FREKVENSSPEKTRUM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET
JEAN BATISTE JOSEPH FOURIER 768-83 Fourier utveclade metoden att besriva periodisa förlopp genom summering av vitade ortogonala funtioner TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET
FOURIERS IDÉ Varje signal an besrivas som en superponering (vitad summering) av omplexa sinusoider e j t cos( t) j sin( t) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 3
Man an visa att varje periodis tidsontinuerlig signal med periodtid P an byggas upp med en summa av deltoner. Dessa toner har frevens m där m är ett heltal och = /P Inga andra frevenser an finnas! TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 4
VARFÖR FOURIERANALYS? Man får en besrivning av frevensinnehållet i signalen. Man får stöd för beräning av utsignalen från ett system. Man får ett hjälpmedel för beräning av energiinnehållet i en signal. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET
TIDSDISKRETA PERIODISKA SIGNALER En tidsdisret signal an sapas genom att en tidsontinuerlig signal samplas med jämna tidsintervall om den ontinuerliga signalen är periodis med periodtid T om samplingen ser så att det blir ett helt antal sampel per period Då har vi en periodis tidsdisret signal TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 6
TIDSDISKRETA PERIODISKA SIGNALER I FREKVENSPLANET Man an visa att varje periodis tidsdisret signal med periodtid N, an byggas upp med hjälp av N stycen toner. Frevensen för respetiv ton är och amplituden () där =/N. ( är numret på tonen) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 7
DISCRETE-TIME FOURIER SERIE (DTFS) x n N N nn x e n j e n j n x n DTFS ; TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 8
EEMPEL Periodis, tidsdisret signal x[n] N n Grundtonen: = /N = / j j n x n e x n e N nn n nn TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 9
j j j j j e e e e e cos e e j j..3 cos.6 3 TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET
Absolutbeloppet av [] ger amplitudinformation och argumentet fasinformation. [] arg[] - TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET
TIDSKONTINUERLIGA PERIODISKA SIGNALER Tidsontinuerliga periodisa signaler är definierade vid varje tidpunt t an anta godtycliga värdena upprepas med tidsintervallet T T TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET
TIDSKONTINUERLIGA PERIODISKA SIGNALER Man an visa att varje periodis tids-ontinuerlig signal med periodtid T an byggas upp med en summa av deltoner. Dessa toner har frevens där är ett heltal och = /T TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 3
CONTINUOUS-TIME FOURIER SERIE (FS) t j e t x t x dt e t x T FS t j T ; ) ( ) ( TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 4
TIDSFUNKTIONEN ÄR PERIODISK Tidsfuntionen x[n] är periodis, periodtid N Tidsfuntionen x(t) är periodis, periodtid T N e n x N n j ] [ ] [ T e t x t j ] [ ) ( DTFS: FS: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET
TIDSFUNKTIONEN BERÄKNAS DTFS: x[ n] N N [ ] e j Tidsfuntionen x[n] beränas genom att N stycen toner adderas n FS: x( t) [ ] e T j t Tidsfuntionen x(t) beränas genom att oändligt många termer adderas TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 6
FREKVENSFUNKTIONEN [K] BERÄKNAS DTFS: FS: [ ] N N nn summering ändligt antal disreta frevenser (* ) är periodis x[ n] e j n [ ] x( t) e T T integrering oändligt antal disreta frevenser (* ) ice-periodis j t dt TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 7
E:SINUS DTFS: Vi har en sinuston med period 8 (N=8) FS: Vi har en sinuston med frevens period T=8 x[ n] cos( n 8 ) 4 x( t) cos( t 8 ) 4 TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 8
E:SINUS DTFS: Om vi beränar DTFS för en sinus fås följande -..336+.336i -.-.i.+.i -.-.i.-.i -.-.i.336-.336i FS: I det ontinuerlig fallet får vi fram ett matematist uttryc e ] e j 4 j 4 [ annars TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 9
E:SINUS DTFS: FS:, [], [] /4 Arg([]) /4 Arg([]) -3 3 TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET
E:FYRKANT DTFS: Vi har en periodis sevens x[n]= FS: Vi har en ontinuerlig fyrantvåg med pulsvot,%. Period 3 (=N), Hög /8 av perioden Period s (=T), Hög /8 av tiden TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET
E:FYRKANT DTFS: FS: [ ] [] 3 8 4 sin( ) 3 sin( ) 3 " DC värde" [ ] sin( ) 8 TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET
E:FYRKANT DTFS: Beloppet i N punter. FS: Belopp Belopp Fas TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 3