafterna. Betrakta gur 2 dar koordinaten raknat fran framkanten langs prolens oversida ar (s o )ochpa undersidan ar (s u ). Betrakta nu ett litet ytelement ds = ds b dar ds ar en innitesimal stracka langs prolens ovre eller undre yta och b ar den betraktade bredden. Vi kan nu berakna de innitesimala kraftkomponenterna dn och dt pa denna yta som for oversidan blir dn o =(;p o cos ; o sin ) bds o (3) dt o =(;p o sin + o cos ) bds o (4)
Mekanik, KTH 3 y θ s ö ds α U FK su BK x Figure 2: Beteckningar for integration av tryck- och skjuvspannings-fordelning over en tvadimensionell vingprol. och for undersidan dn u =(p u cos ; u sin ) bds u (5) dt u =(p u sin + u cos ) bds u (6) Vinkeln raknas positiv medurs som i gur 2. For att erhalla hela normal- respektive tangentialkomponenten integreras uttrycken ovan fran framkanten (FK) till bakkanten (BK). Detta ger da for normalkraften N 0 = N Z BK b = (;p o cos ; o sin ) ds o + FK respektive for tangentialkraften T 0 = T Z BK b = (;p o sin + o cos ) ds o + FK Z BK FK Z BK FK (p u cos ; u sin ) ds u (7) (p u sin + u cos ) ds u (8) da vi infort beteckkningarna N 0 och L 0 for krafter per breddenhet (i spannviddsled). 2.1.2 Dimensionslosa koecienter Vi har nu beraknat de krafter som verkar pa vingprolen som funktion av tryck- och skjuvspanningsfordelningarna. Det visar sig dock vara lampligt att kunna uttrycka dessa i form av dimensionslosa kraftkoecienter. For att kunna gora detta denierar vi det sa kallade dynamiska trycket som q 1 = 1 2 1U 2 1 (9) Det dynamiska trycket har dimension kraft per ytenhet, liksom det vanliga trycket. For tvadimensionella kroppar ar det vanligt att deniera krafterna per breddenhet, t.ex. L 0 = L=b. Vikan nu deniera foljande dimensionslosa kraftkoecienter: c n = N 0 q 1 c c t = T 0 q 1 c c l = L0 q 1 c c d = D0 q 1 c
Mekanik, KTH 4 θ dx ds -dy Figure 3: Geometriska relationer mellan dx, dy och ds. Ytterligare anvandbara dimensionslosa koecienter ar tryckkoecienten c p = p ; p 1 q 1 dar p 1 ar fristromstrycket och friktionskoecienten c f = q 1 Figur 3 visar att det lilla langdelementet ds kan skrivasiformav dx och dy som dx = ds cos dy = ;ds sin Ekvationerna (7) och (8) kan nu skrivas pa dimensionslos form som c n = 1 Z c Z c dy (c p u ; c p o ) dx + o (c f o c 0 0 dx + c dy u f u dx ) dx c t = 1 Z c Z dy o (c p o c dx ; c dy c u p u dx ) dx + (c f o + c f u ) dx 0 0 (10) (11) Fran ekvationerna (1) och (2) erhalles motsvarande lyftkrafts- och motstandskoecienter c l = c n cos ; c t sin (12) c d = c n sin + c t cos (13) 2.2 Berakning av lyftkraften via cirkulationen kring en kropp For idealiserad (friktionsfri) tva-dimensionell stromning nns ett alternativt satt att berakna lyftkraften, namligen med Kutta-Joukowski's sats. Denna sats sager att lyftkraften per breddenhet (L 0 )pa kroppen kan bestammas som
Mekanik, KTH 5 L 0 = ;U 1 ; dar ar densiteten, U 1 fristromshastigheten och ; den sk cirkulationen I ;= u ds dar u ar hastighetsvektorn och den slutna integrationsvagen omsluter kroppen motsols. 2.3 Cirkulationen fran en ekvivalent linjevirvel Om vingprolens korda ar liten jamfort med matstrackans dimensioner kan vi anta att hastighetsfaltet pa stora avstand fran prolen ar likartat det som skulle uppkomma om vingprolen ersattes med en linjevirvel. Da kan cirkulationen bestammas genom att trycket mats pa vindtunnelvaggarna. Vi antar alltsa att vingprolen kan ersattas med en linjevirvel med cirkulationen ; som benner sig mitt i matstrackan, dvs pa avstandet h fran bade den undre respektive ovre vaggen (notera att med den denition som vi har valt kommer ; att vara negativ om lyftkraften ar riktad uppat). For att uppfylla hastighetsrandvillkoret pa vaggarna, dvs att hastigheten skall vara parallell med vaggen, maste virveln speglas i bagge vaggarna vilket ger upphov till nya "virtuella" virvlar, som i sin tur maste speglas i vaggarna (se gur 4). Den resulterande hastigheten erhalles som summan av bidragen fran alla virvlarna och kan skrivas u u o = U 1 2 ; 2h (1 1 ; 3 + 1 1 5 ; 7 + :::)=U ; 1 (14) 4h dar plustecknet galler den undre vaggen och minustecknet den ovre. Den oandliga serien ar konvergentochar lika med arctan(1)=/4. Anvands nu Bernoulli's ekvation langs stromlinjer vid de bagge vaggarna erhalles p u ; p o = 1 1 2 (u2 o ; u2 u)=; 2 (U 1 + ; 4h )2 ; (U ; 1 ; 4h )2 = 1 ; 2 U ; 1 h = L0 2h (15) 3 Beskrivning av matutrustningen Laborationen utfores i en av institutionens laghastighetsvindtunnlar da en tvadimensionell vingprol monterats i matstrackan. Den maximala hastigheten i matstracken ar ca 40 m/s vilket motsvarar ett Machtal pa 0.12. Vid detta laga Machtal kan stromningen betraktas som inkompressibel, dvs luftens densitetsvariationer ar sa sma att de kan forsummas. 2 2 Det relativa felet i dynamiskt tryck ges enligt Massey (ed 7) kap. 11.7 som p 0 ; p q =1+ M 2 4
h Mekanik, KTH 6 Γ 2h U Γ Γ Γ Γ h h h h 2h Figure 4: Spegling av en linjekalla. 3.1 Vindtunnel Tunneln ar av kontinuerlig typ och drivs av envarvtalsreglerad axialakt (15 kw tyristorstyrd DC-motor) i returkanalen. Matstrackans bredd ar 40 cm och desshojd 50 cm. For att erhalla god stromningskvalitet i matstrackan, dvs lag niva pa hastighetsuktuationerna och enjamn hastighetsfordelning, anvands likriktare och nat i inloppet till den sk stagnationskammaren. Likriktaren riktar upp stromningen parallellt med matstrackans geometriska centrumlinje, samtidigt som stora virvlar bryts sonder. Tryckfallet over de efterfoljande naten dampar ut ojamnheter i hastighetsfordelningen, samtidigt som virvlarna i stromningen bryts ner till mindre storlek. Viskosa eekter dampar sedan snabbt ut de sma virvlarna. Kontraktionen som nns direkt uppstroms matstrackan ger ocksa en kraftig dampning av den relativa uktuationsnivan och hastighetsvariationerna over matstrackans tvarsnitt. 3.2 Vingprol Vingprolen, en NACA0018, tillhor en familj av symmetriska proler, och har en maximal tjocklek av 18%avkordan 3. Modellen har en kordalangd pa 149 mm och en bredd pa 40 cm, och ar monterad symmetriskt i forhallande till matstrackans tak och golv. Anfallsvinkeln kan enkelt andras (se gur 5). Modellen ar forsedd med ett antal tryckhal pa under- och ovansidan, vars placering framgar av gur 6. For att bestamma cirkulationen kring vingen nns tryckhal placerade i tva positioner pa vindtunnelvaggarna, en under och en over vingprolens tryckcentrum, som ligger ungefar 25% av kordans langd matt fran framkanten. 3 Koordinaterna for denna familj av proler ges av q x y =5t 0:2969 ; c 0:1260 x ; c 0:3516( x c )2 +0:2843( x c )3 ; 0:1015( x c )4 dar t ar prolens maximala tjocklek uttryckt i c.
Mekanik, KTH 7 α -10 0 10 U Figure 5: Principskiss av vingprol och matstracka. Figure 6: NACA0018 prol med de i laborationen anvanda tryckhalen markerade. Tryckhalens placering langs kordan: x=c =0 0:027 0:047 0:095 0:20 0:30 0:40 0:50 0:60 0:70 0:80 0:90:
Mekanik, KTH 8 3.3 Utrustning for tryckmatning Det dynamiska trycket i fristrommen, q 1,ar lika med tryckskillnaden mellan stagnationstrycket p o och det statiska trycket i vindtunnelns matstracka p 1. p o mats i stagnationskammaren, och p 1 mats i ett tryckhal i matstrackans sidovagg. Trckfordelnignen over vingen fas genom att mata det statiska trycket vid vingprolens yta. Tryckslangarna ansluts dels till en lutande spritmultimanometer som ger en visuell bild av tryckfordelningen, dels till en Scanivalve for noggrann uppmatning av trycket. Multimanometern bestar at 36 vatskefyllda ror. Tryckslangarna ansluts i ena anden av varje ror, medan den andra anden ansluts till en vatskereservoir med atmosfarstryck. Roren kan stallas inivalfri lutning relativt horisontalplanet. Ju mindre lutning desto battre blir upplosningen. For att ytterligare forbattra upplosningen anvands rodsprit med densiteten 790kg=m 3 som manometervatska. Till multimanometern ansluts aven uttag for det statiska trycket vid en av matstrackans sidovaggar, och trycket i stagnationskammaren. Tryckpelarna avlases visuellt och raknas om till lampliga tryckenheter. Scanivalven ar kopplad till ena sidan av en dierenstryckgivare, till vars andra sida ett referenstryck koppas. Som referenstryck anvands i det har fallet totaltrycket i stagnationskammaren. I dierenstryckgivaren far de bada trycken paverka var sin sida av ett membran och membranutbojningen omvandlas via en matforstarkare till en spanning som ar proportionell mot tryckdierensen. Tryckgivarsystemet ar kalibrerat sa att utsignalen motsvarar ungefar 10 mm H 2 O/Volt (det exakta vardet varierar vid varje uppstallning). Scanivalvens uppgift ar att koppla en slang i taget till dierenstryckgivaren enligt en programmerbar sekvens. Matsekvensen styrs av ett Labview-program pa enmacintosh, och data samlas in pa en l. 4 Predikteringsmetoder Vid laborationen ska uppmatta data over tryckfordelningen jamforas med predikteringar baserade pa olika antaganden. Tryckfordelningen beraknas med olika metoder och berakningsresultaten ritas upp tillsammans med de uppmatta resultaten. Itvadimensionell, friktionsfri stromning kan potentialstromningsmetoden anvandas. Potentialstromningsteorin forutsatter att man kan bortse fran gransskiktseekter, vilket ar rimligt salange stromningen ar anliggande. Vid laborationen anvands programmet \thickpot" for att berakna lyftkraftskoecienten vid ett ertal olika anfallsvinklar. Den beraknade tryckfordelningen for NACA0018-prolen vid 10 anfallsvinkel ar uppritad langst bak detta PM. Vid stora anfallsvinklar, nar stromningen over vingen loser av, kravs metoder som aven tar med gransskiktet i berakningen. XFOIL ar ett program som kombinerar en inviskos metod for berakning av fristrommen med en gransskiktsberakning narmast vingens yta. En sadan berakning gar relativt snabbt att gora pa envanlig dator. Ett annat satt ar att behandla hela stromningsfaltet som viskost. Tryckfordelnignarna for NACA0018-prolen har i forvag beraknats pa det sattet m.h.a. det kommersiella programmet CFX. Dessa data nns tillgangliga under laborationen for jamforelse med de uppmatta vardena.
Mekanik, KTH 9 Forberedelseuppgifter - Vingprol (Uppgifterna lamnas till assistenen vid lab-tillfallet) 1. I laborationsanvisningarna beskrivs tva olika satt att bestamma lyftkraften pa en vingpro- l, namligen (i) integration av trycket runtom vingen och (ii) berakning av cirkulationen utifran trycket pa vindtunnelns vaggar. Ange vilka antaganden som ligger till grund for de olika metoderna. Svar i) ii) 2. I laborationen studeras tryckfordelningen over en vingprol som ar monterad i matstrackan i en vindtunnel. Fristromshastigheten (U 1 )bestams ur Bernoulli's ekvation: p 1 ; p o = 1 2 U 2 1 (dar p 0 ar stagnationstrycket). Man mater tryckskillnaden p o ; p 1 med en manometer eller med en dierenstryckgivare. Foresla lampliga stallen i vindtunneln att ansluta tryckslangarna for att kanna av p o : p 1 : 3. Laborationen ska utforas vid fristromshastigheten 20 m/s. Ovanstaende tryckuttag ansluts dels till en dierenstryckgivare (kalibrerad saatt1volt motsvarar10mmh 2 O), dels till den rodspritsfyllda multimanometern, som vi kan lata ha lutningen 30 mot horisontalplanet. a) Hur stort blir utslaget (E) pa dierenstryckgivare nar U 1 =20m/s? b) Hur stor blir hojdskillnaden (h) mellan pelarna for p o och p 1 pa multimanometern? E = h= 4. Visa foljande samband mellan tryckkoeent och hastighet: c p =1; ( U U 1 ) 2
Mekanik, KTH 10 5. Om man forenklat betraktar vingen som en linjekalla sa kan man bestamma ;, och darmed lyftkraften, enligt formel (15) i laborationsanvisningen. a) Var ska man ansluta tryckslangarna for att mata p u och p o? b) Antag att man mater en tryckskillnad p o ; p u = 125 Pa. Hur stor ar da lyftkraften per breddenhet uttryckt i N/m? c) Berakna lyftkraftskoecienten c l om U 1 ar 20 m/s. Svar: a) b) L 0 = c) c l = 6. Figur 7 visar den teoretiska tryckfordelningen (1 ; c p )over en NACA0018-prol vid 10 anfallsvinkel (ovre kurvan galler for ovansidan och nedre kurvan for undersidan). a) Om man antar att friktionen ar forsumbar, sa kan formeln for lyftkraftskoecienten c l (10, 11, 12 och 13) forenklas till c l = cos c Z c 0 (c p u ; c p o ) dx Berakna lyftkraftskoecienten c l. (Integralen fas genom att rakna rutorna mellan undre och ovre tryckkurvan i gur 7. Observera att en ruta motsvarar 0.5 x 0.1 i dimensionslosa enheter) b) For NACA-proler ar kvoten c l =c d 4 (dvs. lyftkraften ar ca fyra ganger storre an motstandskraften). Berakna motstandskoecienten c d. Svar c l = c d =
Mekanik, KTH 11 7. I laborationen antas att friktionskraften langs vingprolen ar forsumbar. Vi ska nedan gora en uppskattning av hur stort friktionsbidraget ar. a) Reynoldstalet denieras som. Re c = U 1c Berakna Re c om fristromningshastigheten U 1 =20m=s, luftens densitet =1:2kg=m 3 och dess dynamiska viskositet =1:8 10 ;5 kgm ;1 s ;1.Tror du gransskiktet ar laminart eller turbulent? b) Antag att vingen ur friktionssynpunkt kan approximeras med en plan platta utan tryckgradient. Da gerfoljande formler friktionskoecienten integrerad over hela ytan: 2 R c o c f(x)dx=c =1:328 Re c ;1=2 (laminart gransskikt), resp 2 R c o c f(x)dx=c =0:072 Re c ;1=5 (turbulent gransskikt). Hur stort ar detta jamfort med den lyft- resp. motstandskoecient som beraknades i uppgift 6? Ar friktionen forsumbar? Re c : gransskiktet antas laminart / turbulent friktionskoecient /c l : (%) friktionskoecient /c d : (%) Svar:
Mekanik, KTH 12 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 x/c Figure 7: Tryckfordelningen over en NACA0018-prol vid 10 anfallsvinkel