Datorövning 4 Kontinuerliga system vt 2015 Inledning I denna datorövning ska vi precis som i de tidigare använda maple. Övningen är till stor del upplagd som en räkneövning, där syftet är att du skall se hur maple kan användas för att visualisera svängningsfenomen. Först dock ett avsnitt om greenfunktioner. Övningen är upplagd så att det finns tolv ordinarie uppgifter. Dessutom finns två trevliga längre avsnitt Extra A och Extra B som försöker ge en introduktion till två aktuella problem med olinjär vågutbredning, solitoner och chocker. Dessa är helt frivilliga. För att underlätta utförandet finns det på kurshemsidan ett maple worksheet som heter Datorovning_4.mw. Ladda ner denna och öppna inifrån maple. Den innehåller flertalet av de kommandon som finns i handledningen med syfte att minska risken för avskrivningsfel. Förberedelser Tag med lärobok och övningshäfte till övningen ty flera exempel är hämtade därur. Läs igenom handledningen samt de avsnitt i boken som det hänvisas till Start Starta maple! För att få de beteckningar som används i kursen för några standardistributioner skriv alias(delta=dirac,theta=heaviside); För att få tillgång till några mer avancerade ritkommandon skriv with(plots); och när man ändå håller på att ladda ner extra kommandon så kan man skriva with(linalg); också så glömmer man inte detta senare. 1 Fundamentallösningar och Greenfunktioner En fundamentallösning till laplaceoperatorn K i R n löser Δ K = δ 0. Dessa är kända (se boken sidan 158). Greenfunktionen till laplaceoperatorn i området Ω är för α Ω lösningen till { Δ u = δα i Ω, u = 0 på Ω. 1
Dessa kan för enkla områden konstrueras med hjälp av speglingar och kända fundamentallösningar. 4.1. Skriv in fundamentallösningarna till laplaceoperatorn i 2 respektive 3 dimensioner. K2 := (x,y) -> -log(xˆ2+yˆ2)/(4*pi); K3 := (x,y,z) -> 1/sqrt(xˆ2+yˆ2+zˆ2)/(4*Pi); Ange en fundamentallösning i 1 dimension. Skriv även in denna. Titta på en 3dplot av K 2. Undersök om maple kan beräkna ΔK 2 och ΔK 3. För att göra detta måste man skriva with(linalg);. Skriv sen laplacian(k3(x,y,z),[x,y,z]); och förenkla. Beräkna även grad K 3, (grad(k3(x,y,z),[x,y,z]);). Räknar maple ut ΔK 3 rätt? Jämför sats 5.1. För vilka (x, y, z) har maple beräknat ΔK 3? Är grad K 3 är ett känt fält, i så fall vilket? Gör motsvarande med K 3 utbytt mot K 2. Beräkna även Δ K 1. 4.2. Konjugerade punkter. Enligt boken sidan 167 är funktionen G 2 (x; α) = 1 ( ) ln x α ln x α ln α ) 2π = K 2 (x α) (K 2 (x α) 1 2π ln( α )) Greenfunktion till laplaceoperatorn på enhetscirkeln, där α är konjugerad punkt till α. Vi skall nu undersöka funktionen G 2. Välj α = (a, 0) där 0 < a < 1 och bestäm motsvarande α. Vad blir koordinaterna för α? Skriv G2 := (x,y,a) -> K2(x-a,y)-K2(x-1/a,y)+log(a)/(2*Pi); Gör en 3dplot av G för några olika värden på a, med till exempel plot3d(g2(x,y,0.3),x=-3..7,y=-5..5,numpoints=2000,axes=normal); Genom att välja Style Patch and contour kan man se nivåkurvor på ytan. Med hjälp av kommandot implicitplot kan man undersöka var G 2 = 0. (För att få tillgång till detta kommando måste man skriva with(plots);) Skriv sen implicitplot(g2(x,y,0.3)=0, x=-1..1, y=-1..1); och välj Scaling Constrained. Vilken egenskap hos Greenfunktioner illustreras i den figur du just ritat? Pröva med några andra värden på a. 2
4.3. I tre dimensioner kan vi inte plotta funktionsgrafer. Däremot kan vi rita nivåytor med kommandot implicitplot3d. Sätt G 3 (x; α) = 1 1 4π x α 1 1 1 4π α x α = K 3(x α) 1 α K 3(x α). Enligt boken, sidan 169, är G 3 Greenfunktion till Dirichlets problem på enhetsklotet. Välj α = (a, 0, 0) för något värde på a, 0 < a < 1, och bestäm α. Skriv in G 3 och titta på nivåytan G 3 = 0, skriv G3 := (x,y,z,a) -> K3(x-a,y,z)-K3(x-1/a,y,z)/a; implicitplot3d(g3(x,y,z,0.2)=0, x=-1..1, y=-1..1, z=-1..1); Välj Projection Constrained. Vilken egenskap hos Greenfunktioner illustreras i den figur du just ritat? Gör samma sak för något annat värde på a. 2 Vågutbredning, reflektion d Alemberts formel För vågekvationen i R modellerande en endimensionell oändlig sträng u tt c 2 u xx = 0, x R, t > 0, u(x, 0) = g(x), x R, u t(x, 0) = h(x), x R, kan lösningen direkt skrivas med d Alemberts formel u(x, t) = 1 2 (g(x ct) + g(x + ct)) + 1 2c x+ct x ct Vi ska nu använda maple till att åskådliggöra dessa lösningar. h(y) dy. 4.4. Gör en animering av lösningen i exempel 7.1, sidan 206 i boken. Skriv in och plotta begynnelsefunktionen g(x): g := x -> (1-x)*(theta(x)-theta(x-1))+(1+x)*(theta(x+1)-theta(x)); Varning: Heavisidefunktionen i maple är ej definierad i origo. Det kan därför hända att man får felmeddelandet: Plotting error, non-numeric vertex definition då man försöker plotta eller animera g. Detta kan undvikas genom att man ändrar intervallets gränser eller (i animationerna) antalet indelningspunkter (numpoints eller frames). En rörlig bild av lösningen fås sedan med animate((g(x+t)+g(x-t))/2,x=-10..10,t=0..10,numpoints=200,frames=100); Animationen startar då man klickar på grafen och sedan på den långsträckta pilen i menyn. Man kan variera rörelsehastigheten genom att klicka på dubbelpilarna. 3
4.5. Animera på liknande sätt lösningen till exempel 7.2 (sidan 207). Starta med att skriva in begynnelsehastigheten h(x). Välj till exempel h(x) = θ(x 1) θ(x 2). Skriv animate(int(h(y),y=x-t..x+t),x=-10..10,t=0..10,numpoints=200, frames=100,thickness=2); Stega först fram animeringen genom att klicka på knappen upprepade gånger. Iakttag speciellt vad som händer i början av animeringen. Pröva också h(x) = δ(x 1). Ser man någon skillnad mellan fallen h(x) = θ(x 1) θ(x 2) och h(x) = δ(x 1)? Reflektion, upprepade speglingar 4.6. Vi skall nu titta på vågutbredning i en sträng med ändlig längd, speciellt reflektioner i ändpunkterna, jämför sidan 212 i läroboken med L = 10. Antag att stängens begynnelseutböjning ges av funktionen g 1 (x) i figuren nedan och att begynnelsehastigheten är noll. 0 3 5 10 Observera att funktionen g 1 (x) = g(x 4), där g redan är definierad. Skriv g1 := x -> g(x-4); Om strängen har fasta ändar gör vi en udda spegling av g 1 enligt figuren på sidan 213, gu := x -> g1(x)-g1(-x); Kontrollera med en plot över intervallet ( 10, 10) att funktionen är rätt speglad. Om f (x) är en funktion som är definerad på intervallet [a, a + T ] så kan f utvidgas till en T periodisk funktion fp med fp(x) = f (x T (x a)/t ) där x betecknar heltalsdelen av x (golvfunktionen) som är det största heltal x. Exempelvis är 2 = 2, π = 3 och π = 4. Uttrycket x T (x a)/t subtraherar lämpligt antal perioder från x så man återförs till intervallet där f är definierad. Golvfunktionen skrivs floor(x) i maple. Alltså blir gp := x -> gu(x - 20*floor((x+10)/20)); en 20-periodisk utvidgning av gu. Kontrollera genom att rita en figur över intervallet ( 100, 100) att det ser rätt ut. Sedan kan vi se rörelsen i strängen med animate((gp(x+t)+gp(x-t))/2,x=0..10,t=0..40,numpoints=200,frames=100); 4
4.7. Har strängen fria ändar skall man i stället spegla jämnt. Gör det och titta på rörelsen. Ändarna är fästa vid ringar som löper fritt längs en glatt stav, jämför övning 1.14. 4.8. Tänk efter hur man skall spegla om den ena änden (x = 0) är fri och den andra är fast. Pröva sedan med en animering. 4.9. Titta på strängen från exempel 3.2, sidan 77, med begynnelseutböjningen 0 2.5 10 Skriv in begynnelsefunktionen, spegla och animera på samma sätt som i uppgift 4.6. 4.10. Visa att begynnelsefunktionerna g k (x) = sin kx, k = 1, 2,... ger stående vågor på en sträng med längden π om man animerar (g k (x t) + g k (x + t))/2. (Jämför boken sidan 213.) 4.11. Även uppgifter där hastigheten är given kan animeras som strängen i exempel 7.5 sidan 214. Här kan den primitiva funktionen beräknas direkt, skriv H := x -> theta(x-0.5) - theta(x-1.5); med periodisk fortsättning Hp := x -> H(x - 4*floor((x+2)/4)); Rita denna och beräkna derivatan. Jämför med figuren i boken. Lösningen ges av u := (x,t) -> (Hp(x+t)-Hp(x-t))/2; som kan animeras med animate(u(x,t),x=-1..1,t=0..10,numpoints=200,frames=100); 4.12. Studera lösningen till ballongexemplet, exempel 7.7, sidan 221. Skriv in funktionen g i figuren i boken, gm := r -> r*(theta(r+1)-theta(r-1)); Animera lösningsfunktionen för trycket u(r, t), som ges av formeln u(r, t) = 1 2r (g (r ct) + g (r + ct)), r > 0, t > 0. Observera tryckvariationen i centrum, se anmärkningen sidan 223. 5
Extra A. Solitoner En speciell typ av vågor observerades och 1834 av en skotsk ingenjör, John Scott Russell: I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn along a narrow channel by a pair of horses, when the boat suddenly stopped not so the mass of water in the channel which it had put in motion; it accumulated round the prow of the vessel in a state of violent agitation, then suddenly leaving it behind, rolled forward with great velocity, assuming the form of a large solitary elevation, a rounded, smooth and well-defined heap of water, which continued its course along the channel apparently without change of form or diminution of speed. I followed it on horseback, and overtook it still rolling on at a rate of some eight or nine miles an hour, preserving its original figure some thirty feet long and a foot to a foot and a half in height. Its height gradually diminished, and after a chase of one or two miles I lost it in the windings of the channel. Russell lyckades i experiment återskapa sådana vågrörelser och fann bla att utbredningshastigheten tycks vara proportionell mot höjden. Detta är en olinjär effekt, som inte kan uppträda för lösningar till en linjär vågekvation. Russels observation av sk solitoner kan förklaras på följande sätt. Vågutbredning på grunt vatten beskrivs av Korteweg-de Vries ekvation u t + 6u u x + u xxx = 0. Här kan man faktiskt explicit ange vissa lösningar av formen u(x, t) = f (x ct). Insättning ger c f (s) + 6 f (s) f (s) + f (s) = 0. Integration, med randvillkoret noll i oändligheten, ger c f + 3 f 2 + f = 0. Multiplikation med 2f och ytterligare en integration ger Denna differentialekvation är separabel c f 2 + 2 f 3 + (f ) 2 = 0. df f c 2f = ds. Be maple bestämma en primitiv funktion till vänster led, genom int(1/sqrt(c-2*f)/f,f); 6
Detta leder till 2 ( arctanh 1 2f ) = s + d, c c där d är en konstant. För d = 0 löser vi ut f som funktion av s genom att skriva Detta ger solve(s=-2*arctanh(sqrt((c-2*f)/c))/sqrt(c),f); f (s) = c 2 Med detta f har vi visat att ( 1 tanh 2( s c 2 ) ) = c 2 u(x, t) = f (x ct) 1 cosh 2( s c 2 löser Korteveg-de Vries ekvation. En sådan lösning kallas soliton. Olinjär vågutbredning är idag ett stort forskningsområde, såväl inom matematiken som inom tillämpade vetenskaper. Solitoner förekommer även vid andra medier än vatten, till exempel optiska fibrer, och man försöker använda dem för signalöverföring. Det finns också hypoteser om att nervimpulser kan beskrivas av solitoner. Bilda f := (s,c) -> c/(2*cosh(s*sqrt(c)/2)ˆ2); och sätt c1 := 0.05; c2 := 0.1;. Plotta en soliton genom plot(f(s,c1), s=-50..50);. Sätt sedan u := (x,t) -> f(x-c*t,c); Uppgift: Kontrollera med hjälp av maple att u(x, t) satisfierar Korteveg-de Vries differentialekvation. Använd simplify om det inte trillar ut direkt. Som vi ser av lösningsformeln är solitonens utbredningshastighet proportionell mot amplituden. Av figuren ser vi att solitoner har begränsad utsträckning i rummet. Ett märkligt fenomen är att trots att differentialekvationen är olinjär så gäller för dess lösningar, solitonvågorna, en slags superpositionseffekt, där en våg kan komma ikapp en annan våg, kollidera, och sedan komma ut ur kollisionen med oförändrad form. Detta illustreras av följande animering: animate(f(x+50-c1*t,c1)+f(x+100-c2*t,c2),x=-150..250,t=0..3000, numpoints=200,frames=100); Anmärkning: Här har vi fuskat. Summan av de två vågorna satisfierar inte differentialekvationen, trots att varje term gör det. Animeringen illustrerar alltså inte lösningar till Korteveg-de Vries differentialekvation. Påståendet ovan, om vågorna som efter att ha kolliderat fortsätter med oförändrad form, är ett mera avancerat matematiskt resultat. Man kan i alla fall göra detta troligt genom att sätta in F := (x,t) -> f(x+50-c1*t,c1)+f(x+100-c2*t,c2); i vänsterledet i differentialekvationen och se hur nära den är uppfylld. Skriv d := (x,t )-> diff(f(x,t),t)+6*f(x,t)*diff(f(x,t),x)+diff(f(x,t),x,x,x); animate(d(x,t),x=-150..250,t=0..3000,numpoints=200); och jämför storleksordningen av d med termernas. ). 7
Extra B. Chockvågor Från kapitel 1 kommer vi ihåg kontinuitetsekvationen i en rumsdimension u t + j x = 0 där u = u(x, t) är densitet och j = j(x, t) är strömtäthet, eller flux. För vanlig värmeledning och diffusion har man Fouriers resp Ficks lag j = ν u x, där ν är en materialkonstant. Antag nu att det förutom denna linjära diffusionseffekt uppträder en olinjär effekt, så att j = ν u x + u2 2. Strömtätheten påverkas alltså inte bara av densitetsgradienter utan även av densiteten. Detta leder till den så kallade Burgers ekvation u t + u u x = ν u xx. Burgers ekvation spelar en mycket viktig roll i studiet av olinjära partiella differentialekvationer. Den olinjära termen gör att helt nya fenomen uppträder, t ex chocker, som vi nu skall titta lite närmare på. Burgers ekvation fungerar som en slags modellekvation vid studiet av vågutbredning som uppfyller konservationslagar, tack vare att man har ett analytiskt uttryck för lösningen, vilket är extremt ovanligt. Vi skall nu ta fram detta uttryck. Inför U (x, t) som en primitiv funktion till u(x, t) i x-led, u = U x. Burgers ekvation övergår i U t + 1 2 (U x) 2 = ν U xx. Om man i denna ekvation gör variabelbytet U = 2ν log w, så får man, helt oväntat, en linjär diffusionsekvationen i w, w t = ν w xx. För denna känner vi lösningen. Med Greenfunktionen G(x, t) = 1 4πνt e x2 /4νt gäller, som vi vet, w(x, t) = G(x s, t)w 0 (s) ds, där w 0 (x) = w(x, 0) är begynnelsevärdet för w. Återgår man sedan till U och därefter till u så finner man (den fantastiska) lösningsformeln u(x, t) = 2ν [ x log 1 ] e U0(y)/2ν e (x y)2 /4νt dy, 4πνt där U 0 (x) = x u(s, 0) ds. 8
Anmärkning: Här skulle man gärna vilja kontrollera att detta verkligen är lösning till Burgers ekvation. Tyvärr klarar maple inte detta, och man ger sig knappast på att visa det för hand. Välj nu begynnelsevärdet { sin(x) för π < x < π u 0 (x) = 0 för övrigt. { Då gäller 1 cos(x) för π < x < π U 0 (x) = 0 för övrigt. Vi vill studera fallet med svag diffusion, dvs litet ν. Välj nu := 0.01;. Börja med att titta på fallet då den olinjära termen u u x i Burgers ekvation saknas, så att man får lösningen med hjälp av Greenfunktionen. Om man beräknar denna för t = 8, G := (x,t) -> exp( -xˆ2/(4*nu*t)) / sqrt(4*pi*nu*t); plot( int( G(x-s,8)*sin(s), s=-pi..pi), x=-8..8); så finner man den vänstra figuren nedan. Vi ser att diffusionprocessen är igång, trots den lilla värdet på ν, och att störningen u spridit sig i x-led i förhållande till begynnelsetillståndet, samtidigt som den minskat i storlek. Övergå sedan till Burgers ekvation, med den olinjära termen. I uttrycket för U nedan har vi gjort en omskrivning av lösningsformeln, som utnyttjar att U 0 = 0 utanför intervallet [ π, π]. Skriv U0 := y -> -1-cos(y); U :=( x,t) -> -2*nu*ln( (sqrt( Pi*nu*t)*erfc( (Pi+x)/sqrt( 4*nu*t))+ sqrt( Pi*nu*t)*erfc( (Pi-x)/sqrt( 4*nu*t))+ int( exp(-(x-y)ˆ2/(4*nu*t))*exp(-u0(y)/(2*nu)), y=-pi..pi))/sqrt( 4*Pi*nu*t)); plot( diff( U(x,8), x), x=-8..8); Vi får efter en stunds räknande (det kan ta flera minuter för sista ritkomandot) den högra figuren nedan. Trots att vi har ett kontinuerligt begynnelsevillkor så tenderar lösningen att få språng, så kallade chocker. Denna effekt blir mer och mer uttalad vid större t, och vid mindre ν. Lösningen har karaktären av en chockvåg. 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2-8 -6-4 -2 0 0 2 4 6 8 x -0.2-8 -6-4 -2 0 0 2 4 6 8 x -0.2-0.4-0.6-0.4-0.8-0.6 Uppgift: Studera chockvågens form och utbredning, genom att variera t och ν. 9