Institutionen för fysik, kemi och biologi (IFM) Marcus Ekholm NFYA/TEN1: Fysikaliska principer och nanovetenskaplig introduktion Tentamen Fysikaliska principer 15 januari 16 8: 1: Tentamen består av två delar, A och B. På del A behövs endast svar, ingen redovisad lösning krävs. På del B fordras fullständiga lösningar. Lösningar ska vara välmotiverade samt följa en tydlig lösningsgång. Låt gärna din lösning åtföljas av en figur. Numeriska värden på fysikaliska storheter skall anges med enhet. Det skall tydligt framgå av redovisningen vad som är det slutgiltiga svaret på varje uppgift. Markera gärna ditt svar med exempelvis Svar:. Skriv bara på ena sidan av pappret, och behandla högst en uppgift per blad. Skriv AID-nummer på varje blad! Tillåtna hjälpmedel: räknedosa (även grafritande) med tömt minne Nordling & Österman: Physics Handbook for Science and Engineering (Studentlitteratur) bifogat formelblad Preliminära betygsgränser: betyg 3 betyg 4 betyg 5 8 poäng 1 poäng 16 poäng Examinator, Marcus Ekholm, besöker skrivningssalen vid två tillfällen och nås i övrigt via telefon, nr 13-8 5 69. Lycka till!
16115 NFYA 1 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. Uppgift 1 a) b) F = d,1 1 3 (mv) = N = 1,5 N dt v = at = F M t = 1,5,5 6 m/s =,45 m/s = 4,5 cm/s 1 Uppgift Vi ser att m λ har sitt maximum då: och med Wiens förskjutningslag: λ = 715 nm λt =,898 1 3 m K får vi: Svar: 4 K T =,898 1 3 K = 4 K 715 1 9 Uppgift 3 Vi använder oss av standardutvecklingen: e x = 1 + x + x +... ( U(x) U 1 (1 ax + a x ) ) = U (ax a x ) = U a x (1 ax ) = U a x (1 ax + a x 4 ) = = U a (x ax 3 + a x 4 4 ) Om vi jämför med potentiella energin för en fjäderkraft, E = 1 kx, så kan vi identifiera Svar: U a k = U a
16115 NFYA Uppgift 4 a) Svar: Den energi som strålas ut varje sekund och genom varje kvadratmeter får man genom att integrera produkten av antalet möjliga svängningar och medelenergin per svängning, som funktion av frekvens. Antalet möjliga svängningar per frekvens- och volymsenhet (se punkt 6 på formelbladet) växer som ν. Om man integrerar ε ν med det klassiska (konstanta!) ε så får man något oändligt. Varje kropp skulle utstråla oändligt effekt (ultraviolettkatastrofen)! Plancks antagande att energin är kvantiserad leder till att medelenergin per svängning blir lägre vid höga frekvenser, istället för att vara konstant. Om man använder Plancks ε blir integralen ändlig. b) Ett kvantmekaniskt uttryck övergår till ett motsvarande klassiskt uttryck då h. Först gör vi ett variabelbyte, x = hf/(k B T ), som gör att funktionen får följande utseende: ε(x) = x e x 1 k BT Nu Taylorutvecklar vi nämnaren med hjälp av standardutvecklingen för e x. Vi får nu: e x 1 1 + x + x 1 = x + x ε(x) x x + x / k BT = Nu ser vi enkelt att då x får vi ε = k B T. Svar: k B T 1 1 + x/ k BT Uppgift 5 Numeriskt: Svar:,6 varv/s I 1 ω 1 = I ω I 1 f 1 = I f f = f 1 I 1 I f =, 18 varv/s =,6 varv/s 6, Uppgift 6 T ex den diatomiska molekylens rörelsemängdsmoment, som är kvantiserat, leder till hopp i specifika värmekapaciteten.
16115 NFYA 3 Del B Till dessa uppgifter fordras fullständiga lösningar. Uppgift 7 Givet är att kraften har formen F (r) = kr där k är en konstant vi kan bestämma ur villkoret att: där R är Jordens radie. Alltså: och Vi kan nu integrera fram arbetet: W = R F (r) dr = F (R) = kr = mg k = mg R F (r) = mg R r R mg mg rdr = R R Numeriskt får vi, med R = 6,38 1 6 m, arbetet: [ r ] R = mgr Svar: 31 MJ W = 1, 9,8 6,38 16 J = 31 MJ
16115 NFYA 4 Uppgift 8 Vi beräknar masscentrums läge. Med origo vid bryggans kant får vi: x cm = m L/ + Mb m + M där b är läget för båtens masscentrum. Efteråt har vi: x cm = mx + M(b + x) m + M där x är den sökta sträckan. Eftersom masscentrums läge är oförändrat då inga yttre krafter verkar kan vi sätta: vilket direkt ger att: m L/ + Mb m + M = mx + M(b + x) m + M m L = (M + m)x x = ml (M + m) Numeriskt: x = 3 1 (3 + 6) m = 3 18 m = 1 6 m 1,7 m Svar: 1,7 m
16115 NFYA 5 Uppgift 9 Solens utstrålade effekt: P s 4πR s = σt 4 s P s = σt 4 4πR s Vid farkosten: P s P m = L 4πr = σt 4 L s 4πRs 4πr utstrålad effekt: P i = 6L σt 4 Vid jämvikt: P i = P m = L σt 4 s R s r 6L σt 4 = L σt 4 s R s r 6T 4 = T 4 s R s r Numeriskt får vi: T = T s Rs 6 1/4 r T = 58 7 1 6 6 1/4 15 1 9 / K = 36 K Svar: 36 K
16115 NFYA 6 Uppgift 1 a) I den klassiska beskrivningen kan energin anta vilket värde som helst, även noll. Kvantmekaniskt är endast vissa värden tillåtna, och den minsta möjliga energin är större än noll. b) Vi behöver beräkna integralen för sannolikheten: P = ψ(x) dx = ψ(x) dx = a a/4 sin πx a dx Ifrån Physics Handbook har vi: sin axdx = 1 a (ax sin ax cos ax) = x 1 sin ax 4a och integralen blir: Svar:,91 P = [ x a a ] πx a/4 sin = 4π a = ( a a 8 a 4π sin π ) = = 1 4 1 π = 1 ( 1 1 ),91 π