Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 07 April 2015, 14:00-18:00 Examiner: Xiangfeng Yang (Tel: 070 2234765). Please answer in ENGLISH if you can. a. You are allowed to use: a calculator; formel -och tabellsamling i matematisk statistik (from MAI); TAMS 11: Notations and Formulae (by Xiangfeng Yang), a dictionary. b. Scores rating: 8-11 points giving rate 3; 11.5-14.5 points giving rate 4; 15-18 points giving rate 5. 1 (3 points) English Version John will buy two lottery tickets in a tombola containing eight lottery tickets which have three winning tickets. (1.1). (1p) What is the probability that John gets exactly one winning ticket? (1.2). (2p) What is the probability that John gets at least one winning ticket? Solution. (1.1). (1.2). P ( exactly one ) = ( ( 3 5 1) 1) ( ) = 0.5357. 8 2 ( 3 2) P ( at least one ) = P ( exactly one ) + P ( exactly two ) = 0.5357 + ( = 0.6429. 8 2) 2 (3 points) Suppose that X and Y are two independent continuous random variables. X has a probability density function Y has a probability density function (2.1). (1p) Find the value of the constant c =? (2.2). (1p) Find the expected value µ Y = E(Y ) of Y. (2.3). (1p) Find the probability P (X > Y ). Solution. (2.1) thus c = 1/8 = 0.125. f X (x) = c (x 3 + 2x), 0 x 2, for some constant c. 1 = f Y (y) = 3y 2, 0 y 1. f X (x)dx = 2 0 c (x 3 + 2x)dx = c 8, Page 1/3
(2.2). µ Y = E(Y ) = (2.3). y f Y (y)dy = 1 0 y 3y 2 dy = 0.75. P (X > Y ) = 1 P (X Y ), if you draw a graph, then you will see that it is much easier to consider X Y, 1 ( 1 ) = 1 c (x 3 + 2x) 3y 2 dy dx 0 x = 1 0.707 c = 0.9116. 3 (3 points) Assume that the distances between two cars on a certain road (in one direction) are independent and each distance is an exponential random variable X with a mean E(X) = 100 meters. Pretend you were in a car on this particular road. What is the probability that the distance from your car to the 50th car in front of you is between 5km and 6km? Solution. Let X 1 be the distance between you and the 1st car, X 2 be the distance between the 1st car and the 2nd car,..., and X 50 be the distance between the 49th car and the 50th car. Then it is from the exponential distribution assumption that µ = E(X i ) = 100, σ = 100. P (5000 X 1 + X 2 +... + X 50 6000) = P (5000/50 X 1 + X 2 +... + X 50 50 = P ( 100 µ σ/ n X µ σ/ n 120 µ σ/ n ) = P (0 N(0, 1) 1.414) = 0.9207 0.5 = 0.4207. 6000/50) = P (100 X 120) 4 (3 points) The following data set represents a sample from a Binomial random variable X Bin(50, p) where 0 < p < 1 is unknown. In the sample we have the observations: {6, 1, 2, 8}. (4.1). (1p) Find a point estimate ˆp MM of p using Method of Moments. (4.2). (2p) Find a point estimate ˆp ML of p using Maximum-Likelihood method. Solution. (4.1). For Method of Moments, the first equation is E(X) = x. The mean E(X) can be calculated as E(X) = 50 p. By solving E(X) = x, we have p = x/50 which yields ˆp MM = x/50. From the data, x = 6+1+2+8 4, thus ˆp MM = x/50 = 0.085. (4.2). For the Maximum-Likelihood method, we write the likelihood function as n ( ) 50 L(p) = f(x 1 ) f(x 2 )... f(x n ) = p n xi (1 p) n (50 xi). x i Maximizing L(p) is equivalent to maximize ln L(p) where n ( ) 50 n ln L(p) = ln + x i ln p + By d ln L(p) dp = 0, we have n xi (The second derivative d2 ln L(p) dp 2 p x i n (50 x i ) ln(1 p). n (50 xi) 1 p = 0, therefore ˆp ML = x 50 = 0.085. < 0 yields that ˆp ML is indeed a maximal point) Page 2/3
5 (3 points) Among a well-homogenized sample of ferric oxide specimens, 10 measurements of the titanium content (in %) have been carried out, and we have x = 0.51 and s x = 0.04. We assume that the values are from N(µ 1, 0.02 2 ). Among a worse-homogenized sample of specimens, 50 measurements have been carried out, and we have ȳ = 0.69 and s y = 0.03. We assume that the values are from N(µ 2, 0.05 2 ). Let us assume that N(µ 1, 0.02 2 ) and N(µ 2, 0.05 2 ) are independent. (5.1). (1p) Construct a (one-sided) upper 95% confidence bound for µ 1 in the form (, b). (5.2). (2p) Construct a (two-sided) 95% confidence interval for µ 1 µ 2. Solution. (5.1). Since σ X is known, a 95% confidence interval of µ 1 would be I µ1 = (, x + z α σ ) = (, 0.51 + 1.645 0.02 ) = (, 0.52). n 10 (5.2). Since σ X and σ Y are known, a 95% confidence interval of µ 1 µ 2 would be σx 2 I µ1 µ 2 = ( x ȳ) ± z α/2 + σ2 Y = ( 0.1986, 0.1614). n 1 n 2 6 (3 points) Extensive experience shows that if a certain disease is treated in the traditional way, then the probability p that the patient recovers is only 0.6. Now there is a new medicine against the disease. In a treatment experiment, there were 68 recovered out of 100 patients using this new medicine. (6.1). (1p) Test the following hypotheses with a significance level α = 0.05 : H 0 : p = 0.6 versus H a : p 0.6. (6.2). (1p) For the test in (6.1), what is the probability of not concluding that p 0.6 when the actual p = 0.8? (6.3). (1p) For the test in (6.1), what is the p-value? Solution. (6.1). The rejection region C = (, z α/2 ) (z α/2, + ) = (, 1.96) (1.96, + ). The test statistic is T S = p0 (1 p 0 )/n = 0.68 0.6 0.6(1 0.6)/100 = 1.63. Since the test statistic is NOT in the rejection region, we do NOT reject H 0. (6.2). This is a Type II error, namely β(0.8) = P (don t reject H 0 when H 0 is wrong and p = 0.8) = P ( 1.96 < < 1.96 when p = 0.8) p0 (1 p 0 )/n (need to change p0 (1 p 0 )/n to ˆp p ˆp p since N(0, 1)) p(1 p)/n p(1 p)/n = P ( 7.4 < N(0, 1) < 2.6) = 1 0.9953 = 0.0047. (6.3). p-value=2 P (N(0, 1) > T S ) = 2 P (N(0, 1) > 1.63) = 2 0.0516 = 0.1032. Page 3/3
Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 07 april 2015, kl. 14-18 Examinator: Xiangfeng Yang (Tel: 070 2234765). Vänligen svara på ENGELSKA om du kan. a. Tillåtna hjälpmedel är: en räknare; formel -och tabellsamling i matematisk statistik (från MAI); TAMS 11: Notations and Formulae (by Xiangfeng Yang); en ordbok. b. Betygsgränser: 8-11 poäng ger betyg 3; 11.5-14.5 poäng ger betyg 4; 15-18 poäng ger betyg 5. 1 (3 poäng) Svensk Version John ska köpa två lotter i en tombola återstår åtta lotter varav tre är vinstlotter. (1.1). (1p) Vad är sannolikheten att John får exakt en vinst? (1.2). (2p) Vad är sannolikheten att John får minst en vinst? 2 (3 poäng) Antag att X och Y är två oberoende kontinuerliga stokastiska variabler. X har en täthetsfunktion Y har en täthetsfunktion (2.1). (1p) Beräkna värdet på konstanten c =? (2.2). (1p) Beräkna väntevärdet µ Y = E(Y ) för Y. (2.3). (1p) Beräkna sannolikheten P (X > Y ). 3 (3 poäng) f X (x) = c (x 3 + 2x), 0 x 2, för någon konstant c. f Y (y) = 3y 2, 0 y 1. Antag att avstånd mellan två bilar på en landsväg (i en riktning) är oberoende och är en exponential fördelning X med väntevärdet E(X) = 100 meter. Tänk dig att du befinner dig i en bil på denna väg. Vad är sannolikheten att avståndet till den femtionde bilen är mellan 5km och 6km? 4 (3 poäng) Följande datamaterial utgör ett stickprov från en Binomial fördelning X Bin(50, p) där 0 < p < 1 är okänd. I stickprovet har man observerade värden: {6, 1, 2, 8}. (4.1). (1p) Hitta en punktskattning ˆp MM av p genom att använda momentmetoden. (4.2). (2p) Hitta en punktskattning ˆp ML av p genom att använda Maximum Likelihood-metoden. 5 (3 poäng) Man har gjort 10 bestämningar av titanoxidhalten (enhet %) i ett väl homogeniserat parti järnoxid, och fick x = 0.51 och s x = 0.04. Vi antar att värdena är från N(µ 1, 0.02 2 ). Man har också gjort 50 bestämningar av titanoxidhalten (enhet %) i ett sämre homogeniserat parti järnoxid, och fick ȳ = 0.69 och s y = 0.03. Vi antar att värdena är från N(µ 2, 0.05 2 ). Låt oss anta att N(µ 1, 0.02 2 ) och N(µ 2, 0.05 2 ) är oberoende. (5.1). (1p) Konstruera ett (ensidig) 95% uppåt konfidensintervall för µ 1 i form (, b). (5.2). (2p) Konstruera ett (tvåsidiga) 95% konfidensintervall för µ 1 µ 2. Page 1/2
6 (3 poäng) Lång erfarenhet visar att om en viss sjukdom behandlas på traditionellt sätt, så är sannolikheten p att patienten tillfrisknar bara 0.6. I en inledande studie för en ny medicin mot den aktuella sjukdomen har man behandlat 100 patienter och 68 av dem blev friska. (6.1). (1p) Pröva på nivån α = 0.05 : H 0 : p = 0.6 mot H a : p 0.6. (6.2). (1p) För testet i (6.1), vad är sannolikheten att inte dra slutsatsen att p 0.6 men p = 0.8? (6.3). (1p) För testet i (6.1), vad är p-värdet? Page 2/2