Laboration i Reglerteknik Reglering av Destillationskolonn Denna version: 10 mars 2009 REGLERTEKNIK Namn: Personnr: AUTOMATIC LINKÖPING CONTROL Datum: Godkänd:
Innehåll 1 Inledning 1 2 Systembeskrivning 2 2.1 Tillståndsbeskrivning....................... 2 3 Simuleringsmiljö 7 3.1 Modell............................... 7 3.2 Att hantera simuleringsmodellen................. 7 3.3 Begränsningar........................... 9 4 Simulering utan återkoppling 10 5 Tillståndsåterkoppling 11 6 Återkoppling med hjälp av observatör 12 7 LQ-optimering 14 8 Förberedelser 15 8.1 Dugga............................... 15 8.2 Uppgifter............................. 15 A Användbara Matlab-kommandon 18 B Diskussion av antagandenas betydelse för modellering och resultat 19
1 Inledning Syftet med denna laboration är att visa att tillståndsmodeller och tillståndsbaserad återkoppling är användbara och ibland t.o.m. oumbärliga hjälpmedel för att styra vissa typer av system. Tillämpningen som vi ska studera är en destillationskolonn som används för att separera två komponenter med olika flyktighetsgrad. I figur 1.1 visas en oljedestillationsprocess från Emerson Process. Destillation används i många sammanhang, t.ex. för att ta fram eteriska oljor ur växter, alkoholframställning och inom oljeindustrin. Processen är termodynamisk och använder både uppvärming och nedkylning för att få fram de önskade molfraktionerna av de ingående komponenterna. Enkelt uttryckt (vid binär destillation) fås den flyktigaste komponenten på toppen och den andra på botten av kolonnen. Destillaten kan inte bli helt rena på grund av azeotropiska egenskaper hos de ingående komponenterna. Flyktigheten ändras beroende på fraktionen av de olika ämnena i vätskan. Vi ska börja med att studera processen schematiskt för att ta fram en dy- Figur 1.1: Klippt från www.emersonprocess.com/home/news/resources/: Cutting-edge Forchem Oy distillation plant is designed for highest efficiency and performance. 1
namisk modell för uppförandet. Anledningen till att studera det dynamiska beteendet hos destillationskolonnen är för att bestämma processens beteende under uppstart och avstängning. kontrollera transienten mellan olika jämviktspunkter. reglera ut effekter av störningar och variationer. 2 Systembeskrivning Destillationskolonnen i denna lab används för att separera två komponenter ur en blandning. Blandningsflödet F matas in till kolonnen strax över mitten och processen ska hanteras så att det ena ämnet hamnar med så hög andel som möjligt i bottentanken och det andra med så hög andel som möjligt i kondensorn. Detta styrs genom att ändra gas- och vätskeflödet genom kolonnen. Förändringar i matningen i förhållande till gjorda antaganden kommer att påverka resultatet. Matningen uppkommer tidigare i tillverkningskedjan och kan därför inte styras. Ur ett reglertekninskt perspektiv kan denna därför betraktas som en störning. Detsamma gäller för andelen av de två ämnena i flödet. Destillationskolonnen kan schematiskt beskrivas med figur 2.1, där L D och L w är de flöden där vi plockar ut de två ämnena och F är matningen som inte kan styras av oss. Gasflödet, V, styrs i praktiken av förändringar i temperaturen i den nedre tanken. Vätskeflödet, L, styrs via en ventil från kondensorn. I denna laboration bortser vi från dynamiken för uppvärmningen och dynamiken i ventilen och styr dessa signaler direkt. I denna process används två styrsignaler, L och V, samt två signaler mäts, x D och x w. Studerar man tanken inses ganska snart att vi tjänar på att använda båda styrsignalerna eftersom resultatet ska förflyttas genom hela kolonnen och prestanda bör förbättras avsevärt om vi påverkar både uppifrån och nerifrån. Av samma anledning kommer två mätsignaler användas eftersom vi har tillgång till dessa. 2.1 Tillståndsbeskrivning Ett antal antaganden behöver göras för att kunna gå vidare med beräkningarna. De vanligaste handlar om att titta på en längre tidsskala, så att vi kan anta utjämningseffekter. 2
V L x D, M D L D 1 x F, F 2 x i 1, L i 1 ξ i, V i 3 4 x i, M i 5 x i, L i ξ i+1, V i+1 6 V x w, M w L w Figur 2.1: Schematisk beskrivning av destillationskolonn. I tabell 2.1 beskrivs notationen. 3
Signal x ξ M L V L x Index i D w F molfraktion av det mest flyktiga ämnet i vätskan molfraktion av det mest flyktiga ämnet i gasen vätskevolym total mängd i vätskeflödet (Liquid) total mängd i gasflödet (Vapour) mängd av det mest flyktiga ämnet i vätskeflödet bottennummer kondensor tank matning Tabell 2.1: Notation för destillationskolonnen. De antaganden som används i denna laboration är standard för området, se tabell 2.1 för teckenförklaring: 1. Systemet har konstant flyktighet på alla nivåer och varje botten är en perfekt, 100 % effektiv (teoretisk) botten. Därför kan följande enkela gas-vätske-jämviktsförhållande användas ξ i = αx i 1 + (α 1)x i. (1) Konstanten α är relativ flyktighet mellan de två komponenterna. 2. En enda matningsström, F, ges som mättad vätska vid dess kokpunkt på matningsbottnen, d.v.s. ingen gas matas in. 3. Den överblivna gasen kondenseras totalt i kondensorn (ξ D = 0). 4. Mängden vätska är konstant, lika och perfekt blandad på alla bottnarna, (M i = M, i; dm/dt = 0). 5. Mängden kvarhållen gas är försumbar i hela systemet. 6. Flödeshastigheterna av vätskan och gasen är lika till och från varje botten (L i = L, i = 1, 2; L i = L + F, i = 3, 4, 5, 6; V i = V, i). I appendix B diskuteras dessa antaganden och ytterligare vad de innebär. Om vi använder dessa antagen kan systemets dynamiska uppförande beskrivas 4
med hjälp av massbalanser. Se även förberedelseuppgift 1. M D ẋ D = V (ξ 1 x D ) Mẋ 1 = V (ξ 2 ξ 1 ) + L(x D x 1 ) Mẋ 2 = V (ξ 3 ξ 2 ) + L(x 1 x 2 ) Mẋ 3 = V (ξ 4 ξ 3 ) + Lx 2 (L + F )x 3 + F x F Mẋ 4 = V (ξ 5 ξ 4 ) + (L + F )(x 3 x 4 ) Mẋ 5 = V (ξ 6 ξ 5 ) + (L + F )(x 4 x 5 ) Mẋ 6 = V (ξ w ξ 6 ) + (L + F )(x 5 x 6 ) M w ẋ w = V (x w ξ w ) + (L + F )(x 6 x w ) (2) Här har använts att L w = L + F V och L D = V L på grund av att M w och M D är konstanta. Jämviktspunkten hittas genom att sätta derivatorna till 0, utnyttja ekvation (1) och lösa ut x i för givna värden på de ingående konstanterna. I laborationen används konstanter och linjäriseringspunkter enligt tabell 2.2. Konstanter Linjäriseringspunkter M w = 10, L = 2.0, M D = 10, V = 2.5, M = 5, F = 1.0, α = 3.0, x F = 0.5. Tabell 2.2: Konstanter och linjäriseringspunkter för destillationskolonnen. Jämviktslösningen till ekvation (2) ges då av x = (x D x 1... x 6 x w ) T = (0.9577 0.8834 0.7468 0.5554 0.3913 0.2223 0.1042 0.0423) T ξ = (ξ 1... ξ 6 ξ w ) T = (0.9577 0.8982 0.7890 0.6580 0.4611 0.2583 0.1166) T (3) där ξ fås genom sambandet (1). De dynamiska ekvationerna kan nu linjäriseras kring dessa jämviktspunkter och avvikelsen från linjäriseringspunkten visas mha, t.ex. x 3 = x 3 x 3, L = L L o.s.v. Notera att (1) ger att ξ i = α (1 + (α 1)x i ) 2 x i z i x i. (4) 5
Linjärisering av, t.ex., matningsbottnens ekvation ger M ẋ 3 (= Mẋ 3 ) = L x 2 (L + F + V z 3) x 3 + V z 4 x 4 + F x F + (ξ 4 ξ 3) V + (x 2 x 3) L + (x F x 3) F (5) Linjäriseringspunkter betecknas med superskript (t.ex. L ) och startvärden betecknas med superskript 0 (t.ex. x 0 F ), för de olika signalerna. I laborationen kommer vi utgå från den linjära modell som fås då dessa linjäriseringspunkter används, men startvärden och verkliga störningsvärden kan vara något annat, alltså betecknat med superskript 0. Om t.ex. störningsfraktionen inte är den vi har antagit, x 0 F x F, kommer övriga jämviktspunkter att ändras, vilket gör att den linjära modellen inte längre är korrekt. 6
3 Simuleringsmiljö 3.1 Modell Systemet ska simuleras i Simulink och den simuleringsmodell som ska användas i första delen av laborationen visas i figur 3.1. V0 xf0 Feed fraction Steady state steam flow F0 Feed flow L0 Steady state liquid flow F xf V L Model x Vapp Lapp Input States em L* u Feedback Gain xstar Initial states Figur 3.1: Simulinkschema för första delen. 3.2 Att hantera simuleringsmodellen Starta Matlab och skriv initcourse TSRT12 distill1 i Matlabs kommandofönster för att sätta rätt sökväg och öppna Simulinkmodellen ovan. Skriv load distilldata för att ladda in nödvändiga variabler. Simuleringen startas genom att välja Start från menyn Simulation. När simuleringen startas så öppnas automatiskt även en animering av destillationsprocessen, där koncentrationerna i tankarna är färgkodade. Öppna det grafiska interfacet genom att skriva distillgui. Där kan valda körningar plottas för att jämföra prestanda. Se figur 3.2. Efter en simulering plottas det senaste resultatet genom att använda plotknappen. Valda körningar tas bort genom att använda den remove knapp som hör till vald färg. Som prickad linje, :, visas alltid x. 7
Simuleringstidens längd kan sättas genom att välja Simulation Parameters under menyn Simulation. Tiden är inledningsvis satt till 100 minuter. Systemets initialtillstånd är från början satt till x 0 = x, L 0 = L, V 0 = V, x 0 F = x F, F 0 = F, d.v.s., systemet är i sitt jämviktsläge. Figur 3.2: Grafiskt interface för destillationskolonnen. I simuleringen är det de olinjära differentialekvationerna i ekvation (2) som används, d.v.s. det simulerade systemet är olinjärt. Återkopplingarna kommer dock att beräknas med hjälp av den linjäriserade modell som togs fram i förberedelseuppgift 1. Matriserna A, B, C och D finns bland de variabler som lästes in i Matlab ovan. 8
3.3 Begränsningar I simuleringsmodellen finns ytterligare olinjäriteter. Alla molfraktioner är begränsade till 0 x, ξ 1 av naturliga skäl. Vi kan inte heller ha negativa gas- eller vätskeflöden. Dessutom är vätskeflödena begränsade av dimensionen på tillrinningshål och gasflödet begränsat av uppvärmningskapacitet i tanken. Därför får vi 0 V, F, L 5. Detta betyder att den beräknade och applicerade styrsignalen kommer att vara olika då den beräknade styrsignalen inte uppfyller sambandet ovan. Blocket Input i simuleringsmodellen visar den applicerade styrsignalen. 9
4 Simulering utan återkoppling Här skall modellen simuleras utan att någon återkoppling används. Målet med detta är underlätta förståelsen för tillståndsvariablernas fysikaliska betydelse. Inledningsvis är samtliga element i återkopplingsvektorn L satta till noll, se figur 3.1. Detta innebär att ingen återkoppling sker. Uppgifter: Simulera modellen med det givna initialtillståndet och jämför utsignalvärdena i gränssnittet med graferna som skapas av blocket States och blocket Inputs. Studera också C-matrisens utseende och koppla ihop utsignalerna med rätt tillstånd. Vad visas i distillgui? Modifiera modellens initialtillstånd och se hur detta påverkar systemets uppförande. Initialvärdena för tillstånden kan väljas genom att tilldela vektorn x0 lämpliga värden. Testa exempelvis att starta systemet i jämviktspunkten eller lite bredvid. Ändra också initialvärden på styrsignaler, L0, V0, och störsignaler, xf0, F0, var för sig och se hur detta påverkar simuleringsresultatet. Glöm inte bort det fysiska begränsningar som finns. Studera t.ex. slutvärdet på fraktionerna. Förklara förändringen fysikaliskt. Ta fram det linjäriserade öppna systemets poler och diskutera hur stegsvaret borde se ut. Stämmer polernas lägen med de resultat du sett i simuleringarna ovan. Tips Se förberedelseuppgift 1. Extremvärden kan ibland vara bra för att se samband mellan olika signaler, men kan också förstöra systemets beteende. Använd därför både små och stora fel. Ändra simuleringstiden för att se hela förloppet. Jämför de olika körningarna med hjälp av distillgui och notera vilka värden som gav vad. För att återställa värdena, kör load distilldata igen. Titta framåt och spara vad som behövs för senare jämförelser. Resultat: 10
5 Tillståndsåterkoppling Här antas att samtliga tillståndsvariabler kan mätas exakt, d.v.s. utan mätstörningar. Målet för uppgiften är att under dessa förutsättningar skapa en återkoppling, som styr snabbt tillbaka till jämviktsläget, och som dessutom minskar inverkan av förändringar i matningsflödet eller matningsfraktionen, jämfört med jämviktspunkten. Dessa störningsförändringar kan, t.ex. bero på fel tidigare i processen, där inflödet och dess molfraktion bestäms. Uppgifter: Bestäm en tillståndsåterkoppling som håller molfraktionerna kring jämviktspunkten då ett felaktigt starttillstånd, x 0 x används. Avgör vilka begränsningar som finns för vilka prestanda som kan uppnås för det återkopplade systemet. Ange de fysikaliska och kemiska orsakerna till dessa begränsningar. Jämför prestanda med styrning utan återkoppling (föregående uppgift), både för steg i intialvärden på fraktionerna samt förändringar i matningsvärdena. Jämförelsen görs med fördel i distillgui, där tidigare resultat kan sparas. Tips: Se förberedelsuppgift 2 och 3. Den enda variabel som behöver ändras under denna del av laborationen är återkopplingsvektorn L. En polplacerande tillståndsåterkoppling kan beräknas med Matlabfunktionen place. Alla poler kan inte ligga på samma ställe, i detta fall får multipliciteten högst vara 2. Börja med att placera polerna utifrån systemets ursprungliga polplacering. Detta görs för att det slutna systemet inte ska få orimliga fysikaliska beteenden. T.ex., p=eig(a), L=place(A,B,p-alfa). Kontrollera också slutna systemets poler eig(a-b*l). Genom att testa olika α kan man försöka att uppnå olika prestanda hos det återkopplade systemet. För detta exempel räcker det att placera det återkopplade systemets poler på reella axeln. Titta framåt och spara vad som behövs för att göra kommande jämförelser. (Frivillig) Testa att placera polerna ofysikaliskt och studera vad som händer. Resultat: 11
6 Återkoppling med hjälp av observatör I denna del ska fraktionerna regleras då man endast kan mäta x w och x D, d.v.s. molfraktionerna i tanken och i kondensorn. Simuleringsmodellen som ska användas visas i figur 6.1, och den öppnas genom att skriva distill2 i Matlab:s kommandofönster. Modellen har nu kompletterats med en observatör där de tillgängliga mätsignalerna y 1 och y 2 och de applicerade styrsignalerna V app och L app används för att skatta systemets alla tillstånd. Mätningarna innehåller även en varsin mätstörning som skapas av blocken märkta Measurement disturbance. Mätstörningen utgörs av likafördelade slumptal i intervallet [ 10 3, 10 3 ], detta intervall kan ändras i simulinkschemat. Mätstörningen kan t ex uppkomma p.g.a. begränsad upplösning i den givare som mäter molfraktionerna. Blocket Sensor innehåller en skalning som representerar omvandlingen från fraktion till spänning. F0 Feed flow xf0 Feed fraction F xf V y1 y2 Vapp y1 y2 V V V0 Steady state steam flow L0 Steady state liquid flow L Model Lapp L L Input Output Observer 1 em L* u x = Ax+Bu y = Cx+Du Sensor 1 Feedback Gain y10 Initial y1 Measurement disturbance 1 Sensor 2 K*u em y20 Initial y2 Measurement disturbance1 Sensor 1 Figur 6.1: Simulink-modell vid återkoppling från två molfraktioner. 12
Uppgifter: Bestäm en stabiliserande återkoppling där endast mätningarna y 1 och y 2 används. Avgör vilka begränsningar som finns för vilka prestanda som kan uppnås för observatören och hur de påverkar det återkopplade systemet. Jämför prestanda för observatören med resultatet då alla tillstånden mäts. Hur nära kan man komma? Tips: Se förberedelseuppgift 4 och 5. Använd en återkopplingsvektor L som motsvarar poler som ligger i mitten av det intervall som bestämdes för α i uppgift 5. Placera observatörens poler enligt samma regler som för det återkopplade systemet. Observatörens förstärkning kan även den beräknas med funktionen place med anropet K=place(A,C,p-beta) där beta visar den önskade förskjutningen av polerna jämfört med polerna för systemet. Ändra max och min-värdena för de olika brusen. Jämför y med ŷ = C ˆx i blocket Outputs. I distillgui ritas ŷ med samma färg som y fast streckprickad,.. Kontrollera så att dimensionen på K är rätt. Resultat: 13
7 LQ-optimering Denna uppgift är obligatorisk för TSRT12 och frivillig för TSRT15, TSRT19 och TSRT03. Antag att samtliga tillståndsvariabler kan mätas, d.v.s. använd modellen distill1. Uppgifter: Bestäm en tillståndsåterkoppling med hjälp av linjärkvadratisk minimering. Pröva olika viktmatriser i kriteriet och se hur det påverkar det återkopplade systemets egenskaper. Undersök hur det återkopplade systemets poler påverkas av valen av viktmatriser i kriteriet. Jämför med den tidigare polplaceringen och med systemets urspungliga poler. Jämför styrsignalens storlek med vad som fåtts i tidigare uppgifter. Tips: Återkopplingsvektorn beräknas med funktionen lqr. Testa inledningsvis att enbart sätta vikt på fraktionen i kondensorn, fraktionen i tanken och på styrsignalerna. Jämför prestanda med tidigare regulatorer. Observera att storleken på styrsignaler och mätsignaler/tillstånd skiljer sig med tiopotenser vilket gör att viktmatriserna dimensioneras därefter för att ge samma utslag i kriteriet. Resultat: 14
8 Förberedelser 8.1 Dugga För att få göra labben ska en dugga klaras av. Duggan ska testa om du har fått tillräcklig förståelse för att tillgodogöra dig labben och tar upp några av de nyckelbegrepp som behandlats tidigare i kursen. Duggan är datorbaserad med fem flervalsfrågor, varav tre ska klaras för godkänt. Tidsåtgången är beräknad till ca 10 min. De fem frågorna tas ur fem olika kategorier: Poler & stegsvar, Tillstånd, Styr- & observerbarhet, Robusthet samt Observatör. Ur varje kategori slumpas en fråga. Duggan rättas sedan automatiskt och resultatet skrivs ut, efter att en kod angetts som fås vid varje labbtillfälle. Om du blir underkänd på duggan, går det bra att delta vid ett senare labbtillfälle, i mån av plats, eller vid det extratillfälle som ges i slutet av kursen. Diskutera dina svar med labbassistenten för att reda ut eventuella missförstånd. 8.2 Uppgifter För att klara laborationen behöver följande uppgifter lösas. Studera även kopplingen mellan dessa och uppgifterna i laborationen mha. av de Tips som ges i kompendiet. Labuppgifterna bygger på varandra och för att slippa gå tillbaka i labben, behöver du läsa igenom kompendiet och ta reda på vad du behöver spara mellan uppgifterna. 1. Gör uppgift 2.13 i övningshäftet. Jämför resultatet med beskrivningen av destillationskolonnen i stycke 2, särskilt ekvationerna (2) och (5). Förklara på vilket sätt antagande 6 förenklar resultatet. 2. För ett styrbart system kan man med tillståndsåterkoppling placera det återkopplade systemets poler godtyckligt. Vad är det som i praktiken förhindrar att man gör det återkopplade systemet godtyckligt snabbt? 3. I figur 8.1 visas tre sammankopplade tankar med två styrsignaler, u 1, u 2 och två mätsignaler, y 1, y 2. Om vi väljer höjden i vattentankarna som modellens tillstånd kan vi skriva upp den på tillståndsform med hjälp av massbalans. Runt en punkt kommer utflödet ur tankarna vara en konstant gånger vattenhöjden. Låt oss välja dessa konstanter till 1. 15
Ändringen i tanknivån är inflöde minus utflöde: ẋ 1 = x 1 + u 1 ẋ 2 = x 2 + u 2 ẋ 3 = x 3 + x 1 + x 2 y 1 = x 1 y 2 = x 3 u 1 u 2 x 1 x 2 k 1 x 1 k 2 x 2 x 3 k 3 x 3 Figur 8.1: Tre sammankopplade vattentankar med två insignaler och två utsignaler. (a) Ställ upp systemets A, B och C matriser. Observera att B får två kolumner och C får två rader. (b) Är systemet styrbart då endast en av insignalerna används? Tips: Modifiera systemmatriserna då endast en insignal används och andvänd bokens styrbarhetskriterium. (c) Kan du argumentera för detta resultat fysikaliskt? 4. För ett observerbart system kan man skapa en observatör och placera observatörens poler godtyckligt. Vad är det som i praktiken förhindrar att man gör observatören godtyckligt snabb? 16
5. Studera återigen systemet i Uppgift 3, inkl. tipset. Är systemet observerbart då endast en mätsignal används? Kan du argumentera för detta resultat fysikaliskt? 6. Tänk igenom vad de Matlab-kommandon som nämns i Appendix A gör. 17
A Användbara Matlab-kommandon eig ss tf bode bodemag nyquist pole tzero pzmap place help Beräkna egenvärden Generera LTI-objekt på tillståndsform Generera LTI-objekt på överföringsfunktionsform Rita bodediagram Rita bodediagrammets amplitudkurva Rita nyquistdiagram Beräkna poler Beräkna nollställen Rita pol-nollställe-diagram Placerar egenvärden Visar hjälptext för angivet kommando 18
B Diskussion av antagandenas betydelse för modellering och resultat Detta appendix diskuterar antagandena som gjordes i systembeskrivningen, avsnitt 2.1, och deras betydelse för modelleringen. Som nämnts är antaganden som används i denna laboration är standard för området, se tabell 2.1 för teckenförklaring: 1. Att en botten är 100% effektiv betyder att den fullständigt liknar betenendet i jämvikt. Ifall man antar att den relativa flyktigheten, α, är konstant så gäller α = K A K B där K i = ξ i x i är fraktionen av ämne i i gas respektive vätskefas, detta ger α = ξ Ax B x A ξ B I en binär blandning gäller x B = 1 x A och ξ B = 1 ξ A. Genom elimination av ξ B och x B fås Efter lite manipulerande fås α = ξ A(1 x A ) x A (1 ξ A ) ξ A = αx A 1 + (α 1)x A 2. Att matningsströmmen är mättad innebär att extra tillskott av energi får den att byta från vätskefas till gasfas. 4. Antagandet om perfekt blandning gör att man kan behandla varje platta som en enhet med samma molfraktion. 5. Om man försummar kvarhållen gas så kan man se gasflödet som ett enda flöde istället för en mängd separata flöden. 6. Antagandet om att flödeshastigheterna av vätska och gas är lika i hela systemet kommer av antagandet att mängden vätska på varje botten är 19
konstant. Detta stämmer inte på en kort tidsskala eftersom det, t.ex., tar det tid innan en förändring av mängden återförd vätska får resultat i hela kolonnen eftersom först påverkas de högre bottnarnas flöde för att sedan som en kedjereaktion ta sig neråt i kolonnen. Men då vi studerar systemet på en längre tidsskala fungerar dock detta antagande utmärkt. 20