LINK OPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Provräkning, Linjär Algebra, vt 6. Lämna in lösningar för rättning senast 8. onsdagen den 7 april 6. Lämnas in antigen i mitt fack på MaI eller direkt på någon föreläsning. Skriv namn på varje inlämnat blad. Skriv högst en uppgift på varje blad. Skriv bara på ena sidan av pappret. Sortera lösningarna i nummerordning. Använd ej rödpenna, men gärna annan färg. Avgör om nedanstående avbildningar är linjära. I de fall avbildningen är linjär, bestäm dess avbildningsmatris med avseende på standardbaserna i respektive rum. (a) F : R R definierad genom sambandet F (x, x, x ) = ( x + 4x + 4x, x + x + 7x ), e = standardbasen i R, e = standardbasen i R. (b) F : R R definierad genom sambandet e = standardbasen i R. F (x, x, x ) = (x (x + x ), x (x + x ), x (x + x )), (c) F : P P definierad genom sambandet F (p(x)) = x p (x) + p(x ) x p(), x = ( x x ) = standardbasen i P. Om en linjär avbildning F : R 4 R 4 vet man att F (e + e e + e 4 ) =, F (e + e ) = e + e + e + e 4, F (e ) = e + e, F (e 4 ) = där e = (e e e e 4 ) är standardbasen i R 4. (a) Bestäm avbildningen F :s matris med avseende på standardbasen. (b) Bestäm en bas i nollrummet N(F ) och en bas i värderummet V (F ).
( p) (c) Bestäm samtliga vektorer (om det existerar några) som tillhör N(F ) V (F ).. Den linjära avbildningen F : E E ges i standardbasen av matrisen A e = 6 6. 7 6 Visa att F är isometrisk och beskriv F geometriskt. ( p) 4. (a) Bestäm minsta-kvadratlösningen till ekvationssystemet 4 X = 7 (b) Betrakta U = [(,,, ), (,,, ), (,, 4, )] E 4, v = (,,, 7) E 4. Bestäm min v u samt för vilket u U som detta minsta värde antas. u U ( p). Låt F : R R vara en linjär avbildning med matris ( ) 7 A = i standardbasen. Bestäm F samt egenvärden och egenvektorer till F.
Lösningsförslag till provräkning, ETE, Linjär algebra. (a) Försök skriva F med hjälp av matrisprodukter: ( x + 4x F (x, x, x )=( x + 4x + 4x, x + x + 7x )=e + 4x x + x + 7x ( ) x 4 4 =e x 7 =e AX e. x ) = Räknelagarna för matriser ger då (i) F (u + v) = e A ( X e + Y e ) = e AX e + e AY e = F (u) + F (v), (ii) F (λu) = e A ( λx e ) = λe AX e = λf (u), d v s F är linjär. Avbildningsmatris med avseende på standardbaserna är matrisen A ovan. (b) F är ej linjär, t ex F (,, ) = ( ( + ), ( + ), ( + )) = (,, ) F (,, ) = ( ( + ), ( + ), ( + )) = (8, 8, 8) = 4(,, ) F (,, ). (c) F är linjär ty F (p + q) = x(p(x) + q(x)) + (p(x ) + q(x )) x (p() + q()) = = ( xp (x) p(x ) x p() ) + ( xq (x) q(x ) x q() ) F (λp) = x(λp(x)) λp(x ) x λp() = = λ ( xp (x) p(x ) x p() ) = λf (p). Vi beräknar matrisen genom att beräkna basvektorernas bilder. F ()=x() + x = x =( x x ) F (x)=x(x) + (x ) x = + x= x F (x )=x(x ) + (x ) x =x + ( x + x )= x + x = x. Detta ger att avbildningsmatrisen med avseende på standardbasen {, x, x } blir.
. (a) Beräkna basvektorbilderna F (e +e e +e 4 ) = F (e ) + F (e ) F (e ) + F (e 4 ) = () F (e +e ) = F (e ) + F (e ) = e +e +e +e 4 () F (e ) = e +e () F (e 4 ) = (4) Tar vi () () + () (4) och () () så fås F (e ) = F (e ) + F (e ) F (e ) + F (e 4 ) (F (e ) + F (e )) + F (e ) F (e 4 ) = = (e + e + e + e 4 ) + (e + e ) = e + e e e 4 = = e, F (e ) = F (e ) + F (e ) F (e ) = e + e + e + e 4 (e + e ) = e + e 4 = = e, F (e ) = e + e = e, F (e 4) = = A = (b) Lös AX = och beroendeekvationen för A:s kolonner (samma ekvation) samt linjärkombination av kolonnvektorerna = godtycklig vektor x r r x x r 4 r r r x x x x = x 4 x 4 x = λ λ λ λ 4 = t t t s = s + t, s, t R. Detta ger att (,,, ), (,,, ) är en bas i N(F ) och vi till löjliga element bland kolonnerna kan utse (världens löjligaste, tillika 4:e kolonn i detta fall) och :e kolonnen = = +, d v s V (F ) = e, e
och (,,, ), (,,, ) är en bas i V (F ). (c) Tittar vi slutligen på linjärkombination av kolonnvektorerna = godtycklig vektor fås att V (F ) = { (x, x, x, x 4 ) R 4 : } x + x =. x + x 4 = Insättning av ett godtyckligt element ur N(F ), (t, t, t, s) i ekvationerna för V (F ) ger { t + t = s = t = ( t) + s = = t + t = t Detta innebär att för alla t R tillhör t(,,, ) både N(F ) och V (F ), d v s t(,,, ) N(F ) V (F ).. Man verifierar enkelt att kolonnerna i A e utgör koordinater för en ON-bas, d v s A e är ortonormal. Följaktligen är F isometrisk. Beräkning av determinanten ger det A e = 6 7 6 6 = k k k 7 4 6 k 7 = 6 6 7 4 6 = = 7 7 4 = 7 = ( ) =, 7 d v s F är en vridning. Därmed finns en riktning u (vridningsaxeln) sådan att F (u) = u. Med A e = 7 B fås. AX = BX = X BX = 7X (B 7E)X = 7 6 6 4 6 6 4 = X = t, t R.
Sätt f = 4 (,, ) och fyll ut till en höger ON-bas med f = e, f = f f = 4 / 4 / / 7 = f = e / 4 / 6/ 7 / 4 /. 7 = e 7 6 = Då vi byter från ON-bas till ON-bas gäller T = T t Basbytesformeln ger sedan A f = T t A e T =... =, d v s F vrider ett halvt varv kring f. Alternativ: Då vi vet att det är fråga om en vridning kan man enkelt beräkna vridningsvinkeln genom att beräkna (F (f ) f ) = F (f ) f cos θ = cos θ. Då F (f ) = 7 e 6 6 6 = e fås cos θ = vilket ger sin θ = och A f = cos θ sin θ =. sin θ cos θ = f 4. (a) Ställ upp och lös normalekvationerna på vanligt sätt. A t A = 4 4 = 4 4 = 4 4 4 8 9 A t Y = 8 4 = 6 = 8, A t AX = A t Y = 4 6 7 4 = 8 r r 4 r r 4 X = 4. 9
(b) Då minsta avstånd = ortogonalt avstånd följer det att min u U v u = v v U, d v s minimum antas för u = v U. Då U är höljet av kolonnvektorerna till A och v = e Y fås att v U = e AX där X är minsta kvadratlösningen från (a), d v s v U = e AX = e 4 4 = e 6 = = v v U = e e 6 = e =. 7. Beräkna egenvärden och egenvektorer till F genom att lösa sekularekvationen. det (A λe)= 7 λ λ =(7 λ)( λ)+=λ λ+4= λ=6, 4 ( ) ( ) ( ) λ = 6 : = X 6 = t ( ) ( ) ( ) λ = 4 : = X 4 = t ( ) f = e, T = ( ) ( ) ( ) 6 6 = A f = = A f = 4 4 A =T A f T =... = ( ) 6 4 6 4 6 + 4 6 + 4. Enligt sats??, sid?? gäller att om λ är egenvärde till F med egenvektor v så är λ n egenvärde till F n med samma egenvektor v. Följaktligen har F egenvärdena 6 och 4 med egenvektorer (, ) respektive (, ).