Lösningsförslag TATA8 08-0-04 (a) Binomialsatsen medför att (b) Eftersom ( ) 5 = +4i i 5X 5 k 4i = () 5 k ( ) k = 5 80 4 +80 40 +0 ( + 4i)( + i) 0 4 + = + i 5= 9 + i, 9 gäller att realdelen blir (c) Summan består av 0 termer och har en aritmetisk del med di erens och en geometrisk del med kvot Således blir X00 X00 X00 (k + k )= k + k =0 0+00 Svar: (a) 5 80 4 +80 40 +0 (b) + 0 =5049+0 9 (c) 5049 + 0 (a) För att alla logaritmer ska vara definierade krävs att <0, <samt<7, så vi måste kräva att <0 Antag att <0 Då gäller (eftersom ln är injektiv) att ln( ) ln ( ) ln(7 ) =ln, ln =ln ( )(7 ), =( )(7 ), +7=0, = 8 ±, där varken =eller = 7 ufller att <0 Ekvationen saknar alltså lösningar (b) Eftersom 0=lnt ln t ln t = (ln t) ln t = (ln t) + ln t följer det att (ln t) = Eftersom ln t är reell så måste ln t =, dvs t = e Svar: (a)lösning saknas (b) t = e (a) Sinus för dubbla vinkeln medför att sin =sin, sin cos =sin, sin =0eller cos =, = n, n Z
(b) Vi ser att =arctan i 7 0, h Eftersom 0 < </kanvidirektritauen rätvinklig hjältriangel där tan = 7 Ifrån denna triangel kan vi se att sin = = 8 7 7 8 7 Då arcsin definieras av sambandet och sin 7 =sin v =arcsin, sin v = och följer det att 7 arcsin sin 7 ale v ale =arcsin sin = 7 7 eftersom 7 h, Svar: (a) = n, n Z i 4 Uttrcket definieras enligt (b) sin arctan 7 = 7 och arcsin sin 7 = 7 =e( ln ), > 0, R Om vi låter t = /4, >0, övergår ekvationen i t + t =t +4, t t t +4=0 Vi gissar en rot och finner att t =löser ekvationen Polnomdivision av vänsterledet med t resulterariatt t t t +4=(t )(t +5t ) = (t ) t + 5! 49 =(t )(t +) t Om t =blir = 4 =Omt = saknaslösning Om t = blir = 8 Svar: =e( ln ) samt =eller = 8 5 Ekvationen kan formuleras om enligt sin =+ cos, sin cos = Vi använder oss av hjälvinkelmetoden och skriver om vänsterledet som C sin( + v) med C>0 Då ska alltså, enligt additionsformeln för sinus, sin cos = C (sin cos v +cossin v) =C sin( + v)
Genom att, till eemel, låta =0och = /, erhåller vi sambanden C sin v =, C cos v = För att bestämma C kvadrerar vi dessa ekvationer och summerar för att finna att C = C (sin v +cos v)=8 Alltså är C = 8ettlämligt val, och vi finner v genom att lösa 8 >< cos v = = 8, >: sin v = =, v = +n, n Z 8 Vi väljer v = Vi erhåller alltså lösningarna Vi ska nu lösa ekvationen 8sin =, sin 8 ><, >: = = +n, n Z, 4 eller = +n, n Z 4 = 5 +n eller = +n för n Z Svar: = 5 +n, n Z, eller = +n, n Z (a) Vi ser direkt att f( ) =f(), så då D f = R kan funktionen inte vara injektiv Till eemel är f( ) = f() Därför saknas f För g med D g =], 0] gäller att (man kan även sätta t = e för att se att det är en andragradsekvation) = g(), = e + e, e = e +, (e ) = Eftersom V g måste, t annars skulle = g() saknalösningar för ett givet D g,vilketvoreabsurtdådetäven är tdligt att = g() > 0såkommer alltså Således gäller att e = ± där endast e = är aktuell eftersom ale 0medför att e ale och medför att + Därmed har vi visat att e =, =ln Vi finner alltså högst en lösning för varje, vilket innebär att ett uttrck för inversen ges av g () =ln
(b) Enklaste eemlet kanske är funktionen n() = med D n = { R : = 0} Figuren nedan visar utseendet 4 4 Uenbarligen gäller inte att om < med, D n så är n( ) >n( )ifallet då < 0och > 0 Men lokalt kring varje unkt D n gäller så klart att n är strängt avtagande Problemet ustår i unkteringen av definitionsmängden där funktionen tillåts hoa ordentligt Fusk? Kan vi hitta eemel å ett sammanhängande intervall? Ett sätt att konstruera ett sådant eemel är att skarva iho två funktioner en väande och en avtagande så det ustår ett ho som searerar graferna Ta till eemel följande funktion med definitionsmängd [ 5, ] 05 5 4 4 5 05 Det är tdligt att varje -värde i värdemängden motsvarar recis ett -värde i definitionsmängden, så funktionen är inverterbar Däremot är den så klart varken strängt väande eller avtagande Kan vi konstruera ett eemel som är definierat å hela reella aeln? Absolut, med 4
samma tanke som föregående konstruktion kan vi betrakta funktionen 8 < arctan, < 0, h() = : e, 0 Faktorn har endast ett estetiskt sfte Om vi ritar u grafen till h ser den ut enligt följande: 05 4 4 05 Här är h varken strängt väande eller strängt avtagande å R, meneftersomvarjevärde ger högst ett -värde är funktionen inverterbar (vad blir h?) Nu kanske man kan tcka att h ändå i rinci är monoton eftersom den är det å olika delintervall, så den går att dela u i två delar där h är endera strängt avtagande eller strängt väande Skulle den slutsatsen gälla generellt? Går det alltid att dela u i mindre intervall där funktionen är strängt väande eller avtagande? Svaret är nej Betrakta till eemel följande roliga funktion: (, Q, d() =, R \ Q Funktionen d definieras alltså enligt d() = om är rationell och d() = om är irrationell På intervallet ]0, [ är d uenbarligen inverterbar t d () =d(), men det finns inget delintervall där d är väande eller avtagande Att ge sig in å att rita u funktionen blir dock roblematiskt (varför?) För er som läst envariabelanalsen: kan en kontinuerlig funktion definierad å ett intervall vara inverterbar utan att vara strängt väande eller avtagande å definitionsintervallet? Svar: (a)g () =ln (b) Se ovan 5
7 Vi börjar med att skissa hur vänster- och högerled ser ut =arccos 075 05 05 05 05 075 =arctan Det verkar alltså troligt att det finns recis en lösning Eftersom arctan är strängt väande och arccos är strängt avtagande kan det maimalt finnas en lösning till ekvationen Vidare gäller att för < 0såär arctan < 0ocharccos > 0(om även ), så den eventuella lösningen kan ej vara negativ Mer noggrant kan vi se att om ale ale så gäller att arccos arccos = 4 = > arctan Det kan alltså inte finnas några lösningar om ale Antag därför att <ale Då i gäller att =arctan 0, h och 0 ale arccos ale h 4,dvsarccos 0, i Eftersom h cosinus är injektiv å 0, i är arccos =arctan, cos( arccos ) =cos(arctan), =cos Då 0 < </kanvidirektritauenrätvinklig hjältriangel där tan = Ifråndennatriangel kan vi se att cos = +9 Såldes gäller alltså att = +9, +9 ( ) = +9, ( + 9 )(4 4 4 +)=, 4 +5 =0 där vi utnttjat att > ikvadreringenför att behålla ekvivalens Eftersom >0 medför detta att 0= 4 8 9 + 5 = 4 9 9 4
Alltså måste Eftersom < ale är det = = 4 9 9 ± 8 s 8+ 9 8+ 9 = 8 som är lösningen Svar: = 8+ 9 7